L ogicas multi-variadas, l ogicas difusas, y sus ...

Logicas multi-variadas, logicas difusas, y susfundamentos en aplicaciones a sistemas

informaticos

Nelson Andres Sanchez [email protected]

Mayo 2018

Indice general

1. Introduccion 51.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Preliminares 112.1. Logica clasica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Logica clasica de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Retıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Logicas trivariadas y logicas finito-variadas 213.1. Semantica de las logicas tri-variadas . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1. Logica tri-variada de Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . 223.1.2. Principio de normalidad y de uniformidad . . . . . . . 27

3.2. Otros significados semanticos para logicas tri-variadas . . . . . 293.3. Sistema axiomatico para logicas tri-variadas . . . . . . . . . . 313.4. Tautologıas y cuasi-tautologıas de logicas tri-variadas . . . . . 353.5. Comparacion entre logicas tri-variadas . . . . . . . . . . . . . 373.6. Semantica y sistema axiomatico de logicas tri-variadas de pri-

mer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6.1. Semantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6.2. Sistema deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.7. Analisis de la paradoja de sorites . . . . . . . . . . . . . . . . 513.8. Extension del analisis a logicas finito-variadas . . . . . . . . . 55

3.8.1. Propiedades deseables y ejemplos . . . . . . . . . . . . 553.8.2. Comparacion con logicas tri-variadas . . . . . . . . . . 56

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4 INDICE GENERAL

4. Logica difusa 594.1. Introduccion a la logica proposicional difusa de Lukasiewicz . 604.2. Principio de normalidad y uniformidad para logica difusa, tau-

tologıas, contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.1. Comparacion entre logica difusa de Lukasiewicz, finito-

variadas, y logica clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3. T-normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4. Sistema axiomatico para logicas difusas a partir de T-normas . 74

4.4.1. Definicion de la logica basica a partir de T-normas . . 744.4.2. BL-algebras y la semantica de la logica basica . . . . . 794.4.3. Teorema de completitud proposicional de la logica basica 82

4.5. Construccion de la logica difusa de Lukasiewicz . . . . . . . . 864.5.1. MV-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5.2. Teorema de completitud para Lukasiewicz . . . . . . . 894.5.3. No compacidad y no completitud fuerte de Lukasiewicz 90

4.6. Construccion logicas difusas de Godel y de Producto . . . . . 934.6.1. Comparacion entre logicas difusas . . . . . . . . . . . . 94

4.7. Semantica de primer orden para logicas difusas . . . . . . . . . 964.7.1. N-tautologıas, N-contradicciones inferencias logicas por

grados, y N-inferencias logicas . . . . . . . . . . . . . . 994.8. Analisis a la paradoja de sorites para la logica difusa de Lu-

kasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5. Aplicaciones de logica difusa a sistemas informaticos 1075.1. Conceptos para aplicar la logica difusa . . . . . . . . . . . . . 1085.2. Funciones de membresıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3. Inferencias difusas basadas en reglas . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3.1. Emparejamiento difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3.2. Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.3.3. Combinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4. Desdifusificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.5. Consideraciones finales respecto a aplicaciones en ingenierıa . 120

6. Conclusiones y trabajo futuro 1236.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

References 127

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Objetivos

Este trabajo tiene dos objetivos principales, el primero de los cuales es en-tender la fundamentacion matematica de las logicas difusas y logicas mul-tivariadas, y las motivaciones que sustentan el formalismo de las anterioresfrente a la logica clasica.

El segundo objetivo de este trabajo es mostrar como la fundamentacion ma-tematica justifica el uso de la logica difusa y logicas multivariadas en aplica-ciones a sistemas informaticos, por ejemplo, inteligencia artificial, robotica,o sistemas de control.

1.2. Metodologıa

Como metodologıa principal de trabajo, se realizara una exploracion sobrelos fundamentos matematicos de las logicas finito-variadas y las logicas di-fusas, haciendo enfasis especialmente en motivaciones semanticas, las cualesjustifican el origen en las logicas y dan explicacion a por que son tan aplica-bles en distintos sistemas de control y de decision.

De igual forma, se exploraran propiedades matematicas deseables en las logi-cas difusas y multivariadas, como lo son correccion, completitud, decibilidad,entre otras. Se hara especial enfasis en axiomas, tautologıas, y reglas de de-duccion que se desean conservar de la logica clasica; teoremas de la logica

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6 1.2. Metodologıa

clasica que se desean cuestionar en logica multivariadas, como lo es del casodel medio exclusivo; y resolver paradojas interesantes de la logica clasica co-mo serıa la paradoja de sorites.

Con este proposito, se analizaran primero las logicas trivariadas (con valoresde verdad T,N, F ), de tal forma que se pueda entender la justificacion delorigen de las logicas multivariadas. Adicionalmente, realizaremos un estudiode su semantica y su sistema axiomatico, para poderlo comparar con la logicaclasica. Se hara un enfasis especial en la logica tri-variada de Lukasiewicz,mostrando por que es de interes en nuestro estudio y como se compara conotras logicas tri-variadas.

