InvestigaciÃ³n de operaciones programaciÃ³n lineal. Problemas de

8/16/2019 InvestigaciÃ³n de operaciones programaciÃ³n lineal. Problemas de

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I P

P

A


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M K

Investigación de operacionesProgramación lineal

Problemas de transporte Análisis de redes


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Investigación de operacionesProgramación lineal - Problemas de transporte - Análisis de redesMaynard Kong

© Maynard Kong, 2010

De esta edición:© Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú, 2010 Av. Universitaria 1801, Lima 32, Perú

Teléfono: (51 1) 626-2650Fax: (51 1) [email protected] www.pucp.edu.pe/publicaciones

Diseño, diagramación, corrección de estiloy cuidado de la edición: Fondo Editorial PUCP

Primera edición: abril de 2010Tiraje: 500 ejemplares

Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente,sin permiso expreso de los editores.

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2010-03265ISBN: 978-9972-42-921-7Registro del Proyecto Editorial: 31501361000223

Impreso en Tarea Asociación Gráfica Educativa

Pasaje María Auxiliadora 156, Lima 5, Perú

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Í

C 1. I 11

1.1. Aplicaciones 11

1.2. Problema de optimización 12

1.3. Propiedades y ejemplos 12

1.4. Programación matemática 17

1.5. Modelo de programación matemática 191.6. Problemas resueltos 22

C 2. I P L 31

2.1. Formulación del problema de Programación Lineal 31

2.2. Solución geométrica de problemas con dos variables de decisión 34

2.3. Problemas propuestos 37

2.4. Forma estándar del problema de Programación Lineal 41

2.5. Restricciones equivalentes de la forma estándar 462.6. Variables básicas y soluciones básicas factibles 48


C 3. E 57

3.1. Conceptos básicos del método del símplex 57

3.2. Forma tabular del problema estándar 64

3.3. Criterios del símplex. Caso máximo 66


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3.4. Problema de minimización 67


C 4. M : .C 73

4.1. Variables artificiales 73


4.3. Convergencia del algoritmo del símplex 83

4.4. Métodos para evitar ciclos: regla de Blands y perturbación 86


C 5. P 955.1. Definición del problema dual 95

5.2. Formas típicas de problemas duales 100

5.3. Reglas para hallar el problema dual 102


5.5. Propiedades del problema dual 106


5.7. Vector dual de una solución básica factible 114

C . A 123

6.1. Introducción 123

6.2. Pasos del análisis 123

6.3. Programa ejemplo 124

6.4. Variación de un costo fijando la solución óptima 125

6.5. Variación del lado derecho de una restricción fijando las variables básicas 1276.6. Inclusión de variable 129

6.7. Inclusión de restricción 131

6.8. Dualidad y análisis de sensibilidad 133

6.9. Costos reducidos y asignación de valores a variables no básicas 136

6.10. Matriz de operaciones en la tabla final 137

6.11. Problemas resueltos 140


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C 7. P 153

7.1. Introducción 153

7.2. Problema de transporte balanceado 1557.3. Método del símplex simplificado 156


7.5. Problema de transbordo 177

7.6. Problema de asignación 181


C . A 197

8.1. Introducción 1978.2. Rutas en una red 199

8.3. Problema de ruta óptima 200


8.5. Problema de flujo máximo 206


8.7. Programación de proyectos 216


Í 241


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12

M K

1.2 P

El problema general de optimización consiste en determinar el valoróptimo (valor máximo o valor mínimo) que una función asume sobrelos elementos de un conjunto dado.

De modo preciso, dados un conjunto y una función que asigna acada de un valor numérico , se desea, para el caso de máximo,encontrar

de que cumpla la condición:

para todo de

y para el caso de mínimo: un 1 de que cumpla

para todo de

En forma abreviada se escribe

Los elementos del conjunto representan los recursos del problemay puede ser considerado como el valor del recurso , por ejemplo,es un costo, un tiempo, una cantidad de producción, etc. A la función

se le denomina función objetivo.Frecuentemente, el conjunto se especifica mediante:

condiciones —a las que se llama restricciones— que determinansus elementos

• algoritmos o reglas que describen cómo obtener elementos de .

Véanse los ejemplos 1, 3 y 4.Es posible que el problema no tenga soluciones, porque el conjunto

no tiene elementos o porque la función no puede tomar un valormáximo o mínimo.

1.3 P

Se cumplen las siguientes propiedades

1) es una constante2) es una constante positiva


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13

C 1. I

3) es una constante negativa 4)

5) si existen los valores óptimos de los segundos miembros.

Las propiedades 4) y 5) se suelen aplicar a menudo para convertir unproblema de minimización en uno de maximización y viceversa. Por ejem-plo, de manera explícita, según 4) para encontrar el valor mínimo de :

• se halla el valor máximo de la función , por ejemplo

• luego se le cambia de signo, y resulta así que es el valor

mínimo buscado.

A continuación se desarrollan algunos ejemplos sencillos relativos aproblemas de optimización

Ejemplo 1. Un problema de mezcla

Se desea producir una bebida mezclando jugos o zumos de naranja,toronja y mandarina. Los costos de los jugos son , y por litro,respectivamente. Se requiere que la bebida tenga al menos el detoronja y no más del de naranja.

Formule el problema de optimización para obtener una mezcla debebida cuyo costo sea mínimo.

Solución

Sean , y , las cantidades de naranja, toronja y mandarina, en litros,para obtener un litro de mezcla de bebida. Luego, los costos de cadacomponente son , y , respectivamente, y el costo de la bebidaes

El problema consiste en obtener el valor mínimo de .Falta precisar las condiciones sobre las cantidades de jugos.Estas son:

1) las tres cantidades suman un litro:


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M K

2) la cantidad de toronja al menos es de un litro: 3) la cantidad de naranja no excede el de un litro:

y 4) las tres cantidades son evidentemente no negativas:

,

y

Así, el conjunto sobre el cual queda definida es todos los( ) tales que

,

Finalmente, el problema de optimización esMinimizar sobre el conjunto .

Ejemplo 2. Solución óptima del ejemplo 1 por simple inspección

Resuelva el problema de optimización del ejemplo 1, esto es, halle elcosto mínimo de un litro de mezcla de bebida.

Solución

El problema es encontrar el valor mínimo de endonde y cumplen las condiciones

, Observamos que , y son menores o iguales a El costo será menor si se toma la menor cantidad del jugo más

caro, que corresponde al de toronja; así , que varía entre y ,debe tomar su menor valor

Y también será menor si se toma la mayor cantidad posible del jugo de naranja, pues es el más barato, y como se encuentra entre

y ha de tomarse .


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15

C 1. I

El valor de , que se halla entre y , es lo que falta para com-pletar el litro de mezcla, así

Así, la bebida que da un litro de costo mínimo se obtiene mezclando litros de naranja, litros de toronja y litros de mandarina,que tiene un costo de .

