Universidad Autonoma de Ciudad

JuarezInstituto de Ingenierıa y Tecnologıa

departamento de Fısica y Matematicas

Inversion del flujo de calor en unsimulador de iones atrapados

Proyecto de titulacion que presenta:

Pedro Ulises Medina Gonzalez

Como requisito parcial para obtener el titulo de:

Ingeniero Fısico

Asesor:Dr. Blas Manuel Rodrıguez Lara

Cd. Juarez, ChihuahuaMayo de 2020

I

Universidad Autonoma de Ciudad

JuarezDepartamento de Fısica y Matematicas

Proyecto de Titulacion. Memoria

Inversion del flujo de calor en unsimulador de iones atrapados

Autor: Pedro Ulises Medina Gonzalez

Proyecto de titulacion presentado como requisito paraobtener el tıtulo de Ingeniero Fısico por la Universidad

Autonoma de Ciudad Juarez

Programa de licenciaturaIngenierıa Fısica

Asesor: Dr. Blas Manuel Rodrıguez Lara

Ciudad Juarez, Chihuahua, Mayo de 2020

II

III

Declarcion de Originalidad

Yo, Pedro Ulises Medina Gonzalez, declaro que el material contenido eneste documento fue redactado por mı y no es un plagio total o parcial, ni hasido usado para obtener otro tıtulo o reconocimiento en otra institucion deeducacion superior.

Nombre Apellidos

IV

V

Inversion del flujo de calor en un simulador de ionesatrapados

Los miembros del comite evaluador que aprobaron el manuscrito delproyecto de titulacion de:

Pedro Ulises Medina Gonzalez

Aprobado: bmlara@tec.mx del ITESM.Dr. Blas Manuel Rodrıguez LaraAsesor

Aprobado:

Tıtulo Nombre del Evaluador1Sinodal

Aprobado:

Tıtulo Nombre del Evaluador2Sinodal

Aprobado:jromero0323@gmail.com

Dr. Jaime Romero GonzalezProfesor de la materia

VI

VII

Resumen

Se propone una plataforma de iones atrapados para simular un Hamil-toniano espın-espın reconfigurable relacionado a procesos de termodinamicacuantica. Empezando de un modelo experimental que describe dos ionesatrapados bajo una primera banda de conduccion lateral ligeramente fuerade resonancia con fases de conduccion controlados individualmente, se sigueun enfoque de cuantica optica operacional para mostrar que produce un mo-delo efectivo que aparece en propuestas recientes de termodinamica cuantica.Se muestra que la proyeccion al estado base vibracional de la variedad permi-te un tratamiento analıtico completo. Como un ejemplo practico, se tomandatos experimentales de una trampa de 171Yb+ y se simula numericamentela inversion del flujo de calor entre los dos espın termales controlados porsus correlaciones cuanticas.

VIII

IX

Agradecimientos

Agradezco a los doctores Blas Manuel Rodrıguez Lara e Iran RamosPrieto, por sus apoyo y contribuciones en la realizacion de este trabajo.

Por otra parte, quiero agradecer a cada uno de las personas que me hanacompanado a lo largo de la vida por ayudarme a ser la persona que soy hoyen dıa, en especial a los integrantes de la familia Medina Gonzalez. Final-mente, a la Universidad Autonoma de Ciudad Juarez UACJ y la AcademiaMexicana de ciencia AMC que me permitieron empezar mi carrera comoinvestigador.

X

XI

Indice general

Indice de figuras XIII

Indice de cuadros XIV

1. Introduccion 11.1. Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Solucion propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.7. Impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.8. Alcances y delimitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Plataforma de iones atrapados 52.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Derivacion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Evolucion del modelo en el estado base vibracional 123.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2. Tratamiento analıtico a la evolucion del modelo . . . . . . . . 12

4. Inversion de la direccion del flujo de calor 154.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. Ejemplo practico en una trampa de iterbio . . . . . . . . . . . 15

5. Conclusiones 185.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

XII

Indice de figuras

4.1. Para pseudo-temperaturas T1 = 265 mK y T2 = 255 K, rangode simulacion 2Ωt ∈ [0, π/2](a) pseudo-energıas de los espınsimulados con correlacion inicial α = 0 en rojo claro y azulclaro, α = 0.05 en rojo oscuro y azul oscuro, y (b) sus corres-pondientes pseudo flujos de calor en gris para α = 0 y negropara α = 0.05. (a) los puntos muestran la evolucion numericacompleta bajo las dinamicas proporcionadas por HLD hastaun total de 10 excitaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2. Evolucion del pseudo flujo de calor para (a) amplitud de corre-lacion fija r = 0.05 y diferencia de fase variable ∆θ ∈ [−π, π],y (b) vice-versa para ∆θ = −π/2 and r ∈ [0, 0.5]. . . . . . . . 17

5.1. Imagen del trabajo aceptado en la revista Physical Review A.Figura obtenida de https://journals.aps.org/pra/accepted/17078Nb6Cde1c81bd7207668ac30fdfc108141988. . . . . . . . 19

XIII

Indice de cuadros

4.1. Diferentes direcciones del pseudo flujo de calor . . . . . . . . 16

XIV

XV

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Contexto

Actualmente, la termodinamica cuantica esta ganando mas atencion co-mo topico de discusion para explicar leyes y fenomenos de termodinamicapor medio de la mecanica cuantica. Particularmente, la segunda ley de latermodinamica y como caso especial el hecho de que el calor fluye del objetomas caliente al mas frıo. Al mismo tiempo, el uso de simuladores cuanticosmuestra ser una propuesta prometedora para abordar estos fenomenos. Co-mo ejemplo, un experimento reciente de simulacion cuantica de maquinastermicas usando NMR [1], se enfoca en la inversion del flujo de calor debidoa las correlaciones cuanticas en el estado inicial del sistema.