Despues de analizar el alcance de las logicas trivariadas, y de su generaliza-cion a las logicas finito variadas, se explicara cuales son las limitantes de lasmismas y el motivo que justifica el uso de logicas difusas. Una vez introdu-cido el concepto de logica difusa, se explorara nuevamente la semantica delmismo a nivel de logica proposicional y de primer orden, al mismo tiempo sediscutira el alcance y las propiedades de su sistema axiomatico.

Es importante resaltar que se introducira simultaneamente la motivacion dela semantica de las logicas difusas y el concepto de T-norma, el cual nosayudara a construir un sistema axiomatico que capturara las tautologıas quecumplen las principales logicas difusas. A su vez, exploraremos tres de laslogicas difusas mas estudiadas, Lukasiewicz, Godel y logica de producto, ex-plicando diferencias semanticas y sintacticas entre ellas, y mostrando cualesserıan los alcances que tendrıan individualmente a nivel de teoremas y pro-piedades deseables con respecto a la logica clasica.

Finalmente, moviendonos de la perspectiva puramente matematica hacia unamas aplicada a ingenierıa, se plantea como se pueden aplicar las logicas difu-sas en distintos sistemas informaticos. Para esto, se expondra un ejemplo decomo aplicar logica difusa en un sistemas de control. El objetivo sera enton-ces a partir de lo anterior establecer ejemplos de aplicaciones en inteligenciaartificial y robotica; y analizarlos partiendo de las bases matematicas parapoder establecer algunas metas adicionales como trabajo a futuro.

Chapter 1. Introduccion 7

1.3. Motivacion

Con los avances de la tecnologıa que se han presentado durante el siglo XXI,hemos visto como la inteligencia artificial ha adquirido relevancia en la in-vestigacion de frontera de la ingenierıa de sistemas. Una de las herramientasusadas en esta area es la logica difusa, la cual, aunque fue desarrollada amitad del siglo XX por Lofti A. Zeldeh en 1964 [YL99], ha encontrado susaplicaciones a traves de simuladores como MATLAB, SIMULINK, o Xfuzzy.Estos simuladores usan funciones de membresıa graduada para determinar elestado de un sistema y tomar decisiones al respecto.

Esta tecnica se ha usado en distintas aplicaciones, como lo son sistemas decontrol, algoritmos de reconocimiento de patrones, simulacion de emocionesen agentes inteligentes o planeacion de caminos en robotica. Esto en razon aque la logica difusa presenta ventajas sobre otras tecnicas como lo son [YL99]:

Manejo adecuado para la utilizacion de algoritmos de control, los cualesusan reglas o heurısticas como bases para su estrategia de control.

Manejo de incertidumbre acerca de la aplicacion de reglas heurısticasy medida de la imprecision de los resultados.

Sin embargo, estas aplicaciones generan preguntas naturales tanto desde elpunto de vista de la ingenierıa como de la matematica teorica. Algunas deestas preguntas son:

¿Por que la logica difusa se llama una “logica”¿Posee un modelo o unsistema axiomatico? ¿Que propiedades deseables de la logica posee?

¿Como se puede definir el concepto de incertidumbre? ¿Por que nosinteresa modelar este concepto? ¿Como podemos tener certeza de laveracidad de las decisiones que toman los simuladores de logica difusa?

Como el lector podra apreciar, estas son preguntas validas, y a traves deeste documento buscaremos explicar de la mejor forma posible sus respues-tas o lo mas cercano a ellas. Como primera motivacion, nos enfocaremos enel concepto de incertidumbre. Tome el ejemplo de decidir si una persona esalta o no. Podemos decir que una persona de 1.90 m (metros) es alta y queuna persona de 1.55 m no lo es. En logica clasica, incluso podemos tener un

8 1.3. Motivacion

predicado P (x) el cual afirme que “x es una persona alta”. Sin embargo, vol-viendo a un ejemplo de la realidad, que pasarıa si consideramos una personam de 1.71 m, ¿Sera m una persona alta o no?.

En la logica clasica, serıa necesario afirmar que sı o que no es una persona al-ta. Una persona podrıa decir que no es alta, ya que es mas cercana su estaturaa la persona de 1.55 m, la cual sabemos que no es alta, frente a la persona de1.90 m que sabemos es alta. Entonces bajo nuestro modelo valdrıa ¬P (m),pero en varios paıses 1.71 m es considerado como una persona alta, por loque deberıa valer P (m). Finalmente, pueden haber personas que no sepansi m serıa o no una persona alta, por lo que surge la pregunta ¿podrıamosmodelar en una logica la veracidad de una afirmacion en caso de no poderconocer la veracidad de algunas de sus premisas?