Ejemplo 3

Sea la función definida en el conjunto de los puntos números reales, que cumplen las condiciones

Determine los valores máximo y mínimo de .

Solución

Reemplazando en la función

y de las relaciones dadas se observa que los valores de varían desde hasta ( varía a la vez desde hasta ) de manera que el menor valorde es , cuando es , y por eso cuando

.Por el mismo razonamiento se obtiene

cuando , .

Ejemplo 4

Tres máquinas ,

y

pueden realizar las tareas , y .

Los costos de ejecución son dados en la tabla siguiente:


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16

M K

¿Cómo se deben hacer las asignaciones de las tareas de manera quecada máquina realice exactamente una de las tareas y el costo total sea

el menor posible?Solución

En este caso, el conjunto de recursos consiste de todas las posibles asig-naciones.

Los recursos del problema con sus respectivos costos son dados por

en donde cada columna indica la forma de asignar las tareas a lasmáquinas, por ejemplo, la tercera columna asigna las tareas , , a lasmáquinas

,

y

, respectivamente, y el costo respectivo es

, que, como puede observarse, es en verdad el mínimo.

Ejemplo 5

Pruebe que

Solución

Sea

.Entonces por definición de valor mínimo se tiene

para todo de

o para todo de

de modo que es el valor máximo de , esto es

o


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17

C 1. I

1.4 P

Los problemas de programación matemática constituyen una parteimportante de los problemas de optimización.

Un programa matemático tiene la forma

Maximizar (o minimizar)

,

sujeto a las condiciones o restricciones

en donde

son funciones

con valores numéricos que dependen de variables numéricas,

,

son constantes y en cada restricción se emplea uno delos signos , lo que se indica mediante la notación .

El conjunto de definición del problema está formado por todoslos

que satisfacen todas las restricciones. A tales se

les llama soluciones factibles del programa o del problema, y a , sele denomina el conjunto de soluciones factibles o región de factibi-lidad.

Generalmente se asume que las variables

son números

reales. No obstante, también se consideran programas matemáticos—llamados de programación entera— en los que las variables tomansolo valores enteros.

Ejemplo 1

Maximizar sujeto a 2 2


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M K

En este caso: , el signo es y

la constante es

Ejemplo 2

Aplicando métodos geométricos, hallar la solución óptima del ejemploanterior.

Solución

La restricción determina el disco de radio y centro en

el origen.

Sea un valor dado y consideremos la recta

En la figura se grafican las rectas correspondientes a los valores de y .Observemos que la función objetivo toma el valor

sobre el disco , si y solo si la recta interseca al disco. Esto implicaque se debe considerar únicamente rectas que intersequen al disco. Y por otro lado, cuando se aumenta los valores de , como de a , la recta se desplaza en el primer cuadrante alejándose del ori-gen. En resumen, para hallar el valor de , el valor máximo u óptimo,


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C 1. I

hay que mover la recta hasta que sea tangente al círculo. El punto detangencia tiene pendiente , pues el radio del origen al punto

es perpendicular a la recta, cuya pendiente es

. Así,

y por estaren el círculo

, de donde

Por tanto, la solución óptima es y el valor óptimo es .

Ejemplo 3

Minimizar sujeto a

y todas las

Ejemplo 4Maximizar

sujeto a las condiciones

1.5 M

Para resolver un problema de optimización:

1. Se formula un modelo del problema mediante un programamatemático.

2. Se resuelve el programa matemático.


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20

M K

A partir de la definición o enunciado del problema, los pasos queusualmente se aplican para la formulación o propuesta del modelo son

los siguientes:• Se identifican la cantidad o variable de salida que se desea opti-

mizar y las variables de decisión o de entrada

, de las

que depende y se expresa la primera como una función matemá-tica de las últimas.

• Se determinan las condiciones, requisitos y limitaciones y seexpresan mediante restricciones matemáticas que se imponen a

las variables de decisión.• Se incluyen condiciones adicionales que no aparecen de maneraexplícita pero que deben cumplirse en el problema real, porejemplo, si algunas variables de decisión han de tomar valoresmayores que o iguales a cero, o si deben tener valores enteros.

Una vez obtenido el modelo del programa matemático se procedea resolverlo aplicando los métodos y técnicas de optimización; esto es,

hallar el valor óptimo, si existe, y una solución óptima, o algunos valoresen los cuales las variables de decisión proporcionan el valor óptimo.

Ejemplo

Un establecimiento de ventas de combustible atiende las horas ytiene los siguientes requerimientos mínimos de empleados para atendera los clientes:

Un empleado trabaja horas consecutivas y puede ingresar al ini-ciarse cualquiera de los períodos indicados.

Formule el modelo matemático para minimizar el menor númerode empleados que se necesitan en el establecimiento.


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21

C 1. I

Solución

Sea número de empleados que empiezan a las horas (primer

período) ...

número de empleados que empiezan a las horas (último

período)

Entonces total de empleados requeridos

y las

restricciones para los respectivos períodos son:

que toman en cuenta la suma de los empleados de dos períodos con-

secutivos, por ejemplo, en el primer período se tiene empleadosque empezaron a las horas y empleados que empiezan a las

horas. Además, hay que observar que las variables son enteras y mayores

que o iguales a .Por tanto, el modelo de programación pedido esMinimizar

sujeto a

con todas las variables enteras y no negativas.


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22

M K

1.6 P

Problema 1

Si calcule

a) b)

Solución

Se tiene

a) b)

Problema 2

Resuelva el problema Maximizar sujeto a

Solución

Despejando la variable y de la restricción y reemplazándola enla función objetivo

Falta determinar el conjunto de valores de :de y usando la condición se obtiene ,por lo tanto, varía desde hasta ,de donde resulta que varía de a .

Luego, el mayor valor de es y se obtiene en ,


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23

C 1. I

Problema 3. Problema de la dieta

Se desea mezclar cuatro alimentos de modo que el producto resultante

contenga al menos unidades de proteínas, unidades de carbohi-dratos y unidades de grasa. La tabla siguiente contiene las cantidadesnutricionales de los alimentos y el respectivo costo

Formule el modelo de programación matemática para obtener una

mezcla de costo mínimo.

Solución

Sean ,

,

, y

, las unidades que se toman de los alimentos, respec-

tivamente, para formar una mezcla.

Luego, el costo de la mezcla es .La cantidad de proteínas que contiene la mezcla es

, que debe ser al menos , y por lo tanto se tiene la primera

restricción:

.

Similarmente, se establecen las restricciones para los carbohidratosy grasas:

y es obvio que todas las variables han de ser no negativas. Así, el modelo pedido es

Minimizar


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24

M K

sujeto a

todos los

Problema 4

Se dispone de S/. para invertirlos según los dos planes de inver-sión y que ofrecen ganancias o utilidades como se muestran en latabla:

Los depósitos deben hacerse en cantidades múltiplos de y sepuede invertir usando una parte en cada plan.

