INVESTIGACIN OPERATIVA IIProfesor Asociado:Roberto Jimnez RamrezMagister en Ingeniera IndustrialDoctor (c) en Administracin y Direccin de Empresas201113ContenidoCAPITULO I : PROGRAMACIN LINEAL ENTERA............................................... 6 Introduccin ................................................................................................ 6 Tipos de modelos....................................................................................... 6 Interpretacin grafica .................................................................................. 7 Ejemplo N 1 Solucin Entera ...................................................................... 7 Comentarios........................................................................................... 10 Soluciones redondeadas ........................................................................ 10 Ejemplo N 2: Solucin Entera ................................................................. 11 Enumeracin .......................................................................................... 12 Aplicaciones a la variable 0-1 ................................................................ 12 Ejemplo N 3: Problema de Presupuesto de Capital de la Protrac............. 12 Formulacin de un modelo de PLE. ........................................................ 13 Aproximacin de la PL:Uso de Software WinQSB................................. 14 Solucin entera pura: Uso de Software winQSB ........................................ 15 Condiciones lgicas................................................................................... 16 No ms de k de entre n alternativas ...................................................... 16 Decisiones dependientes....................................................................... 16 Restricciones de aportaciones............................................................... 17 Ejemplo N 4 : Problema de ubicacin de los almacenes Steco. ............... 18 Consideraciones sobre la formulacin del modelo................................. 20 Un modelo de PLEM............................................................................... 21 Modelo final ........................................................................................... 22 Mtodos de programacin entera............................................................. 24 Algoritmo de bifurcacin y acotamiento................................................... 24 CAPITULO II : REDES PERT/CPM .................................................................... 38 INTRODUCCIN......................................................................................... 39 ASPECTOS GENERALES PERT .................................................................... 39 TERMINOLOGIA PERT/CPM......................................................................... 40 ANALISIS DE UNA RED PERT/CPM .............................................................. 44 PROBLEMAS A DESARROLLAR................................................................... 52 (Problema N 5 Listado de Problema PERT/CPM)....................................... 52 (Problema N 9 Listado de Problema PERT/CPM)....................................... 53 (Problema N 11 Listado de Problema PERT/CPM)..................................... 54 RESUMEN DE LOS CALCULOS PERT/CPM................................................... 56 INCERTIDUMBRE EN UNA RED PERT/CPM .................................................. 57 VARIABILIDAD EN LOS TIEMPOS DE LAS ACTIVIDADES............................. 59 PROBLEMAS A DESARROLLAR................................................................... 64 (Problema N 12 Listado de Problema PERT/CPM)..................................... 64 CAPITULO III.............................................................................................. 66 MODELOS DE INVENTARIO ........................................................................ 66 INTRODUCCION......................................................................................... 67 LA FUNCIN DE INVENTARIOS................................................................... 67 DECISIONES BSICAS EN INVENTARIOS .................................................... 69 CARACTERISTICAS DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIO .............................. 69 MODELO CLASICO DE CANTIDAD ECONMICA DE PEDIDO (CEP). ............. 74 MODELO CEP CUANDO SE PERMITEN FALTANTES..................................... 76 13INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISIN CONTINUA Y CADA ITEM CONSIDERADO INDIVIDUALMENTE. ....81 INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISIN CONTINUA Y LAS ORDENES INCLUYEN A TODOS LOS ITEMS. ....82 INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISION CONTINUA Y LIMITACION DE ESPACIO DE ALMACENAMIENTO (RESTRICCION).......................................................................................... 84 MODELO DEL TAMAO DEL LOTE DE PRODUCCION .................................. 87 EJEMPLO N 1 ............................................................................................ 90 EJEMPLO N 2 ............................................................................................ 91 EJEMPLO N 3 ............................................................................................ 92 EJEMPLO N 4 ............................................................................................ 94 CAPITULO IV ............................................................................................ 102 PROGRAMACIN DINMICA..................................................................... 102 INTRODUCCIN ...................................................................................... 103 PROBLEMA DE LA DILIGENCIA................................................................. 104 EJEMPLO 1............................................................................................... 104 CARACTERISTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIN DINMICA................................................................................................................. 109 PROGRAMACIN DINAMICA DETERMINSTICA......................................... 111 EJEMPLO 2............................................................................................... 111 EJEMPLO 3............................................................................................... 116 CAPITULO V............................................................................................. 136 CADENAS DE MARKOV ............................................................................ 136 INTRODUCCIN....................................................................................... 137 CADENA DE MARKOV .............................................................................. 137 PROBLEMA ADMINISTRATIVOS DE LA CAJA DEL TESORERO .................... 138 LA MATRIZ DE TRANSICIN DEL TESORERO ............................................ 140 CADENAS DE MARKOV ............................................................................ 145 MATRIZ DE TRANSICIN .......................................................................... 146 ECUACIONES DE CHAPMAN KOLMOGOROV .......................................... 150 ....................................................................................................... 157 EJEMPLO DE INVENTARIO ........................................................................ 158 CLASIFICACION DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV................... 159 PROPIEDADES A LARGO PLAZO DE LAS CADENAS DE MARKOV .............. 161 EJEMPLO PARA EL INVENTARIO ............................................................ 163 COSTO PROMEDIO ESPERADO POR UNIDAD DE TIEMPO......................... 164 EJEMPLO............................................................................................... 165 Tabla de contenidoCAPITULO I : PROGRAMACIN LINEAL ENTERA............................. 6 Introduccin .............................................................................. 6 Tipos de modelos..................................................................... 6 Interpretacin grafica ................................................................ 7 Ejemplo N 1 Solucin Entera .................................................... 7 Comentarios......................................................................... 10 Soluciones redondeadas ...................................................... 10 Ejemplo N 2: Solucin Entera ............................................... 11 Enumeracin ........................................................................ 12 Aplicaciones a la variable 0-1 .............................................. 12 Ejemplo N 3: Problema de Presupuesto de Capital de la Protrac .................................................................................... 12 Formulacin de un modelo de PLE. ...................................... 13 Aproximacin de la PL:Uso de Software WinQSB............... 14 Solucin entera pura: Uso de Software winQSB ...................... 15 Condiciones lgicas................................................................. 16 No ms de k de entre n alternativas .................................... 16 Decisiones dependientes..................................................... 16 Restricciones de aportaciones............................................. 17 Ejemplo N 4 : Problema de ubicacin de los almacenes Steco................................................................................................. 18 Consideraciones sobre la formulacin del modelo............... 20 Un modelo de PLEM............................................................. 21 Modelo final ......................................................................... 22 Mtodos de programacin entera........................................... 24 Algoritmo de bifurcacin y acotamiento................................. 24 CAPITULO II : REDES PERT/CPM .................................................. 38 INTRODUCCIN....................................................................... 39 ASPECTOS GENERALES PERT .................................................. 39 TERMINOLOGIA PERT/CPM....................................................... 40 ANALISIS DE UNA RED PERT/CPM ............................................ 44 PROBLEMAS A DESARROLLAR................................................. 52 (Problema N 5 Listado de Problema PERT/CPM)..................... 52 (Problema N 9 Listado de Problema PERT/CPM)..................... 53 (Problema N 11 Listado de Problema PERT/CPM)................... 54 RESUMEN DE LOS CALCULOS PERT/CPM................................. 56 INCERTIDUMBRE EN UNA RED PERT/CPM ................................ 57 VARIABILIDAD EN LOS TIEMPOS DE LAS ACTIVIDADES........... 59 PROBLEMAS A DESARROLLAR................................................. 64 (Problema N 12 Listado de Problema PERT/CPM)................... 64 CAPITULO III............................................................................ 66 MODELOS DE INVENTARIO ...................................................... 66 INTRODUCCION....................................................................... 