En logica clasica, la respuesta inicial serıa que no, esto no es posible por elteorema del tercio excluido P (x)∨¬P (m), el cual afirma que, en este caso o“m es una persona alta”o “x no es una persona alta”. No podrıamos manejarun valor intermedio o un valor de incertidumbre acerca de P (m) en nuestralogica clasica.

Ahora, como solucion inicial, podemos decir que todas la personas con al-tura mayor a 1.75 m son altas, y el resto no son altas. Ahora, piense en larelacion P (x, y) como “x es similar en estatura a y”. Para representar quedos personas son de la misma estatura, podemos establecer como regla quetodo par de personas (x, y) cuya diferencia de alturas de menos de 0.05 cmtienen “la misma” altura. Note que la afirmacion tiene sentido en el lenguajecotidiano. Sin embargo, sabiendo que 1.75 cm es una persona alta, 1.71 mtambien deberıa de ser una persona alta, pero ya habıamos dicho que 1.71 mno es una persona alta. ¿Que fallo en nuestro razonamiento?.

Una persona podrıa afirmar que 1.75 m no deberıa ser una persona alta, ypor eso 1.71 m no deberıa ser una persona alta. Este no serıa el problemaya que si 1.90 cm es alto, entonces 1.85 cm es alto, ası como lo serıan 1.80m, 1.75 m y 1.71 m. Pero bajo ese razonamiento, despues de un numerode pasos, llegarıamos a que 1.55 m es alto, lo cual no es verdad. ¿Entoncesel problema radica en decir que el significado que le dimos a P (x, y) no esverdad? No necesariamente, ya que en la vida real, si vemos a dos personascon menos de 5 cm de diferencia de altura, decimos que sı son de la misma

Chapter 1. Introduccion 9

altura; entonces ¿cual es el problema que crea el conflicto entre la logica yel razonamiento cotidiano?. Este tipo de razonamiento se formalizara masadelante como la paradoja de sorites o paradoja del monton, la cual no sepuede resolver con logica clasica. La razon es porque la paradoja trabaja conel concepto de incertidumbre, el cual ya vimos no es tratable con la logicaclasica.

Es por esto que mostraremos la logica difusa como una alternativa que nosolo maneja el concepto de incertidumbre, sino que resuelve exitosamente laparadoja de sorites, y ademas posee propiedades interesantes para su estudiomatematico, como lo son decibilidad y completitud.

Por tanto, sera de nuestro interes en este trabajo, mostrar la matematicaque fundamenta la logica difusa, hacer enfasis especialmente en su diferen-cia semantica y sintactica con respecto a la logica clasica, observar comoesta resuelve el problema de la paradoja de sorites, y finalmente observarcomo el manejo de incertidumbre es aplicado en herramientas de ingenierıay tecnologıa de frontera.

Capıtulo 2

Preliminares

Con el fin de, poder abordar los temas de este texto, el lector debe tenerconocimiento de los conceptos basicos para definir la logica clasica proposi-cional y la logica clasica de primer orden. Ası mismo, no es necesario que elautor tenga conocimientos de ingenierıa para tratar los temas del escrito.

Las definiciones y resultados presentados a continuacion se obtienen adap-tando los preliminares de [Haj98] y [Ber08].

2.1. Logica clasica proposicional

El lenguaje de la logica proposicional clasica se define a partir de letrasproposicionales P1, P2, P3, ... junto con los sımbolos de conectivos¬,∧,∨,→,↔ y es el menor conjunto (con respecto a ⊆) tal que:

Las letras proposicionales son formulas bien formadas, (es decir ele-mentos del conjunto).

Si ϕ, ψ son formulas bien formadas, entonces ¬ϕ, ϕ∧ψ, ϕ∨ψ, ϕ→ ψ,ϕ↔ ψ.

Definimos una valoracion clasica como una funcion V que asigna a cada unade las letras proposicionales uno de los valores en {T,F}. Adicionalmente,se extienden las valoraciones V a formulas bien formadas a traves de las si-guientes tablas de verdad de la 2.1 a las 2.5

11

12 2.1. Logica clasica proposicional

ϕ ¬ϕT FF T

Tabla 2.1: Tabla de verdad de la negacion

ϕ ∧ ψ T FT T FF F F

Tabla 2.2: Tabla de verdad de la conjuncion

ϕ ∨ ψ T FT T TF T F

Tabla 2.3: Tabla de verdad de la disyuncion

ϕ→ ψ T FT T FF T T

Tabla 2.4: Tabla de verdad de la implicacion

ϕ↔ ψ T FT T FF F T

Tabla 2.5: Tabla de verdad de la doble implicacion

Chapter 2. Preliminares 13

Se define que una formula bien formada ϕ es una tautologıa clasica propo-sicional si para toda valoracion V sobre letras proposicionales se tiene queV (ϕ) = T. Tambien se usara � ϕ para denotar que ϕ es una tautologıa clasica.

