Dibujo I, Geometría

Tema 6

Inversión

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Objetivos

Aprender esta nueva transformación

Aplicar sus propiedades para resolver problemas de tangencias entre circunferencias, rectas y puntos

Con este objeto de aprendizaje conseguirás:

Contenidos 1

Definición

Figuras dobles de la inversión

Rectas antiparalelas

Obtención de puntos inversos

Inversa de una recta

Inversa de una circunferencia

Resumen de la inversión

Problemas de tangencias CPR, CCP, CCR y CCC

C: Circunferencia, P: Punto, R: Recta

Contenidos 2

Ampliación

Inversión y potencia

Cadenas de Steiner

El Arbelos

Definición de inversión

Concepto de inversión

Su ecuación, definición de centro y razón de inversión

Con ayuda de la web, aprende

La inversión fue inventada por Jacob Steiner en 1830. Sorprendióa muchos matemáticos utilizando sus propiedades en la resolución de problemas difíciles de resolver sin esta transformación

La inversión fue inventada por Jacob Steiner en 1830. Sorprendióa muchos matemáticos utilizando sus propiedades en la resolución de problemas difíciles de resolver sin esta transformación

Figuras dobles en la inversión

Tres tipos de figuras dobles

Circunferencia de puntos dobles (c.p.d.)

Con ayuda de la web, aprende

No existen muchas transformaciones que tengan figuras que se transformen en sí mismas

No existen muchas transformaciones que tengan figuras que se transformen en sí mismas

Rectas antiparalelas

Las rectas antiparalelas del Tema 1

Propiedades de los ángulos cruzados

Con ayuda de la web, repasa

Las rectas antiparalelas pueden utilizarse para calcular puntos inversos

Las rectas antiparalelas pueden utilizarse para calcular puntos inversos

Obtención de puntos inversos

Distintas maneras de obtener el inverso de un punto a partir de una primera pareja de puntos inversos

Calcular inversos con la c.p.d.

Calcular inversos para distintas posiciones del punto

Con ayuda de la web, aprende

La construcción para obtener el inverso es la misma que se usa para obtener la polar de un punto

La construcción para obtener el inverso es la misma que se usa para obtener la polar de un punto

Inversa de una recta

Dibujar la inversa de una recta para distintas posiciones de la misma

Con ayuda de la web, aprende

Si la recta corta a la c.p.d., su inversa es inmediataSi la recta corta a la c.p.d., su inversa es inmediata

Inversa de una circunferencia

Dibujar la inversa de una circunferencia para distintas posiciones de la misma

Con ayuda de la web, aprende

Si la circunferencia corta a la c.p.d., su inversa es más rápida de calcular

Si la circunferencia corta a la c.p.d., su inversa es más rápida de calcular

Resumen de la inversión

Inverso de una recta que no pasa por el centro de inversión

Inverso de una recta que sí pasa por el centro de inversión

Inverso de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión

Inverso de una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión

Con ayuda de la web, recuerda

Estos cuatro conceptos permiten resolver problemas de tangencias complejosEstos cuatro conceptos permiten resolver problemas de tangencias complejos

Problemas de tangencias: CPR

Utilizar la inversión para resolver este problema

Recuerda la mecánica de resolver los problemas de tangencias

Con ayuda de la web, aprende

La inversión mantiene los ángulos entre las figuras originales y sus inversas

La inversión mantiene los ángulos entre las figuras originales y sus inversas

Cuando no sea posible dibujar alguna de las rectas tangentes, existirán menos soluciones

Cuando no sea posible dibujar alguna de las rectas tangentes, existirán menos soluciones

Problemas de tangencias: CCP

Utilizar la inversión para resolver este problema

Observa que los pasos son iguales que en el caso anterior CPR

Con ayuda de la web, aprende

Observa cuantas soluciones hay en función de la posición de los elementos

Observa cuantas soluciones hay en función de la posición de los elementos

Problemas de tangencias: CCR

Utilizar la inversión para resolver este problema, que se ha transformado previamente

Observa como se deshacen las transformaciones ordenadamente

Con ayuda de la web, aprende

Observa la posición de las soluciones para cada una de las cuatro transformaciones

Observa la posición de las soluciones para cada una de las cuatro transformaciones

Si no hay un punto que tomar como centro de inversión, se tiene que transformar el problema antes

Si no hay un punto que tomar como centro de inversión, se tiene que transformar el problema antes

Problemas de tangencias: CCC

Utilizar la inversión para resolver este problema, que se ha transformado previamente

Observa como se deshacen las transformaciones ordenadamente

Con ayuda de la web, aprende

Observa la posición de las soluciones para cada una de las cuatro transformaciones

Observa la posición de las soluciones para cada una de las cuatro transformaciones

Con dos circunferencias “pequeñas” iguales, en vez de inversión se utilizaría las propiedades del eje radical

Con dos circunferencias “pequeñas” iguales, en vez de inversión se utilizaría las propiedades del eje radical

Obtención de puntos

inversos con la c.p.d.

Obtención de puntos

inversos con la c.p.d.

Problemas de tangencias:CPR, CCP, CCR y CCC

Problemas de tangencias:CPR, CCP, CCR y CCC

Definición, figuras

dobles, c.p.d.

Definición, figuras

dobles, c.p.d.

Inversos de recta y

circunferencia

Inversos de recta y

circunferencia

Resumen

Rectas antiparalelas

Rectas antiparalelas

La inversión mantiene los

ángulos

La inversión mantiene los

ángulos

Inversión y potencia

Invertir dos circunferencias en símismas

Invertir tres circunferencias en símismas

Invertir dos circunferencias en otras dos concéntricas

Con ayuda de la web, aprende:

De esta forma es posible resolver algunos problemas de forma más sencilla

De esta forma es posible resolver algunos problemas de forma más sencilla

Cadenas de Steiner

Como se dibuja una cadena de Steiner

Relación entre los radios de las circunferencias concéntricas

Con ayuda de la web, aprende

Las cadenas de Steinerpueden utilizarse para alojar cables o tuberías en conductor cilíndricos

Las cadenas de Steinerpueden utilizarse para alojar cables o tuberías en conductor cilíndricos

El Arbelos

Propiedades de esta figura

Cadena de Papus

Con ayuda de la web, aprende

Estas propiedades fueron descubiertas por los matemáticos griegos sin ayuda de la inversión

Estas propiedades fueron descubiertas por los matemáticos griegos sin ayuda de la inversión

Observa lo fácil que es resolver una cadena de Papus mediante inversión

Observa lo fácil que es resolver una cadena de Papus mediante inversión

Inversión y potencia

Inversión y potencia

Resumen ampliación

Cadenas de Steiner

Cadenas de SteinerEl arbelosEl arbelos

Auto evaluación y problemas

¿Obligatorio?

¿Nota?

Preguntas

Puedes realizar en la web unas preguntas de auto evaluación sobre este tema y unos problemas a dibujar en tu papel. Las preguntas puedes revisarlas después para ver tus fallos.

No

No

5

Problemas 2

Aprobado 50%

Siguiente tema …

El siguiente tema retoma la geometría Euclidea estudiando las cónicas

Aplicaremos todo lo visto hasta ahora en ese último tema