67 LA FUNCIN DE INVENTARIOS................................................. 67 DECISIONES BSICAS EN INVENTARIOS .................................. 69 CARACTERISTICAS DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIO ............ 69 MODELO CLASICO DE CANTIDAD ECONMICA DE PEDIDO (CEP)....................................................................................... 74 MODELO CEP CUANDO SE PERMITEN FALTANTES................... 76 INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISIN CONTINUA Y CADA ITEM CONSIDERADO INDIVIDUALMENTE. ................................................................. 81 INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISIN CONTINUA Y LAS ORDENES INCLUYEN A TODOS LOS ITEMS. .................................................................. 82 INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE, REVISION CONTINUA Y LIMITACION DE ESPACIO DE ALMACENAMIENTO (RESTRICCION). ................................... 84 MODELO DEL TAMAO DEL LOTE DE PRODUCCION ................ 87 EJEMPLO N 1 .......................................................................... 90 EJEMPLO N 2 .......................................................................... 91 EJEMPLO N 3 .......................................................................... 92 EJEMPLO N 4 .......................................................................... 94 CAPITULO IV .......................................................................... 102 PROGRAMACIN DINMICA................................................... 102 INTRODUCCIN .................................................................... 103 PROBLEMA DE LA DILIGENCIA............................................... 104 EJEMPLO 1............................................................................. 104 CARACTERISTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIN DINMICA. ............................................................................. 109 PROGRAMACIN DINAMICA DETERMINSTICA....................... 111 EJEMPLO 2............................................................................. 111 EJEMPLO 3............................................................................. 116 CAPITULO V........................................................................... 136 CADENAS DE MARKOV .......................................................... 136 INTRODUCCIN..................................................................... 137 CADENA DE MARKOV ............................................................ 137 PROBLEMA ADMINISTRATIVOS DE LA CAJA DEL TESORERO. . 138 LA MATRIZ DE TRANSICIN DEL TESORERO .......................... 140 CADENAS DE MARKOV .......................................................... 145 MATRIZ DE TRANSICIN ........................................................ 146 ECUACIONES DE CHAPMAN KOLMOGOROV ........................ 150 ..................................................................................... 157 EJEMPLO DE INVENTARIO ...................................................... 158 CLASIFICACION DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV. 159 PROPIEDADES A LARGO PLAZO DE LAS CADENAS DE MARKOV.............................................................................................. 161 EJEMPLO PARA EL INVENTARIO .......................................... 163 COSTO PROMEDIO ESPERADO POR UNIDAD DE TIEMPO....... 164 EJEMPLO............................................................................. 165 CAPITULO I : PROGRAMACIN LINEAL ENTERAIntroduccin En este captulo veremos problemas que se podran formular y resolver como problemas de programacin lineal, excepto por la desagradable circunstancia de que se requiere que algunas o todas las variables tomen valores enteros. Dichos problemas se llaman PE (Programacin Entera). La programacin entera ha llegado a ser un rea muy especializada de la ciencia de la administracin. En este curso slo la tocaremos en forma superficial, veremos la importancia deltema y algunos mtodos de resolucin ms tiles. Vimos en los captulos anteriores que las variables podan tomar valores fraccionados, tales como 6.34. Pero hay casos en el mundo real que no es posible esto y deben ser enteros. En elfondo es que existen muchos problemas administrativos importantes que serian de programacin lineal si no fuera por el requerimiento de que sean enteros los valores de algunas variables de decisin, en los que no se pueden encontrar una buena solucin mediante el uso del mtodo simplex seguido del redondeo de los valores ptimos resultantes para las variables dedecisin. Estos problemasdebenser resueltos mediante algoritmosespecialmentediseadospararesolverproblemas de programacin entera.Tipos de modelos Programacin enteraes un trmino general para los modelos deprogramacin matemticaque presentancondicionesdeser enteros(condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisin deben tener valores enteros). Existen diversas clasificaciones de esta categora de modelos. Un modelo entero puro (PEP) es, como su nombre lo indica, un problema en el que se exige que todas las variables de decisin tengan valores enteros. Por ejemploMinimizar6X1 +5X2 +4X3Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 5767X1 + 18X2 + 22X3 83X1, X2, X3 enteroses un modelo entero puro. Un problema en el que slo se requiere que algunas variables tengan valores enteros mientras que otras pueden asumir cualquier nmero no negativos (es decir,cualquier valore continuo) se llama programacin lineal entera-mixta (PLEM)Por ejemplo, supngase que en el problema anterior solo X1 y X2 deben ser enteros y X3 no.El problema resultante esMinimizar6X1 +5X2 + 4X3Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 5767X1 + 18X2 + 22X3 83X1, X2, X3 0 ; X1 y X2 enteros. En algunos casos se restringe el valor de las variables a 0 1. Dichosproblemassellamanbinariosoprogramacinlineal entera0-1. Sondeintersdebidoaquesepuedenusarlas variables 0-1 para representar decisiones dicotmicas (s o no).Diversos problemas de asignacin, ubicacin de planta, planes deproduccinydeconstruccin, sondeprogramacinlineal entera0-1. Las variables 0-1sepuedenencontrar tantoen problemas de PEP como PLEM.A menudo se consideran problemas de programacin lineal (PL) que se comienzan como PEP o PLEM, ignorando las restriccionesenteras. AestosproblemasdePLselesllama aproximaciones en las PEP o PLEM correspondientes.Interpretacin graficaEjemplo N 1 Solucin EnteraConsidrese el siguiente problemaMaximizar18E + 6FSujeto aE + F 5 (1)42.8E + 100F 800 (2) 20E + 6F 142 (3) 30E + 10F 132 (4) E 3F 0 (5) E y F 0, enterosEn el anlisis,Ees el numero de los E-9y Fel de los F-9 que la empresa Protrac produce, la Protrac produce equipo pesado para la construccin.Para resolver este problema con el tratamiento grfico, prescribimos tres pasos:1.- Encuntrese el conjunto factible para la aproximacin de la PL del problema de PLE.2.- Identifique los puntos enteros del inferior del conjunto determinado en el paso 1.3.- Encuntrese, entre los puntos determinados en el paso 2, el que optimiza la funcin objetivo.Grfico N 1Fuente: Elaboracin propiaLa regin demarcada es el conjunto factible de aproximacin en la programacin lineal y los puntos rojos son los puntos enteros contenidos en este conjunto.Y estos son (3,6); (4,6); (3,5), (4,5); (5,5); (4,4); (5,4); (4,3); (5,3), (6,3); (4,2); (5,2) y (6,2) Para resolver este problema, debemos determinar ahora cual de los puntos factibles produceel valor mayor paralafuncin objetivo. Seprocedecomoenel problemadePL, oseamoviendoel contorno de la funcin objetivo cuesta arriba (dado que estamos trabajando con un modelo para maximizar) hasta que ya no sea posible hacerlo ms sin abandonar el conjunto factible.Grafico N 2Fuente: Elaboracin propia Podemos observar que la solucin optima de PLE es el punto E = 6, F = 3. Y como la funcin objetivo es 18E + 6F, la solucin obtenida para sta es un valor optimo de 18(6) + 6(3) = 126. Aqu tambinseilustranalgunoshechosenrelacinconla aproximacin de la PL. La solucin optima con la aproximacin de la PL ocurre en la interseccin de las rectas 42,8E + 100F = 800y20E+6F=142. Puestoquelainterseccindelasdos restriccionesnosepresentaenunpuntoentero, lasolucin ptima de la aproximacin con la PL no es factible para la PLE.E* = 5.28 y F* = 5.74 con valor optimo (Vo) Vo = 129.48. Al agregar cualquier restriccin o un problema de programacin matemtica no puede mejorar, y s empeorar, el valor optimo de la funcin objetivo.Por lo tanto, nuestro valor ptimo disminuye sumando las restricciones de enteros.Comentarios1.- Enunproblemademaximizacin,el valor ptimodela aproximacin PL produce siempre una cota superior para el valor ptimo del PLE o PLEMoriginal. Si se agregan restriccionesdeenterosel valor optimodelaPL, obien empeorar, o bien quedar igual. En un problema de maximizacin, empeorar el valor ptimo significa desminuirlo.2.- En un problema de minimizacin, el valor ptimo de la aproximacin de PL siempre proporciona una cota inferior para el valor ptimo de la PLE o PLEM original. Nuevamente, el agregado de restricciones enterao bien empeora o bien deja igualelvalor ptimo de la PL. En un problema de minimizacin, empeorar el valor ptimo significa aumentarlo.Soluciones redondeadas Observamos que la solucin ptima de la aproximacin de PL es E* = 5.28 y F* = 5.74. Cada una de esas variables puede ser redondeada al entero superior o inferior, con lo que resultarn cuatro soluciones redondas [(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)] vecinas a la solucin optima de la aproximacin de PL. El hechogeneral esquecondosvariablesdedecisinhay cuatro soluciones vecinas redondeadas; connvariable de decisin habr 2n de tales puntos. Dificultades potenciales que pueden surgir cuando se usan soluciones redondeadas. Como vimos al resolver la aproximacin de PL para redondear cada variable al entero ms prximo, obtenemos (5,6), que es infactible. En este caso, (5,5) es elnico punto factible que se puede obtener redondeando (5.28, 5.74). Las dems soluciones, (5,6), (6,6) y (6,5) son infactibles todas.Aqu hay dos hechos importantes.1.- Una solucin redondeada no es necesariamente ptima. En este caso, el valor de la funcin objetivo en la nica solucin redondeada factible es18(5) + 6(5) = 120Comparando este con el valor optimo 126 de la PLE. Entonces vemos que se produjo una prdida relativa de 6/126, casi del 5%, el usar la solucin redondeada en lugar de la optima.2.- Una solucin redondeada no necesariamente est cerca de la solucin de PE ptima.Setienelaideaintuitivadequeauncuandounasolucin redondeada no sea optima, deba estar cerca de la solucin PE optima.En nuestro ejemplo solo cuatro puntos del conjunto factible [(3,6), (4,6), (3,5) y(4,5)]estnmslejosdelasolucin optima que la solucin redondeada.Ejemplo N 2: Solucin Entera Aqu la regin factible es la regin sombreada da el conjunto factible de la aproximacin de PL, los puntos son los enteros y el puntoencerradoenuncirculoeslanicasolucinfactibledela PLE.La solucin optima es la aproximacin de PL se indica como el vrtice del conjunto factible en forma de cua.Si comenzramos con la solucin optima de la PL [aproximadamente(3.3,4.7)]y redondesemos despus esto a cualquiera de los cuatro puntos enteros vecinos, obtendramos un punto no factible. Para este ejemplo,ningn redondeo produce factibilidad.Vemos que este procedimiento puede producir ciertos problemas:1.