Se define que una formula bien formada ϕ es una contradiccion clasica pro-posicional si para toda valoracion V sobre letras proposicionales se tiene queV (ϕ) = F.Algunas de las tautologıas de la logica proposicional son:

ϕ→ ϕ

ϕ↔ ϕ

ϕ ∨ ¬ϕ (Medio excluido)

Adicionalmente, se definen 1, 0 como abreviaciones ası:

1 = ϕ→ ϕ

0 = ¬1

Por lo que se tienen tambien las tautologıas:

¬ϕ↔ (ϕ→ 0)

(ϕ ∧ ψ)↔ ¬(ϕ→ ¬ψ)

(ϕ ∨ ψ)↔ ((ϕ→ ψ)→ ψ)

(ϕ↔ ψ)↔ ((ϕ→ ψ) ∧ (ψ → ϕ))

ϕ→ (ψ → ϕ) (LC ,1.LC ,1.LC ,1.)

(ϕ→ (ψ → χ))→ ((ψ → χ)→ (ϕ→ χ)) (LC ,2.LC ,2.LC ,2.)

(¬ϕ→ ¬ψ)→ (ψ → ϕ) (LC ,3.LC ,3.LC ,3.)

De lo anterior se sigue que semanticamente todos los operadores son equiva-lentes a formulas bien formadas que solo usan 0 y →.

Dado un conjunto de formulas Γ y una formula ϕ, decimos que ϕ se in-fiere con premisas Γ si para toda valoracion V tal que para toda formula

14 2.1. Logica clasica proposicional

ψ ∈ Γ, V (ψ) = T, entonces se tiene que V (ϕ) = T. Se denota en este casoque Γ � ϕ y se dice que es una inferencia clasica valida.

Adicionalmente, se define el sistema axiomatico de la logica proposicionalcon los siguientes tres axiomas:

Axioma 1. LC ,1.LC ,1.LC ,1. ϕ→ (ψ → ϕ).

Axioma 2. LC ,2.LC ,2.LC ,2. (ϕ→ (ψ → χ))→ ((ψ → χ)→ (ϕ→ χ)).

Axioma 3. LC ,3.LC ,3.LC ,3. (¬ϕ→ ¬ψ)→ (ψ → ϕ).

Y la regla de deduccion de Modus Ponens

Regla de deduccion 1. MP.MP.MP. ϕ, ϕ→ ψ ` ψ

Se define una deduccion del sistema axiomatico de la logica clasica comouna lista finita de formulas ϕ1, ϕ2, ...ϕn donde cada ϕi es un axioma o es elresultado de usar Modus Ponens de dos formulas ϕj, ϕk con j, k < i y de talforma que ϕk = ϕj → ϕi.

Una formula ϕ es deducible en la logica clasica proposicional si existe unadeduccion tal que ϕ sea el ultimo elemento de la lista finita. Tambien se usara` ϕ para denotar que ϕ es deducible en la logica clasica.

Dado un conjunto de formulas Γ y una formula ϕ, decimos que ϕ se deducecon premisas Γ si existe una deduccion ϕ1, ϕ2, ..., ϕn tal que ϕn = ϕ y cadaϕi es un axioma, es el resultado de Modus Ponens de ϕj, ϕk con j, k < i, oϕi ∈ Γ. Se denota en este caso que Γ ` ϕ y se dice que es una deduccion conpremisas de la logica clasica.

Se conocen los siguientes resultados sobre la logica clasica proposicional:

Teorema 2.1. Validez:Validez:Validez: Se tiene que la logica proposicional clasica es validacon premisas, es decir que para toda deduccion con premisas Γ ` ϕ, se tieneentonces que Γ � ϕ.

Teorema 2.2. Completitud debil:Completitud debil:Completitud debil: Se tiene que la logica proposicional clasicaes completa (debilmente), es decir, toda tautologıa clasica ϕ es deducible conel sistema axiomatico de la logica clasica (` ϕ).


Teorema 2.3. Completitud fuerte:Completitud fuerte:Completitud fuerte: Se tiene que la logica proposicional clasi-ca es completa (fuertemente), es decir que para toda inferencia con premisasΓ � ϕ, se tiene entonces que Γ ` ϕ.

Teorema 2.4. Decibilidad:Decibilidad:Decibilidad: Se tiene que la logica proposicional clasica esdecidible, es decir que se tiene un algoritmo con finitos pasos para determinarsi ϕ es o no una tautologıa clasica para toda ϕ toda formula bien formada.

Teorema 2.5. Compacidad:Compacidad:Compacidad: Se tiene que la logica proposicional clasica escompacta, es decir que dada una inferencia valida con premisas Γ � ϕ, en-tonces existe al menos un subconjunto finito de formulas Γ′ ⊆ Γ tal queΓ′ � ϕ.