Desarrollar un modelo de programación matemático para obtener

la mayor utilidad.

Solución

Sean y , en miles, las cantidades que se invierten en los planes y .Entonces , y enteros no negativos.Las utilidades de los planes pueden expresarse mediante las funcio-

nes y definidas por

Por tanto, el modelo requerido es Maximizar

sujeto a y enteros no negativos.


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C 1. I

Problema 5

Resuelva, por simple inspección, el problema anterior.

Solución

Para cada valor de calculamos el valor máximo de laganancia:

, por ejemplo, si , ,

que se obtiene en .

Procediendo de esta manera se obtienen los siguientes resultados:

La ganancia máxima es en miles, o , y se obtiene en y , esto es, invirtiendo en el plan y en el plan

Problema 6. Problema de transporte

Se desea transportar un producto de las fábricas y a los locales y .Los costos de transporte por unidad de producto son:

y las cantidades disponibles en y son y , respectivamente,y se requieren y unidades en y , respectivamente.

Determine un modelo de programación que minimice el costo totalde transporte.


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M K

Solución

Sean 1 y

2 las cantidades que se envían desde a los locales, y

1,

2,

similarmente para .Según las cantidades disponibles se tiene

y para los locales

siendo el costo de envío

Así, el modelo del problema es Minimizar

sujeto a

y todas las variables enteras y no negativas.

Problema 7. Problema del corte mínimo

Una fábrica de papel que produce rollos de papel y de papel de y metros de ancho, respectivamente, recibe un pedido de rollos depapel, uno de 2 metros de ancho y 800 metros de longitud y otro de 5

metros de ancho y 900 metros de longitud.Suponiendo que los recortes de rollos del mismo ancho pueden ser

pegados para satisfacer las longitudes requeridas, se desea determinarcómo deben recortarse los anchos de los rollos y para minimizar lacantidad de papel que se pierde.


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29

C 1. I

de tipo , con lo que se puede completar

productos

y de tipo , que permite completar

pro-

ductos El número de productos resultante es el menor de estos, o sea

Así, el modelo es Maximizar sujeto a y enteros no negativos.

Problema 9

En un terreno de hectáreas se puede cultivar arroz y frijoles. En un añobueno, la ganancia por hectárea de arroz es y la de frijoles ; en cam-bio, en un año malo, las ganancias son de y , respectivamente.

Se dedica a cada planta no más de de hectáreas del terreno y serequiere determinar cuántas hectáreas deben cultivarse de cada pro-ducto para maximizar la ganancia total en un año bueno y asegurar quela ganancia en un año malo sea al menos de . Formule el modelodel programa.

Solución

Sean y las cantidades de hectáreas de arroz y frijoles a cultivar.Entonces , los de

La ganancia en un año bueno es y la de un año malo es , que debe ser al menos


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M K

Por lo tanto, el modelo del problema es

sujeto a

y no negativas.


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C 2I P L

2.1 F P L

Se dice que una función numérica

, que depende de varia-

bles numéricas

, es lineal si se expresa como una suma de

múltiplos de las variables

en donde

son constantes.

Por ejemplo,

Un problema de programación lineal (PPL) tiene la forma: Maximizar (o Minimizar)

sujeto a las condiciones o restricciones


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M K

en donde

son variables,

1,

2, ...,

,

11,

12, ...,

m1, ...,

mn,

son constantesy en cada condición se asume uno de los signos o .

Así, tanto la función objetivo

como las funciones

que definen los miembros izquierdos de las condiciones o restriccionesson funciones lineales de las variables de decisión

En este caso, a las constantes

de la función objetivo se

les suele denominar costos o coeficientes de costos.

Se llama solución factible a cualquier colección de valores que cumplan todas las restricciones. El problema consiste en determi-nar el mayor

(o menor

) de los valores de la función objetivo

, evaluada sobre todas las soluciones factibles y, desde

luego, indicar una solución óptima, esto es, una solución factible queproduzca ese valor.

Ejemplos1. Maximizar

sujeto a

El valor máximo de es y se obtiene en la solución óptima

2. Maximizar sujeto a

En este caso

en


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33

C 2. I P L

3. Minimizar

sujeto a

2

2

4

5; y todas las variables El valor óptimo es

y se alcanza en

.

4. Minimizar

sujeto a

todas las variables no negativas.

En este problema el valor mínimo no existe, pues, si se asigna a lasvariables de decisión

cualquier ,

se comprueba que estas son soluciones factibles (cumplen todas lasrestricciones) en las que la función objetivo vale

y, por lo tanto, adquiere un valor menor que cualquier número quese precise (en notación de límites: tiende a cuando tiendea ).

5. Minimizar:

sujeto a

El problema no tiene soluciones factibles, pues las restricciones sonincompatibles o inconsistentes. En efecto, de las dos últimas restric-ciones se obtiene la desigualdad

ó

que contradice a la primera restricción

.


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M K

2.2 S

Los problemas de programación lineal con dos variables de decisión yun número reducido de restricciones pueden ser resueltos gráficamentepor métodos geométricos sencillos utilizando un plano cartesiano cuyosejes de coordenadas son las variables de decisión. Allí se trazan la regiónfactible y algunas rectas asociadas a la función objetivo que permitendeterminar en qué puntos esta obtiene su valor óptimo, cuando existe.

Este método muestra gráficamente dos propiedades de los proble-

mas de programación lineal:

1) el conjunto factible es un polígono, esto es, una región del planolimitada por rectas

2) si la función objetivo tiene óptimo, entonces este se alcanza enuno de los vértices del polígono.

y por lo tanto para encontrar una solución óptima es suficiente calcular

los vértices y evaluar la función objetivo en estos. Además, si el polígono es cerrado —sus lados forman una poligonalcerrada— la función objetivo siempre tiene valor óptimo.

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento que se aplica en estoscasos.

Ejemplo 1

Resuelva geométricamente el problema Maximizar sujeto a las restricciones

(1) (2) (3) (4)

(5)


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35

C 2. I P L

Solución

Trazamos la región factible

es el polígono cerrado con vértices los puntos y elorigen del sistema. Se hallan los conjuntos

de puntos que

satisfacen las restricciones respectivamente. Por ejemplo, paradeterminar

que corresponde a se traza la recta dada

por la ecuación , que resulta de sustituir el signo de des-igualdad por el de igualdad, y en la figura es la recta que pasa por lospuntos y . Esta recta divide al plano en dos semiplanos, determina-dos por las desigualdades

semiplano inferiory , semiplano superior.

