UNIVERSIDAD NACIONAL JOS FAUSTINO SNCHEZ CARRINANLISIS GRFICO DE SENSIBILIDAD

Ejemplo En este ejemplo se resolver el modelo de Reddy Mikks.Paso 1. Determinacin del espacio de soluciones factibles:Primero, se tendrn en cuenta las restricciones de no negatividad x1 0 y x2 0.En la figura 2.1, el eje horizontal x1 y el eje vertical x2 representan las variables pintura para exteriores y pintura para interiores, respectivamente. En consecuencia, las restricciones de no negatividad limitan el rea del espacio de soluciones al primer cuadrante: arriba del eje x1 y a la derecha del eje x2.Para tener en cuenta las otras cuatro restricciones, primero se sustituye cada desigualdad con una ecuacin, y a continuacin se grafica la recta resultante, ubicando dos puntos diferentes de ella. Por ejemplo, despus de sustituir 6x1 + 4x2 24 con la recta 6x1 + 4x2 = 24, se pueden determinar dos puntos distintos, primero igualando x1 = 0 para obtener y despus igualando x2 = 0 para obtener . De este modo, la recta que pasa por los dos puntos (0, 6) y (4, 0) esla que se identifica con (1) en la figura 2.1.Acontinuacin consideraremos el efecto de la desigualdad. Todo lo que hace ladesigualdad es dividir al plano (x1, x2) en dos semiespacios que en este caso son semiplanos,uno a cada lado de la lnea graficada. Slo una de esas dos mitades satisface ladesigualdad. Para determinar cul es el lado correcto, se elige cualquier punto de referenciaen el primer cuadrante. Si satisface la desigualdad, el lado en el que est es elsemiplano factible. En caso contrario, quiere decir que es el otro lado. Desde el puntoUn modelo de programacin lineal es una foto instantnea de una situacin real en la que los parmetros del modelo (coeficientes de la funcin objetivo y de las restricciones) asumen valores estticos. Para aumentar la aplicacin de la programacin lineal en la prctica, se necesita agregar una dimensin dinmica que investigue el impacto que tiene hacer cambios en los parmetros del modelo (coeficientes de la funcin objetivo y de las restricciones) sobre la solucin ptima. A este proceso se le llama anlisis de sensibilidad, porque estudia la sensibilidad de la solucin ptima respecto a los cambios que se hagan en el modelo.

En esta seccin se investigarn dos casos de anlisis de sensibilidad basados en la solucin grfica de la programacin lineal: 1) cambios en los coeficientes de la funcin objetivo y 2) cambios en el lado derecho de las restricciones. Aunque la presentacin es elemental y su alcance es limitado, proporciona perspectivas fundamentales del desarrollo del anlisis de sensibilidad. En el captulo 4 se describe una presentacin completa del tema.

CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIN OBJETIVO

La funcin objetivo en general en un problema de programacin lineal con dos variables se puede escribir como sigue:

Maximizar o minimizar z = c1x1 + c2x2

Los cambios de los coeficientes c1 y c2 harn cambiar la pendiente de z y en consecuencia, posiblemente, el punto de esquina ptimo (vase una ilustracin en la figura 2.1). Sin embargo, hay un intervalo de variacin, tanto para c1 como para c2, dentro del cual el ptimo del momento permanece sin cambio. En forma especfica nos interesa determinar el intervalo de optimalidad de la relacin donde se mantenga sin cambio la solucin ptima del momento. En el siguiente ejemplo se ilustra el procedimiento.Ejemplo

Acerca del modelo de Reddy Mikks, en la figura 2.5 la solucin ptima en C proporciona el valor mximo de z = 5x1 + 4x2. Si se cambia la solucin objetivo a z = c1x1 +nc2x2, la solucin en C permanecer ptima mientras la pendiente de z quede entre las pendientes de las dos lneas que se cruzan en C, que son 6x1+4x2=24 (materia prima, M1) y x1+2x2=6 (materia prima, M2). Esta relacin se puede expresar algebraicamente como

Si c1 0, entonces o bienSi c2 0, entonces

En la primera condicin, c1 0 significa que la recta de la funcin objetivo no puede ser horizontal. De igual modo, en la segunda condicin c2 0 significa que z no puede ser vertical.Como se puede ver en la figura 2.5, el intervalo de optimalidad en este modelo (definido por las dos rectas que se cruzan en C) no permite que la funcin objetivo z = c1x1 + c2x2 sea una lnea horizontal o vertical. El resultado es que se aplica a este ejemplo cada una de las dos condiciones dadas. Para los casos en los que c1 y c2 pueden asumir valores cero, el intervalo de deben dividirse en dos conjuntos, en los que los denominadores no puedan ser cero. Lo que indican las condiciones para y es que mientras que esas relaciones estn dentro de los lmites especificados, la solucin ptima permanece sin cambio en C. Obsrvese que si sucede que z = c1x1 + c2x2 coincide con x1 + 2x2 = 6, pueden presentarse ptimos alternativos en cualquier lugar del segmento de recta CD. De igual manera, si coincide con 6x1 + 4x2 = 24, todos los puntos del segmento de recta BC son ptimos alternativos. Sin embargo, esta observacin no cambia el hecho que C siga siendo ptimo en ambos casos.Se pueden usar las condiciones dadas para determinar el intervalo ptimo para uno de los coeficientes cuando el otro permanece con su valor original, en z = 5x1 + 4x2. As, dado c2 = 4, el intervalo ptimo asociado para c1 se determina a partir de la condicin sustituyendo c2 = 4, y as se obtiene o sea . En forma parecida, dado c1 = 5, la condicin dar como resultado .

