Integrantes:

Albert Rosales Carlos Moreno

Manama Salazar Johan Hernández

SIN 501

Maracay, 2013

INTRODUCCIÓN

La resolución del problema del isomorfismo de grafos se complica

cuando los grafos son o de grandes tamaños o sus matrices de

adyacencias son homogéneas. En ambos casos el problema se resuelve

más fácil presentando los grafos por un conjunto de relaciones

correspondientes a matrices de tamaños razonables y no homogéneos.

Con tal presentación aumenta el número de restricciones que permiten

eliminar muchas variantes y con esto facilita la resolución del problema.

En este trabajo se resuelve el problema del isomorfismo para tales

conjuntos y se dan las aplicaciones de estos en grafos y en funciones

lógicas. Un problema importante en síntesis de mecanismos es identificar

los isomorfismos de grafos, puesto que los isomorfismos no detectados

generan soluciones duplicadas y por tanto suponen un esfuerzo

innecesario en el proceso de diseño mecánico. Desde 1960, una gran

cantidad de métodos han sido propuestos para la detección del

isomorfismo en grafos de mecanismos. Métodos que podríamos clasificar

como heurísticos y visuales han sido desarrollados por Crossley, Davies

and Crossley y Woo. La dificultad principal de este tipo de técnicas

estriba en que son difíciles de implementar computacionalmente, puesto

que su desarrollo se basa fundamentalmente en la experiencia del

diseñador.

Otros métodos basados en el polinomio característico de la matriz

de adyacencia de la cadena cinemática del mecanismo también han sido

propuestos. Sin embargo, la ineficacia de este tipo de técnicas ha sido

probada a través de varios contraejemplos. Además de que el polinomio

característico no identifica de forma única a una cadena cinemática, se

muestra que estos métodos son computacionalmente muy costosos.

CONCEPTOS BÁSICOS DE ISOMORFISMO:

Para entrar en materia de que es un grafo isomorfo debemos

conocer algunos términos relacionados con el tema:

ARISTAS

Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la

que se construyen también caminos.

Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si

convergen en el mismo vértice.

Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y

el final son el mismo.

Aristas Cíclicas: Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo.

CRUCE: Son dos aristas que cruzan en un punto.

VÉRTICES: Son los puntos o nodos con los que está conformado un

grafo.

Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y

si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes

y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.

CAMINO: Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe

una sucesión finita no vacía de aristas {x, v1}, {v1, v2},..., {vn, y}. En este

caso x e y se llaman los extremos del camino

DEFINICIÓN DE ISOMORFISMO:

Un isomorfismo entre dos grafos G y H es una bisección f entre los

conjuntos de sus vértices que preserva la relación de

adyacencia. Es decir, cualquier par de vértices u y v de G son adyacentes

si y solo si lo son sus imágenes, f(u) y f(v), en H.

Dos grafos son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos.

A pesar de su diferente aspecto, los dos grafos que se muestran a

continuación son isomorfos:

Grafo G Grafo H Un

isomorfismo entre G y H

ISOMORFISMO DE GRAFOS:

Se dice que dos grafos son isomorfos si y solo si se preserva la

relación de adyacencia entre ambos. Por ejemplo, tenemos el siguiente

grafo:

Entonces suponemos que el conjunto K={A,B,C,D,E} (donde cada

una de las letras representa los vértices del grafo) posee una función f(v),

la cual tiene como imagen al conjunto K'={A',B',C',D',E'}.

Para que el grafo que tiene como vértices el conjunto K' sea

isomorfo, este debe tener las mismas relaciones de adyacencia que K. En

otras palabras, por ejemplo, en K tenemos una arista D-E, entonces en K'

tendríamos una arista D'-E'. Así para todos los vértices de K'. Entonces,

un grafo isomorfo al anterior (El formado por los vértices incluidos en el

conjunto K) sería:

A

B

C

D

E

D B

A C

E

OTRA DEFINICIÓN:

¿Qué es un grafo?

De forma coloquial y sencilla, un grafo es un conjunto de

elementos, a los que llamaremos vértices, que se relacionan entre ellos

por parejas, no necesariamente todos, definiendo lo que llamamos aristas

del grafo.

Podemos pensar, por ejemplo que queremos diseñar un circuito

con 4 componentes, todas unidos con todas, por parejas. A las

componentes, que harán el papel de vértices del grafo, las llamamos en

una alarde de originalidad {1, 2, 3, 4}. En ese caso, las conexiones que

tenemos que dibujar, que harán el papel de aristas, serán

{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}. Al grafo así definido se le conoce como

K4.