Para saber cuál de los semiplanos es basta seleccionar arbitra-riamente un punto fuera de la recta, y comprobar cuál de las dosdesigualdades satisface. Por ejemplo, el punto satisface la pri-mera desigualdad, que es la restricción tratada, y por lo tanto,

es

el semiplano que contiene a , o el semiplano inferior o debajode la recta. La región factible es la intersección de los semiplanosobtenidos.


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M K

A continuación se analiza cómo varía la función objetivo respecto del conjunto factible . Con este propósito se fija un valor

constante y se considera la recta

, que es el conjuntode puntos en los cuales la función vale .

Todas las rectas así obtenidas son paralelas. Para apreciar el com-portamiento de la función objetivo se trazan las rectas (paralelas)correspondientes a dos valores distintos de . En la figura, se muestranlas rectas y .

Ahora se observa que para que la función objetivo tome un valor serequiere que la recta asociada interseque la región poligonal y ademáscuando aumenta, por ejemplo de a , la recta sedesplaza paralelamente de izquierda a derecha. Así, por simple inspec-ción se concluye que el valor máximo de se alcanza en el vértice y por lo tanto

A veces es un tanto complicado apreciar directamente cuál es el vér-tice de valor óptimo y en estos casos simplemente se evalúa la funciónobjetivo en los vértices vecinos y se comparan estos valores.

Ejemplo 2

Determine los valores máximo y mínimo de la función sujeta a las restricciones del ejemplo anterior.

Solución

Puesto que la región factible es un polígono cerrado es suficiente eva-

luar la función en los vértices del polígono:

de donde

en , , y

en ,


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37

C 2. I P L

2.3 P

Problema 1

Resuelva por métodos geométricos el problema Maximizar sujeto a 3 4 7 2

Halle todos los vértices del polígono de soluciones factibles.Respuesta

en , Los vértices son

Problema 2

Resuelva gráficamente el problema Minimizar sujeto a

Respuesta

en ,

Problema 3

Resuelva el problema Minimizar sujeto a las restricciones del problema 3.


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M K

Respuesta

La función objetivo no tiene mínimo pues las rectas , paralelas a

la diagonal , intersecan al polígono factible para cualquier valornegativo de , que es lo que se observa cuando la diagonal se desplazaparalelamente de izquierda a derecha.

Problema 4

El siguiente es el modelo de programación del problema , Capítulo1, 1.6:

Max sujeto a y no negativas.

Por métodos geométricos encuentre cuántas hectáreas del terreno debendedicarse a cada cultivo para obtener la mayor ganancia en un buen año.

Respuesta

ganancia máxima 60000

Problema 5

Resuelva el problema

Maximizar sujeto a

Respuesta

Máximo en


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C 2. I P L

Problema 6

Determine el valor mínimo de

sujeto a

en cada caso siguiente:a) cuando ,

b) cuando Respuesta

a) : mínimo en

b) : el problema no tiene soluciones

Problema 7

Halle el valor máximo de

sujeto a

-10 1

2 10

-4 1

2 20

1 4 2 20 1, 2 0.

Respuesta

No existe valor máximo pues la función toma valores arbitrariamentegrandes.

Problema 8

Resuelva el problema Max mínimo sujeto a las condiciones 2x -5y -10 2x -y 6

x, y 0.


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M K

Indicación

Este problema no tiene la forma de un problema de programación

lineal pues la función objetivo no es lineal. No obstante, de la defini-ción de la función se tiene

si , o y si , o

y por lo tanto agregando sucesivamente las restricciones , el problema se descompone en los subproblemas lineales:

(P1) sujeto a 2 - 6 , 0 - 0

(P2)

sujeto a

2 - 6 , 0 - 0

El valor máximo del problema inicial es el máximo de los valoresóptimos de estos subproblemas.

Geométricamente, mediante la recta , se ha dividido el polí-gono factible en dos subpolígonos sobre los cuales la función objetivo

adquiere una expresión lineal.

Respuesta

(P1) tiene máximo en (P2) tiene máximo en ,

El valor máximo del problema es el de (P2), esto es, en ,


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C 2. I P L

Problema 9

Resuelva el problema máximo

sujeto a las restricciones del problema 8.Respuesta

El valor óptimo es en ,

2.4 F P L

Se dice que un problema de programación lineal tiene la forma están-dar si

(1) todas las variables de decisión son no negativas,y (2) las (restantes) restricciones son de igualdad con constantes no

negativas en el lado derecho.

De manera explícita, el problema dado en forma estándar esMaximizar (o Minimizar)

sujeto a

son no negativas

y las constantes

son no negativas.

2.4.1 Ejemplos

Tienen la forma estándar los siguientes problemas:

1) Maximizar sujeto a


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M K

2) Minimizar

sujeto a

y todas las variables son no negativas.

2.4.2 Importancia de la forma estándar

Cualquier problema de programación lineal expresado en forma están-

dar puede ser resuelto por el método del símplex debido a GeorgeDantzig.Como se verá a continuación, si un problema de programación

lineal no es dado en la forma estándar, este puede transformarse enuno que tiene esta forma y el mismo valor óptimo y, además, cuyassoluciones óptimas dan lugar a soluciones óptimas del problema inicial.

Así, para resolver un problema de programación lineal

(1) si es necesario, se transforma en uno equivalente que tiene laforma estándar

y (2) se resuelve en la forma estándar y se obtienen las soluciones delproblema dado.

2.4.3 Conversión a la forma estándar

Las operaciones para llevar un problema de programación lineal a laforma estándar son las siguientes:

1) Si es negativo el término constante del lado derecho de unarestricción, se intercambian los dos miembros; esto equivalea cambiar de signo a todos los términos en ambos lados de larestricción y, adicionalmente, cuando la restricción es de des-

igualdad, a invertir el sentido de la desigualdad.


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C 2. I P L

Es decir, si la restricción es si

en donde

es negativo entonces

con positivo y, cuando se aplique, con el signo de desigualdad

invertido.

Se indican algunos ejemplos:

2) Una restricción, de desigualdad con signo , puede ser reempla-zada por una de igualdad si se suma una variable no negativa allado izquierdo para convertirla en una de igualdad:

si entonces

con no negativa

Esta variable se llama variable de holgura (por defecto). Por ejemplo, la restricción se reemplaza por

3) Una restricción de desigualdad con signo puede ser reempla-zada por una de igualdad si se resta una variable no negativa allado izquierdo para convertirla en una de igualdad:

si

entonces


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M K

con no negativa.

Esta variable se llama variable de holgura (por exceso o superávit)

Por ejemplo, la restricción

se reemplaza por

Las operaciones (1), (2) y (3) no modifican la función objetivo.

4) Una variable irrestricta, lo cual significa que puede tomar valoresnegativos y positivos, puede ser reemplazada por la diferencia de

dos variables no negativas.

Si 2 es irrestricta, entonces se escribe

2 con dos nuevas

variables y no negativas.