- Puede ser que ninguno de los puntos enteros prximos sea factible.2.- Aun cuando uno o ms de los puntos enteros prximos sean factibles.a) No necesariamente sern ptimos para la PE.b) No necesariamente estarn cerca de la solucin ptima de PE.EnumeracinQuizs con elejemplo dado quede la impresin de que es posible realizar laenumeracin detodaslassolucionesfactibles. Por desgracia, la enumeracin completa no es una forma razonable de resolucin para la mayora de la PLE. Por ejemplo, supngase quetenemosunPLEconuncentenardevariables0-1, eneste caso los puntos factibles son 2100 = 1.27x103 puntos.Aplicaciones a la variable 0-1Las variables binarias o 0-1 juegan un importante papel en la aplicacin de las PLE y de la PLEM. Estas variables hacen posible incorporar decisionesdesi ono, llamadasavecesdecisiones dicotmicas, el formato de una programacin matemtica.Dos ejemplos ilustran lo que decimos:1.- En un problema de ubicacin de una planta pondremos Xj = 1sidecidimos ubicar la planta en la localidad jy Xj= 0si decidimos no hacerlo.2.- En un problema de asignacin de rutas escribimos Xijk = 1 si el camin k va de la ciudad i a la ciudad j o Xijk = 0 si no lo hace.Ejemplo N 3: Problema de Presupuesto de Capital de la ProtracUna decisin sobre expansin. Muchas firmas toman decisiones sobre inversionesanuales de capital. En forma simple, las decisiones sobre presupuestos del capital es cuestin de escoger entre n alternativas para maximizar el rdito, con sujecin a restricciones sobre el monto del capital invertido a plazos.Como ejemplo, supngase que la mesa de directores de la Protrac afronta el problema que se resume a continuacinAlternativa (j)Valor Actualdel Rdito netoCapital requerido en el ao i para la alternativa j1 2 3 4 5Expansin de la planta en Blgica40 10 5 20 10 0Expansion de la cap. de maq. pq. en E.U.70 30 20 10 10 10Establecimiento de una nueva planta en Chile80 10 20 27 20 10Expansin de la cap. de maq. gr. en E.U.100 20 10 40 20 20Capital disponible en el ao ibi 50 45 70 40 30Las cantidades de dlares estn en millares.La mesa directiva ha de elegir una o ms de las alternativas. Si decidenexpandir la planta Belga,el valor actual delreingreso neto para la firma es de $40000. Este proyecto requiere $10000 de capital el primer ao, $5000 el segundo, etc. La mesa directiva ha presupuestado con anterioridad hasta $50000 como inversiones de capital totales para el ao 1, hasta $45000 en el ao 2, etc.Formulacin de un modelo de PLE.Este problema puede ser formulado como modelo de PLE en el que todas las variables son del tipo 0-1. Esto se llama PLE 0-1. Enconcreto, serXi=1si el proyectoseaceptayXi=0si se rechaza. El problema, entonces serMaximizar 40X1 + 70X2 + 80X3 + 100X4 VALOR PRESENTE DE LOS PROYECTOSACEPTADOSSujeto a10X1 + 30X2 + 10X3 +20X4 50 5X1 + 20X2 + 20X3 +10X4 45Capitalrequerido 20X1+ 10X2+ 27X3+ 40X4 70 Capital disponibleen el ao 3en el ao 310X1 + 10X2 + 20X3 + 20X4 40 10X2 + 10X3 + 20X4 30Xi = 0 1 ; i = 1, 2, 3, 4.Aqu lafuncinobjetivoesel valor total actual delosreingresos netos y cada restriccin controla la cantidad de capital que se usar en cada uno de los cinco periodos.Aproximacin de la PL:Uso de Software WinQSBNos acercaremos a este problema resolviendo primero la aproximacin de PL. Resolviendo a travs del programa computacional WinQSB se tiene:VALOR FUNCION OBJETIVO = 200X1 = 0.7222X2 = 0.6389X3 = 0.2778X4 = 1.0417 Aqu hemos pasado por alto las restricciones Xi = 0 o 1. En su lugar agregamos las restricciones Xi 1, i = 1, 2, 3, 4. Por supuesto, en una PL todas las Xi son siempre no negativas. Por lo tanto, en vez de Xi = 0 o 1, tenemos en la aproximacin a Xi restringida en el intervalo (que es 0 Xi 1). Seria deseable que en la solucin optima cada Xi, en forma fortuita, tomase uno u otro de los valores extremos del intervalo admisible (0 o 1) para que la PLE original quedase resuelto. Por desgracia, comosemuestraenlaformulaciny resultado anterior, esto slo sucedi con X4; los valores de X1, X2y X3son fraccionarios. Ya que X3 debe ser igual a 1 si la Protrac establece una planta en Chile y 0 si no, el resultado X3 = 0.33 carece de significado. Al tratar de encontrar una solucin al problema de PLE resolviendo la aproximacin de PL y redondeando despus los resultados no funciona bien. Si redondeamos se produce lo siguienteX1 = 1, X2 = 1, X3 = 0, X4 = 1 y esta es una solucin infactible ya que viola la restriccin 1.Solucin entera pura: Uso de Software winQSBUtilizando el programaWinQSBy usando cdigos de programacin entera se tiene el siguiente resultadoVALOR FUNCION OBJETIVO = 190.0X1 = 1X2 = 1X3 = 1X4 = 0Condiciones lgicasUn importante uso de las variables 0-1 consiste en imponer restriccionesquesurgendecondicioneslgicasveamosalgunos ejemplo.No ms de k de entre n alternativasSupngase Xi = 0 o 1, para i = 1,..,nLa restriccinX1 + X2 + .. + Xn kImplica que cuando mskalternativas denposibilidades pueden ser seleccionadas. Es decir, ya que cada Xipuede ser solamente 0 o 1, la restriccin anterior dice que no ms de k de ellas pueden ser iguales a 1. Supongamos que para el caso de la Protrac, que no ms de un proyecto extranjero ser aceptado.Por esta razn, la mesa directiva quiere descartar una decisin que incluya la expansin en Blgica y una nueva planta en Chile. Agregar la restriccinX1 + X3 1Decisiones dependientesSepuedenusar variables0-1paraforzar unarelacinde dependenciasentredosomasdecisiones. Supongamos, por ejemplo, queel administrador nodeseaelegir laopcinka menos que se elija primero la opcin m.La restriccin Xk Xm(*) Xk Xm 0da vigencia a esta condicin.Ntesequesimnoesseleccionada, entoncesXm=0.La ecuacin (*) obliga entonces a que Xksea iguala cero (o sea que la opcin k no ser seleccionada).Por otra parte, si m es seleccionada, Xm = 1; entonces, por la expresin (*) tendremos que Xk 1. Esto deja al programa en libertad de elegir Xk = 1 o Xk = 0. Por ejemplo, supngase que el administrador de la Protracpiensaque, si vanaexpandirsedentrodelos Estados Unidos, su posicin competitiva implica que definitivamente deben expandir la capacidad en maquinas grandes.Agregando la restriccinX2 X4 0a la PLE se asegura que elmodelo no puede optar por expandir la capacidad en mquinas pequeas a menos quehayaelegidoexpandir lacapacidadenmaquinas grandes. En forma anloga, supngase que la mesa directiva decide: si vamos a expandir nuestra capacidad domestica, debemos expandir ambas lneas. Agregando la restriccinX4 X2 = 0 a la PLE, ya que implica que X4 y X2 deben tener el mismo valor.Restricciones de aportacionesConsidereaunadministrador financieroquetienelas siguientes restricciones(1)Si compra la obligacin j, debe comprar al menos 20 acciones.(2)No puede comprar mas de100acciones de la obligacinj. SeaXjel nmerodeacciones dela obligacin j que compra. La restriccin si se compra j deberncomprarse al menos20acciones se llama cantidadmnimadeaportacin ocantidaddela tanda.Hagamos hincapiqueestetipoderestriccinnose puede construir en un modelo de PL.Larestriccin20 Xj 100nofuncionapuestoque insiste en que Xj debe ser, por lo menos, 20.Queremos que sea o bien Xj= 0 o 20 Xj 100. Para lograr esto necesitamos usar una variable 0-1, digamos yj, para la obligacin j.La variable yj tiene la siguiente interpretacin:Si yj = 1, se comprar la obligacin j.Si yj = 0no se comprar la obligacin j.Considrese ahora las dos restriccionesXj 100yj(**) Xj 20yj(***)Vemos que si yj = 1, entonces (**) y (***) implican que 20 Xj 100.Por otra parte si yj = 0, entonces (**) implica que Xj 0.Las dos desigualdades juntas implican queXj= 0. Entonces, siyj= 1, con lo que se compra j, y 0cuando no, tenemos la condicin apropiada para Xj.Ejemplo N 4 : Problema de ubicacin de los almacenes Steco.Con el objeto de ahorrar capital, la Steco, comerciante al por mayor de acero, alquila sus almacenes regionales. El alquiler mensual del almacn i es Fi. Adems, el almacn i puede manejar un mximo de Ti camiones al mes.Hay cuatro distritos de ventas y la demanda mensual acostumbrada deldistrito jes de djcamiones cargados. Elcosto mediodeenviar uncamindel almacnial distritojesCij. La Steco quiere saber cules almacenes alquilar y cuantos camiones enviar de cada almacn a cada distrito.En la figura siguiente se ilustra una representacin esquemtica del problemaFIGURA N 1Los datos del problema se presentan en la figura siguiente:A1C B3 4 2FATAFBFCTBTCDISTRITOSDEMANDA MENSUALd1d2d3d4ALMACENESCOSTO MENSUAL DEALQUILER DE ALMACENESCAPACIDAD (EN CAMIONESCARGADOS)Tabla N 1: Costos UnitariosAlmacnCosto por camin (Cij)Distrito de ventasCapacidad Mensual(numero decamiones)Costo mensual del alquiler 1 2 3 4A 170 40 70 160 200 7750B 150 195 100 10 250 4000C 100 240 140 60 300 5500Demanda mensual (camiones cargados)100 90 110 60Fuente: Elaboracin propiaPorejemplo, vemosenlatablaquealquilarel almacnA cuesta $7750elmes y que desde lse pueden despachar hasta 200camioneseneselapso.Adems lademandamensual enel distrito de venta 1 es de 100 camiones. Los nmeros del cuerpo de la tabla representan los costos de enviar un camin del almacn i al distrito de ventas j. Por ejemplo, el costo de enviar un camin de B a 3 de $100.Consideraciones sobre la formulacin del modelo Si se que abordan este problema mediante un modelo de programacinmatemtica,sedebe decidir primero cuales variables(si existensetratarancomoenterasycuales(si hay algunas) se tratarn como continuas. La decisin de alquilar o no un almacn en particular parece requerir una variable 0-1, puesto que el costo de alquilar un almacn ino varia con el nivel de la actividad (por ejemplo, con el numero de camiones enviados desde l)yi = 1 si se alquila el almacn iyi = 0 si no En primera instancia parece adecuado considerar el nmero de camiones enviados del almacn al distrito como una variable entera. Hay variosfactoresqueindicanconsiderar el numerode camiones como una variable continua, a saber:1.- Este es un modelo de planeacin, no un sistema detallado de operacin. En este caso, elnmero decamionesqueindiquelasolucindenuestro problema de programacin matemtica que vayan del almacn i al distrito j es slo una aproximacin de lo que realmente ocurra en un da dado.2.- Considerar el nmero de camiones como variable enteraharael problemamuchoms difcil de resolver.3.- Claro estque cuesta muchomsel alquiler de un almacn que elenvi de un camin desde el almacn al distrito de ventas. La magnitud relativa de estos costos implica otra vez que es relativamente ms importante la decisin de alquilar o no alquilar considerada como variable entera, en oposicin a lo de los camiones.Un modelo de PLEMPara elaborar el modelo del problema de la Steco, hagamosyi = 1 si se alquila el almacn iyi = 0 si no se alquila el almacn ii = A, B, C.Xij = numero de camiones enviados del almacn i al distrito ji = A, B, C ; j = 1,.., 4.Construyamos ahora el modelo mediante el desarrollo de cada una de sus partes.Para empezar, la funcin objetivoLa expresin 170XA1+40XA2+70XA3+160XA4+150XB1+195XB2+ 100XB3+ 10XB4+ 100XC1+ 240XC2+ 140XC3+ 60XC4es el costo total asociado a los camiones y 7750yA + 4000yB + 5500yC es el costo de los alquileres.Por lo tanto, la funcin objetivo es Minimizar 7750yA + 4000yB + 5500yC + 170XA1 + ..