Vamos a dibujar el circuito. Una posible representación sería ésta.

Pensamos un poco más el posible diseño del circuito y nos damos cuenta

de que si lo pintamos, por ejemplo, como en la siguiente figura, no hay

cruce entre las conexiones.

Bueno, este circuito ha sido muy fácil y hemos resuelto el problema del

cruce de las conexiones Vamos a poner una componente más, una nada

más. Tenemos que dibujar 5 vértices, las 5 componentes, {1, 2, 3, 4, 5} y

unir cada una de ellas con las otras 4.

Grafos Isomorfos (Isomorfismo de grafos):

Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca

(uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos queden

unidos por una arista en común.

Si dos grafos G1 y G2 son isomorfos, tienen el mismo número de vértices,

el mismo número de aristas, el mismo número de vértices de cualquier

grado, el mismo número de ciclos de cualquier longitud, etc.

Propiedad:

Dos grafos simples G1 y G2 son isomorfos si y sólo si para cierto orden

de sus vértices las matrices de adyacencia son iguales.

Ejemplos:

1.­ Grafos isomorfos a través de definición de funciones que los hacen

isomorfos

Figura 16: Grafos Isomorfos

Un posible Isomorfismo: f (u1) = v1; f (u2) = v4; f (u3) = v3; f (u4) = v2

Para mostrar que dos grafos son isomorfos podemos mostrar que

sus invariantes (propiedad que los grafos simples deben cumplir) son

iguales.

1. El número de vértices.

2. El número de aristas.

3. El grado de los vértices.

Si en alguna de esas cantidades difieren 2 grafos simples, no son

isomorfos.

Nota: Si sus invariantes son los mismos, no necesariamente son

isomorfos.

EJEMPLO:

G1 G2

Los vértices del grafo 1 está representado por letras (a, b, c, d) y el grafo

2, se representa con los números (1, 2, 3 ,4).

Las aristas están representadas en el grafo 1 por (e1, e2, e3, e4, e5) y en

el grafo 2 por (e6, e7, e8, e9, e10)

Por consiguiente en la presente función demostraremos porque los dos

grafos son isomorfos:

Grados de los vértices:

Grafo 1 Grafo2

a 3 1 2

b 2 2 2

c 3 3 3

d 2 4 3

b a

d c

G2

1

4 3

2

e4

e5

e1

e2

e3

e10

e7

e8

e9

e6

Entonces:

G1 G2

Si partimos de la definición anterior tenemos que los dos grafos

contienen 4 vértices, 5 aristas y sus grados coinciden. Por lo tanto los dos

grafos mostrados en este ejercicio son isomorfos.

a

b

c

d

1

2

3

4

ARBOLES

El concepto general del árbol implica una estructura en la que los

datos se organizan d modo que los elementos de información

están relacionados entre sí a través de las ramas.

El árbol genealógico es el ejemplo típico más representativo del

concepto cepto de árbol general.

Definición 1:

Un árbol es un grafo no dirigido conexo sin ciclos. Un bosque es un

grafo no dirigido sin ciclos pero no conexo. Una definición equivalente

es que un bosque es una unión disjunta de árboles

(de aquí el nombre). Un árbol a veces recibe el nombre de árbol libre.

Definición 2:

Un árbol consta de un conjunto finito de elementos, llamados nodos y un

conjunto finito de líneas dirigidas llamadas ramas que conectan los nodos

Definición 3:

Un árbol es una estructura no lineal en la que cada nodo puede apuntar a

uno o varios nodos.

En cuanto a los nodos:

Nodo hijo: cualquiera de los nodos apuntados por uno de los nodos

del árbol. En el ejemplo, 'L' y 'M' son hijos de 'G'.

Nodo padre: nodo que contiene un puntero al nodo actual.

En el ejemplo, el nodo 'A' es padre de 'B', 'C' y 'D'.

Los árboles con los que trabajaremos tienen otra característica

importante: cada nodo sólo puede ser apuntado por otro nodo, es

decir, cada nodo sólo tendrá un padre. Esto hace que estos árboles

estén fuertemente jerarquizados, y es lo que en realidad les da la

apariencia de árboles.

En cuanto a la posición dentro del árbol:

Nodo raíz: nodo que no tiene padre. Este es el nodo que usaremos

para referirnos al árbol. En el ejemplo, ese nodo es el 'A'.

Nodo hoja: nodo que no tiene hijos. En el ejemplo hay varios: 'F', 'H,

'I', 'K', 'L', 'M', 'N' y 'O'.