2.1.1. Formas normales

Un literal es una formula de la forma P o de la forma ¬P , donde P es unaletra proposicional. Ası entonces se dice que:

Un literal es una frase.

Si ϕ, ψ son frases, entonces (ϕ ∧ ψ) es una frase.

Una frase esta en forma normal disyuntiva.

Si ϕ, ψ estan en forma normal disyuntiva, entonces (ϕ ∨ ψ) esta enforma normal disyuntiva.

Un literal es una clausula.

Si ϕ, ψ son clausulas, entonces (ϕ ∨ ψ) es una clausula.

Una clausula esta en forma normal conjuntiva.

Si ϕ, ψ estan en forma normal conjuntiva, entonces (ϕ ∧ ψ) esta enforma normal conjuntiva.

Teniendo las definiciones de formas normales conjuntivas y disyuntivas, seconocen los siguientes resultados.

Teorema 2.6. Toda formula bien formada ϕ de la logica proposicional clasi-ca es equivalente a una formula ϕ′ que esta en forma normal conjuntiva.

16 2.2. Logica clasica de primer orden

Teorema 2.7. Toda formula bien formada ϕ de la logica proposicional clasi-ca es equivalente a una formula ϕ′ que esta en forma normal disyuntiva.

2.2. Logica clasica de primer orden

Un lenguaje de la logica clasica de primer orden se define sobre un conjunto novacıo de predicados P1, P2, ..., cada uno asociado con numero natural positivon1, n2, ... llamado aridad y un conjunto de sımbolos de constantes a1, a2, ...(posiblemente vacıo). Adicionalmente, se usan los sımbolos de constantes deverdad 0, 1, el sımbolo de igualdad =, el conectivo →, y el cuantificador ∀.

Ası, el lenguaje de la logica clasica de primer orden es el menor conjunto (cu-yos elementos llamaremos formulas bien formadas) que contiene las formulasatomicas, o sea las formulas de la forma.

t1 = t2

Pt1...tn para P un predicado con aridad n y ti son sımbolos de cons-tantes o sımbolos de variables (x1, x2, ...).

Y tal que:

Las formulas atomicas son formulas bien formadas.

Si ϕ, ψ son formulas bien formadas, entonces ϕ → ψ, es una formulabien formadas.

Si ϕ es una formula bien formada y x es un sımbolo de variable, entonces∀xϕ es una formula bien formada.

Para ϕ, ψ formulas bien formadas. Se definen los conectivos ¬,∧,∨,↔, ∃como abreviaciones, de la siguiente manera:

¬ϕ := (ϕ→ 0).

(ϕ ∧ ψ) := ¬(ϕ→ ¬ψ).

(ϕ ∨ ψ) := ((ϕ→ ψ)→ ψ).

(ϕ↔ ψ) := ((ϕ→ ψ) ∧ (ψ → ϕ)).


∃xϕ := ¬∀x¬ϕ.

Dado un lenguaje de la logica clasica de primer orden L, una interpretacionI es una tripla I =< D, (rP )P , (mc)c > en donde,

D, llamado dominio, es un conjunto no vacıo de elementos.

Para cada predicado del lenguaje P con su aridad n, se define rP comoun subconjunto de Dn (rP ⊆ Dn).

Para cada sımbolo de constante c se define mc como un elemento delconjunto D (mc ⊆ D). Por notacion se tendra que I(c) = mc.

Definimos una valoracion clasica de primer orden V sobre la interpreta-cion I como una funcion que asigna a cada sımbolo de variable x1, x2, ...un valor correspondiente a un elemento del dominio D de la interpretacion I(V (xi) ∈ D).

Dada una valoracion V sobre una interpretacion I y una variable x, una va-loracion V ′ sobre I es x-variante con respecto a V si V ′(y) = V (y) para todavariable y diferente a x.

Considere una valoracion V de una interpretacion I. Extendemos la valora-cion V a formulas bien formadas de la logica clasica de primer orden comola asignacion que envıa formulas ϕ a valores de {T,F} de la siguiente forma:

(i) V (0) = F

(ii) Para las formulas atomicas de la forma t1 = t2:

V (t1 = t2) = T si y solo I∗(t1) = I∗(t2).Donde I∗(ti) es I(ti) si ti es constante, y I∗(ti) es V (ti) si ti es unavariable.

V (t1 = t2) = F si y solo I∗(t1) 6= I∗(t2)

(iii) Para formulas atomicas de la forma Pt1...tn:

V (Pt1...tn) = T si y solo si < I∗(t1), ..., I∗(tn) >∈ rP .

Donde I∗(ti) es I(ti) si ti es constante, y I∗(ti) es V (ti) si ti es unavariable.

