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Iteración de punto fijo.

1. Aplique un método de iteración de punto fijo para determinar una solución con unaexactitud de 10−2 para x4 − 3x2 − 3 = 0 en [1, 2]. Utilice p0 = 1.

2. Aplique un método de iteración de punto fijo para determinar una solución con unaexactitud de 10−2 para x3 − x− 1 = 0 en [1, 2]. Utilice p0 = 1.

3. Encuentre todos los ceros de f(x) = x2 + 10 cos(x) aplicando la iteración de punto fijopara una función apropiada g. Encuentre los ceros con una exactitud de 10−4

4. Aplique un método de iteración de punto fijo para determinar una solución con unaexactitud de 10−4 para x = tan(x) en [4, 5].

5. Aplique un método de iteración de punto fijo para determinar una solución con unaexactitud de 10−2 para 2sen(πx) + x = 0 en [1, 2]. Use p0 = 1.

Secante y Newton-Raphson.

1. Sea f(x) = x2 − 6 y p0 = 1. Aplique el método de Newton y la secante para encontrarp2.

2. Sea f(x) = −x3 − cos(x) y p0 = −1. Aplique el método de Newton y la secante paraencontrar p2. ¿ podríamos utilizar p0 = 0? ¿ por qué?

3. Aplique el método de Newton y de la secante para obtener soluciones con una exactitudde 10−5 y dar el número de iteraciones de cada método para:

a) ex + 2−x + 2 cos(x)− 6 = 0 para 1 ≤ x ≤ 2,

b) ln(x− 1) + cos(x− 1) = 0 para 1.3 ≤ x ≤ 2,

c) 2x cos(2x)− (x− 2)2 = 0 para 2 ≤ x ≤ 4,

d) (x− 2)2 − ln(x) = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 y para e ≤ x ≤ 4,

e) ex − 3x2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 y para 3 ≤ x ≤ 5,

4. La suma de dos números es 20. Si cada uno se agrega a su raíz cuadrada el productode las dos sumas es 155.55. Determine los dos números con una exactitud de 10−4.

5. En el diseño de los vehículos para todo tipo de terreno es necesario tener en cuenta lasfallas cuando se trata de librar dos tipos de obstáculos. Una es la falla por rozamientoy ocurre cuando el vehículo intenta cruzar un obstáculo que hace que su fondo toqueel suelo. La otra recibe el nombre de falla por colisión de la defensa delantera y ocurrecuando el vehículo desciende por una zanja y la defensa delantera toca el suelo. Lafigura (página 78 del Burden) muestra los componentes asociados con el segundo tipode falla. En ella se indica que el ángulo máximo α que puede alcanzar un vehículo

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cuando β es el ángulo máximo en que no ocurre la falla por rozamiento satisface laecuación:

Asen (α) cos(α) +Bsen2(α)− C cos(α)− Esen (α) = 0

donde A = lsenβ1, B = l cos β1, C = (h + 0.5D)sen β1 − 0.5D tan β1 y E = (h +0.5D) cosβ1 − 0.5D

a) Se afirma que cuando l = 89 pulg. h = 49 pulg. D = 55 pulg. y β1 = 11.5◦ elángulo α será de 33◦. Verifique éste resultado-

b) Encuentre α para la situación en que l, h y β1 son iguales que en el inciso anteriorpero D = 30 pulg.

Problemas varios.

1. Un objeto que cae verticalmente en el aire está sujeto a una resistencia viscosa ytambién a la fuerza de gravedad. Supongamos que dejamos caer un objeto de masa mdesde una altura s0 y que la altura del objeto después de t segundos es:

s(t) = s0 −mg

kt+

m2g

k2(1− e−kt/m),

donde g = 32.17 pies/s2 y k es el coeficiente de resistencia del aire en lb-s/pies. Supongaque s0 = 300 pies, m = 0.25 lb y que k = 0.1 lb-s/pies, calcule con una exactitud de0.01 s, el tiempo que tarda este peso de un cuarto de libra en caer al suelo.

2. Calcular las raíces de las siguientes funciones por el método que mejor convenga conuna precisión de 10−4:

a) |x5 − x2 − 3|,

b) |x5 − x2 − 3 + senh(x)|,

c) f(x) =

{

x2 − 4 si x < 1(x− 1)3 − 3 si x ≥ 1

3. Encuentre las raíces para 5sen(x)cos(x) + x2 − 2x+ 1 con una precisión de 10−6.

4. Calcule el mínimo para las siguientes funciones con una precisión de 10−6

a) xex − 10x− 3,

b) |x5 − x2 − 3 + cosh(x)|

5. Un automóvil sigue una trayectoria dada por

f(t) = cos(4t− 1)e−t/5 + sech(t)

calcule la velocidad máxima total del automóvil.

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6. Un mosquito parte volando desde el origen de coordenadas siguiendo la trayectoria:

x = 4t− 8sen(t)

y = 4− t cos(t)

en cuanto tiempo llegará el mosquito al punto (23.6834, 6.0944).

7. El método de Newton-Raphson tiene problemas cuando la función f(x) tiene raícesmúltiples, para resolver este problema se propone aplicar el método de Newton-Raphsona la función u(x) = f(x)/f ′(x), pues dicha u(x) tiene las mismas raíces que f(x).Modifique el método de Newton-Raphson para que se aplique a u(x) e imprima lasprimeras seis iteraciones de dicho método, ademas imprima el error absoluto que seobtiene en cada iteración para encontrar las raíces repetidas cuando la función es:

a) f(x) = (x− 3)(x− 1)(x− 1) con x0 = 0,

b) f(x) = (x− 4)ex(x− 4)(x+ 5) con x0 = 1.

8. Haga lo mismo que en el ejercicio anterior pero para el método de la secante (Recuerdeque debe entregar el método e imprimir las primeras seis iteraciones y el error absolutode cada paso) con las funciones:

a) f(x) = (x− 1)(x+ 8)(x− 1) escoja un intervalo adecuado.

b) f(x) = (x− π)(x− π)cos(x) escoja un intervalo adecuado

9. Calcular los valores máximos o mínimos de la función: f(x, y) = 3x2˘2xy+3y2+8x˘8y+5 (Recuerde encontrar las derivadas parciales de f e igualarlas a cero y resolver).

10. Calcular los valores máximos y mínimos de: f(x, y, u) = x2 + y2 + u2 − xy + x− 2u.