5) Una variable no positiva, esto es, menor que o igual a cero,puede ser reemplazada por una variable no negativa precedidadel signo menos, es decir, se efectúa el cambio de variable

-, en donde es no negativa.La sustitución de una variable irrestricta o una no positiva se realiza

tanto en las restricciones como en la función objetivo.

Ejemplo 1

Exprese en forma estándar el problema Minimizar sujeto a , , no negativas irrestricta.


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45

C 2. I P L

Solución

No es necesario cambiar de signo a ninguna restricción pues todas ya

tienen términos constantes no negativos.Sumando las variables de holguras

1,

2 a las dos primeras restric-

ciones y restando la variable de holgura 3 a la tercera restricción

1

Luego, reemplazando la variable irrestricta

por

1

2 en lafunción objetivo y en las restricciones, se obtiene la forma estándarMinimizar

sujeto a

con todas las variables no negativas.

Ejemplo 2Escriba en forma estándar el problema

Maximizar

sujeto a las restricciones

1 -

2 5

3 -12

es no positiva y las demás variables no negativas.

Solución

La primera restricción se convierte en

después de cambiar los signos de los términos y el signo de la desigual-

dad y de sumar la variable de holgura .


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46

M K

A la segunda restricción se le cambian los signos de los términos y ala tercera restricción se le resta la variable de holgura

.

Puesto que

es no positiva, se reemplaza

en donde

es unavariable no negativa. Así, la forma estándar esMaximizar



2.5 R

El conjunto de restricciones de igualdades de la forma estándar

es un sistema de ecuaciones lineales con ecuaciones y incógnitas

y una solución factible es, en particular, una solución de

este sistema.

Una ventaja de esta representación se refiere a la posibilidad demodificar o reemplazar estas ecuaciones por otras de manera que las

soluciones son las mismas y las nuevas restricciones son más adecuadaspara resolver el problema.

Las soluciones del sistema se preservan cuando

(1) una ecuación se multiplica por una constante k distinta de cero;en efecto, son equivalentes las ecuaciones

y


48/247

47

C 2. I P L

o (2) se suma, o resta, veces una ecuación a otra, ya que, cuando son distintos, las dos ecuaciones

son equivalentes a las ecuaciones

Estas operaciones son las que se aplican para resolver sistemas deecuaciones lineales por el método de eliminación de Gauss.

Ejemplo

Sea el problema Maximizar sujeto a las restricciones

no negativas.(1) Mediante las operaciones indicadas obtenga restricciones equivalen-

tes de manera que cada una contenga solo una de las variables .(2) Determine la expresión de la función objetivo que resulta de

reemplazar las variables despejadas de las ecuaciones.(3) Encuentre el valor máximo de .

Solución(1) Se elimina la variable de la primera ecuación restándole 2 veces

la segunda ecuación:

Similarmente, se elimina de la segunda ecuación sumándole 2veces la primera ecuación:


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48

M K

Luego, las nuevas ecuaciones o restricciones son y todas las variables no negativas.

(2) Despejando las variables de las ecuaciones obtenidas y reempla-zando en la función objetivo

se tiene

(3) De

se tiene pues y son no negativas. Luego, haciendo en las ecuaciones de la parte (1) se

obtiene , , y por lo tanto se encuentra la solución factible , , , , en la que la función objetivo vale . Así, secumple

y esto demuestra analíticamente que es el valor máximo.

2.6 V

Sea el sistema de ecuaciones lineales

dadas por las restricciones de igualdad de la forma estándar.Si el sistema es compatible, esto es, tiene soluciones, se puede asu-

mir que el número de ecuaciones es menor que o igual al número de variables, ya que si aplicando las operaciones con las ecuacio-nes, descritas en la sección anterior, se encuentra que hay al menos ecuaciones redundantes y por lo tanto pueden eliminarse del sistema.

Así, en lo que sigue asumiremos


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49

C 2. I P L

Se dice que variables son básicas si el sistema puede ser escrito demanera que cada ecuación contiene solamente una de ellas. Las varia-

bles restantes se denominan no básicas, para distinguirlas de las anteriores.De modo explícito, renombrando las variables y reordenando lasecuaciones si es necesario, las variables

, son básicas si el sistema

de ecuaciones puede ser escrito, o convertido, en uno de la forma

de modo que tales variables aparecen (con coeficientes ) exactamenteuna vez en las distintas ecuaciones y dependen de las variables nobásicas

.

Haciendo cero cada variable no básica en el sistema se obtiene lasolución factible

que se denomina solución básica factible correspondiente a las variables

básicas.

2.6.1 Cálculo de soluciones básicas factibles

Una manera directa de determinar soluciones básicas factibles es hacer- variables iguales a cero y resolver el sistema resultante. Si este tieneuna única solución con valores no negativos, entonces

(1) estos valores juntos con los ceros de las variables anuladas for-man una solución básica factible

y (2) son básicas las variables del sistema resuelto.

Ejemplo 1

Halle las soluciones básicas factibles del conjunto de restricciones


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50

M K

Solución

En este caso de manera que hay que anular variable.

(1) Si y se resuelve el sistema - - se encuentra la solución única , - y por lo tanto , , - es una solución básica. Sin embargo, no es factible pues la variable tiene un valor negativo.

(2) Haciendo

, el sistema resultante es -

- que no tiene solución pues restando 2 veces la primera ecuación

de la segunda se obtiene la contradicción

(3) Haciendo , se resuelve el sistema

que tiene única solución Luego, es una solución básica factible con varia-

bles básicas

En resumen, para las restricciones dadas solamente hay una solu-ción básica factible: con variables básicas .

Ejemplo 2Encuentre las soluciones básicas factibles de las restricciones

Solución

En este caso se deben anular variables y resolver las ecuaciones

para las variables restantes.


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51

C 2. I P L

Se analizan los casos posibles

(1) ,

,

el sistema es

de donde

y la solución es básica pero no es factible.

(2)

para el sistema

se halla y, por lo tanto, la solución

es básica fac-

tible.

(3)

resolviendo el sistema

se observa que tiene infinitas soluciones (la segunda ecuación se

obtiene de la primera). Así, no se obtiene una solución básica.

Los restantes casos

(4)

(5)

(6)

se tratan de modo similar; en (4) y (5) se hallan soluciones básicas fac-tibles y en (6) no, pues tiene infinitas soluciones.

La siguiente tabla muestra los resultados de los cálculos.


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52

M K

Así, este conjunto de restricciones tiene dos soluciones básicas fac-tibles.

Ejemplo 3

Dado el conjunto de restricciones no negativas

(a) calcule los vértices del polígono que representa la región factible

en el plano ,(b) obtenga la forma estándar del conjunto de restricciones y deter-

mine las soluciones básicas factibles,

(c) muestre que a cada vértice del polígono le corresponde una solu-ción básica factible de la forma estándar.

Solución

(a) El polígono en cuestión es el cuadrilátero limitado por las rectas . Los vértices son los puntos(), (), () y ().