18 2.2. Logica clasica de primer orden

V (Pt1...tn) = F sı y solo sı < I∗(t1), ..., I∗(tn) >/∈ rP

(iv) Para la formula ψ → ϕ:

V (ψ → ϕ) = T si V (ϕ) = V (ψ) o si V (ϕ) = F.

V (ψ → ϕ) = F si V (ϕ) = T y V (ψ) = F.

Y para el manejo de los cuantificadores se tendra lo siguiente:

(v) Para formula ∀xϕ:

V (∀xϕ) = T si para toda valoracion V ′. x-variante de V en I setiene que V (ϕ) = T.

V (∀xϕ) = F si existe una valoracion V ′. x-variante de V en I talque V (ϕ) = F.

Fijando un lenguaje L. Se dice que una formula ϕ es una tautologıa de la logi-ca clasica de primer orden (o tambien conocida como formula universalmentevalida) si V (ϕ) = T para toda valoracion V sobre cualquier interpretacion Ide nuestro lenguaje.

Se dice que una formula ϕ es una contradiccion de la logica clasica de primerorden si V (ϕ) = F para toda valoracion V sobre cualquier interpretacion Ide nuestro lenguaje.

Se dice que una variable x es libre en formulas atomicas en los siguientescasos:

x es libre en t1 = t2 si x = t1 o x = t2.

x es libre en Pt1...tn si para algun i se tiene que x = ti.

Adicionalmente, para formulas bien formadas se tiene

x no es libre en 0.

x es libre en ϕ→ ψ si x es libre en ϕ o x es libre en ψ.

x es libre en ∀yϕ si x 6= y y x es libre en ϕ.


Se define la sustitucion ϕ(x/t) como el proceso de reemplazar una variable xpor un termino (formula atomica) t en una formula ϕ recursivamente de lasiguiente forma:

0(x/t) = 0

Si ϕ es una formula atomica, entonces ϕ(x/t) es el resultado de reem-plazar en ϕ todas las ocurrencias de x por el termino t.

(ϕ→ ψ)(x/t) = (ϕ(x/t))→ (ψ(x/t)).

(∀xϕ)(x/t) = ∀xϕ (no hay cambios).

(∀yϕ)(x/t) = ∀y(ϕ(x/t)) si y 6= x.

Decimos que un termino t es sustituible por x en ϕ si ninguna subformula deϕ de la forma ∀xψ contiene ocurrencias de x libres en ψ. Por definicion unaconstante siempre es sustituible por cualquier variable en cualquier formula.

Se define el sistema axiomatico de primer orden con los axiomas de la logicaproposicional clasica (pero reemplazando formulas proposicionales por formu-las de primer orden) mas los dos axiomas:

Axioma 4. LC∀,1.LC∀,1.LC∀,1. (∀x)(ϕ→ ψ)→ (ϕ→ (∀x)ψ)Si x no ocurre libre en ϕ.

Axioma 5. LC∀,2.LC∀,2.LC∀,2. (∀x)ϕ→ ϕ(x/t)Si t es sustituible para x en ϕ.

Junto con las reglas de deduccion de Modus Ponens MP.MP.MP. y la regla de gene-ralizacion universal.

Regla de deduccion 2. UG.UG.UG. ϕ(x/a) ` (∀x)ϕDonde x es una variable, que en ninguna de las formulas del conjunto de pre-misas contienen el sımbolo constante a, y en donde la formula ϕ no contieneel sımbolo constante a.

Con lo anterior se dice que una formula ϕ es deducible en la logica clasicade primer orden si existe una deduccion finita ϕ1, ϕ2, ..., ϕn de axiomas yformulas resultantes de MP.MP.MP. y UG.UG.UG. tal que ϕn = ϕ.

A partir de la anterior formalizacion, se conocen los siguientes resultadospara la logica clasica de primer orden:

20 2.3. Retıculos

Teorema 2.8. Validez:Validez:Validez: Se tiene que la logica clasica de primer orden es vali-da con premisas, es decir que toda formula deducible con el sistema axiomati-co de la logica clasica de primer orden es una tautologıa de la logica clasicade primer orden.

Teorema 2.9. Completitud:Completitud:Completitud: Se tiene que la logica clasica de primer ordenes completa, es decir, toda tautologıa clasica de primer orden es deduciblecon el sistema axiomatico de la logica clasica de primer orden.

2.3. Retıculos

Se define un retıculo como una tripla (L,∩,∪) con ∩ y ∪ dos funcionesbinarias de L× L a L tal que para todos x, y, z ∈ L:

x ∩ x = x,x ∪ x = x (indempotencia).

x ∩ y = y ∩ x, x ∪ y = y ∪ x (conmutatividad).

x ∩ (y ∩ z) = (x ∩ y) ∩ z,x ∪ (y ∪ z) = (x ∪ y) ∪ z (asociatividad).

x ∩ (x ∪ y) = x,x ∪ (x ∩ y) = x (absorcion).