+ 60XC4.Consideremosahoralasrestricciones. Sedebetomar encuenta tanto la demanda como la capacidad.Para el distrito de venta 1XA1 + XB1 + XC1 = 100Para el distrito de venta 2XA2 + XB2 + XC2 = 90Para el distrito de venta 3XA3 + XB3 + XC3 = 110Para el distrito de venta 4XA4 + XB4 + XC4 = 60La restriccinXA1 + XA2 + XA3 + XA4200 yAOXA1 + XA2 + XA3 + XA4 - 200 yA 0Cumple dos propsitos. Garantiza que la capacidad del almacn A no ser excedida y obliga a alquilar el almacn A si se quiere enviar algo de l.Las dems restricciones sonXB1 + XB2 + XB3 + XB4250 yBXC1 + XC2 + XC3 + XC4300 yCAnlisis de la salida computadaModelo finalMinimizar 7750yA + 4000yB + 5500yC + 170XA1 + 40XA2 + 70XA3 + 160XA4+ 150XB1+ 195XB2+ 100XB3+ 10XB4 + 100XC1 + 240XC2 + 140XC3 + 60XC4.Sujeto a2.- XA1 + XB1 + XC1 = 1003.- XA2 + XB2 + XC2 = 904.- XA3 + XB3 + XC3 = 1105.- XA4 + XB4 + XC4 = 606.- - 200 yA + XA1 + XA2 + XA3 + XA407.- - 250 yB + XB1 + XB2 + XB3 + XB408.- - 300 yC + XC1 + XC2 + XC3 + XC40yi 1 i = A, B, CVARIABLES ENTERAS= 3Demanda en 1Restriccin de la oferta del almacn AEsto significa que las tres primeras variables de la funcin objetivo (YA, YB, YC) tienen valores 0 o 1.VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO = 38150VARIABLES VALOR VARIABLE VALORYA1.00 XB10.00YB0.00 XB20.00YC1.00 XB30.00XA10.00 XB40.00XA290.00 XC1100.00XA3110.00 XC20.00XA40.00 XC30.00XC460.00Una rpida observacin al resultado muestra que los valores ptimos de todas las asignaciones de camiones son nmeros enteros, aun cuando habamos decidido en la formulacin dejar que las variables fuesen continuas.Fue una simple coincidencia?NO. La razn es que se empez con un problema de ubicacin de almacenes.Y una vez quesedecidi qu almacn alquilar, el problemadeencontrar laasignacinptimadelos camionesesunaPLllamadoproblemadetransporte. Comoya vimos cuando se estudio el mtodo de transporte, que si la oferta disponibleencadaalmacnylademandadecadadistritoson enteros, entonceslasolucinoptimadel problemadetransporte ser entera.MORALEJA: NUNCAPAGUESPORUNAMERCANCIA GRATUITAMinimizar 7750A + 4000B + 5500C + 170D +40E + 70F + 160G + 150H + 195I + 100J + 10K + 100L + 240M + 140N + 60P(2) D + H + L = 100(3) E + I + M = 900(4) F + J + N =110(5) G + K + P = 60(6) -200A + D + E + F + G 0(7) -250B + H + I + J + K 0(8) -300C + L + M + N + P 0(9) A 1(10) B 1(11) C 1Mtodos de programacin enteraLosmtodosdeprogramacinenterasepuedenclasificar como(11mtodos de corte(11mtodos de bsquedaLosmtodosdecorte,quesedesarrollanprincipalmente para problemaslinealesenteros, comienzan con el ptimo continuo. Sumando sistemticamente restriccionessecundarias especiales, querepresentanbsicamentecondicionesnecesarias deintegridad, el espaciodesolucionescontinuosemodificade manera gradual hasta que su punto extremo optimo continuo satisface las condiciones enteras.Losmtodosde bsquedase originan a partir de la idea directadeenumerar todoslospuntosenterosfactibles. Laidea bsicaesladedesarrollarpruebassutilesqueconsiderensolo una (pequea) porcin delos enteros factibles enforma explicita pero que tomen en cuenta automticamente los puntos restantes de manera implcita. El mtodo de bsqueda ms sobresaliente es la tcnica de ramificar y acotar. Tambin comienza con eloptimo continuo, peroparte sistemticamenteel espaciodesoluciones ensubproblemassuprimiendopartes quenocontenganpuntos enteros factibles.Uncasoespecial delosmtodosdebsquedaseaplica cuandotodaslasvariablesenterassonbinarias.Lapropiedad binaria de las variables simplifica mucho el procedimiento de bsqueda.Algoritmo de bifurcacin y acotamientoEnfoque general El tratamiento de bifurcacin y acotamiento es en la actualidad el mtodo de propsitos generales ms eficiente para resolver problemas de PLE y PLEM. En realidad, el algoritmo de bifurcacin y acotamiento no es un algoritmo especfico diseado para resolver un problema concreto. Ms bien es un enfoque general del problema por resolver, un tratamiento que debe ser adaptado al escenario especifico. La idea general es hacer una particin del conjunto de soluciones factiblesdeun problema dadoen subconjuntos menores que no se traslapen. Entonces, se calculan lmites para el valor de la mejor solucin. Despus, el algoritmo de bifurcacin y acotamiento con destreza nos permite eliminar del anlisis ciertos subconjuntos. Deestamaneraseenumeraparcialmenteentretodaslas soluciones factibles existentes.EJEMPLO DE PLEComencemos con un problema especifico, el cual llamaremos (P1)Paso 1Elprimer paso consiste en resolver la aproximacin de PL del (P1). Si lasuertenosacompaa, obtendremosdirectamente una solucin ptima, ya que siempre ser cierto que si la solucin de la aproximacin de PL satisface la restriccin de enteros, ser la solucin optima.Usando la tcnica de resolucin grafica para la aproximacin de la (P1).Maximizar X1 +5X2Sujeto a 11X1 +6X266 5X1 + 50X2 225X1, X2 0 enteros(P1) En la figura podemos ver el conjunto factible de dicha aproximacin. Los puntos negros son los que satisfacen la condicin de enteros. (hay 27 de dichos puntos). La solucin aproximada es X1* = 3.750 X2* = 4.125Funcin objetivo = 24.375Como estos valores no son enteros no se ha resuelto (P1). Solo tenemos alguna informacin(11Elvalor ptimo de PL es una cota superiorpara el (P1). Llamemos U a esta cota.Sabemos entonces que:Vo para (P1) 3.75 + 5(4.125) = 24.375 = U(11Si tomamos la solucin ptima de PL y redondeamos aX1=3,X2=4obtendremosunasolucinfactible del problema(P1). Si evaluamosahoralafuncinobjetivo paraestepunto(oparacualquier otropuntofactible). Tendremos unacota inferiordel valor ptimo del problema (P1).Llamemos F a ese valor. Por lo tantoValor optimo (P1) 3 + 5(4) = 23 = FElvalor de Fpuede ser o no elvalor optimo delproblema (P1). No se puede decir por ahora. Lo que sabemos es que 23 Vo 24.375. Tenemos quedescubrir si sepuedehallar una solucin mejor. Para hacerlo bifurquemos. La informacin relativa a la resolucin bifurcacin y acotamiento sesintetizaen suformatpica enundiagramade rbol. El primer nodo es Mejor cota superior actual (MCSA) = 24.375Mejor cota inferior actual (MCIA) = 23.000Numero de nodoPASO 2Procedemos a dividir el problema(P1) endos mascortos. En este caso, bifurquemosX1. sta es una eleccin arbitraria. El procesodebifurcacinaprovechalacircunstanciadequeenla solucin optima del problema (P1), o bien X1 3 o bien X1 4.Por qu es cierto esto?Por que no hay valores enteros en la regin que se elimina al obligar a X1 que sea 3 o 4. YdadoqueX1debeser entero, nohabremoseliminado ningn punto del conjunto factible del problema (P1). No obstante, habremos eliminado puntos (o sea, valores no enteros) del conjunto factible por aproximacin de PL del problema. En realidad, vemos que el valor optimo de X1, en el problema aproximado de (P1), no es ni 3ni 4y, por lo tanto, el punto optimo actual ha sido (intencionalmente eliminado mediante el proceso de ramificacin). Este proceso crea dos nuevos problemas.U = 24.375F = 23.000X1* = 3.75X2* = 4.1251Maximizar X1 +5X2Sujeto a 11X1 +6X266 5X1 + 50X2 225X13 X1, X2 0 enteros(P2)Maximizar X1 +5X2Sujeto a 11X1 +6X2665X1 + 50X2 225X14 X1, X2 0 enteros(P3)Esta figura revela dos hechos interesantes1.- Hemos partido en dos piezas el conjunto factible de (P1) y eliminadounareginquenocontienepuntosenteros. (La regin eliminada esta diagonalizada. Las rectas de acotamiento no pertenecen a la regin eliminada).2.- Todas las soluciones enteras factibles de (P1) estn contenidasahoraobienen(P2) oen(P3). Dadoquelas funcionesobjetivosde(P1), (P2) y(P3) sonidnticas, se sigue que la solucin ptima de (P2) o la de (P3) deben ser la solucin ptima de (P1), elproblema originalde la PLE. Entonces podemos olvidar (P1) y considerar solamente (P2) y (P3).El tratamiento de bifurcacin y acotamiento procede a resolver lasaproximacionesdelosproblemas(P2) y(P3). Las soluciones ptimas son:(P2) (P3)U = 24.00 U = 22.333Ya indicamos que la solucin optima de (P1) est en (P2) o en (P3); as es que el valor ptimo de (P1) debe ser al mximo de los valores de U proporcionados por estos dos nodos. Y ya que elnodo 2produce un U = 24y el nodo 3un U = 22.333nuestra mejor cota actual es 24.00Dadoqueni el nodo2ni el3tienensolucinentera, no hemos obtenido una nueva solucin factible.Para decidir qu haremos en seguida consideremos los nodos del pie de nuestro rbol, en este caso los nodos 2 y 3.Observemos que la cota superior del nodo 3 es 22.333 y que el valor actual de la MCIA es 23.00. Por lo tanto, hemos encontrado ya una mejor solucin que la que hubiramos podido obtener en el conjunto factible para (P3). Por lo tanto, podemos ignorar a (P3) y concentrar nuestros esfuerzos en (P2).Para continuar consideremos ahora (P2). Todava no conocemos la solucin optima de (P2), ya que an no tenemos un U = 24.375F = 23.00X1* = 3.75X2* = 4.1251U = 22.33X1* = 4.00X2* = 3.6673U = 24.00X1* = 3.00X2* = 4.202MCSA = 24.00MCIA = 23.00X1 3 X1 4TFIGURA # 3valor entero para X2*, lo abordaremos con elmtodo rama-limite, por lo que debemos ramificar otra vez. La variable X1 es entera en la solucin ptima del problema (P2). Por lo tanto, debemos ramificar a X2, lo que haremos usando las restricciones X2 4 o X2 5. Al hacerlo, reemplazaremos el problema (P2) por lo siguiente.Maximizar X1 +5X2Sujeto a 11X1 +6X2665X1 + 50X2 225X1 3X2 4 X1, X2 0 enteros(P4)Maximizar X1 +5X2Sujeto a 11X1 +6X2665X1 + 50X2 225X1 3X2 5 X1, X2 0 enteros(P5)Al comparar las figuras # 2 y # 1 se advierten varios hachos importantes.1.- El problema(P3) seconservasincambios (exactamente como estaba en al figura # 1).2.- No se ha tenido en cuenta un conjunto adicional de puntos no enteros, incluso la solucin ptima de la aproximacin de PL del problema (P2).(La nueva rea eliminada que perteneca al conjunto factible delaaproximacindePLdel problema(P1) tienedoble diagonalizado).3.- El conjunto restringido de la aproximacin de PL del problema (P5) est vaco. No hay puntos que satisfagan las restricciones 5X1 + 50X2 225, X1 0, X2 5. Esto significa tambin que (P5) no tiene solucin factible, por lo que podemosolvidarnosahoradel. (Estoseindicaponiendo una T bajo el nodo correspondiente, en este caso el # 5).Podemos ver aqu que un modelo termina cuando:1.- Su U es MCIA, o2.- Representa un problema infactible.ARBOL COMPLETOAhora, solo necesitamos concentrarnos en el problema (P4) y resolver su aproximacin de PL, como se muestra en la figura 4.Se revela que la solucin optima de sta, en concreto (X1* = 3, X2* = 4), es entera. Esto significa que (X1* = 3, X2* = 4) es la solucin optimade(P4). Por estarazn, (P4) esotronodoterminal de nuestro rbol y en la figura 4 se ha colocado una T bajo ese nodo.Entonces hay una tercera causa de terminacin1.- Su U es MCIA2.- Representa un problema infactible, o3.- La aproximacin de PL produce una solucin para el problema entero representado por ese nodo.U = 24.375F = 23.00X1* = 3.75X2* = 4.1251U = 22.33X1* = 4.00X2* = 3.6673U = 24.00X1* = 3.00X2* = 4.202MCSA = 23.00MCIA = 23.00X1 3 X1 4TFIGURA # 4U = 23.00X1* = 3X2* = 44Infactible5TTX2 5X2 4 Observando la figura #4, vemos que el valor de la MCSA ha cambiado del que tena en la figura # 3. La rama del nodo 2 produjo un problema infactible (nodo 5) y un problema con U = 23.00 (nodo 4). De modo que la mejor cota superior actual (MCSA) se reduce de 24.00 a 23.00.En elnodo 4tenemos tambin una solucin entera. Por lo tanto, este punto es una solucin factible del problema (P1). Produce un valor de 23.00 para la funcin objetivo. Como lamejor cota inferior actual es 23.00, no cambiamos la MCIA.En general, cuando han sido terminados todos los nodos, el mtodo de bifurcacin y acotacin estar completado.Problemas para desarrollar1.