CAMBIO EN DISPONIBILIDAD DE RECURSOS

En los modelos de programacin lineal, las restricciones representan el uso de recursos limitados, ya sea en forma directa o indirecta. En este caso, se puede imaginar que el lado derecho representa lmites de disponibilidad de los recursos. En esta seccin se investigar la sensibilidad de la solucin ptima a cambios en la cantidad de los recursos disponibles.

Ejemplo

Para el modelo de Reddy Mikks, la figura 2.6 muestra que el ptimo actual est en C, y es la interseccin de las rectas asociadas con las materias primas M1 y M2. Cuando cambia la disponibilidad de M1 (aumenta o disminuye respecto a su valor actual de 24 toneladas), y si M2 = 6 toneladas, la solucin ptima en el punto C se deslizar a lo largo del segmento de recta DG. Todo cambio en M1 fuera del intervalo de este segmento har que el punto C (la interseccin de las rectas relacionadas con M1 y M2) no sea factible. Por esta razn se dice que los puntos extremos D = (2, 2) y G = (6, 0) limitan al intervalo de factibilidad de M1. As,

Cantidad de M1 en D = 6x1 + 4x2 = 6 x 2 + 4 x 2 = 20 toneladasCantidad de M1 en G = 6x1 + 4x2 = 6 x 6 + 4 x 0 = 36 toneladas

En consecuencia, si M2 = 6, el intervalo de factibilidad para M1 es 20 M1 36

Este resultado indica que M1 puede bajar hasta 4 toneladas o aumentar hasta 12 toneladas y seguir garantizando que el punto de la solucin ptima seguir siendo la interseccin de las rectas asociadas con M1 y M2. En realidad, si M2 = 6, la solucin general asociada se obtiene en funcin de M1 como sigue (comprubelo!):

, 20 M1 36

A continuacin veamos la materia prima M2. La figura 2.7 muestra que el intervalo de factibilidad para M2 (si M1 = 24 toneladas) est limitado por los extremos B y H, siendo B = (4, 0) y , donde el punto se define por la interseccin de las rectas ED y BC. As,

Cantidad de M2 en B = x1 + 2x2 = 4 + 2 x 0 = 4 toneladasCantidad de M2 en H = toneladas

Entonces, mientras M1 = 24, el intervalo de factibilidad para M2 es

De nuevo, puede usted verificar que si M1 = 24, la solucin asociada se define por, 4 M2

VALOR POR UNIDAD DE UN RECURSO

La figura 2.8 muestra que se puede concebir a un modelo de programacin lineal como uno de entrada y salida, o de datos y resultados, en el que los recursos limitados representan los datos y el valor de la solucin objetivo representa el resultado. Una consecuencia til de este modelo es determinar cmo los cambios en sus datos (recursos) pueden influir sobre su resultado (el valor objetivo). Esa medida se puede obtener como subproducto de los clculos del intervalo de factibilidad. En forma especfica, se trata de determinar el valor por unidad de un recurso, que se define como la tasa de cambio en el valor de la funcin objetivo debido a cambios en la cantidad disponible de un recurso.

Si yi representa el valor de cada unidad del recurso i, la frmula correspondiente para calcular esta medida es

Para ilustrar esta nueva medida usaremos el modelo de Reddy Mikks.

Ejemplo La figura 2.6 muestra que el intervalo factible para M1, 20 M1 36, y est definido por los puntos D y G. Por consiguiente:

Como D = (2, 2) y G = (6, 0), entonces

z en D = 5 x 2 + 4 x 2 = 18 (miles de dlares)z en G = 5 x 6 + 4 x 0 = 30 (miles de dlares)

Entonces,

El resultado indica que un cambio de 1 tonelada en M1, en el intervalo har cambiar el valor ptimo de z en $750.A continuacin consideraremos la materia prima M2. Su intervalo de factibilidad es , y est limitado por los puntos B y H en la figura 2.7. Entonces,

donde,z en B = 5x1 + 4x2 = 5 x 4 + 4 x 0 = 20 (miles de dlares)z en H = (miles de dlares)

En consecuencia,

En este caso el resultado indica que un aumento o disminucin de una tonelada en M1, en el intervalo aumenta o disminuye la utilidad en $500.INVESTIGACIN DE OPERACIONES I

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