1.2. Antecedentes

Los inicios de la mecanica cuantica se encuentran en 1901 con MaxPlanck para darle una explicacion al problema termodinamico de la radia-cion de cuerpo negro [2]. Despues, en 1905 Einstein empleo lo propuestopor Planck para explicar teoricamente el efecto fotoelectrico [3]. Ası, estaextension del postulado de Planck a fotones da un nacimiento mas formala la mecanica cuantica que la permitira desarrollarse independientemente.En decadas mas recientes, la mecanica cuantica esta ayudando a redefinirla termodinamica proveyendo orıgenes cuanticos a sus leyes [4, 5, 6]. Porejemplo, investigaciones que influenciaron fuertemente trabajos de termo-dinamica cuantica contemporanea son los realizados por Scovil, en dondeel MASER de tres niveles ayuda a introducir la idea de maquina de calorcuantica para estudiar la teorıa de calor para ciclos de Carnot [7, 8]. Enestas maquinas, la substancia que realiza el trabajo es un sistema cuantico;por ejemplo, un oscilador armonico [9, 10], atomos de 2 niveles [11, 12, 13],y sistemas de electrodinamica cuantica como cavidades [14], iones atrapados[15, 16, 17], o sistemas optomecanicos [18]. Un concepto fundamental en este

1

sistema es la transferencia de energıa de un sistema cuantico a otro que estarelacionado a la variacion de correlaciones cuanticas [19, 20].

A nivel macroscopico, el calor esta definido como la transferencia deenergıa entre dos cuerpos a diferentes temperaturas. Estas ideas de termo-dinamica pueden ser aplicables a escalas pequenas usando mecanica cuanti-ca gracias a las bases probabilısticas sentadas por von Neumann para unapartıcula [6]. En este sentido, correlaciones cuanticas juegan un papel funda-mental en describir el intercambio de energıa en sistemas cuanticos bipartitosque tienen la finalidad de comprobar la segunda ley de la termodinamica[21, 22, 23, 24]. En acuerdo con Clausius, calor nunca puede pasar de uncuerpo mas frio a uno mas caliente sin ningun otro cambio, conectado conellos, ocurriendo al mismo tiempo [25]. A nivel microscopico, investigacio-nes recientes muestran que correlaciones cuanticas pueden ayudar a invertirel flujo natural del calor, entendido como el intercambio de energıa [22].Ademas, es preciso mencionar que esta inversion puede ser obtenida sincambiar la flecha del tiempo [26, 27].

Se puede pensar en dos enfoques basicos para solucionar problemasde termodinamica cuantica: su realizacion totalmente fısica en un sistemacuantico abierto multipartito [28, 29, 30, 31, 32, 33, 34] o utilizar simulado-res cuanticos. Un simulador cuantico, propuesto inicialmente por Feymann[35], es en esencia una plataforma cuantica controlable cuyo objetivo esrepresentar de manera fidedigna la dinamica de otro, tıpicamente menoscontrolable, sistema cuantico. Dichas plataformas se basan en representarfısicamente la unidad basica de informacion cuantica, un sistema cuanticode dos estados propios o mejor llamado cubit. En la actualidad se ha lo-grado esta representacion en plataformas como iones atrapados [36, 37, 38],circuitos superconductores [39, 40] y espın nuclear a traves de resonanciamagnetica nuclear NMR [1]. En general, estas diferentes propuestas se pue-den clasificar en Analogos, digitales o hıbridos. Los analogos [41], usan elsistema controlable artificial para mapear uno a uno el problema cuanticode interes. Como las ecuaciones de movimiento son equivalentes para ambossistemas, la solucion es obtenida al evolucionar en el tiempo al sistema cons-truido artificialmente. Asimismo, ambos sistemas estan representados porun Hamiltoniano. Su ventaja reside en la robustez a la decoherencia y esca-labilidad en el sentido que puede realizar simulaciones de muchas partıculas.Los digitales, propuestos por Lloyd en 1996 [42], descomponen el Hamilto-niano de evolucion en terminos de interacciones que se implementan en elsimulador, las llamadas puertas logicas cuanticas. Estos estan mas enfoca-dos en ser universales y flexibles. El ultimo es una combinacion de los dosprimeros, que toma lo mejor de los dos.

2

1.3. Planteamiento del problema

Los sistemas de iones atrapados se han convertido en una plataformade simulacion analogica cuantica altamente controlable. Actualmente, no secuentan con protocolos de simulacion en esta plataforma basados en mode-los experimentales que permitan explorar la dinamica de procesos de termo-dinamica cuantica.

1.4. Solucion propuesta

Se propone una plataforma de iones atrapados basado en un modeloexperimental para simular un Hamiltoniano espın-espın reconfigurable rela-cionado con procesos de termodinamica cuantica.

1.5. Objetivo general

Derivar un modelo efectivo que aparece en propuestas recientes de termo-dinamica cuantica a partir de un modelo experimental de dos iones atrapadosusando un enfoque operacional de optica cuantica.

1.6. Objetivos especıficos

Los objetivos especıficos del presente trabajo son:

Mostrar que proyectando el modelo al estado base vibracional se puedellevar a cabo un tratamiento analıtico a la simulacion.

Mostrar la factibilidad experimental del modelo logrando la inversionde la direccion del flujo de calor con datos experimentales de maneranumerica y analıtica.

1.7. Impacto

El modelo propuesto en su forma mas general puede jugar un papel sig-nificante en la simulacion de procesos complejos de termodinamica cuanticaen iones atrapados. Puede permitir la ingenierıa de esquemas particularespara controlar pseudo flujo de calor para simular, por ejemplo, los procesosde un ciclo en una maquina termica cuantica.

1.8. Alcances y delimitaciones

La derivacion del modelo solo esta limitado por lo que se puede medira partir de los modelos experimentales, pero la realizacion de la simulacion

3

analıtica, y en especial, la numerica estan limitados por el poder de proce-samiento de la computadora. El alcance del trabajo esta en ser utilizado porgrupos de trabajo experimentales que lleven a cabo simulaciones en ionesatrapados para explorar la dinamica de procesos de termodinamica cuanti-ca. La plataforma para exponer el trabajo a este conjunto de grupos es pormedio de su publicacion en una revista de fısica de impacto.

4

Capıtulo 2

Plataforma de ionesatrapados

2.1. Introduccion

Este capıtulo se enfoca en una trampa donde los dos iones interactuancon dos modos de vibracion comun de su movimiento de centro de masasCM y que requiere una conduccion fuera de resonancia de la banda lateralcon control de fase independiente. Se muestra analıticamente que se puedetomar el modelo y formar una cadena de espın con control de los camposmagneticos efectivos e interacciones espın-espın.