- Problema de cargo fijoHe sido abordado por tres compaas de telfonosparaquemesuscribaasuservicio de larga distancia. Abell cobrar una tarifa fija de16dlaresal mes, ms0.25centavospor minutos. Bbell cobrar 25 dlares al mes, pero reducirelcostoporminutoa0.21centavos. En cuanto a Cbell, la tarifa mensual fija es de 18dlaresyel costopor minutoesde0.22 centavos. Generalmente hago un promedio de 200 minutos de llamadas de larga distancia al La solucin ptima del problema original (P1) ser la que establezca la MCIA. En este caso, la MCIA es 23.00 y en consecuencia (X1* = 3, X2* = 4)serlasolucinoptimapara el(P1).Alaterminacin, comoenla figura # 4 siempre ser el caso de que MCIA = MCSA.mes. Suponiendo que no pague la tarifa fija, a menos de que haga las llamadas y de que pueda dividir mis llamadas entre las tres compaas, segnme parezca, cmodebo utilizar los servicios de las tres compaas para minimizar mi cuenta mensual de telfono?2.- Problema del vendedor viajeroEl programa de produccin diaria de la compaa Arcoiris incluye lotes de pinturas blanca(B), amarilla(A), roja(R) ynegra(N). Debido a que Arcoiris utiliza las mismas instalaciones para los cuatro tipos de pinturas, es necesaria una limpieza a fondo de los lotes. La siguiente tabla resume el tiempo de limpieza en minutos cuando el color designado en el regln va seguido del color designado en la columna. Por ejemplo, cuando el blanco va seguido por el amarillo,el tiempo de limpieza es de 10 minutos. Debido a que un color no se puede seguir a s mismo, se asigna a las entradas correspondientes un tiempo de preparacin infinito. Determine la secuencia ptima para la produccin diaria de los cuatro colores, que minimizar el tiempo total de limpieza asociada.El tiempo de limpieza dado para la siguiente pintura esPintura actual Blanca Amarilla Negra RojaBlanca 10 17 15Amarilla 20 19 18Negra 50 44 25Roja 45 40 20 3.- Problema de cobertura de conjuntoConel findepromover laseguridaddelos estudiantes, el Departamento de Seguridad de laUniversidaddeAseencuentraenproceso de instalar telfonos de emergencia en ubicaciones selectas dentro de sus instalaciones. El departamentoquiereinstalar un nmero mnimo de telfonos, siempre y cuando cada una de las principales calles del campus cuente por lo menos con un telfono. EnlaFiguraseproporcionael mapadelas principales (A-K) en la universidad.Calle F7Calle HCalle I Calle A Calle BCalle ECalle D1268354Calle CCalle GCalle KCalle JCalle FCAPITULO II : REDES PERT/CPMINTRODUCCINSe han resuelto con xito diversos problemas industriales, y administrativosconlaayudademodelosytcnicascuantitativas loscualesseconocencomoredes. Estosproblemasincluyenla construccin de una presa; la determinacin de la ruta de transporte ms econmica o ms corta entre dos lugares; la construccin de un avin; la planeacin, programacin y control de la construccin de armas militares; la determinacin poltica de flujo mximo y de expansin optima para un sistema de gasoductos; el implante de un nuevo sistema de computacin; y el diseo, introduccin y comercializacin de un producto nuevo. Aqu centraremos el estudio en problemas que pueden clasificarse como administracin de proyectos.PERT: Program Evaluations and Review Technique. (Tcnica de revisin y evaluacin de programas)CPM: Critical Path Method (Mtodo de la ruta critica).Veremos en forma especfica como se utiliza el PERT para determinar:1.- Fecha general esperada de terminacin de un proyecto.2.- Fechas necesarias de inicio o trmino de tareas especificas que conforman un proyecto.3.- Identificar las tareas crticas.Veremos en forma especfica como se utiliza el CPM para Determinar la forma en que puede reducirse el tiempo general de terminacin de un proyecto.ASPECTOS GENERALES PERTPERTsedesarrolloenladcadade1950yseutilizen forma amplia en la administracin de proyectos militares de investigacin y desarrollo.Su primera aplicacin importante fue en elproyecto de los misiles Polaris para la U.S. Navy.El PERT fue desarrollado especficamente por el Departamento de la Defensa de los Estados Unidos de Norteamrica para dar apoyo a la planeacin, programacin y control deunagrancantidaddetrabajos(actividades)asociados con el proyecto.PERT tambin se ha implementado y utilizado en la industria de la construccin, empresas industriales, instalaciones de activos fijos, el diseodeplantas, laplaneacinylaadministracinde programas de investigacin y desarrollo, etc.Una caracterstica principal del PERT es que puede manejar las incertidumbres que existen en los pronsticos de tiempos para determinar diversas tareas.ASPECTOS GENERALES CPMCPMfuedesarrolladoindependientementedePERT, pero est estrechamente relacionado con ste, se refiere bsicamente a los intercambios entreel costodeunproyectoy sufechade terminacin.Se aboca a la reduccin del tiempo necesario parta concluir una tarea o actividad, utilizando ms trabajadores y/o recursos, lo cual, en la mayora de los casos significa mayores costos.Con CPM, se supone que el tiempo necesario para concluir las diversas actividades del proyecto se conoce con certidumbre, al igual que la cantidad de recursos que se utilizan.Al principio ambas tcnicas se utilizan en forma independiente, pero, enlaactualidad, hadesaparecidoengran medida la distincin de uso entre PERT y CPM. La mayora de las versiones computarizadas de las tcnicas incluyen opciones para manejar incertidumbres en los tiempos de las actividades, as como tambin anlisis de intercambios de tiempos y costos. Adems gran parte de la literatura actual se refiere a la tcnica en forma colectiva como PERT/CPM.TERMINOLOGIA PERT/CPMDefinicin de actividades y relacin de procedenciaLa primera parte del proceso PERT/CPM consiste en identificar todas las tareas o actividades asociadas con el proyecto y sus interrelaciones. Veamos un ejemplo, un proyecto de un ajuste general de un motor.Cdigo deactividadDescripcin de la actividad PredecesoresinmediatosA Sacar y desarmar motor ------B Limpiar y pintar la base AC Rebobinar la armadura AD Reemplazar anillos AEEnsamblar e instalar el motor en la base B, C, D.Para elejemplo se requieren de 5 actividades; es evidente que el nmero de actividades variar segn el tipo de proyecto.En cualquier caso, el punto clave es tener, en esta etapa de planeacin, unalistaprecisayexhaustivadeactividades(ylas relaciones correctas de precedencia entre ellas).Adems cabe destacar en elejemplo anterior se tiene una columna de Predecesores inmediatos. Para cada actividad determinada, debenterminarsetodaslasprecedentesinmediatas antes que poder comenzar esa actividad. En el ejemplo, las actividadesB, CyDnopuedencomenzar sinohastaquela actividad A se haya terminado.Estructura de red.Una vez que se ha elaborado una lista completa y precisa de actividadesydesuspredecesoras, esposibleilustrar enforma grafica sus relaciones. Antes del desarrollo de PERT se utilizaban diagramas de barras que fueron diseados por H.L. Gantt, y a los que con frecuencia se denominaba grafica o carta Gantt.EjemploCaractersticas Conceptualmente correcta Poco clara la relacin de precedencia (ejemplo las actividades E y F dependen de B o D? la actividad D depende de que se termine A y C, slo A, solo C o ninguna de ellas?Diagrama de redEjemplo1 3 4 5 2 6 7 8 9ACDEFGHBTIEMPO (SEMANAS)ACTIVIDADESCaractersticasLa red consta de diversoscrculos(1 al 6) e interconectadotes por flechas (A, B, C, D y E). En terminologa de redes, loscrculossedenominannodos, y lasflechasquelos conectan se denominan ramas o arcos. En una red particular como la PERT/CPM, las flechas o ramas representan actividadesy los crculos o nodos se denominan eventos. Las actividades implican tiempo y por lo generalconsumen recursos como mano de obra, material o dinero. Los eventos no consumen ni tiempo ni recursos sino que, mas bien, sirven como puntos de referencia del proyecto y representanlos puntos lgicos deconexinparaasociar las diversas actividades.Si realizamos unacomparacindelacartaGanttylared, vemos claramente que en esta ltima las precedencias estn representadas apropiadamente.Elaboracin de la red(Observando la tabla en que se listan las actividades y sus relacionesdeprecedencia, yel diagramaderedpodemosinferir que su elaboracin es bastante simple. CORRECTO!)No existe procedimiento secreto para elaborar con xito una redadecuada; sinembargo, existendiversasreglasquedeben tomarse en cuenta, al igual que algunas sugerencias que pueden facilitar la tarea de elaborar la red.1.- Antes de que pueda comenzar una actividad, todas las actividades precedentes deben haber terminado.2.- Las flechas indican slo precedencia lgica; ni su longitud ni su direccin tienen significado.3.- Cadaflecha(actividad) debecomenzar yterminar enun nodo de evento.32 5 64REBOBINAR LAARMADURAFICTICIAENSAMBLARE INSTALAREL MOTOREN LA BASESACARYDESARMAREL MOTORLIMPIARY PINTARBASEDC ABE1FICTICIAReemplazarlos anillos4.- Ningnpar denodosdelaredpuedeestar directamente conectado por ms de una flecha.5.- Cuando se enumeran los nodos es aconsejable, y en particular enunaredgrande, utilizar mltiplosde10para que sea fcil incorporar cualquier cambio o adicionen futuros.6.- Todaslasflechasdelareddebenestar dirigidas, maso menos, de izquierda a derecha.7.- La clasificacin de las actividades no debe ser ms detallado que lo que se requiere para representar un plan de accin lgico y claramente definido.Uno de lo errores comunes que se cometen en la lgica de las redes es colocar las actividades en la red con base en algn sentido del tiempo.Ejemplo (Evolutivo)3 2 47PONER LA DIRECCION ENLOS SOBRESINSERTAR LOSCHEQUES EN LOS SOBRESPONER ENEL CORREOEXAMINAR LAS FACTURASELABORARLOS CHEQUES1COLOCAR LASESTAMPILLAS6 5DIAGRAMA SECUENCIAL DE RED PARA PAGAR FACTURASActividades ficticiasSi observamos el diagrama anterior tenemos dos actividades ficticias, las cuales se representan por flechas punteadas, estas consumen cero tiempo y cero recursos. Se utilizanlasactividadesficticiasparamostrar relacionescorrectas entre actividades y/o para evitar tener que conectar en forma directa dos nodos a travs de ms de una flecha.ANALISIS DE UNA RED PERT/CPMSharp Company.Tiempo esperado 3247PONERDIRECCION ENSOBRESINSERTAR CHEQUES EN SOBRESPONERSOBRE CORREOEXAMINAR LAS FACTURASELABORARCHEQUES1PONERESTAMPILLA65ARTIFICIALARTIFICIAL3 2 4ENSAMBLAR EINSTALAR ELMOTOR EN LABASESACAR YDESARMAR MOTORLIMPIAR Y PINTAR LA BASE1REEMPLAZAR LOS ANILLOSREBOBINAR LA ARMADURA EDCBACdigo de actividadDescripcin de la actividadPredecesoresinmediatospara terminar (semanas)A Disear producto --- 6B Disear el envase --- 2C Ordenar y recibir los materiales para el productoA 3D Ordenar y recibir los materiales para el envaseB 3E Fabricar el productoC 4F Fabricar el envase D 3G Prueba de mercado del productoE 6H Prueba de mercado del envaseF 4I Envasar el producto G, H 1J Entregar a los distribuidoresI 2Clculos bsicos de la programacinUna vez elaborada la red PERT/CPM, puede concentrarse la atencin endeterminarlafecha esperada de terminacin para el proyecto y el programa de actividades.