(b) La forma estándar de las restricciones se obtiene sumando unavariable de holgura a cada restricción de igualdad

y las soluciones básicas son

(1)

(2)

(3)

(4)


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53

C 2. I P L

(c) Según (a) los vértices del polígono factible son

y estos están en correspondencia con las soluciones básicas facti-bles indicadas por (4),(3),(1) y (2), respectivamente.

2.6.2 Importancia de las soluciones básicas factibles

Se demuestra que el valor óptimo del problema lineal estándar seobtiene necesariamente en una solución básica factible.

Por esta razón, la búsqueda del valor óptimo sobre la región facti-ble se restringe al conjunto de las soluciones básicas factibles, que esfinito.

Esta propiedad puede comprobarse cuando se resuelven gráfi-camente los problemas de programación lineal con dos variables de

decisión, para los cuales, como se ha visto, las soluciones óptimas seubican en algunos de los vértices del polígono factible. El ejemplo ante-rior muestra que los vértices son precisamente las soluciones básicas dela forma estándar del problema. Así, geométricamente, las solucionesbásicas factibles son los vértices de la región factible, en el caso de dosvariables.

2.7 P

Problema 1

Exprese en forma estándar el problema Maximizar

sujeto a


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54

M K

Solución

Las restricciones son


Problema 2

Halle la forma estándar deMinimizar

sujeto a y la variable irrestricta.

Solución

Maximizar

sujeto a

y todas las variables no negativas en donde se ha reem-plazado

, diferencia de variables no negativas.

Problema 3Considere el problema

Maximizar

sujeto a

Exprese el problema en la forma estándar.


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55

C 2. I P L

Respuesta

Maximizar

sujeto a -

todas las variables no negativas.Puesto que

es no positiva se ha hecho el cambio de variable

,

de modo que es una variable no negativa.

Problema 4

Sea el conjunto de restricciones

halle todas las soluciones básicas factibles y las variables básicas corres-pondientes.

Respuesta

Hay dos soluciones básicas factibles y seis pares de variables básicas.

Problema 5

Sea el conjunto de restricciones


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56

M K

Determine si las siguientes variables son básicas y halle la soluciónbásica factible correspondiente en cada uno de los casos

(1) (2)

Respuesta

(1) Haciendo y resolviendo las ecuaciones se encuentra que es una solución básica factible, y lasvariables son básicas.

(2) Haciendo , el sistema tiene solución pero la variable tomaun valor negativo. Las variables no son básicas.

Problema 6

Sea el problema Maximizar

sujeto a

y todas las variables no negativas.

(1) Pruebe que las variables

son básicas hallando la solución

básica respectiva.(2) Exprese la función objetivo en términos de las variables no bási-

cas

, y pruebe que la solución básica hallada es óptima.

Respuesta (1) La solución básica es

(2)


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C 3E

3.1 C

El método del símplex es un procedimiento para hallar una soluciónóptima de una programación lineal estándar en el conjunto de solucio-nes básicas factibles.

El método se aplica a un problema estándar para el que ya se dis-pone de una solución básica factible y su correspondiente conjunto devariables básicas.

A continuación se introducen los conceptos básicos del método delsímplex por medio de ejemplos sencillos.

Ejemplo 1. Criterio de máximo

Sea el problema Maximizar sujeto a

y todas las variables no negativas.

El primer paso es determinar un conjunto de variables básicas delsistema de restricciones. En este problema, por simple inspección seobserva que

y

son variables básicas, pues cada una está en una


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58

M K

ecuación distinta y con coeficiente 1, y la solución básica factible es

en la cual la función objetivo tiene el

valor

.El segundo paso es expresar el problema mediante una tabla parafacilitar las operaciones con las ecuaciones.

Las dos primeras filas representan las ecuaciones de restricciones, yla última fila representa la función escrita mediante la ecuación

La columna de la izquierda indica las variables básicas seleccionadas.El propósito de disponer los datos de esta manera es expresar la

función z de manera que no aparezcan las variables básicas, esto es, que

estas tengan coeficientes nulos. Esto equivale a hacer cero los costos -1y 5 de la fila c, para lo cual a la fila c: se suma la fila 1 y luego se resta 5veces la fila 2, obteniéndose

Los coeficientes de la fila

y

se denomi-

nan costos reducidos, relativos a las variables básicas

.

Así, la tabla, incluyendo los costos reducidos, es

en donde la última fila da la expresión de la función objetivo mediante

la ecuación


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59

C 3. E

de donde

El criterio de máximo indica que si todos los costos reducidos son

, entonces la tabla actual proporciona el valor máximo y se alcanzaen la solución básica de la misma.

Esto puede demostrarse en este caso, ya que la representación de lafunción objetivo con los costos reducidos puede escribirse así

en donde la desigualdad se cumple porque los costos reducidos son y las variables son .

Luego valor en la solución básica factible y por lo tanto

en

.

Según lo desarrollado se puede adelantar el criterio de máximo:

Si todos los costos reducidos son , entonces la función

objetivo tiene valor máximo en la solución básica factible.

Ejemplo 2. Criterio de divergencia

Sea el problema Maximizar

sujeto a

y todas las variables no negativas.Como puede apreciarse, este problema tiene el mismo conjunto de

restricciones del ejemplo anterior y la función objetivo se diferencia dela anterior solo en el término de la variable

, que ahora tiene coefi-

ciente -.Escribiendo la tabla correspondiente con los costos de esta función

objetivo y calculando los costos reducidos relativos a las variables bási-

cas y


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60

M K

Igual que antes para anular los costos - y de las variables básicas,a la fila se le suma la fila y se le resta veces la fila .

La fila da la siguiente expresión de la función objetivo :

en términos de costos reducidos.

No se puede aplicar el criterio de máximo pues hay un costo redu-cido positivo, que es el coeficiente de la variable .

El siguiente criterio es el de divergencia, según el cual si existe uncosto reducido y la variable asociada tiene coeficientes en todas lasrestricciones, entonces el problema no tiene valor máximo, porque sepuede hallar soluciones factibles en las cuales la función objetivo tomavalores arbitrariamente grandes.

En este problema, el costo reducido positivo es el de la variable y

sus coeficientes en las restricciones son - y -, que son .Para comprobar que la función objetivo toma valores muy grandes

se generan las siguientes soluciones factibles:

se hace , donde el parámetro es ,

se hace igual a cero la otra variable no básica

y se hallan los valores de las variables básicas resolviendo las ecuaciones

(dadas por las filas), así finalmente se obtiene

para cualquier .


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61

C 3. E

Puede comprobarse que estos valores dan soluciones factibles, estoes satisfacen las restricciones y son , en las que la función objetivo

vale

Puesto que puede ser cualquier valor positivo, es claro que nopuede tomar un valor máximo.

