IO2_P1-2015EPRUEBA DEL DIPLOMADO
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FEV
FEV
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
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2
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
PARTE 1
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
• Sistema de espera.
• Modelo de Poisson.• Modelos de nacimiento y muerte.• Colas especializadas.
• Redes de colas.• Modelos de Redes de Colas.• Análisis Operacional.• Leyes Operacionales.
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3
TEORIA DE COLAS
ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS
SERVIDOR
t1 ........ t2 ................ t3 ............... t4
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
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4
TEORIA DE COLAS
MODELOS DE POISSON
CARACTERISTICAS GENERALES.
POSTULADOS:
1 . Probabilidad de un evento:
2 . Probabilidad de dos eventos:
3 . Sigue distribución de Poisson con parámetro esto es:
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
0a 0, to(t), at P(t)
0 to(t),P(t) eventos 2
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5
COLAS ESPECIALIZADASINVESTIGACION DE OPERACIONES II
0 1 2 n n+1
μ μ μ μ μ μ
(M,M,1:FIFO,∞,∞)
Caracteristicas:
Colas Simples: Nacimiento y Muerte
Independencia
Distribuciones de Probabilidad( a/b/c ):( d/e/f )
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6
TEORIA DE COLAS
MODELOS DE POISSON: nacimiento
POSTULADOS:
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
0k ,0k)0/XX-P(X 3.
0h (h),o h 1k)0/XX-P(X 2.
0h (h),o h k)1/XX-P(X 1.
ttht
2.kkttht
1.kkttht
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7
TEORIA DE COLAS
MODELOS DE POISSON: nacimiento y muerte
POSTULADOS:
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
3,.... 2, 1,i , 0 , ,0 , 0 4.
0i 0,h o(h), )h (1 (h)P 3.
0i 0,h o(h), h (h)P 2.
0i 0,h o(h), h (h)P 1.
ii00
iiji,
i1ji,
i1ji,
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8
MODELOS DE POISSON
ECUACIONES DE NACIMIENTO Y MUERTE
1212
1j1jjjj1-j1-j
01010011
p)/( p
(2) 0 p )p( p
(1) )p/(p p p
....... p)/( p 2323 1-nn1-nn p)/( p
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
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9
COLAS ESPECIALIZADAS NOMENCLATURA
W o r: Valor esperado del tiempo en el sistema.
Wq: Valor esperado del tiempo en la cola.
L: Valor esperado del número de clientes en el sistema.
q: Valor esperado del número de clientes en la cola.
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
: Tasa media de llegada (unidades/tiempo).
: Tasa media de servicio (unidades/tiempo).
n: Número de unidades en el sistema.
s: Número de servidores o canales de servicio.
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10
MODELOS CON UN SERVIDOR ( s=1)
LLEGADAS POISSON Y SERVICIO EXPONENCIALPROBABILIDADES:
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
01 PP 02
12 PPP 01 PPP nnn ; ;
Utilización:
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11
MODELOS CON UN SERVIDOR ( s=1)
LLEGADAS POISSON Y SERVICIO EXPONENCIAL
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
Valor esperado detrabajos en el sistema
n
innPL
1 1
2)1(][
nVar
Valor esperado detrabajos en espera (cola) )1(
2
Lq
Valor esperado detiempo en la cola
)1(
1
rWq
Valor esperado del tiempo promedio de respuesta
1
)1(
1LrW
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12
MODELOS CON UN SERVIDOR ( s=1)
LLEGADAS POISSON YSERVICIO EXPONENCIAL
(M/M/1):(FIFO/N/)
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
)p(1´con ´
qrWq
)p(1´con ´
LrW
)p(1Lq
1
)1(
1L
)1/()1(pp
con )1/()1(p
N
N
0
1
1
10n
10
N
N
Nnn
N
N
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13
MODELOS CON UN SERVIDOR ( s>1)
LLEGADAS POISSON YSERVICIO EXPONENCIAL
(M/M/s):(FIFO//)
s
n = 1,2,…., s
n > s0
0
!
)(!
)(
Pss
s
Pn
s
P
sn
n
n
n
1
0
0
)1(!
)(
!
)(
1s
n
sn
s
s
n
sP
1
sL
1)1(!
)(02P
s
sq
s
)1(
1
s
R
)1(
s
qWq
0)1(!
