INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

METODOS NUMERICOS

UNIDAD 3METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

INVESTIGACION“SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES:

METODO DE JACOBY”

PROFESOR: ISC.MCA GIL SANTANA ESPARZA

S401

25-042016

NOMBRE DEL ALUMNO: ANEL VERONICA SOSA MEJIA

Fecha de entrega:25/04/2016

Solucio´n de sistemas de ecuaciones lineales: M´etodo de J´acobi

Introducci´on

En esta investigación veremos como se lleva a cabo la solución de una ecuación lineal en forma matricial por el método de jacoby. El cual explicare brevemente y con palabras simples para después analizarlo un poco más detalladamente.

Para ello, lo primero que se debe hacer es saber si la matriz es diagonalmente dominante es decir que las sumas de los números que no estén en la diagonal no sea mayor al numero que pasa por la diagonal en esa línea. Es de mencionar el siguiente teorema: " Si A es estrictamente diagonal dominante, entonces con cualquier elección de la aproximación inicial, el método de Jacobi da una sucesión que converge a la solución única de Ax = b"

Despues usando las formulas correspondientes al método en este caso para el segundo paso que es darle valor inicial a las x que por comodidad se les da cero pero tambien podemos usar esta formula

asi para cada “b” . Enseguida procedemos con la siguiente formula

pero también se puede simplemente despejando la x de forma algebraica.

El tercer paso es encontrar ver si ya llegamos al error que es :

Consiste b´asicamente en obtener una ecuacio´n de recurrencia (matricial en este caso)y proponer un vector solucio´n inicial; posteriormente, se deber´an realizar las iteraciones necesarias hasta que la diferencia entre dos vectores consecutivos cumpla con una tolerancia predefinida.

Por otra parte, resta el hecho de tener que evaluar un criterio de equivalencia el cual, naturalmente, tendra´ caracter vectorial.

Definición del método de Jácobi

Sea el sistema de ecuaciones lineales AX¯ = ¯b, donde A es la matriz de coeficientes, X¯ de inco´gnitas y ¯b el vector de t´erminos independientes

AX¯ = ¯b

En la ecuacio´n 1 se puede sustituir a la matriz A por la suma de dos matrices:

A = D + R

En donde la matriz D es una matriz cuyos elementos son cero excepto los elementos de la diagonal que corresponden a los elementos de la matriz A y R que es una matriz con ceros en la diagonal y sus restantes elementos coindicen con los respectivos de A.

despejar a la inco´gnita de ubicada en la diagonal principal de cada una de las ecuaciones que conforman el sistema, de la siguiente forma:

a

El m´etodo de J´acobi propone que el vector inicial X¯ 0 sea igual a cero. A partir de esta propuesta, el vector siguiente ser´a X¯ 1 = bi , es decir, el elemento independiente entre el coeficiente de la diagonal

iiprincipal para cada ecuacio´n.

Este vector X¯ (1) se sustituye en las ecuaciones 8 obteni´endose el siguiente vector X (2). El proceso se realiza consecutivamente hasta que la norma entre dos vectores consecutivos es menor que cierta tolerancia preestablecida.

La norma θ se calcula como:

Criterio de covergencia

El m´etodo de J´acobi es susceptible de los efectos del pivoteo. En consecuencia, su criterio de con- vergencia lo conforman los criterios de la diagonal pesada, mismo que posee dos condiciones:

1. Condicio´n necesaria: Es condicio´n necesaria que el elemento ubicado en la diagonal principal de cada ecuacio´n sea mayor en valor absoluto que el resto de los elementos de la misma ecuacio´n.

|aii| > |aij| (11)

2. Condicio´n suficiente: Es condicio´n suficiente que el elemento ubicado en la diagonal principal de cada ecuacio´n sea mayor en valor absoluto que la suma del resto de los elementos de la misma ecuaci´on.

|aii| >

.

|aij|

Ejemplo de aplicación

se observa que los elementos ubicados en la diagonal principal cumplen satisfactoriamente con el criterio de convergencia o diagonal pesada. Dado lo anterior, se resolver´a el sistema utilizando el método de jacoby. Las ecuaciones de recurrencia son:

La primera iteracio´n k = 1 es:

La segunda iteracio´n k = 2 se obtiene sustituyendo al vector X1 () en las ecuaciones de recurrencia .