En el cual se conoce que,

Lema 2.10. Dado un retıculo (L,∩,∪) , si se define ≤ tal que para todosx, y ∈ L.

x ≤ y si y solo si x ∩ y = x.

Entonces < L,≤> es un conjunto ordenado. El mismo resultado se puedeobtener definiendo:

x ≤ y si y solo si x ∪ y = y.

Capıtulo 3

Logicas trivariadas y logicasfinito-variadas

Como primera aproximacion a la solucion del manejo de incertidumbre y laparadoja de sorites, comenzaremos hablando de las logicas finito-variadas,las cuales pueden usar muchos mas valores de verdad diferentes a True yFalse, pero siempre un numero finito.

El trabajar con estas logicas le permitira al lector obtener una introduccionde la semantica del concepto de incertidumbre junto con sus interpretacio-nes y su trato en la logica. Estos conceptos le seran utiles para entender lasemantica detras de la logica difusa y como esta se puede aplicar en concep-tos de ingenierıa.

Para el desarrollo de este capıtulo, se adapta el formalismo presentado en[Ber08] con respecto a la definicion de cada una de las logicas tri-variadas.Mientras que el autor hace un trabajo propio en la comparacion entre logicastri-variadas, el analisis de la paradoja de sorites para la version tri-variada,y la extension del analisis de la paradoja para las logicas finito-variadas.

3.1. Semantica de las logicas tri-variadas

Como primer paso, contemplaremos un estudio acerca de las logicas tri-variadas, en el cual usaremos tres posibles valores de verdad T,F, y N paralas letras proposicionales, donde el valor N denotara nuestro nivel de incer-

21

22 3.1. Semantica de las logicas tri-variadas

tidumbre que agregaremos con respecto a la logica clasica.

Sin embargo, y a diferencia de la logica clasica, existen muchas interpreta-ciones y variantes de logicas tri-variadas, de tal forma que esta no es unica.Uno de los factores que diferenciara cada una de las logicas tri-variadas es lainterpretacion semantica de N.

Por tanto, para abordar este tema comenzaremos con una de las logicas masrepresentativas del estudio de las logicas tri-variadas: la version tri-variadade la logica de Lukasiewicz. Luego trataremos otras interpretaciones para laslogicas tri-variadas y como se diferencian de la de Lukasiewicz. Finalmente,mostramos propiedades interesantes de la semantica y el sistema deductivode estas logicas.

3.1.1. Logica tri-variada de Lukasiewicz

Primero, presentaremos formalmente la semantica de la logica tri-variada deLukasiewicz (L3 ), Para la cual daremos interpretacion a los valores T,F,N, ası como los demas conectivos logicos (¬L ,∧L ,∨L ,→L ,↔L ,&L ,∇L ).En este caso, el operador logico unario ¬L es una funcion de {T, F,N} en{T, F,N}; los demas operadores logicos, binarios, seran funciones con dosargumentos que van de {T, F,N} × {T, F,N} en {T, F,N}.

Para esta logica, diremos que el significado de T y de F es el de Verdaderoy el de Falso respectivamente, ası como en logica clasica, mientras que elvalor de incertidumbre N se interpretara como “desconocido” [Ber08]. Esdecir, que en el instante de evaluacion, no se sabe el valor de verdad de laformula, pero se sabe que podrıa ser potencialmente verdad, ası como a su vezpodrıa ser potencialmente falsa. De esta forma, manejamos el concepto de in-certidumbre como desconocimiento del posible valor de verdad de la formula.

Ahora, para los conectivos, Lukasiewicz maneja 7 conectivos: dos tipos deconjunciones, una debil y una fuerte (∧L y &L ), dos tipos de disyunciones,una debil y una fuerte (∨L y ∇L ), y los conectivos de negacion, implicacion,y la doble implicacion (¬L , →L , ↔L ). Como el lector puede notar, habrados conjunciones y dos disyunciones. La palabra “fuerte”se usa por su rela-cion con las T-normas, las cuales se exploraran a fondo en la seccion de logicadifusa, pero por ahora, se proporcionara al lector una explicacion semantica

Chapter 3. Logicas trivariadas y logicas finito-variadas 23

de por que llamar a estos conectivos fuertes en contraste con sus versionesdebiles.

Finalmente, en nuestra semantica se utilizaran letras proposicionales comovariables que pueden adquirir el valor T, F, o N. La aridad de los conectivossera la usual de la logica clasica. Para comenzar, mostraremos las tablas deverdad de las conjunciones debil (Tabla 3.1) y fuerte (Tabla 3.2).

P ∧L Q T N FT T N FN N N FF F F F

Tabla 3.1: Tabla de verdad de Lukasiewicz para la conjuncion debil.

P&LQ T N FT T N FN N F FF F F F

Tabla 3.2: Tabla de verdad de Lukasiewicz para la conjuncion fuerte.