Se anota el criterio de divergencia

Si algún costo reducido es y la variable asociada tienecoeficientes en todas las restricciones, entonces la fun-

ción objetivo no tiene valor máximo.

Ejemplo 3. Cambio de base. Criterio de la razón mínima

Sea el problema Maximizar con restricciones

En este ejemplo se verá que no se cumple ninguno de los criteriosde máximo ni de divergencia. Entonces se elegirá una variable no básicapara que reemplace a una variable básica, de modo que la función obje-tivo en la nueva solución básica factible tenga un valor mayor o igualque en la solución básica actual.

Solución

Usando las variables básicas , , la tabla del problema es

No se cumple la condición de máximo porque hay un costo posi-

tivo, el coeficiente de la variable ; tampoco se cumple el criterio de


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62

M K

divergencia pues no son los elementos de la columna de la variable , que es la única con costo reducido .

El procedimiento para cambiar una variable no básica por unabásica es el siguiente. Puede ingresar al conjunto de variables básicascualquier variable (no básica) cuyo costo reducido es positivo; en estecaso, la variable . Y debe salir una de las variables básicas o .

Si se vuelve una variable básica la columna de sus coeficientes,debe ser una columna unitaria, con un elemento y los otros iguales acero. A fin de determinar cuál de las variables o es la adecuada paraque salga del conjunto de variables básicas, se divide cada fila entre elrespectivo coeficiente de , para tener coeficientes iguales a :

y luego hay que restar una fila de la otra, para anular el otro elementode la columna de . No obstante, se ve inmediatamente que no se debe

restar la fila a la fila , pues de lo contrario resultaría el términoconstante , que sería el valor de una variable no negativa. Así,se debe seleccionar la fila pues tiene el menor valor , o mínimocociente, de manera que al restarla a la fila , todos los términos cons-tantes sigan siendo no negativos.

La selección de la fila indica que sale la variable básica actual , yque en su lugar entra la variable .

Los cálculos son:

y expresando la tabla respecto de las variables básicas


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63

C 3. E

dividiendo entre la fila , y anulando los otros elementos de la columnade , se obtienen los nuevos costos reducidos, relativos al nuevo conjunto de variables, y el valor constante .

La nueva tabla muestra todos los costos reducidos , y por lotanto se cumple el criterio de máximo.

Luego, el máximo de es y se obtiene en , , y las otrasvariables con valor cero. Ahora establecemos el

Cambio de base y criterio de la razón mínima. Caso máximo

Se aplica cuando todos los costos reducidos positivos tienen al menosun elemento positivo en la columna de estos.

Sea un costo reducido positivo yCriterio de la razón mínima

que se obtienen dividiendo cada término constante entre el elemento

de la columna de en la fila (se omiten los cocientes que corres-

ponden a valores negativos o nulos de los ).

Cambio de variable básica

Si es la fila donde se obtienen la razón mínima , entonces entra la variable

al conjunto de

variables básicas y sale la variable básica

.

Además, el valor de en la nueva solución básica factible es

,

esto tiene el incremento .


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64

M K

3.2 F

El método del símplex opera directamente con la tabla formada por loscoeficientes y datos constantes del problema.

Sea


ecuación i

y todas las variables no negativas y variables básicas

que dan una solución factible.

Este problema se representa mediante la tabla:

columna de variable

en donde

• la fila se forma con los coeficientes y término constante de la

ecuación


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65

C 3. E

• la fila de costos corresponde a los coeficientes de la función • la columna de datos que corresponde a la variable básica

es

unitaria, es decir, todos los valores son ceros excepto en esa fila,• los costos reducidos, relativos a las variables básicas, se obtienen

anulando los costos correspondientes a las columnas de cadavariable básica: se suma -(costo de

) por la fila a la fila de

costos • la solución básica factible es

, para y

, en

las otras variables•

es el valor de la función objetivo en la solución básica.

La fila de costos reducidos representa la ecuación

Expresión de la función objetivo mediante costos reducidos

La función objetivo es igual a la suma de los productos de los costosreducidos por las variables no básicas más el valor de la función en la

solución básica factible:

en donde son los costos reducidos y es el valor en la solución básicafactible.

Nota

1. Debe tenerse presente que la representación dada depende delconjunto de variables básicas seleccionado, y por lo tanto, engeneral ha de ser distinta para otro conjunto de variables básicas.

2. Los costos reducidos asociados a las variables básicas tienen valorcero, por lo que la suma contiene solo los términos de las varia-bles no básicas.


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66

M K

3.3 C . C

Criterio de máximo

Si todos los costos reducidos, relativos a un conjunto de variables bási-cas, son no negativos:

, para

entonces el valor máximo de la función objetivo es 0 y una solución

óptima es la solución básica factible de las variables básicas.

Prueba Se tiene

.

De las condiciones

y todas las variables

se concluye que la suma

es menor que o igual

a cero y por lo tanto

valor de en la solución básica.

Esto demuestra que

.

Criterio de divergencia Si algún costo reducido es positivo y son no negativos todos los coefi-cientes de la columna de ese costo, entonces el problema no tiene valormáximo.

De un modo más preciso, si existe

coeficiente reducido de la variable

y

, para todos los coeficientes de la variable

entonces la función objetivo crece indefinidamente sobre la región fac-tible y por lo tanto no tiene máximo.

Cambio de base y criterio de la razón mínima

Se aplica cuando todos los costos reducidos positivos tienen al menosun elemento positivo en la columna de estos.


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67

C 3. E

Sea un costo reducido positivo. Entonces entra la variable

al conjunto de variables básicas y sale la variable básica cuya razón

es mínima. Además, el valor de en la nueva solución básica es

,

esto es, tiene el incremento .

3.4 P

El método del símplex se aplica de igual modo a problemas de mini-

mización.Esto puede hacerse de dos maneras:

1) Convirtiendo el problema de minimización en uno de maximi-zación:

de modo que se resuelve el problema Maximizar ( ) con las res-

tricciones dadas, y una vez que se obtiene el valor máximo, hayque cambiarle de signo para obtener el valor mínimo de .

En este caso, el mínimo es precisamente el valor de la esquinainferior izquierda de la tabla final.

2) Directamente con la función objetivo , en cuyo caso se utilizanlos criterios del símplex para problemas de minimización:

Criterio de mínimo Si todos los costos reducidos son

, entonces se obtiene elvalor mínimo de

Criterio de divergencia (caso mínimo) Si existe un costo reducido negativo

, y la columna de la

variable tiene todos los elementos , entonces no existe valor

mínimo, en efecto, en este caso la función toma valores nega-

tivos arbitrarios.


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68

M K

Cambio de base Se aplica cuando todos los costos reducidos tienen al menos

un elemento

en su respectiva columna. Sea

. Entonces entra la variable

y sale una variable

cuya

razón sea mínima como en el problema de maximización.