2.2. Derivacion del modelo

Esta seccion esta dedicada a derivar el tratamiento matematico del Ha-miltoniano que describe una cadena de espın cuantica con interacciones con-trolables por medio de un enfoque operacional. Primero se empieza con unmodelo general de iones atrapados experimental que utilizan para una ca-dena de espın cuantica con interacciones controlables [43],

H =H0 +∑j

~Ωj

e

i∑

m ηjm

(a†m+am

)ei(φj−ωt)+

e−i∑

m ηjm

(a†m+am

)e−i(φj−ωt)

(σ

(j)+ + σ

(j)−),

(2.1)

donde se permite diferencias de fase controlables entre los laseres de conduc-cion que seran una pieza clave para el trabajo . En el Hamiltoniano libre,

H0

~=∑j

ωe2σ(j)z +

∑m

ωmnm, (2.2)

5

el primer termino describe la energıa de dos estados internos (electronicos)del j-esimo ion j = 1, 2 en terminos de la matriz de Pauli para el operador

de inversion σ(j)z con una frecuencia de transicion ωe para la diferencia de

energıa de los dos estados. A lo anterior se le conoce como sistema de dosniveles. El segundo termino corresponde al movimiento libre externo (centrode masa CM) del ion que esta atrapado usualmente en un potencial armoni-co comun o varios potenciales individuales aproximados al orden armonico.Por lo tanto, su movimiento oscilatorio en CM es descrito por el m-esimomodo vibracional comun m = 1, 2 (3N numero de modos, pero estamos enuna dimension, solo son 2) con frecuencia ωm en terminos de los operadores

fononicos creacion (destruccion) a†m (am) y el operador de numero de fonon

n = a†mam. La otra parte del Hamiltoniano completo 2.1 describe la interac-cion del ion con el campo electrico E, en terminos de las matrices de Paulipara los operadores creacion (destruccion) σ+ (σ−), de laseres monocromati-cos de frecuencia identica ω, pero diferente amplitud Ej y fase φj . la fuerzaefectiva de conduccion esta dada por Ωj = µEj/2, donde µ es el elemento ma-tricial del operador dipolo electrico para la transicion entre los dos estados.Y finalmente, el parametro de Lamb-Dicke ηjm = bjm

√~(∆k)2/(2Mωm)

que mide cuanto se propaga la posicion del ion en relacion con el laser deconduccion y tambien sirve para cuantificar la fuerza de acoplamiento, don-de el parametro bjm es un elemento de la matriz de transformacion del modovibracional comun, ~ es la constante de Planck reducida, ∆ k es la diferenciadel vector de onda entre los laseres de conduccion Raman y M es la masade un ion individual. Adicionalmente, se puede encontrar mas informacionde estos parametros en [44].

Primero, utilizando procedimientos teoricos estandar para sistemas deun ion [45], se mueve el marco del laboratorio al marco definido por elHamiltoniano libre H0,

|ψL(t)〉 =T1(t) |ψ1(t)〉 . (2.3)

De este modo, se introduce a la ecuacion de Schrodinger,

i~d

dt|ψL(t)〉 = H |ψL(t)〉 ,

i~d

dt|ψ1(t)〉 = T †1 (t)HI T1(t) |ψ1(t)〉 ,

(2.4)

donde la transformacion unitaria esta definida en terminos de la energıa libredel sistema,

T1(t) = exp

−i

∑j

ωe2σ(j)z +

∑m

ωma†mam

t

. (2.5)

En el nuevo marco, la evolucion del ion debido al Hamiltoniano libre esabsorbido por el sistema de estados cuanticos. Entonces, la dinamica esta

6

dada por el Hamiltoniano de interaccion, por eso es conocido como marcode interaccion,

H1

~=∑j

Ωj

exp

[i∑m

ηjm

(a†me

iωmt + ame−iωmt

)]ei(φj−ωt) + h.c.

×(σ

(j)+ eiωet + h.c.

),

(2.6)

donde la notacion h.c significa conjugado hermıtico.El laser de conduccion esta cerca de estar en resonancia con la transicion

atomica, ω ∼ ωe. En consecuencia, el desafinamiento de la unidad opticacon respecto a la frecuencia de transicion del ion δ = ωe − ω es pequenaen comparacion con la suma de estas frecuencias δ ωe + ω. Ademas,el acoplamiento efectivo es tambien pequeno en comparacion con la sumade las frecuencias opticas Ωj ωe + ω. Ası que en una escala de tiempoapreciable 2π/Ωj , las oscilaciones de los terminos que rotan rapido, aquelloscon factores de la forma e±(ωe+ω)t, seran en promedio cero. De este modo,se aplica la llamada aproximacion de onda rotante optica ORWA, por sussiglas en ingles, que permite despreciar estos terminos,

HORWA

~'∑j

Ωj

exp

[i∑m

ηjm

(a†me

iωmt + ame−iωmt

)]σ

(j)+ ei(φj+δt)

+h.c.

.

(2.7)

Estas condiciones se pueden lograr en el laboratorio escogiendo una frecuen-cia de conduccion ω tal que ∆ δ ∼ ωm.

Ahora, se usa la formula de Baker–Campbell–Haussdorf [46],

eAeB = eA+B+ 12 [A,B]+ 1

12([A[A,B],]+[B[B,A],])+..., (2.8)

para verificar que[A, B

]= 0, y ası factorizar el exponencial

exp

[±i∑m

ηjm

(a†me

iωmt + ame−iωmt

)]=e−

12

(η2j1+η2j2)e±ia†1eiω1t

e±ia1e−iω1t

e±ia†2eiω2t

e±ia2e−iω2t.

(2.9)

En seguida, se aplica serie de Maclaurin [47] a cada exponencial,

ex =

∞∑n=0

xn

n!, (2.10)

7

que produce el siguiente Hamiltoniano aproximado de la forma,

HORWA

~'∑j

Ωje− 1

2(η2j1+η2j2)

∑q,q′,p,p′

(iηj1)q+q′(iηj2)p+p

′

q!p!q′!p′!

eiω1t(q−q′)eiω2t(p−p′)ei(φj+δt) a†q1 aq′

1 a†p2 a

p′

2 σ(j)+ + h.c.

.