10X1 +X2 +2X3 = 34X1 +6X2 −X3 = 9

−2X1 +3X2 +8X3 = 51

Se obtiene dividiendo el vector B entre la diagonal de la linea

*Como se pude ver se despeja algebraicamente.

Las sucesivas iteraciones se muestran en los cuadros 1 y 2. Las tolerancias son

calculadas con la NORMA: Se dice entonces que despu´es de trece iteraciones, con una tolerancia = 0,000007, el vector solucio´n es:

Cuadro 1: Iteraciones 0 a 6 por el m´etodo de J´acobi

Cuadro 2: Iteraciones 7 a 12 en el m´etodo de J´acobi

Recurencia son:

La diferencia se presenta en el c´alculo de la iteracio´n x2:

La iteracio´n X (1) se obtiene de la misma forma que la indicada en la primera iteración :K=1

Iteraci´on X(0)X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6)

X1 = 0.30000 -1.12500 -1.11375 -1.06469 -0.98802 -0.99087 -0.99705X2 = 1.50000 2.36250 3.23125 3.11047 3.02393 2.98241 2.99292X3 = 6.37500 5.88750 5.20781 4.88484 4.94240 4.99402 5.00888

Tolerancia 1.73557 1.10310 0.34829 0.12915 0.06631 0.01922

X1 = -1.00107 -1.00063 -1.00011 -0.99991 -0.99996 -1.00000X2 = 2.99951 3.00128 3.00041 2.99997 2.99991 2.99998X3 = 5.00339 4.99992 4.99936 4.99982 5.00003 5.00004

Tolerancia 0.00947 0.00392 0.00116 0.00066 0.00023 0.000007

Repitiendo el proceso consecutivamente, mismo que se presenta en el cuadro 3: Se dice entonces que despu´es de seis iteraciones, con una tolerancia = 6,42839 · 10(−5), el vector solucio´n es:

Cuadro 3: Iteraciones por el m´etodo de J´acobi

Iteraci´on X(0)X(1) X(2) X(3) X(4) X(5)

X1 0.30000 -1.125 -1.0015625 -0.999329427 -1.000057753 -0.999997259X2 1.50000 3.3125 2.976302083 3.000968967 3.000005882 2.999995399X3 6.37500 4.8515625 5.008496094 4.999804281 4.999983356 5.000002411

Tolerancia 2.763447678 0.391016634 0.026248607 0.00122068 6.42839·10(−5)

Usando la misma formula que despejamos, sustituimos para x2

La tolerancia es calculada por medio de la ecuacio´n norma.

CONCLUSIONES

En este tema que es El método de Jacobi, el algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.Se vio como se soluciona un sistema de ecuaciones usando este método iterativo que es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un problema, muy sencillo pero poco eficaz comparado con Gauss seidel.

Se concluye en dos sentidos diferentes: Primeramente, debe percibirse que el m´etodo de J`acobi es un antecedente del m´etodo de Gauss-Seidel, mismo que lo mejora de forma notable al acelerar su convergencia . En segundo t´ermino, pero no menos importante, estos m´etodos del g´enero de las aproximaciones sucesivas dependen fundamentalmente de su criterio de convergencia. Con esta investigacion se cierra la unidad en la que se vieron los metodos de Jacoby y Gauss-seidel.

Referencias

Rosa Elena Scheid, Francis. Di Constanzo. M´etodos num´ericos. Schaum. 1991. Francis Sheid Rosa Elena Di Costanzo. Métodos Numéricos. McGraw Hill, 1989. R. L. Burden y J. D. Faires. Análisis Numérico. Grupo Editorial Iberoamérica, 1985. Weisstein, Eric W. «Jacobi Method». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram

Research.