[E][][D][B][A][H][F][G][3][I][]ENTREGA[J][]PRUEBA MERCADO[][C][]2139547 6108DISEARPROD.[CODIGO]DESCRIPCIONENVASARPROD.FABR.ENV.ORD. Y REC.DISEARENVASEFABR.PROD.PRUEBA PROD.ORD. Y REC.DURACIONDijCLAVE:Importancia de conocer la fecha de trmino Competencia entre varias empresas Si se opera en base a incentivos por fecha de trmino.Si sumamos todos los tiempos esperados de las actividades de la tabla, se tiene34semanas como duracin del proyecto.Ruta criticaSecalculaladuracindel proyectodeterminandolaruta crtica (camino crtico) para la red.Todaredtiene dos o ms rutas,una o ms de las cuales sern crticas.Analicemos el caso de la Sharp CompanyLasactividadesA, C, E, G, IyJformanunarutaque conecta los nodos 1, 2, 3, 4, 8, 9 y 10 de la red.LasactividadesB, D, F, H, IyJ, formanunarutaque conecta los nodos 1, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 de la red.Puestoque la terminacindeun proyecto requiere que se terminen todas las rutas de la red, la duracin de la ruta ms larga de la red es la ruta critica.Para el caso de la Sharp Company.La ruta ACEGIJ requiere 22 semanas (RUTA CRITICA)La ruta BDFHIJ requiere 15 semanas.Si sedemoracualquier actividadsobrelarutacritica, se demora el proyecto completo. Por lo tanto, las actividades que se encuentran sobre la ruta critica, se les llama actividades crticas.Cmoreducir el tiempototal del proyecto?enestecaso son 22 semanas.Se deben reducir la duracin de una o ms de las actividades crticas.Veamos en forma general, para cualquier red:(11 Identificar todas las rutas de la red.(11 Calcular la duracin de cada una de ellas.(11Elegir la ruta ms larga (critica).Este procedimiento es muy poco eficiente de analizar una red.Otro mtodo ms eficiente es calcular lmites de tiempo para cada actividad tiempos:1.- Prximos de iniciacin2.- Lejanos de iniciacin3.- Prximos de terminacin4.- Lejanos de terminaciny a partir de estos datos calcular la ruta crtica. Los lmites de los tiempos prximos de iniciacin y prximos determinacinsepuedencalcular haciendounarevisinhacia adelante de la red. Los limites de los tiempos lejanos de iniciacin y de terminacin se determinan utilizando una revisin hacia atrs en la red.Revisin hacia delante:Calculo de los tiempos prximos de iniciacin y prximos de terminacin.Definicin de terminacin y notacin1.- Tiempo prximo de iniciacin:El tiempo prximo de iniciacin de una actividad es el tiempo ms prximo posible en que una actividad puede comenzar, el cual se denotara por ESij donde i y j representan los nodos inicial y final asociados con la actividad.2.- Tiempo prximo de terminacin:El tiempoprximodeterminacinparacadaactividad, el cual se denota porEFij,es el tiempo prximo de iniciacin ms el tiempo que se requiere para completar la actividad.Ejemplo para la actividad A de la Sharp Company.EF12 = ES12 + D12En donde D12 = 6, el tiempo esperado para la actividad. Si el tiempo prximo de la iniciacin de la actividad Aes 0, es decir,ES12= 0, entonces EF12 = 0 + 6 = 6.En la red se utiliza la siguiente clave:En la red se tendra la siguiente apariencia Elprocedimiento normalpara analizar una red consiste en comenzar en el nodo inicial y suponer que se tiene un tiempo inicial de cero. Se supone que todas las actividades comienzan tan pronto como es posible, es decir, tan pronto como han terminado todas las actividades precedentes asociadas. Como en nuestro caso (caso Sharp) las actividades A y B no tiene predecesoras,ES12= 0 y ES15= 0; por lo tanto, sus correspondientes tiempos de terminacin son EF15= 0 + 2 = 2y EF12 = 0 + 6 = 6. Una vez calculado el tiempo prximo de terminacin para la actividad A, puede calcularse el tiempo prximo de iniciacin de la actividad C; la actividad Cno puede comenzar sino hasta que la actividad A ha sido terminada. dem para la actividad D. El tiempo ms prximo de iniciacin de la actividad C, ES23, es igualaltiempo ms prximo de terminacin de la actividad A, que es EF12 = 6. El tiempo mas prximo de terminacin para la actividad C es su tiempo prximo de iniciacin ms su tiempo de duracin, o EF23 = ES23 + D23 = 6 + 3 = 9.[ESij, Dij, EFij]CODIGO DELA ACTIVIDADj i15[B]CODIGO DE LAACTIVIDADTIEMPO MAS PROXIMO DE INICIO[0, 2, 2]TIEMPO DE DURACION DE LAACTIVIDAD TIEMPO MAS PROXIMO DE TRMINO Para la actividad Dlos tiempos prximos de iniciacin y de terminacin sonES56 = EF15 = 2EF56 = ES56 + D56 = 2 + 3 =5Realizamos el anlisis completo hacia adelante. En los casos en que existen varias actividades precediendo a otra, el tiempo ms prximo de iniciacin para esta actividad es igual al mayor de los tiempos prximos de terminacin para todas las actividades precedentes.Revisin hacia atrs:Calculodelostiemposlejanosdeiniciacinylejanosde terminacin.Este anlisis permitir responder preguntas como Cunto puededemorarse cada actividad, si es que es posible? Qu tan tarde puede comenzarse una actividad especfica sin prolongar la duracin total del proyecto?Definicin de trminos y notacin1.- Tiempo ms lejano de iniciacinEl tiempo ms lejano de iniciacin para una actividad, LSij es el tiempomslejano omstardeenel queunaactividad puedecomenzar sindemorar lafechadeterminacindel proyecto.[E][0,6,6][D][B][A][H][F][G][2,3,5][I] [J][6,3,9][19,1,20][C][9,4,13]2139547 6108[8,4,12 ][13,6,19][20,2,22 ][0,2,2][5,3,8]2.- Tiempo ms lejano de terminacinEl tiempo ms lejano de terminacin para una actividad, LFij es el tiempo ms lejano de iniciacin ms el tiempo que dura la actividad DijEn forma simblica, estas relaciones son: LFij = LSij + Dij sin embargo es ms apropiado LSij = LFij Dij.Para nuestro caso (caso Sharp) Para comenzar los clculos, se comienza con el evento final (el nodo10ennuestrocaso) ysefijael tiempomslejanode terminacin para la ltima actividad como el tiempo total de duracin calculado en la revisin hacia adelante, LF9 10 = 22. Debido a que se requieren dos das para terminar la actividad J, el tiempo ms lejano de iniciacin para la actividad J es igual al tiempomslejanodeterminacinmenosel tiempode duracinLS9 10 = LF9 10 D9 10LS9 10 = 22 2 = 20 Para la actividad I, el tiempo ms lejano de terminacin es 20, LF89 = 20 y el tiempo ms lejano de iniciacin esLS89 = LF89 D89LS89 = 20 1 = 19Continuando con el anlisis Si un nodo determinado tiene ms de una actividad que sale del, entoncesel tiempomslejanodeterminacinparacada actividad que entra al nodo es igual al menor valor de los tiempos ms lejanos de iniciacin para todas las actividades que salen del nodo.[E][0,6,6][D][B][A][H][F][G][2,3,5][I] [J][6,3,9][19,1,20][C][9,4,13]2139547 6108[8,4,12 ][13,6,19][20,2,22 ][0,2,2][5,3,8][0,0,6][7,7,9][9,7,12] [12,7,15][15,7,19][19,0,20] [20,0,22][6,0,9] [9,0,13][13,0,19]Tiempo de holgura (flotante)Despus de que se han determinado los lmites de tiempo paratodalared, puededeterminarseel tiempodeholgurapara cada actividad.Se define como tiempo de holgura como lalongitud de tiempo en la que puede demorarse una actividad sin ocasionar que la duracin del proyecto general exceda su tiempo programado de terminacin.La cantidad de tiempo de holgura de una actividad se calcula tomando la diferencia entre sus tiempos ms lejanos de iniciacin y ms prximos de iniciacin, o entre su tiempo ms lejano de terminacin y el tiempo ms prximo de terminacin.En forma de ecuacin:Fij = LSij EsijO Fij = LFij EFijEjemploPara la actividad BF15 = LF15 EF15 = 9 2 = 7O F15 = LS15 ES15 = 7 0 = 7Ejemplo A Genetalized PERT/CPM Implementation in a Spreadsheethttp://archive.ite.journal.informs.org/Vol2No1/Seal/Seal.phpCLAVE:CODIGO DE LAACTIVIDA[ESij, Dij, EFij][LSij, Fij, LFij]PROBLEMAS A DESARROLLAR(Problema N 5 Listado de Problema PERT/CPM)A continuacin se presenta una lista de las actividades implicadas en la construccin de un patio de ladrillo. Desarrolle el diagrama de PERT/CPM adecuado.a.- Pueden comenzar en forma simultnea tres actividades al inicio del proyecto:(1) Cortar tiras de pino para las orillas.(2) Identificar el rea.(3) Traer ladrillos de la banqueta.b.- A la identificacin del rea le siguen dos actividades, en el siguiente orden:(4) Colocar la base de arena.(5) Nivelar y compactar la base de arena.c.- Despus de que se han terminado las actividades (3) y (5),(6) comenzar a colocar ladrillos.d.- Despus de que se ha realizado la actividad (1),(7) hacer un corte tentativo de las tiras de madera de acuerdo con la longitud necesaria.e.- Pueden comenzar dos actividades en forma simultnea despus que se ha terminado la actividad (6):(8) comenzar la alineacin y nivelacin de los ladrillos.(9) terminar con la colocacin de los ladrillos.f.- Despus de que se han realizado tanto (8) como (9), puede llevarse a cabo la actividad (10):(10) terminar la alineacin y nivelacin de los ladrillos.g.- Antes de que pueda comenzar la actividad (11), deben haberse terminado las actividades (7) y (8):(11) Comenzar a afinar las orillas de madera de pino.h.- Antes de la actividad (12), debe haberse terminado la actividad(8) (12) Comenzar allenar dearenalas juntas.i.- La actividad (13) va despus de terminar las actividades (10) y (12):(13) Terminar de llenar de arena las juntas.j.- Despus de terminar las actividades (10) y (11), puede comenzar la actividad (14):(14) Terminar de fijar las tiras de madera.k.- La actividad final puede comenzar despus de que se han terminado (13) y (14):(15) Limpiar.(Problema N 9 Listado de Problema PERT/CPM)La tabla P6-9 muestra las actividades, las relaciones de precedencia y los tiempos para un proyecto ampliado para la Randell Company..TABLA P6-9ActividadCdigoPredecesorinmediatoTiempo de laActividad(das)Reunir al equipo para el trabajo A -- 10Utilizar la lnea antigua para inventario B -- 28Medir y trazar la lnea antigua C A 2Desarrollar una lista de materiales D C 1Construir el andamio E D 2Obtener los ductos F D 30Obtener vlvulas G D 45Desactivar la lnea antiguaH B, D 1Quitar la lnea antiguaI E, H 6Prefabricar los nuevos ductos J F 5Colocar las vlvulas K E, G, H 1Colocar los nuevos ductos L I, J 6Soldar los ductos M L 2Conectar las vlvulas N K, M 1Aislar O K, M 4Hacer una prueba de presin P N 1Quitar el andamio Q N, O 1Limpiar y entregar al equipo de operacin R P, Q 1a.- Elabore un diagrama de proyecto de PERT/CPM.b.- Determine la ruta crtica (tiempo del proyecto)c.- Determine el tiempo de holgura para cada una de las actividades que no se encuentran sobre la ruta crtica.(Problema N 11 Listado de Problema PERT/CPM)Dado el diagrama de red de la figura P6-11FIGURA P6-11a.- Identifiquelostiemposms prximosde iniciacin y de terminacin para cada actividad.b.- Identifique la ruta crtica para la red.c.- Cunto tiempo de holgura existe para la actividad J? Para la actividad N?[8][E][2][D][4][3][B][A][6][I][H][F][G][3]4 5 21031678[5][L][7][7][N][2][K][J]91112 [4][3] [4][C][2][Q][M][9]Problema PERT/CPMLatablaresumelasactividadesparareubicar 1700piesdeuna lnea elctrica primaria de 13.8 KW debido al ensanchamiento de la seccin del camino en la cual est instalada la lnea actualmente. Trace el modelo de la red y realice los clculos de ruta crtica.Actividad Descripcin Precedentes(s) inmediato(s)Duracin (das)A Revisin del trabajo - 1B Consejo a clientes de interrupcin temporalA 0.5C Almacenes de requisicin A 1D Reconocimiento del trabajo A 0.5E Obtencin de postes y materiales C,D 3F Distribucin de postes E 3.5G Coordinacin de la ubicacin de los postesD 0.5H Preparacin G 0.5I Cavar agujeros H 3J Preparar y colocar postes F,I 4K Cubrir conductores antiguos F,I 1L Colocar nuevos conductores J,K 2M Instalacin de material restante L 2N Colgamiento del conductor L 2O Poda de rboles D 2P Desenergizacin y conmutacin de lneasB,M,N,O 0.1Q Energizacin y puesta en fase de la nueva lneaP 0.5R Limpieza Q 1S Remocin del conductor anterior Q 1T Remocin de postes anteriores S 2U Devolucin de material a los almacenesI 2RESUMEN DE LOS CALCULOS PERT/CPM1.