(2.11)

En este momento, se asume que la frecuencia de conduccion del laser esta encasi resonancia con la k–esima banda lateral roja ω ∼ ωe − kmωm. Parecidoa ORWA, se tienen las siguientes condiciones de cada modo vibracional paraaplicar la aproximacion de onda rotante vibracional (VRWA): δ+k1ω1 δ−k1ω1,Ω1 y δ+k2ω2 δ−k2ω2,Ω2. Los exponenciales con combinaciones p =p′ (q = q′) y q− q′ (p− p′) < 0 proporcionan terminos que rotan lentamentee±it(δ−(q−q′)ω1) (e±it(δ−(p−p′)ω2)). Se elige la excitacion de la primera bandalateral roja k1 = 1 = q − q′ y k2 = 1 = p− p′ para obtener el Hamiltonianoaproximado por los dos tipos de onda rotante,

HRWA

~'∑j

Ωje− 1

2(η2j1+η2j2)

ieiφj

[η1jF (η1j , n1; η2j , n2)ei(δ−ω1)ta1

+η2jG(η1j , n1; η2j , n2)ei(δ−ω2)ta2

]σ

(j)+ + h.c.

,

(2.12)

donde,

F (ηj1, n1; ηj2, n2) = 1F1(−n1; 2; ηj12)Ln2(ηj2

2),

G(ηj1, n1; ηj2, n2) = 1F1(−n2; 2; ηj22)Ln1(ηj1

2),(2.13)

estan dados en terminos de la funcion confluente hipergeometrica de Kum-

mer 1F1(a; b; z) y el polinomio generalizado de LaguerreL(b)a (z) [47],

1F1(a; b; z) =∞∑k=0

(a)kzk

(b)kk!, y Ln(z) =

n∑k=0

(−n)kzk

k!2. (2.14)

En consecuencia de las tecnicas de enfriamiento a las que se somete el ionatrapado, enfriamiento Doppler y banda lateral resuelta, el sistema se en-cuentra en el regimen de Lamb-Dicke ηjm〈(am + a†m)2〉1/2 1, el cual es unregimen cuantico en donde el parametro de Lamb-Dicke ηjm es lo suficien-temente pequeno para que las transiciones que cambian el numero cuanticode movimiento por mas de uno sean suprimidas. Gracias a este regimen,se puede aproximar el Hamiltoniano efectivo en ec.(2.13) y de la serie de

Maclaurin del exponencial e−12

(η1j1+η2j2) al primer orden en la magnitud delparametro de Lamb-Dicke ηjm. Tal que,

HLD

~' i∑m,j

Ωjηjm

(amσ

(j)+ eiφjei(δ−ωm)t − a†mσ

(j)− e−iφje−i(δ−ωm)t

). (2.15)

8

Es preferible trabajar con un Hamiltoniano independiente del tiempo.Por esta razon, se mueve al marco

|ψ1(t)〉 =T2(t) |ψ2(t)〉 . (2.16)

De este modo, se introduce a la ecuacion de Schrodinger,

i~d

dt|ψ2(t)〉 = HLD |ψ2(t)〉 ,

i~d

dt|ψ2(t)〉 = T †2 (t)H2T2(t) |ψ2(t)〉 ,

(2.17)

donde la transformacion unitaria esta definida por,

T2(t) = exp

i

∑j

δ

2σ(j)z +

∑m

ωma†mam

t

. (2.18)

De esta manera, se obtiene el Hamiltoniano efectivo independiente del tiem-po,

HLD2

~=∑j

δ

2σ(j)z +

∑ωma

†mam + i

∑m,j

Ωjηjm

(amσ

(j)+ eiφj − a†mσ

(j)− e−iφj

).

(2.19)El ultimo paso es demostrar que este Hamiltoniano efectivo es equiva-

lente al de una cadena de espın. Para ver esto, se introduce un artefactopuramente matematico en la forma de un cambio de marco de referenciaque significa una pequena rotacion [48],

|ψ2(t)〉 =T3(t)(gjmeiθj ) |ψ3(t)〉 . (2.20)

De este modo, se introduce a la ecuacion de Schrodinger,

i~d

dt|ψ3(t)〉 = HLD2 |ψ3(t)〉 ,

i~d

dt|ψ3(t)〉 = T †3 (t)(gjme

iθj )HLD2T3(t)(gjmeiθj ) |ψ2(t)〉 ,

(2.21)

definido por la transformacion unitaria,

T3(gjmeiθj ) = exp

−i∑j,m

gjm

(amσ

(j)+ eiθj + a†mσ

(j)− e−iθj

) . (2.22)

9

Dicha accion sobre el Hamiltoniano efectivo puede ser aproximada,

T †3 σ(j)z T3 ≈ σ(j)

z + i2∑l

gjl

(a†l σ

(j)− e−iθj − alσ

(j)+ eiθj

),

T †3 nmT3 ≈ nm + i∑s

gsm

(amσ

(s)+ eiθs − a†mσ

(s)− e−iθs

),

T †3 amσ(j)+ T3 ≈ σ(j)

+ am − i∑l

gjla†l amσ

(j)z e−iθj − i

∑s

gsmσ(j)+ σ

(s)− e−iθs ,

T †3 a†mσ

(j)− T3 ≈ σ(j)

− a†m + i∑l

gjlala†mσ

(j)z eiθj + i

∑s

gsmσ(j)− σ

(s)+ eiθs ,

(2.23)

utilizando el lemma de Hadamard [46],

eABe−A = B +1

2!

[A, B

]+

1

3!

[A,[A, B

]]+ ..., (2.24)

al primer orden en la magnitud del parametro complejo gsleiθj . bajo esta

asuncion se eligen los parametros,

gjm =Ωjηjmδ − ωm

, θj = φj . (2.25)

Lo que significa gsl 1, que es el lımite donde δ esta muy desafinado deωm. Tambien, es importante mencionar que la configuracion experimentalelegida produce un parametro complejo con amplitud gjm ∼ 1/2. Al final,se comprende que el Hamiltoniano efectivo del sistema es el de una cadenade espın,

HR~

=∑j

δ

2σ(j)z +

∑m

ωmnm +∑m,j

Vjm (2nm + 1) σ(j)z

+∑m 6=l,j

Ω2jηmjηlj

δ − ωl

(a†l am + ala

†m

)σ(j)z

+∑j 6=s

Jjs

(σ

(j)+ σ

(s)− ei∆φjs + σ

(j)− σ

(s)+ e−i∆φjs

),

(2.26)

con interacciones ajustables,

Vjm =Ωjηjmδ − ωm

y Jjs = ΩjΩs

∑m

ηjmηsmδ − ωm

, (2.27)

donde los primeros dos terminos corresponden a la energıa libre, el tercertermino tiene la forma de un efecto Stark, division y desplazamiento delas lıneas espectrales debido a la presencia de un campo electrico, entre elcampo del fonon y los sistemas de dos niveles, el cuarto termino es un efecto

10

parecido al Stark, pero en terminos de una interaccion parecida a la de undivisor de haz entre los modos de vibracion comun. El quinto termino es elobjetivo, una interaccion espın-espın controlable por la relativa diferenciade fase entre los campos de conduccion ∆φjs = φj − φs. Este modelo esla primera contribucion del grupo, una derivacion de enfoque operacionalde una plataforma de iones atrapados para la simulacion termodinamicacuantica basada en modelos de cadena de espın. Hay que hacer hincapieque una forma similar fue inferida usando el lema de Hadamard y series deMagnus en [43], pero el modelo propuesto anade el control adicional de lasdiferencias de fase.