Los siguientes ejemplos ilustran los dos métodos para resolver pro-blemas de minimización.

Ejemplo 1

Minimizar sujeto a no negativastransformando el problema en uno de maximización.

Solución

Agregando variables de holgura a las restricciones para expresar elproblema en forma estándar, las restricciones son:

todas las variables no negativas.Usando Min Max se resuelve el pro-

blema de maximizar la función objetivo y en donde son variables

básicas.La tabla inicial


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69

C 3. E

Puesto que el costo reducido de es , entra la variable al conjunto de variables básicas, y por el criterio de la razón mínima sale

Así, la fila pivote es la segunda fila y el elemento es el pivote paraactualizar la tabla. Dividiendo la fila entre , sumando la fila a la fila

y restando veces la fila a la fila de , resulta

Puesto que todos los costos reducidos son tiene valor máximo y se obtiene en Por lo tanto, el valor mínimo de es en

Ejemplo 2

Minimizar sujeto a no negativasusando los criterios del símplex para minimización.

Solución

La tabla inicial es

No se cumple el criterio de mínimo: todos los costos reducidos son ; ni el criterio de divergencia para el caso mínimo: hay un costoreducido negativo con los elementos de su columna . Entonces seprocede al cambio de variable básica.


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M K

Puesto que el costo reducido de es , entra la variable alconjunto de variables básicas, y por el criterio de la razón mínima sale

Así, la fila pivote es la segunda fila y el elemento

es el pivote paraactualizar la tabla. Dividiendo la fila entre sumando la fila a la fila y sumando veces la fila a la fila de , resulta

Puesto que todos los costos reducidos son se cumple el criterio demínimo, y por lo tanto tiene valor mínimo en

3.5 P

Problema 1

Aplicando el método del símplex resuelva

Max sujeto a

todas las variables no negativas.Observe que

son variables básicas.

Respuesta

Max

Una solución óptima es .

Problema 2

Resuelva Max

sujeto a


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71

C 3. E

Agregue variables de holgura a cada restricción y úselas como varia-bles básicas.

Respuesta Una solución óptima es

.

Problema 3


sujeto a no negativas.

Respuesta


Problema 4

Resuelva el problema sujeto a

no negativas.

Respuesta



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72

M K

Problema 5


Maximizar sujeto a todas las variables no negativas.

Indicación: Use como variable básica.

Respuesta

y cero para las otras variables.

Problema 6

Encuentre el valor máximo de la función sujeto a las restricciones ; no negativas

la variable .

Respuesta

Max en las otras variables valen cero.


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C 4M : .

C

4.1 V

Para aplicar el método del símplex es preciso que el problema dado enforma estándar tenga un conjunto inicial de variables básicas, que porlo general no es posible determinar fácilmente. No obstante, el mismométodo permite encontrar variables básicas del problema, cuandoexistan. En efecto, el problema se modifica mediante la incorporaciónde variables artificiales, que forman inmediatamente un conjunto devariables básicas, y luego por el método del símplex estas se reemplazano cambian por variables básicas del problema original.

Los dos ejemplos siguientes ilustran el uso de variables artificiales ymuestran la resolución de los problemas de programación lineal por latécnica M y el método de dos fases.

Ejemplo. Técnica

Aplicando la técnica resuelva el problema Maximizar sujeto a todas las variables no negativas.


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74

M K

Solución

Paso 1. Se agregan variables artificiales ,

a las restricciones

todas las variables no negativas, incluyendo las variables arti-ficiales.

Paso 2. Se construye una nueva función objetivo restándole a los términos veces

y veces

, uno por cada variable

artificial añadida:

en donde es una constante positiva muy grande.

El problema ahora consiste en maximizar sujeto a lasrestricciones del paso , y se puede aplicar el método del sím-plex pues

y

son variables básicas, con valores

y

La elección del valor de se hace a fin de lograr que las

variables del problema original se vuelvan básicas en lugar delas variables artificiales.

Paso 3. Se aplica el método del símplex utilizando a las variables arti-ficiales como variables básicas.La solución del problema modificado proporciona tambiénla solución del problema inicial pues:

1) si existe máximo de , y no contiene a la constante ,esto es, las variables artificiales han sido eliminadas delconjunto de variables básicas o anuladas, entonces

máximo de máximo de 2) de lo contrario, la función no tiene valor máximo


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C 4. M :

Aplicando el método del símplex tenemos la tabla:

en donde los costos reducidos se obtienen sumando a la fila de costos veces la fila y veces la fila , para que las variables básicas

y

tengan costos reducidos nulos; por ejemplo, el costo reducido de la

variable es Se observa que no se cumple el criterio de máximo (todos los costos

reducidos deben ser ), ni tampoco se cumple el criterio de diver-gencia.

El costo reducido de es , que es positivo, por lo tanto entrala variable al conjunto de variables básicas, y sale la variable

, pues

tiene la razón mínima .Para abreviar los cálculos, cada vez que sale una variable artificial —yatiene valor cero— se suprime la columna de esta.

La tabla resultante es:

en donde la nueva fila de costos reducidos se obtiene anulando elcosto de la variable : fila fila menos ( ) veces la fila ; porejemplo, el costo reducido de es ( ) ( ) por


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76

M K

Puesto que la constante puede hacerse tan grande como se desee,los costos reducidos son positivo,

negativo y positivo, respectivamente.Elegimos el primer costo reducido positivo y por lo tanto entra lavariable , y sale la variable

, que tiene la razón mínima.

Luego eliminando la columna de

y simplificando resulta lasiguiente tabla

en donde la es la fila de costos reducidos respecto de las variablesbásicas , .

Puesto que todos los costos reducidos son se obtiene el valormáximo , y una solución óptima es , variables artifi-

ciales. Por lo tanto, se ha encontrado la solución óptima del problemadado.

Ejemplo. Método de las dos fases

Aplicando el método de las dos fases resuelva el problema Maximizar sujeto a

todas las variables no negativas.

Solución

Fase 1

Se agregan las variables artificiales

a cada restricción


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77

C 4. M :

todas las variables no negativas, incluyendo las variables artificiales y seconsidera el problema de maximizar la función objetivo auxiliar

formada por la suma de los opuestos de las variables artificiales.De igual manera que en la técnica las variables artificiales pro-

veen un conjunto inicial de variables básicas y por consiguiente sepuede iniciar el método del símplex.

La función toma valores pues

son no negativas y

satisface la siguiente propiedad: El valor máximo de es si y solo sí el

problema original tiene soluciones factibles. Así, cuando se aplica el método del símplex para maximizar si

máximo de es cero, es decir, las variables artificiales resultan con valo-res nulos, y por lo tanto desaparecen de las restricciones. Entonces elproblema tiene soluciones factibles, y co

InvestigaciÃ³n de operaciones programaciÃ³n lineal. Problemas de

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