Isometrias del plano

Para demostrar que dos triangulos que tienen un angulo y los lados adyacentes iguales soncongruentes (LAL), Euclides da por hecho que es posible mover las figuras sin cambiar suforma, y esto es algo que no puede deducirse de sus axiomas y postulados. Pero estosmovimientos rigidos pueden definirse facilmente en el plano cartesiano.

Una isometria del plano E2 es una funcion I: E2→E2 que preserva distancias, es decirque para cada par de puntos p, q en E2, d(I(p),I(q))=d(p,q)

Ejemplo:

F(x,y)=(3/5x+4/5y, 4/5x-3/5y) es una isometria, pero G(x,y)=(3/5x+4/5y, 4/5x+3/5y) no lo es.

● Las isometrias de E2 preservan lineas rectas, angulos y areas

Dem. Observar que 3 puntos estan alineados si y solo si la suma de las distancias de uno de ellos alos otros dos es la distancia entre los otros dos.

Si d(a,b) + d(b,c) = d(a,c) y I es una isometria entonces d(Ia,Ib) + d(Ib,Ic) = d(Ia,Ic)

asi que si a,b,c estan alineados tambien Ia,Ib,Ic deben estarlo.

Ahora si abc es un triangulo, y I es una isometria, entonces los triangulos abc y IaIbIc tienen ladosiguales, asi que deben ser congruentes, por lo tanto tienen los mismos angulos y la misma area.

● Las isometrias de E2 son funciones continuas y biyectivas

Dem. Una funcion f:X →Y entre espacios metricos es continua si para cada x en X y cada ε>0,existe δ>0 tal que d(x,x')<δ implica d(f(x).f(x'))<ε. Si f es una isometria entonces d(f(x).f(x'))=d(x,x')asi que d(x,x')<ε implica d(f(x).f(x'))<ε.

Toda isometria es inyectivas ya que f(x)=f(x') implica d(f(x).f(x'))=0, y como d(f(x).f(x'))=d(x,x')entonces d(x,x')=0 asi que x=x'.

Para ver que una isometria I: E2 → E2 debe ser suprayectiva

● La composicion de isometrias es una isometria

Si f y g son isometrias entonces d(g(f(x)),g(f(x')))=d(f(x),f(x'))=d(x,x') asi que g◦f es isometria.

● Las isometrias del plano son invertibles y sus inversas son isometrias.

Si f es una isometria del plano entonces f es biyectiva y por lo tanto invertible.

Ademas d(f-1(x),f-1(x')) = d(f(f-1(x)),f(f-1(x'))) = d(x,x') asi que f-1 es una isometria

Ejemplos de isometrias:

1. Traslaciones

T(x,y)=(x+a,y+b)

2. Rotaciones

Si a,b dos numeros reales tales que a2+b2=1

entonces hay una rotacion R con centro en (0,0) tal que

R(1,0) = (a,b) y R(0,1) = (-b,a):

R(x,y) = xR(1,0)+y(R(0,1) = (ax-by,bx+ay)

Esto puede escribirse usando matrices:

3. Reflexiones

Si a,b son dos numeros reales tales que a2+b2=1,

Podemos reflejar el plano en la recta generada por (a,b):

Я(a,b) = (a,b) y Я(-b,a) = (b,-a)

Como (1,0)=a(a,b)-b(-b,a) y (0,1)=b(a,b)+a(-b,a)

Я(1,0) = aЯ(a,b)-bЯ(-b,a) = a(a,b)-b(b,-a)=(a2-b2,2ab)

Я(0,1) = bЯ(a,b)+aЯ(-b,a) = b(a,b)+a(b,-a)=(2ab,b2-a2)

Я(x,y)=xЯ(1,0)+yЯ(0,1)=((a2-b2)x+2aby,2abx-(a2-b2)y)

Si hacemos d=a2-b2 y e=2ab entonces Я(x,y)= (dx+ey,ex-dy)

En notacion matricial:

a -b

b a

x

yR =x

y

d e

e -d

x

yЯ =x

y

Composicion de isometrias

● La composicion de dos reflexiones es una rotacion o una traslacion

● La composicion de dos rotaciones es una rotacion o una traslacion

Pregunta: ¿Habra otras del plano isometrias ademas de las reflexiones,traslaciones y rotaciones?