11

Capıtulo 3

Evolucion del modelo en elestado base vibracional

3.1. Introduccion

Este capıtulo muestra que la ec.(2.26) se reduce a una forma relacio-nada a propuestas para simulacion de maquinas termicas e inversion de ladireccion del flujo de calor en el estado base vibracional.

3.2. Tratamiento analıtico a la evolucion del mo-delo

Por motivos de simplicidad, se consideran los modos de vibracion comuniniciados en el estado base. Gracias al regimen de Lamb-Dicke, los estadosde los modos de vibracion comun solo tendran transiciones de un numerocuantico de movimiento. Consecuentemente, se puede proyectar el modelo fi-nal del capıtulo anterior al estado base vibracional (am, a

†m → 0) y recuperar

un modelo efectivo de cadena de espın,

HS~

=∑j,m

Vjmσ(j)z +

∑j 6=s

Jjs

(σ

(j)+ σ

(s)− ei∆φjs + σ

(j)− σ

(s)+ e−i∆φjs

),

(3.1)

Con control individual de los campos magneticos conduciendo cada espın yla interaccion espın-espın, j = 1, 2. Es importante mencionar que las inter-acciones ajustables, 2.27, permiten la conmutacion entre los dos terminos enel modelo de efectivo de espın, esto significa que son independientes entresı. Ası que, cualquier pseudo-trabajo en la simulacion cuantica provendra decorrelaciones cuanticas [49, 50, 51, 52]. Este modelo define el marco de simu-lacion ya que es el componente esencial basico para propuestas espın–espın

12

de maquinas termicas cuanticas [16] e inversion de la direccion del flujo decalor usando correlaciones cuanticas [1]. Este trabajo se enfoca en la ulti-ma propuesta. Para empezar, se considera un estado inicial en el marco dellaboratorio,

ρ(0) = ρs(0)⊗ |00〉〈00|. (3.2)

Donde los iones son iniciados en estados termicos separables mas una corre-lacion arbitraria,

ρs(0) = ρ(0)T1⊗ ρ(0)

T2+ χ12 =

e−Γ+

Z1Z2

eΓ+ 0 0 00 eΓ− α 00 α∗ e−Γ− 00 0 0 e−Γ+

. (3.3)

Donde las pseudo-temperaturas aparecen en Γj = ~ωeβj/2 siendo βj =(kBTj)

−1, (kB la constante de Boltzmann y Γ± = Γ+ ± Γ−. La funcion

de particion es Zj = Tr[e−βjHj ] con Hj = ~ωe2 (1 − σjz) siendo el Hamil-

toniano de un espın individual. Como cada ion esta preparado en un es-

tado equivalente a un estado de Gibbs local ρ(0)Tj

= e−βjHj/Zj , que es en

si mismo otro elemento esencial de la plataforma [53, 54, 55], el intercam-bio de energıa entre ellos puede ser interpretado como transferencia de ca-lor [49, 53, 54]. El parametro de correlacion α debe cumplir la condicion|α|2 ≤ 1/2 − (1 + tanh Γ1)2 (1 + tanh Γ2)2 /8 para mantener la traza de lamatriz de densidad reducida igual a uno.

Escogiendo las fases de conduccion φ1m = φ2m ≡ φm, se puede construirel siguiente operador de evolucion analıtico,

U(t) = e−iHSt

~ =

U11(t) 0 0 0

0 U22(t) U23(t) 00 −U∗23(t) U∗22(t) 00 0 0 U∗11(t)

(3.4)

con componentes matriciales U11(t) = e−iV+t, U22(t) = cos Ωt−i(V−/Ω) sin Ωt, U23(t) = −i(J/Ω)ei∆φ sin Ωt, definidos en terminos de las frecuencias au-

xiliares V± =∑

m(V1m ± V2m) y Ω =√V 2− + J2 con J = J12 + J21 y

∆φ = φ1 − φ2.El flujo de energıa total entre iones es una suma de contribuciones de

diferentes canales de intercambio de energıa de transicion ωe, dichas con-tribuciones se conocen como coherencias internas (misma frecuencia). Talescanales corresponden a la deslocalizada (cualquier nivel) absorcion/emisionde energıa ωe por cualquier ion. Como la transferencia de energıa es consi-derada transferencia de calor habra cambios en la energıa interna para cadaion simulado, la cual nos mostrara si hay inversion o no,

Qj =1

2~ωeTr

[ρ(t)σ(j)

z

]. (3.5)

13

Donde el termino,

Tr[ρ(t)σ(j)

z

](3.6)

es la medida de la inversion de poblacion del componente z del espın.Medir la inversion de poblacion, por medio de resonancia fluorescente, del

estado inicial en el marco de laboratorio es aproximadamente equivalente,debido a las transformaciones y aproximaciones usadas, a medir la inversionde poblacion de una cadena de espın (marco de simulacion) donde el estadoinicial en cada sitio es un estado termico,

Tr[ρ(t)σ(j)

z

]' Tr

[U†(t)ρ(0)U(t)σ(j)

z

]. (3.7)

Entonces, para cada ion,

Q1(t) =~ωe2Ω2

[Ω2

(1− tanh Γ1 −

2Jr

Ωsin ∆θ sin 2Ωt

)+

J2 sin2 Ωt

(tanh Γ1 − tanh Γ2 −

4V−rJ

cos ∆θ

)], (3.8)

Q2(t) =~ωe2Ω2

[Ω2

(1− tanh Γ2 +

2Jr

Ωsin ∆θ sin 2Ωt

)+

J2 sin2 Ωt

(tanh Γ2 − tanh Γ1 +

4V−rJ

cos ∆θ

)]. (3.9)

Donde se usa descomposicion polar de la correlacion compleja α = reiθ y sedefine ∆θ ≡ ∆φ− θ. Se calcula la diferencia de pseudo-energıa,

Q12(t) =~ωeΩ2

[1

2(tanh Γ2 − tanh Γ1)

(J2 cos 2Ωt+ V 2

−)−

2Jr(2V− cos ∆θ sin2 Ωt+ Ω sin ∆θ sin 2Ωt

) ].