- Identificar todas las tareas o actividades asociadas con el proyecto.2.- Identificar lasrelacionesdeprecedenciasinmediataspara todas las actividades.3.- Dibujar la red bsica para el proyecto, mostrando todas las relaciones de precedencia.4.- Estimar el tiempo esperado de duracin para cada actividad.5.- Empleando una revisin hacia adelante de la red, calcular el tiempo prximo de iniciacin y el tiempo prximo de terminacin para cada actividad.6.- Utilizando el trmino esperado de terminacin del proyecto, calculadoenlarevisinhaciaadelanteenlared, usar el procedimiento de revisin hacia atrs para calcular el tiempo ms lejano de iniciacin y el tiempo ms lejano de terminacin para cada actividad.7.- Calcular el tiempo de holgura asociado a cada actividad.8.- Identificar la ruta crtica para la red. Las actividades criticas son las que tienen un tiempo holgura de cero.INCERTIDUMBRE EN UNA RED PERT/CPMEstimacin de los tiempos de las actividades Al aplicar PERT/CPM a proyectos de construccin y mantenimiento, es posible contar con estimaciones bastante precisas de los tiempos de las actividades ya que es probable que se disponga de datos histricos y dado que la tecnologa que se utiliza es ms o menos estable. En losproyectos del tipoinvestigaciny desarrollo,enlos que la tecnologacambiacon rapidez y los productos noson comunes, es posible que sea difcil contar con estimaciones precisas de los tiempos de las actividades.Con elfin de tener en cuenta la incertidumbre, las personas que desarrollaron PERT permitieron a los usuarios utilizar tres estimadores para los tiempos de cada una de las actividades:1.- El tiempo ms probable (tm): El tiempo que se requierepara terminar laactividad bajo condiciones normales.2.- El tiempo pesimista (tp):El tiempo mximo que se necesitara para terminar la actividad si se encontraran demoras considerables en el proyecto.3.- El tiempo optimista (to):El tiempomnimoqueserequiereparaterminar la actividad si todo ocurre en forma ideal. Utilizando estas tresestimaciones, puede calcularse un tiempoesperadoparaladuracindeunaactividaddeacuerdo con la siguiente frmula:Veamos que ocurre con eltiempo con el caso Sharp en el cual seproporcionantres estimaciones delos tiempos quese requieren para terminar cada una de las actividades del proyecto.te = 6to + 4tm + tpTABLACdigo de la actividadTiempo optimista(to)Tiempo masprobable(tm)Tiempopesimista(tp)A 3.0 5.5 11.0B 1.0 1.5 5.0C 1.5 3.0 4.5D 1.2 3.2 4.0E 2.0 3.5 8.0F 1.8 2.8 5.0G 3.0 6.5 7.0H 2.0 4.2 5.2I 0.5 0.8 2.3J 0.8 2.1 2.8 Si utilizamos la actividadFcomo ejemplo, estos datos indican que se estima que la actividad fabricar envases requerir entre1.8semanas (estimacin optimista) y5.0semanas (estimacin pesimista), siendo su estimacin ms probable2.8 semanas. El valor que sera probable que ocurriera si la actividad se repitiera varias veces en el tiempo esperado. ComentariosA pesar que en la mayora de las aplicaciones de PERT/CPM, lasactividadesnoserepitenunnmerograndede veces; msbien, por logeneral ocurrensolounavez.tesigue siendo el mejorestimador nico deltiempo que se requiere para una actividad y es el que tradicionalmente se utiliza.te = 6= 3.01.8 + 4(2.8) + 5.0VARIABILIDAD EN LOS TIEMPOS DE LAS ACTIVIDADESSi aplicamos la frmula para te a las tres estimaciones para cada actividad de la tabla anterior, los te resultantes son iguales a losvaloresdetiempoesperadodeterminacin, quevimosal principioen el caso Sharp.Cdigo deactividadTiempoesperadopara terminar(semanas)A 6B 2C 3D 3E 4F 3G 6H 4I 1J 2 Antes de continuar debemos respondernos algunas interrogantesQu se gana al hacer tres estimaciones?Por qunosimplemente estimar los valores esperados y hacer los clculos de PERT/CPM con base en stos?La respuesta es: Se necesita saber qu tan confiables son las estimaciones de los tiempos esperados. Lo cual se puede hacer teniendo las tres estimaciones. Si el tiempo requeridopara terminaruna actividad es muy grande, entonces tendremos menos confianza en el tiempo esperado que si el intervalo fuera menor.Por ejemplo: si las tres estimaciones para la actividad fabricar el producto fueran 2, 3 y 4 en vez de 1.8, 2.8 y 5.0 en ambos casos el tiempo promedio sera 3.0 das; pero en el primer caso tendramos ms confianza en que estas cifras modificadas fueranms precisas puestoquetiene menor variabilidad. Un intervalo amplio de las estimaciones representa una mayor incertidumbre y, por ello, menor confianza en el tiempo esperado que se calcula. A menor confianza, la probabilidad de terminar elproyecto hacia una fecha dada se reduce. Laventajadetener tresestimacionesdetiemposesque puede calcularse la dispersin de los tiempos de las actividades y puede utilizarse esta informacin para evaluar la incertidumbre de que el proyecto se termine de acuerdo con el programa. Se utiliza la varianza como medida para describir la dispersinovariacin delasestimacionesdelostiemposdelas actividades. La formula de la varianza es: Si la aplicamos al caso Sharp se tiene:Cdigo de laactividadVarianzat2A 1.78B 0.44C 0.56D 0.22E 1.00F 0.28G 0.44H 0.28I 0.09J 0.11 A partir de estos datos, se tiene, que la actividad A tiene un mayor grado de incertidumbre que la J. (1.78 comprada con 0.11).Varianza de lostiempos de actividad= t2 = (tp to) 236Variabilidad en la fecha de terminacin del proyecto. Al calcular la ruta critica se utilizaron los tiempos esperados de duracin para los tiempos de las actividades; lo que se obtuvo fue una duracin esperada para el proyecto. Como es probable que cada actividad vare en duracin en vez de ser fija. El tiempo de terminacin del proyecto ser variable, y en particular si existen variaciones considerables en las actividades de la ruta critica. Es probable que el tiempo de duracin delproyecto vare positivamente como negativamente. La influencia en el tiempo de duracin del proyecto no solo es de las actividades de la ruta crtica, sino que se puede generar otra ruta crtica debido a la variabilidad de las actividades. Puesto que la varianza de una actividad da una medida de la variacin en la incertidumbre, puede utilizarse para calcular la variacin total en el tiempo esperado del trmino del proyecto. Al calcular el tiempo esperado de terminacin del proyecto, se toman las varianzas (t2), de las actividades que forman la ruta critica. Al igual queconunacalcular lavarianzadel tiempode terminacin del proyecto (t2) simplemente se suman las varianzas (t2) de las actividades que forman la ruta critica. Caso Sharp: recordemos que la ruta crtica era la que inclua lasactividadesA, C, E, G, IyJ, conuntiempoesperadode terminacin de 22 semanas. La varianza del proyecto es:2 = tA2 + tC2 + tE2 + tG2 + tI2 + tJ22 = 1.78 + 0.56 + 1.00 + 0.44 + 0.09 + 0.112 = 3.98 semanas Sabemos de la estadstica bsica que la desviacin estndar es igual a la raz cuadrada de la varianza ; por tanto, la desviacin estndar para la terminacin del proyecto es= (2)1/2 = (3.98)1/2 2 semanas En estadstica, se sabe que los tiempos de terminacin de un proyecto no estn descritos por una distribucin beta sino que siguenunadistribucinaproximadamentenormal oenformade campana. (En el desarrollo del PERT se utilizaron una distribucin beta para describir las variaciones en los tiempos de actividades) Si hacemos una grafica se tiene. Utilizando la distribucin normal podemos hacer planteamientos de probabilidades con respecto a fecha de trmino del proyecto; dadaunafechaespecificadeterminacin, puede calcularselaprobabilidaddequeel proyectosetermineenesa fecha o antes. Ejemplosedeseasabercul eslaprobabilidaddequeel proyecto termine antes de 6 meses (26 semanas).Primero.-Convertir 26 semanas a un valor de Z. (X = 26, = 22 y = 2)

Segundo.-Conel valorZ=2yunatabladedistribucinnormal, se encuentra que la probabilidad asociada es0.9772. La probabilidad de que el proyecto se termine en 26 semanas o menos es0.9772; por tanto, se puede tener bastante confianzaenqueel proyectopuedaterminarsehaciaesa fecha.Z = Z = 2= 226 22X - PROBLEMAS A DESARROLLAR(Problema N 12 Listado de Problema PERT/CPM)Un proyecto pequeo est compuesto por siete actividades, cuyas estimaciones de tiempo se listan en la tabla P6-12. Las relaciones deprecedenciaentrelasactividadesseidentificancomenzando con los nmeros de nodo (i) y terminando con (j).TABLA P6-12a.- Dibuje la red de proyecto PERT/CPM apropiada.b.- Calcule los tiempos de ocurrencia prximos y lejanos paracadanodo. Cul esladuracinesperadadel proyecto?c.- Calcule la holgura para cada actividad.d.- Cul eslaprobabilidaddeterminar el proyecto3 semanas despus del tiempo estimado para el proyecto?Nodo Duracin estimada (semanas)Actividadi j OptimistaMs probable PesimistaA 1 2 1 1 7B 1 3 1 4 7C 1 4 2 2 8D 2 5 1 1 1E 3 5 2 5 14F 4 6 2 5 8G 5 6 3 6 15Problema PERT/CPMLasactividadesdereubicar unalneaelctricaprimariadebidoal ensanchamiento de la seccin del camino en la cual est instalada la lnea actualmente.a) Desarrolle el Diagrama de red correspondienteb) Determine los tiempos ms prximos de inicio y de trmino para cada actividad.c) Cul es el tiempo de termino del proyecto?d) Cules la probabilidad que elproyecto se termine en 23 das?e) Indique claramente la ruta crtica.f) Cul es la holgura de las actividades G y P?g) Si la actividad K se demora 5 das en terminar qu ocurre con el tiempo de termino del proyecto.Actividad Descripcin Precedentes(s) inmediato(s)Tiempo optimista (das)Tiempo ms probable (das)Tiempo pesimista (das)Tiempo estimado(te)A Revisin del trabajo - 0.4 1.1 1.7B Consejo a clientes de interrupcin temporalA 0.2 0.55 0.7C Almacenes de requisicin A 0.55 0.95 1.5D Reconocimiento del trabajo A 0.32 0.48 0.9E Obtencin de postes y materialesC,D 2 3.2 4F Distribucin de postes E 3 3.7 4.2G Coordinacin de la ubicacin de los postesD 0.31 0.47 0.8H Preparacin G 0.29 0.53 0.7I Cavar agujeros H 2 2.8 6J Preparar y colocar postes F,I 2.5 3.7 6.8K Cubrir conductores antiguos F,I 0.5 1.1 1.5L Colocar nuevos conductores J,K 1.8 2.1 2.5M Instalacin de material restanteL 1.5 2.3 2.7N Colgamiento del conductor L 1.3 2 2.4O Poda de rboles D 1.5 2.4 2.5P Desenergizacin y conmutacin de lneasB,M,N,O 0.08 0,11 0.12Q Energizacin y puesta en fase de la nueva lneaP 0.3 0.48 0.52R Limpieza Q 0.5 1.1 1.3S Remocin del conductor anteriorQ 0.7 0.9 1.5T Remocin de postes anterioresS 1.8 2.1 2.4U Devolucin de material a los almacenesI 1.9 2 2.4CAPITULO IIIMODELOS DE INVENTARIOINTRODUCCIONA diferencia de los tpicos anteriores, que se orientaron a la tcnica, estesededicaareasdeaplicacin. El tpicodeeste capitulotienequever conmodelosdeinventariobajodemanda determinstica.Una de las primeras aplicaciones de los mtodos cuantitativosalatomadedecisiones gerenciales hansidolos modelos de inventarios. Esto no es sorpresa, pues los inventarios generalmenterepresentanunporcentajeconsiderabledel capital total invertido en una organizacin de negocios, a