● La composicion de 3 reflexiones es una reflexion o un “paso” (una reflexionseguida de una traslacion en la misma direccion) (tarea)

Я1

Я2

Я2▫Я1 = RSi las lineas de reflexion secruzan, la composicion es unarotacion por el doble del anguloentre las lineas.

Si las lineas no se cruzan lacomposicion es una traslacionpor el doble de la distancia entrelas lineas.

R = Я2▫Я1 R' = Я3▫Я2

R'▫R = Я3▫Я2▫Я2▫Я1= Я3▫Я1

Las isometrias del plano

● Las isometrias del plano estan determinadas por la imagen de 3 puntos no colineales.

Dem. La posicion de un punto en el plano queda determinada por su distancia a 3 puntos no colineales.Dados 3 puntos no colineales a, b, c y sus imagenes a', b', c' bajo la isometria, las distancias de cadapunto del plano a a,b,c son iguales a las distancias de la imagen del punto a a',b',c' y estas distanciasdeterminan la imagen del punto.

● Cada isometria del plano es la composicion de a lo mas 3 reflexiones

Dem. Sea T una isometria y sean a, b, c 3 puntos no alineados y a', b' c' sus imagenes bajo T.Veremos que componiendo a lo mas 3 reflexiones podemos llevar los puntos a, b, c a los puntos a', b', c' .

1) Hay una reflexion Я1 que lleva a a a'. Sean b1 y c1 las imagenes de b y c bajo Я1. 2) Hay una reflexion Я2 que fija a' y lleva b1 a b'. Sea c2 la imagen c1 bajo Я1.

3) Hay una reflexion Я2 que fija a' y b' y lleva c2 a c'.

Como T y la composicion de las reflexiones hacen lo mismo a los 3 puntos tienen que ser iguales.

p

p'

Я1

b

c

aa'

b'

c'

Я2

c1

b1b'

a'

c'

b'

c2

c'

Я3

Clasificacion de las isometrias del plano

● Todas las isometrias del plano son traslaciones, rotaciones, reflexiones y pasos.

Dem. Las composiciones de a lo mas 3 reflexiones son asi.

Puntos fijos y direcciones invariantes

Las isometrias del plano (traslaciones, rotaciones, reflexiones y pasos) pueden serdistinguidas por el numero de puntos que dejan fijos y el numero de direcciones quedejan invariantes:(al hablar de direccion distinguimos direcciones opuestas ≠ )

● Las traslaciones no fijan ningun punto, pero dejan invariantes todas las direcciones.● Las rotaciones fijan un punto, no dejan direcciones invariantes.● Las reflexiones fijan una infinidad de puntos y dejan invariante una sola direccion.● Los pasos no fijan ningun punto y dejan invariante solo una direccion.

Asi que basta saber el numero de puntos fijos y direcciones invariantes para saber el tipode isometria.

Tarea 2

Entregar 1, 2 y (3, en equipo) el martes 10. Entregar (4 o 5) el jueves 12

Isometrias del plano

1. Muestra analiticamente que T(x,y)=(1-y,x+2) es una isometria y encuentrasus puntos fijos, si es que tiene.

2. Si T y R son la traslacion y la rotacion mostradas, encuentra graficamente loscentros de las rotaciones T◌R y R◌T

3* (equipo). Demuestra que la composicion de 3 reflexiones es una reflexion oun paso.

Isometrias del espacio

4. ¿Puedes demostrar que toda isometria del espacio euclidiano es composicionde relfexiones en planos? ¿Cuantas reflexiones haran falta?

5. En el plano euclidiano hay 4 tipos de isometrias (traslaciones, rotaciones,reflexiones y pasos). ¿Cuantos tipos distintos de isometrias habra en elespacio? (no se trata de buscar en libros, sino de que vean que pueden imaginarse.La calificacion no depende de que la respuesta sea correcta)

R

T