(3.10)

Y su flujo del primer al segundo ion,

d

dtQ12(t) =

~ωeΩ

[J2 (tanh Γ1 − tanh Γ2) sin 2Ωt−

4Jr (V− cos ∆θ sin 2Ωt+ Ω sin ∆θ cos 2Ωt)].

(3.11)

Ahora se puede intentar invertir la direccion del pseudo flujo de calor eli-giendo cierta amplitud r y fase θ del parametro de correlacion α.

14

Capıtulo 4

Inversion de la direccion delflujo de calor

4.1. Introduccion

En este capıtulo se presenta un ejemplo practico de la inversion de ladireccion del flujo de calor usando parametros experimentales de una trampade un ion de iterbio [43].

4.2. Ejemplo practico en una trampa de iterbio

La frecuencia de los laseres de conduccion es ω0/2π = 12.643 GHz, lasfrecuencias de los modos de vibracion comun son ω1/2π = 3.5838 MHz yω2/2π = 3.5305 MHz. La trampa esta afinada para proporcionar las fuerzasde acoplamiento (frecuencias de Rabı) Ω1/2π = Ω2/2π = 300 KHz y losparametros de Lamb-Dicke ηjm = 0.049. Se pide una conduccion asimetri-ca de la primera banda lateral ligeramente fuera de resonancia de maneraque δ = 3.5571 MHz < (ω1 + ω2)/2 = 3.55715 MHz y una diferencia defase ∆φj = −π/2 entre los campos de conduccion. El enfoque esta en unadinamica cerrada ya que las trampas de iterbio reportan hasta un segundode tiempo de coherencia (cita 46). Tambien se proporcionan los terminosJ12 = J21 = J/2 = 191.17 Hz, V+ = 382.34167 Hz, V− = 0, y Ω = J demanera que se recupera un pseudo flujo de calor,

d

dtQ12(t) = ~ωeJ

[(tanh Γ1 − tanh Γ2) sin 2Jt− 4r sin ∆θ cos 2Jt

], (4.1)

proporcionando una simulacion viable en el rango de los milisegundos.Hay diferente resultados para diferentes valores de los parametros, resu-

mido en el cuadro 4.2. Primero, se tiene que con ausencia de correlacionesy con diferencia de pseudo-temperatura se produce un pseudo flujo de calornulo. Para pseudo-temperaturas identicas, la direccion del flujo depende de

15

Cuadro 4.1: Diferentes direcciones del pseudo flujo de calor

Correlaciones Pseudo-temperaturas Direccion flujo de calor

0 Igual 0∆θ = 0 Igual 0∆θ < 0 Igual Del primer ion al segundo∆θ > 0 Igual Del segundo ion al primero

α = reiθ = 0 T1 > T2 Del primer ion al segundoα = reiθ = 0.05 , T1 > T2 Del segundo ion al primero∆θ = ∆φ = π/2

la diferencia de fase entre los campos de conduccion y la de la correlacion∆θ: un valor cero produce un flujo nulo, uno negativo (positivo) induce flujodel primero (segundo) al segundo (primero) espın simulado. Para ausenciade correlaciones y con pseudo-temperaturas T1 > T2, el flujo se hace positi-vo, es decir, T1 decrece y T2 incrementa como se esperarıa de termodinamicaestandar, como esta indicado en la lıneas rojas y azules claras de la Figura4.2.a para iones preparados en estado termicos iniciales con T1 = 265 mKy T2 = 255 K. En este caso, es posible calcular un valor de correlacion queproduzca un efecto opuesto, como es visto en las lıneas rojas y azules fuertesde la Figura 4.2.a para α = reiθ = 0.05 de manera que ∆θ = ∆φ = π/2.Es importante mencionar que la simulacion cuantica es valida en el rango2Ωt ∈ [0, π/2].

En general para un dado conjunto de parametros, se decide donde co-locarse en la simulacion escogiendo un valor adecuado de la amplitud decorrelacion r para una diferencia de fase fija, 4.2.a, o viceversa, 4.2.b.

16

2

4

6

Qj(t

)[µ

eV]

(a)

0 2 4

t [ms]

−4

0

4

d dtQ

12(t

)[m

eV/s]

(b)

Figura 4.1: Para pseudo-temperaturas T1 = 265 mK y T2 = 255 K, rangode simulacion 2Ωt ∈ [0, π/2](a) pseudo-energıas de los espın simulados concorrelacion inicial α = 0 en rojo claro y azul claro, α = 0.05 en rojo oscuroy azul oscuro, y (b) sus correspondientes pseudo flujos de calor en gris paraα = 0 y negro para α = 0.05. (a) los puntos muestran la evolucion numericacompleta bajo las dinamicas proporcionadas por HLD hasta un total de 10excitaciones.

0 2 4

t [ms]

−3

0

3

∆θ

[rad

]

(a)

0 2 4

t [ms]

0.0

0.5

r[a.u.]

(b)

−2.5 0.0 2.5

[µeV/s]

−25 0 25

[µeV/s]

Figura 4.2: Evolucion del pseudo flujo de calor para (a) amplitud de correla-cion fija r = 0.05 y diferencia de fase variable ∆θ ∈ [−π, π], y (b) vice-versapara ∆θ = −π/2 and r ∈ [0, 0.5].

17

Capıtulo 5

Conclusiones

5.1. Conclusiones

Se presenta un modelo de primeros principios y un enfoque operacio-nal para mostrar que una cadena de iones atrapados proporciona una pla-taforma reconfigurable para la simulacion de termodinamica cuantica. Lapropuesta requiere una conduccion de la primera banda lateral fuera de re-sonancia y la habilidad para controlar las diferencias de fase entre los laseresde conduccion. Ademas, el modelo simula una cadena de espın donde amboscampos magneticos conduciendo cada espın y las interacciones espın-espınson controladas individualmente. Ciertas simplificaciones del sistema estanrelacionadas a propuestas teoricas actuales en el campo de termodinamicacuantica.