Nodo rama: son los nodos que no pertenecen a ninguna de las dos

categorías anteriores. En el ejemplo: 'B', 'C', 'D', 'E', 'G' y 'J'.

Características del árbol, en relación a su tamaño:

Orden: es el número potencial de hijos que puede tener cada

elemento de árbol. De este modo, diremos que un árbol en el que

cada nodo puede apuntar a otros dos es de orden dos, si puede

apuntar a tres será de orden tres, etc.

Grado: el número de hijos que tiene el elemento con más hijos

dentro del árbol. En el árbol de la Figura que muestra nodos y

ramas, el grado es tres, ya que tanto 'A' como 'D' tienen tres hijos,

y no existen elementos con más de tres hijos.

Nivel: se define para cada elemento del árbol como la distancia a

la raíz, medida en nodos. El nivel de la raíz es cero y el de sus

hijos uno. Así sucesivamente. En el árbol de la Figura 25, el nodo '

D' tiene nivel 1, el nodo 'G' tiene nivel 2, y el nodo 'N', nivel 3.

Altura: la altura de un árbol se define como el nivel del nodo de

mayor nivel. Como cada nodo de un árbol puede considerarse a

su vez como la raíz de un árbol, también podemos hablar de altura

de ramas. El árbol del ejemplo tiene altura 3, la rama 'B' tiene

altura 2, la rama 'G' tiene altura 1, la 'H' cero, etc.

Propiedades de los Árboles:

Algunas de las propiedades de los árboles son las siguientes:

Teorema: sea G=(V,E) un grafo con n vértices. Los siguientes

enunciados son equivalentes:

1. G es un árbol.

2. Dos vértices cualesquiera de G están conectados por un único

camino simple (Dados dos nodos cualesquiera de un árbol,

existe exactamente un camino que los conecta.)

3. G es conexo y si se suprime una arista deja de serlo.

4. G es conexo y E=V−1 (un árbol con N nodos tiene N­1 aristas)

EJEMPLOS DE ARBOLES

Un árbol es un grafo conexo

que no tiene ciclos.

Proposición:

G = (V,E) es un árbol ⇐⇒ G es

conexo y tiene |V| − 1 aristas

CONCLUSIONES

El problema de detección de isomorfismos en grafos de

mecanismos es un problema NP-duro importante en el proceso de diseño

mecánico. A través de su análisis, Tischler et al. muestran que, aunque

pueden existir algoritmos eficaces para casos particulares, en el caso

general los métodos tradicionales para la detección de isomorfismos en

cadenas cinemáticas no proporcionan generalmente soluciones de forma

eficiente. Por esta razón se proponen como método alternativo de

resolución a las redes neuronales, y en particular a las redes tipo Hopfield

por ser las más eficaces y extendidas en la resolución de problemas del

tipo NP-duro.

Aunque Kong et al. han propuesto ya una red neuronal basada en

el modelo continuo de Hopfield para la detección de isomorfismos, sin

embargo críticas recientes hacia este modelo muestran que no es un

método adecuado para la resolución de un problema NP-duro como es la

identificación de isomorfismos. De esta forma la red continua en muchos

casos oscila indefinidamente, puesto que la convergencia del sistema no

se halla bien definida. Asimismo se observa que frecuentemente es difícil

la identificación de la solución final obtenida por la red debido a que que

las salidas de las neuronas son continuas en lugar de binarias. También

es destacable el hecho de que la red continua necesite para su completa

definición de la determinación experimental de siete parámetros, así como

de la determinación de la función de activación sigmoidal de cada

neurona, lo que dificulta enormemente su implementación. En

contraposición hemos presentado en este trabajo una nueva red binaria

para detección de isomorfismos en grafos de mecanismos, cuyas

dinámicas discretas completamente definidas garantizan siempre una

correcta convergencia de la red. Los resultados experimentales muestran

que la red propuesta converge rápidamente hacia un estado estable sin

comportamientos oscilatorios, por lo que se muestra muy superior a la red

de Kong et al.

BIBLIOGRAFÍA

Páginas web visitadas:

http://www.google.co.ve/webhp?hl=es&tab=ww#hl=es&tbo=d&sclient=psy-ab&q=ejercicios+resueltos+de+grados+isomorfos&oq=ejercicios+resueltos+de+grados+isomorfos&gs_l=serp.3..0i13.15993.25150.4.25326.27.17.0.10.10.0.229.2792.0j16j1.17.0...0.0...1c.1.xhS8zhSBJHo&pbx=1&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_qf.&fp=55e30f02ec71afc5&biw=1366&bih=673

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http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/tag/teoria-de-grafos/

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