)(P
s
s s
Constante de Erlang
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
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14
MODELOS DE COLAS
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
EJERCICIOS
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Estaciones de Servicio:
(a) (b) (c)
Modelos de Redes de Colas
Conceptos
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Redes de Cola de Espera:
Fuente
Sumidero
Modelo de Colas Abiertas
Modelos de Redes de Colas
Conceptos
Modelo deColas Cerradas
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Redes de Colas de Espera
CPU
DISCOS
(a) Iteractivo CPU
DISCOS
(b) Transaccional
Modelo de Servidor Central
Modelos de Redes de Colas
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ANÁLISIS OPERACIONAL
Tasa de Llegada: i = Ai/T trabajos por unidad de tiempoProductividad: Xi = Ci/T trabajos por unidad de tiempoUtilización: Ui = Bi/T (sin unidades)Tiempo de Servicio: Si = Bi/Ci unidades de tiempo por trabajo
CONCEPTOS
El inverso de la tasa de llegadasse denomina tiempo entre llegadas: T/Ai
El inverso del tiempo de serviciose denomina tasa de servicio: μi=Ci/Bi
Modelos de Redes de Colas
Número de llegadas: Ai Número de terminaciones Ci
Tiempo total ocupado Bi Período de tiempo analizado T
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Análisis Operacional
Modelos de Redes de Colas
TASA DE LLEGADAS PRODUCTIVIDAD UTILIZACIÓNTIEMPO DE SERVICIO
li Xi Ui Si
Solicitudes / tiempo Solicitudes / tiempo sin unidad tiempo /
solicitud
CONCEPTOS
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Hipótesis del flujo equilibrado de trabajos (HFET):Supondremos que el sistema, durante el período de observación T, permanece en un estado estable o de equilibrio.
En este caso se cumple que el Nº de trabajos que entra es igual al Nº de trabajos que salen:
Tomando un período suficientemente grande se tiene que es muy pequeña comparada con y entonces
Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas
iCA ii ,
ii CA iC
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Ley de la Utilización:
iii
iiii SX
CT
BC
T
BU
.
Esta expresión permite relacionar la productividadde un dispositivo con su tiempo de servicio.
Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas
Si se cumple la hipótesis de flujo equilibrado de trabajos, obtenemos:
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Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas
Ley del Flujo Forzado:Relaciona X0 (sistema) con Xi (dispositivo)
Razón de Visitas al dispositivo i: Vi = Nº repeticiones o visitas al dispositivo i.
Si el flujo de trabajos está equilibrado, C0 (salen del sistema) y
Ci (salen del dispositivo i) están relacionados por:
00 / CCVVCC iiii
Productividad del dispositivo es:
TCX /00 Productividad del sistema X0 durante el período T es:
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Leyes Operacionales
Modelos de Redes de Colas
Ley de Flujo Forzado:
Combinando la Ley del Flujo Forzado yla Ley de Utilización podemos obtener:
donde recibe el nombre de demanda de servicio en el dispositivo ien todas las visitas que un trabajo realiza.
iiiiii DSVXSXU 00 X
iii SVD
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Leyes Operacionales
Modelos de Redes de Colas
Probabilidad de encadenamiento Pij
En particular tenemos:
K
jijij pCC
1
.
K
jijij pVV
1
.
Con K estaciones y se cumple la HFET
iijij CCp /
00 / AAp ojj 00 /CCp ioi
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Leyes Operacionales
Modelos de Redes de Colas
Ley de Little:
Llamamos: Ni al número de trabajos en el sistema Ri tiempo de respuesta en la estación de servicio i
Definimos:
Si se cumple la hipótesis de flujo equilibrado de trabajos podemos
sustituir i por Xi tenemos:
iii RN
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Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas
Ley General del Tiempo de Respuesta:
El número de trabajos en una red de colas kNNNN ........21
K
iiiKK RXRXRXRXRX
122110 ...
De acuerdo con la Ley de Little tenemos:
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Ley del Tiempo de Respuesta Interactivo:Modelo de sistemas con carga interactiva: • Modelo del tiempo de reflexión (subsistema de terminales)• Los dispositivos físicos contemplados en el modelo (subsistema central)
N = (Z + R) X0
SUBSISTEMATERMINALES
SUBSISTEMACENTRAL
RZ
El tiempo de reflexión Z
Trabajos en los terminales = Z.X0
Trabajos en el sistema = R.X0
Leyes Operacionales
Modelos de Redes de Colas
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ResumenLeyes Operacionales
Ley de la Utilización:
Ley del Flujo Forzado:
Probabilidades deencadenamiento Pij
K
jijij pCC
1
.
K
jijij pVV
1
.y
Ley de Little:
Ley General delTiempo de Respuesta:
K
iiiKK RVRVRVRVR
12211 ...
Ley del Tiempo deRespuesta Interactivo:
ZX
NR
0
Modelos de Redes de Colas
iiii SSXU i
iiii DXUVXX 00
iiiii RXRN