Como un ejemplo practico, se tomaron datos experimentales de unatrampa de 171Yb+ para mostrar que es posible simular la inversion de ladireccion del flujo de calor en esta plataforma con dos iones y dos modosde vibracion comun. En la simulacion, los niveles internos estan iniciados enestados termicos, que es en si mismo un elemento esencial necesario para lasimulacion de termodinamica cuantica en iones atrapados, mas un terminode correlacion y los modos de vibracion en el estado base. La diferencia enpoblacion en un ion individual define pseudo-energıas y la derivada en eltiempo de su diferencia proporciona un pseudo flujo de calor cuya direcciones controlada por la correlacion.

El grupo de trabajo cree que la propuesta en su forma mas generalpuede jugar un papel importante para la simulacion de procesos complejos determodinamica cuantica en iones atrapados. Como se habıa mencionado enel impacto, el trabajo puede permitir la ingenierıa de esquemas particularespara controlar pseudo flujo de calor para simular, por ejemplo, los procesosde un ciclo en una maquina termica cuantica.

Finalmente, el trabajo presente ha sido aceptado para publicarse en larevista de fısica Physical Review A como se muestra en la Figura 5.1.

18

Figura 5.1: Imagen del trabajo aceptado en la revista Physical Re-view A. Figura obtenida de https://journals.aps.org/pra/accepted/

17078Nb6Cde1c81bd7207668ac30fdfc108141988.

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Bibliografıa

[1] K. Micadei, J. P. S. Peterson, A. M. Souza, R. S. Sarthour, I. S. Oliveira,G. T. Landi, T. B. Batalhao, R. M. Serra, and E. Lutz, “Reversingthe direction of heat flow using quantum correlations,” Nat. Commun.,vol. 10, p. 2456, 2019.

[2] M. Planck, “Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspec-trum,” Annalen der Physik, vol. 309, pp. 553–563, 1901.

[3] A. Einstein, “Uber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lich-tes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt,” Annalen der Physik,vol. 322, no. 6, pp. 132–148, 1905.

[4] C. Jarzynski, “Nonequilibrium equality for free energy differences,”Phys. Rev. Lett., vol. 78, pp. 2690–2693, 1997.

[5] C. Jarzynski, “Equilibrium free-energy differences from nonequilibriummeasurements: A master-equation approach,” Phys. Rev. E, vol. 56,pp. 5018–5035, 1997.

[6] S. Deffner and S. Campbell, Quantum Thermodynamics: An introduc-tion to the thermodynamics of quantum information. Morgan & Clay-pool Publishers, 2019.

[7] H. E. D. Scovil and E. O. Schulz-DuBois, “Three-level masers as heatengines,” Phys. Rev. Lett., vol. 2, pp. 262–263, 1959.

[8] J. E. Geusic, E. O. Schulz-DuBios, and H. E. D. Scovil, “Quantumequivalent of the Carnot cycle,” Phys. Rev., vol. 156, pp. 343–351, 1967.

[9] B. Lin and J. Chen, “Performance analysis of an irreversible quantumheat engine working with harmonic oscillators,” Phys. Rev. E, vol. 67,p. 046105, 2003.

[10] J. Wang, Z. Ye, Y. Lai, W. Li, and J. He, “Efficiency at maximum powerof a quantum heat engine based on two coupled oscillators,” Phys. Rev.E, vol. 91, p. 062134, 2015.

20

[11] T. Feldmann and R. Kosloff, “Performance of discrete heat engines andheat pumps in finite time,” Phys. Rev. E, vol. 61, pp. 4774–4790, 2000.

[12] H. T. Quan, Y. X. Liu, C. P. Sun, and F. Nori, “Quantum thermodyna-mic cycles and quantum heat engines,” Phys. Rev. E, vol. 76, p. 031105,2007.

[13] F. Altintas, A. U. C. Hardal, and M. O. E., “Quantum correlated heatengine with spin squeezing,” Phys. Rev. E, vol. 90, p. 032102, 2014.

[14] H. T. Quan, P. Zhang, and C. P. Sun, “Quantum-classical transitionof photon-carnot engine induced by quantum decoherence,” Phys. Rev.E, vol. 73, p. 036122, 2006.

[15] O. Abah, J. Roßnagel, G. Jacob, S. Deffner, F. Schmidt-Kaler, K. Sin-ger, and E. Lutz, “Single-ion heat engine at maximum power,” Phys.Rev. Lett., vol. 109, p. 203006, 2012.

[16] S. Chand and A. Biswas, “Measurement-induced operation of two-ionquantum heat machines,” Phys. Rev. E, vol. 95, p. 032111, 2017.

[17] S. Chand and A. Biswas, “Critical-point behavior of a measurement-based quantum heat engine,” Phys. Rev. E, vol. 98, p. 052147, 2018.

[18] K. Zhang, F. Bariani, and P. Meystre, “Theory of an optomechanicalquantum heat engine,” Phys. Rev. A, vol. 90, p. 023819, 2014.

[19] R. Uzdin, A. Levy, and R. Kosloff, “Equivalence of quantum heat ma-chines, and quantum-thermodynamic signatures,” Phys. Rev. X, vol. 5,p. 031044, 2015.

[20] J. Klatzow, J. N. Becker, P. M. Ledingham, C. Weinzetl, K. T. Kaczma-rek, D. J. Saunders, J. Nunn, I. A. Walmsley, R. Uzdin, and E. Poem,“Experimental demonstration of quantum effects in the operation ofmicroscopic heat engines,” Phys. Rev. Lett., vol. 122, p. 110601, 2019.

[21] F. G. S. L. Brandao and M. B. Plenio, “Entanglement theory and thesecond law of thermodynamics,” Nature Physics, vol. 4, pp. 873–877,2008.

[22] I. Henao and R. M. Serra, “Role of quantum coherence in the thermody-namics of energy transfer,” Phys. Rev. E, vol. 97, p. 062105, 2018.

[23] J. J. Park, S. W. Kim, and V. Vedral, “Fluctuation theorem for arbi-trary quantum bipartite systems.”.

[24] T. Ma, M.-J. Zhao, S.-M. Fei, and M.-H. Yung, “Necessity for quantumcoherence of nondegeneracy in energy flow,” Phys. Rev. A, vol. 99,p. 062303, 2019.

21

[25] R. Clausius, “Ueber eine veranderte Form des zweiten Hauptsatzes dermechanischen Warmetheorie,” Annalen der Physik, vol. 169, pp. 481–506, 1854.

