Investigación 3 Tipantuña Cristian Nrc 1666
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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS “ESPE” TRABAJO DE INVESTIGACIÓN MÉTODOS NUMÉRICOS NOMBRE: Tipantuña Cristian NRC:1666 Métodos de eliminación: El algoritmo de Thomas El algoritmo de Thomas se utiliza cuando la matriz de los coeficientes del sistema es tridiagonal. En este método se trabaja con las filas en forma similar al método de eliminación de Gauss. Aquí se reemplaza cada fila por una combinación lineal de filas apropiada, de manera que se anulen los elementos de la diagonal inferior y los elementos de la diagonal principal sean unos. Para ello en la primera fila, se dividen los coeficientes por b1 y en las filas subsiguientes, se trabaja de la siguiente manera: Fila i-1: 0 … 0 1 c’i-1 0 0 … 0 d’i-1 Fila i: 0 … 0 ai bi ci 0 … 0 di Se reemplaza la fila i por la combinación lineal fila (i) - ai. fila (i-1), resultando: Nueva fila i: 0 … 0 ai - ai bi- ai c’i-1 ci 0 … 0 di -aid’i-1 Para que el elemento correspondiente a la diagonal principal sea 1, se divide toda la fila por bi- ai c’i-1 Resumiendo, la nueva matriz tendrá por coeficientes: a’i=0, b’i= 1, para cada i,
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Algoritmo de Thomas sistema de ecuaciones
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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS “ESPE”
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
NOMBRE: Tipantuña Cristian
NRC:1666
Métodos de eliminación: El algoritmo de Thomas
El algoritmo de Thomas se utiliza cuando la matriz de los coeficientes del sistema es
tridiagonal.
En este método se trabaja con las filas en forma similar al método de eliminación
de Gauss. Aquí se reemplaza cada fila por una combinación lineal de filas apropiada,
de manera que se anulen los elementos de la diagonal inferior y los elementos de la
diagonal principal sean unos. Para ello en la primera fila, se dividen los coeficientes
por b1 y en las filas subsiguientes, se trabaja de la siguiente manera:
Fila i-1: 0 … 0 1 c’i-1 0 0 … 0 d’i-1
Fila i: 0 … 0 ai bi ci 0 … 0 di
Se reemplaza la fila i por la combinación lineal fila (i) - ai. fila (i-1), resultando:
Nueva fila i: 0 … 0 ai - ai bi- ai c’i-1 ci 0 … 0 di -aid’i-1
Para que el elemento correspondiente a la diagonal principal sea 1, se divide
toda la fila por bi- ai c’i-1
Resumiendo, la nueva matriz tendrá por coeficientes: a’i=0, b’i= 1, para cada i,
Una vez obtenida la matriz triangular superior, que en este caso particular
tiene sólo dos diagonales no nulas, se aplica el algoritmo de sustitución hacia atrás:
xn = d’n y xi = d’i - xi+1c’i i = n-1, n-2, . . ., 1
El algoritmo de Thomas es particularmente económico: requiere una cantidad
de operaciones Op(n) = 8 n - 6, que crece linealmente con la cantidad de incógnitas.
Para prevenir problemas de mal condicionamiento, es necesario que se cumpla
la condición: |bi|>|ai| + |ci|
El algoritmo de Thomas puede generalizarse sin dificultades para sistemas cuya
matriz de coeficientes es pentadiagonal o tridiagonal en bloques
Primero realizamos la descomposición de la siguiente manera
Entonces tendremos la nueva matriz de la siguiente manera
Por lo tanto la factorización LU es:
Sustituyendo hacia adelante tenemos
La matriz vector se modifica de la siuiente manera:
De esta manera utilizamos con la matriz U, para resolver el sistema y obtener la solución
BIBLIOGRAFÍA:
http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/sel/Directos_Thomas.html