menudo un 25%.Adems, los inventarios proporcionan la flexibilidad de operacin que asegura que las operaciones de una organizacin se realicen sin obstculos y eficientemente.Con tantos miles de millones de dlares invertidos en inventarioshoyda, el control adecuadoylaadministracinde ellos puede traer ahorros considerables a una compaa o en forma ms global a la economa mundial.El desarrollo del primer modelo de inventario se le acredita a Harris(1915). Raymond(1931) extendi el trabajo de Harris a comienzos de los aos 1930. Desde all, particularmente desde la segundaguerramundial, el desarrollodelateoraymodelosde inventarios ha proliferado a un punto de alto desarrollo. Los modelos deinventarocubrenprcticamentecualquier situacin imaginable de negocios.Las decisiones bsicas de inventario comprenden:Cuntas unidades se deben pedir?Cundo se debe pedir?Enestecapituloveremos cmosepuedendesarrollar y utilizar modelos cuantitativos para la toma de decisiones.LA FUNCIN DE INVENTARIOSLos inventarios pueden definirse ampliamente como la cantidad de artculos, mercancas y otros recursos econmicos que son almacenados o se mantienen inactivos en un instante de tiempo dado.Los recursos econmicos varan en cantidad con eltiempo enrespuestaal procesodedemandaqueoperaparareducir el nivel de inventario y el proceso de abastecimiento que opera para elevarlo.Normalmentelademandaesunavariablenocontrolable, pero la magnitud y frecuencia del abastecimiento es controlable.Los inventarios por ejemplo, pueden comprender:1) Inventarios de materias primas: son materias que esperan para ser utilizadas en la produccin de artculos.2) Inventario de trabajo en proceso:productos semi terminados o productos en proceso almacenados temporalmente durante el proceso de produccin.3) Inventario de productos terminados:productos terminados que esperan embarque desde la fabrica, distribuidores al por mayor o detallistas.Parailustrar lasfuncionesdel inventario, consideremosel sistema produccin-distribucin. Aqu, los inventarios existen continuamenteenel sistemacompleto, llenandoalgunasdelas siguientes funciones bsicas.1. Inventarios en Trnsito o de Conducto.Estos inventarios estn formados por suministros para cubrir retardos en el manejo y el trnsito.2. Inventario Ciclo o de Tamao de Lote.Estos son inventarios que pedimos en tamao de lote porque es ms econmico hacerlo as que pedirlo cuando sea necesario satisfacer la demanda.3. Inventarios de Amortiguacin (material de seguridad)Estos son inventarios para prevenir faltantes debido a fluctuaciones inciertas de la demanda.4. Inventarios de Desacople.Estos inventarios tienen como funcin desacoplar operaciones, por ejemplo, en el sistema completo produccin-distribucin. Esto permite que las diversas actividades de produccin operen ms independientemente, sin tener que confiar completamente en la programacin de salida de actividades previas en el proceso de produccin.5. Inventarios Estacinales.Los inventarios utilizados con este fin se disean para cumplir ms econmicamente la demanda estacional variando los niveles de produccin para satisfacer fluctuaciones en la demanda.Losinventariostambinsepuedenutilizarconotrosfines. Por ejemplo, los inventarios envitrinasirvencomoinstrumento promocional. Los inventarios de materias primas y productos terminados se acumulan frecuentemente para prevenir incrementos de precios, inflacin y huelgas. Los inventarios sirven para suavizar irregularidades en la demanda.El solo hecho de que estos inventarios cumplen esas funcionesimplicaquesondegranvalor paralaadministracin. Necesariamente no necesitan minimizarse. Las organizaciones que mantienen niveles de inventario mnimos, pueden incurrir en costos de produccin y distribucin extremadamente altos.Se requiere determinar niveles ptimos de inventario en una situacin dada. Esto requiere balancear un conjunto de costosquesubenconlosnivelesaltosdeinventarioscontraun conjunto de costos, que bajan con niveles altos de inventarios.DECISIONES BSICAS EN INVENTARIOSLas decisiones bsicas en inventarios (variables de decisin) de cada problema de inventario son las siguientes:1. Qu cantidad se debe pedir?2. Cundo se debe pedir?El gerente se enfrenta a un compromiso, l deseara producir en grandes lotes para minimizar el costo de produccin y por otro le gustara tener el menor inventario para minimizar costos.CARACTERISTICAS DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOAqu describimos las caractersticas de un sistema de inventarios.Costos de InventarioEl criterio usual considerado en un anlisis de inventarios (es decir, cunto y cundo pedir es la minimizacin de una funcin de costo que balancea los costos de (1)pedido (2)mantenimiento y (3) quedarse corto de inventario.Costo de Pedir (o alistar)Loscostosdepedir (oalistarsi seproduceencasa)son todos los costos incrementales asociados con el reabastecimiento del inventario. Estos costos varan con el nmero de pedidos colocados. Estos costos tpicos que ocurren cada vez que se coloca un pedido comprenden los costos de requisicin, los costos de emitir y seguir la orden de compras, los costos de inspeccin al recibir ycolocar losartculoseninventario, pagoal proveedor, costos contables y costos administrativos tales como suministros y papeleras, etc.Los salarios de los individuos involucrados en tales actividades constituyen la mayor parte de los costos de pedir.Costos de MantenimientoEstos costos son los asociados con mantener un nivel dado de inventario disponible y vara con el nivel y periodo de tiempo que se mantiene el inventario.Los costos de mantenimientos comprenden:1. Costos de oportunidaden la inversin comprometida en elinventario (basados en costo de capital).2. Costos de almacenamientos(arriendo, calefaccin, refrigeracin, vigilancia, etc.)3. Deterioro del producto u obsolecencia4. Impuestos, depreciacin y seguros.Los costos de mantenimiento se expresan como el costo en dlares de mantener 1 unidad en inventario por unidad de tiempo (usualmente 1 ao).Otra forma es como porcentaje del valor del inventario promedio (es decir, 10% del valor del inventario medio).Costos de quedarse Corto (agotado).Estos sonlos costos depenalizacinenqueseincurre cuando se queda sin la mercadera cuando sta se necesita. Generalmente comprende costos debido a perdidadeclientes, prestigio y perdida potencial de utilidad debido a prdidas en ventas. En el caso en donde la demanda insatisfecha puede satisfacerse en una fecha posterior (por medio de pedidos pospuestos), estos costos generalmente varan directamente con la cantidad faltante y el retardo de tiempo.Precio de CompraEsteparmetroesdeinters especial cuandosepuede asegurar descuentos en cantidades o intervalos de precios, o cuando la produccin en grandes lotes se traduce en la reduccin de costos de produccin. Bajo estas condiciones, la cantidad pedida debe ajustarse para aprovechar estos intervalos de precios.DEMANDAEl patrn de demanda de una mercadera puede ser determinstico o probabilstico. Por determinstico entendemos que las cantidades pedidas sobre los periodos subsiguientes se conocen con certeza. La demanda sobre periodos iguales de tiempo puede ser constante o puede variar as, como tambin ser determinstica. Estos dos casos se denominan demanda esttica y dinmica, respectivamente.La demanda probabilstica ocurre cuando la demanda sobre un periodo dado de tiempo es incierta, pero puede describirse en trminos de una distribucin de probabilidad. Anlogas a las demandas estticas y dinmicas en el caso determinstico, la distribucin de probabilidad puede ser estacionaria o no estacionaria sobre el tiempo.La demanda para un periodo de tiempo dado puede satisfacerse instantneamente al principio del periodo o uniformemente durante el periodo. Como ustedes lo vern las demandas instantneas y uniformes afectan los niveles de inventarios y los costos de mantenimiento del inventario.Ciclo de PedidoUnciclodepedidoseidentificapor el periododetiempo entre la colocacin de dos pedidos sucesivos. Este puede iniciarse como sigue:1. Revisin Continua.El registro de nivel de inventario se monitorea continuamente hasta que se alcanza un punto de disparo (o de nuevo pedido) especificado en donde se coloca un nuevo pedido. A esto se le conoce como el sistemas de dos cajones.Este nombre se deriva del hecho de que el monitoreo continuo puede efectuarse utilizando dos cajones para el inventario. Losartculosseretiransolamentede uno de ellos y cuando ste queda vaco, se coloca un nuevo pedido.2. Revisin PeridicaLos pedidos se colocan a intervalos regulares de tiempo.Tiempos de AnticipacinCuando se coloca un pedido, puede que se reciba inmediatamente o puede que tome algn tiempo antes de que se reciba. El tiempo entre la colocacin y la recepcin se conoce como el tiempo de anticipacin.Reabastecimiento del InventarioEl reabastecimientoactual delamercaderapuedeocurrir instantneamente o uniformemente sobre le tiempo. El reabastecimiento instantneo resulta cuando los artculos se compran a fuentes externas. El reabastecimiento uniforme, usualmente ocurre cuando el artculo es producido localmente dentro de la organizacin.Horizonte de TiempoEl horizonte de tiempo define el periodo sobre el cual el nivel de inventario debe ser controlado. Elhorizonte puede ser finito o infinito dependiendo de la naturaleza de la demanda.Nmero de ArtculosUnsistemadeinventariousualmentecomprendemuchas mercaderas diferentes. Generalmente estas mercaderas compiten por recursostanlimitadoscomoespacioocapital. Cuandoesto sucede, existe interaccin entre los artculos diferentes y los modelos de inventario deben desarrollarse para esta clase de situacin.Los atributos discutidos antes representan los elementos bsicosquesenecesitanconsiderar al modelar situacionesde inventario, siendo la demanda quizs el ms importante.Tambinesvirtualmenteimposibleformular unmodelode inventario generalque tenga en cuenta todas las variaciones que se encuentran en un sistema real de inventarios.Por consiguiente, intentaremos presentar un conjunto de modelos que se han encontrado tiles e ilustrativos de algunos de los diversos tipos de sistemas de inventarios.Los modelos siguientes se discutirn, procediendo del caso ms simple al ms complejo.1. Modelo clsico CEP (no se permiten faltantes).2. Modelo CEP (se permiten faltantes).3. Modelo CEP con descuentos por cantidad.4. Modelo CEP para lotes de produccin: un solo producto.5. Modelo CEP para lotes de produccin: productos mltiples.6. Modelo CEP con restriccin de recursos.CEP: CANTIDAD ECONMICA DE PEDIDO O TAMAO ECONMICO DEL LOTE.MODELO CLASICO DE CANTIDAD ECONMICA DE PEDIDO (CEP).Definicin de trminos usados:Variable Significado Otra Notacin a Tasa de extraccin de artculos, de tipo continua; [unidades/tiempo] DQPedido o (producto) de artculos y todos los artculos llegan a la vez; [unidades]YK Costos de preparacin y son los nicos que se consideran en este modelo, los cuales se cargan al hacer el pedido (o al momento de producir). [$/pedido]CpC Costo de compra (o de produccin) por articulo; [$ / unidad]h Costo de mantener el inventario; [$ / unidad/tiempo]El problema del inventario es determinar la frecuencia con la quedebehacerseunaseriedeproduccinycul debeser el tamaodel lote, de modo que el costo por unidad de tiempo sea mnimo.Nivel deInventario QQ - at0Q