[26] C. L. Latune, I. Sinayskiy, and F. Petruccione, “Heat flow reversals wit-hout reversing the arrow of time: The role of internal quantum cohe-rences and correlations,” Phys. Rev. Research, vol. 1, p. 033097, 2019.

[27] D. Jennings and T. Rudolph, “Entanglement and the thermodynamicarrow of time,” Phys. Rev. E, vol. 81, p. 061130, 2010.

[28] R. Alicki, “The quantum open system as a model of the heat engine,”Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 12, pp. L103–L107, 1979.

[29] R. Kosloff, “A quantum mechanical open system as a model of a heatengine,” The Journal of Chemical Physics, vol. 80, pp. 1625–1631, 1984.

[30] X. Chen, A. Ruschhaupt, S. Schmidt, A. del Campo, D. Guery-Odelin,and J. G. Muga, “Fast optimal frictionless atom cooling in harmonictraps: Shortcut to adiabaticity,” Phys. Rev. Lett., vol. 104, p. 063002,2010.

[31] R. Kosloff, “Quantum thermodynamics: A dynamical viewpoint,” En-tropy, vol. 15, pp. 2100–2128, 2013.

[32] A. del Campo, “Shortcuts to adiabaticity by counterdiabatic driving,”Phys. Rev. Lett., vol. 111, p. 100502, 2013.

[33] D. Guery-Odelin, A. Ruschhaupt, A. Kiely, E. Torrontegui, S. Martınez-Garaot, and J. G. Muga, “Shortcuts to adiabaticity: Concepts, met-hods, and applications,” Rev. Mod. Phys., vol. 91, p. 045001, 2019.

[34] S. Jevtic, D. Jennings, and T. Rudolph, “Quantum mutual informationalong unitary orbits,” Phys. Rev. A, vol. 85, p. 052121, 2012.

[35] R. P. Feynman, “Simulating physics with computers,” Int. J. Theor.Phys., vol. 21, p. 467–488, 1982.

[36] B. P. Lanyon, C. Hempel, D. Nigg, M. Muller, R. Gerritsma, F. Zahrin-ger, P. Schindler, J. T. Barreiro, M. Rambach, G. Kirchmair, M. Henn-rich, P. Zoller, R. Blatt, and C. F. Roos, “Universal digital quantumsimulation with trapped ions,” Science, vol. 334, pp. 57–61, 2011.

[37] E. A. Martinez, C. A. Muschik, P. Schindler, D. Nigg, A. Erhard,M. Heyl, P. Hauke, M. Dalmonte, T. Monz, P. Zoller, and et al., “Real-time dynamics of lattice gauge theories with a few-qubit quantum com-puter,” Nature, vol. 534, p. 516–519, 2016.

22

[38] J. S. Pedernales, I. Lizuain, S. Felicetti, G. Romero, L. Lamata, andE. Solano, “Quantum rabi model with trapped ions,” Scientific Reports,vol. 5, pp. 2045–2322, 2015.

[39] R. Barends, L. Lamata, J. Kelly, L. Garcıa-Alvarez, A. G. Fowler,A. Megrant, E. Jeffrey, T. C. White, D. Sank, J. Y. Mutus, and et al.,“Digital quantum simulation of fermionic models with a superconduc-ting circuit,” Nat. Commun., vol. 6, pp. 2041–1723, 2015.

[40] Y. Salathe, M. Mondal, M. Oppliger, J. Heinsoo, P. Kurpiers, A. Po-tocnik, A. Mezzacapo, U. Las Heras, L. Lamata, E. Solano, S. Filipp,and A. Wallraff, “Digital quantum simulation of spin models with cir-cuit quantum electrodynamics,” Phys. Rev. X, vol. 5, p. 021027, 2015.

[41] I. Buluta and F. Nori, “Quantum simulators,” Science, vol. 326,pp. 108–111, 2009.

[42] S. Lloyd, “Universal quantum simulators,” Science, vol. 273, pp. 1073–1078, 1996.

[43] C. Senko, P. Richerme, J. Smith, A. Lee, I. Cohen, A. Retzker, andC. Monroe, “Realization of a quantum integer-spin chain with contro-llable interactions,” Phys. Rev. X, vol. 5, p. 021026, 2015.

[44] W. Vogel and D. Welsch, Quantum Optics. Wiley, 2006.

[45] D. Leibfried, R. Blatt, C. Monroe, and D. Wineland, “Quantum dyna-mics of single trapped ions,” Rev. Mod. Phys., vol. 75, p. 281, 2003.

[46] R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics. Springer BerlinHeidelberg, 2012.

[47] F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, NISThandbook of mathematical functions. Cambridge University Press, 2010.

[48] A. B. Klimov and L. L. Sanchez-Soto, “Method of small rotationsand effective hamiltonians in nonlinear quantum optics,” Phys. Rev.A, vol. 61, p. 063802, 2000.

[49] C. Jarzynski and D. K. Wojcik, “Classical and quantum fluctuationtheorems for heat exchange,” Phys. Rev. Lett., vol. 92, p. 230602, 2004.

[50] P. Talkner, E. Lutz, and P. Hanggi, “Fluctuation theorems: Work is notan observable,” Phys. Rev. E, vol. 75, p. 050102, 2007.

[51] R. Gallego, J. Eisert, and H. Wilming, “Thermodynamic work fromoperational principles,” New Journal of Physics, vol. 18, p. 103017,2016.

23

[52] M. Perarnau-Llobet, E. Baumer, K. V. Hovhannisyan, M. Huber, andA. Acin, “No-go theorem for the characterization of work fluctuationsin coherent quantum systems,” Phys. Rev. Lett., vol. 118, p. 070601,2017.

[53] S. An, J. N. Zhang, M. Um, D. Lv, Y. Lu, J. Zhang, Z. Q. Yin, H. T.Quan, and K. Kim, “Experimental test of the quantum Jarzynski equa-lity with a trapped-ion system,” Nature Physics, vol. 11, pp. 193–199,2014.

[54] T. P. Xiong, L. L. Yan, F. Zhou, K. Rehan, D. F. Liang, L. Chen, W. L.Yang, Z. H. Ma, M. Feng, and V. Vedral, “Experimental verification ofa Jarzynski-related information-theoretic equality by a single trappedion,” Phys. Rev. Lett., vol. 120, p. 010601, 2018.

[55] F. Reiter, F. Lange, and Z. Lenarcic, “Engineering generalized Gibbsensembles with trapped ions.”.

24