Estas conjunciones tienen como semantica las siguientes reglas:

Si algun argumento es False, el resultado del operador es False.

Solo es True si todos los argumentos son True

Fuerte: Solo es N si algun argumento es N y el otro es True.

Debil: Es N si algun argumento es N y ninguno es False.

Como vemos, la semantica detras de la conjuncion fuerte (&L ) es que tieneque haber al menos un argumento True para que toda la afirmacion pudieraser diferente de False y por tanto, es mas exigente con respecto a los valoresde los argumentos para que estos no sean considerados falsos.


Mientras que en la version debil tenemos el caso en que N ∧L N ≡ N, estoen razon a que, como N puede ser tanto potencialmente verdadero como po-tencialmente falso, no tenemos forma de determinar si N ∧L N es verdaderoo falso, por lo que se dice vuelve a tener valor N. Por lo que en el caso de laconjuncion debil tenemos mas opciones para obtener resultados del operadordiferentes a falsos. Por lo que &L genera menos valor de veracidad que ∧Len todos los casos.

Un caso dual se va a presentar con la disyuncion debil y la fuerte, las cualesse pueden apreciar en La Tabla 3.3 y en la Tabla 3.4 respectivamente.

P ∨L Q T N FT T T TN T N NF T N F

Tabla 3.3: Tabla de verdad de Lukasiewicz para la disyuncion debil

P∇LQ T N FT T T TN T T NF T N F

Tabla 3.4: Tabla de verdad de Lukasiewicz para la disyuncion fuerte

Las disyunciones tienen como semantica las siguientes reglas:

Si algun argumento es True, el resultado es True.

Solo es False si todos los argumentos son False

Fuerte: Solo es N si algun argumento es N y el otro es False.

Debil: Es N si algun argumento es N y ninguno es True.

De forma similar a la conjuncion, la disyuncion fuerte (∇L ) exige que tieneque haber al menos un argumento False para que exista la posibilidad de que


la afirmacion no sea True, mientras que en la version debil tenemos nueva-mente el caso en que N ∨L N ≡ N.

En este caso, se puede pensar semanticamente que ∇L exige mas condicionespara que el resultado sea diferente a verdadero. Por lo que, contrario al casode la conjuncion, en la disyuncion el ∇L genera mayor valor de veracidad que∨L en todos los casos.

Ahora, para la negacion de Lukasiewicz, se tiene la siguiente tabla de verdaddada por la Tabla 3.5.

P ¬LPT FN NF T

Tabla 3.5: Tabla de verdad de Lukasiewicz para la negacion

En este caso, la negacion de True es False y viceversa, mientras que la nega-cion de N el valor desconocido, seguira siendo N desconocido.

Para la implicacion de Lukasiewicz, le daremos como semantica a la afirma-cion P →L Q que “Q es por lo menos tan verdadero como P”, es decir,buscaremos no perder valor de verdad desde la causa a la consecuencia (estopensando que la verdad se podrıa ordenar de forma T > N > F). Por tanto,tiene sentido afirmar que P →L P sea valido sin importar el valor de P ,ya que P siempre tendra el mismo valor de verdad que P . Este principio seconservara tambien en las logicas difusas. Por ahora, enunciamos la tabla deverdad de este conectivo en la Tabla 3.6.

P →L Q T N FT T N FN T T NF T T T

Tabla 3.6: Tabla de verdad de Lukasiewicz para la implicacion


En este caso, podemos ver que efectivamente P → Q es verdadero sı Q tieneun valor mayor o igual a P . Para los otros casos, si P es falso y Q es verda-dero, tenemos que la implicacion es falsa (ası como ocurre en la logica clasica).

En el caso que P sea verdad y Q sea N ; como Q puede ser potencialmenteverdadero como potencialmente falso, en un caso la implicacion serıa verda-dera (Q es True) y en el otro caso la implicacion serıa falsa (Q es False), porlo que se concluye que la implicacion serıa N.

Finalmente para el caso en que P sea N y Q sea falsa; como P puede ser tantopotencialmente verdad como potencialmente falsa, en caso que P fuera falsa,la implicacion es verdadera, mientras que si P fuera verdadera, la implicacionserıa falsa, por lo en este caso, tambien se concluye que la implicacion serıa N.

Para nuestro ultimo operador, la doble implicacion, se tendra el mismo prin-cipio que P ↔L P debe ser verdadero, esto en razon a que P ↔L Q tendrıacomo significado que “P tiene el mismo valor de veracidad de Q”. Lo anteriorse puede apreciar en la Tabla de verdad 3.7.

P ↔L Q T N FT T N FN N T NF F N T

Tabla 3.7: Tabla de verdad de Lukasiewicz para la doble implicacion

Para este operador, en caso que explıcitamente P y Q tengan el mismo valor,la doble implicacion es verdadera, y si una es falsa, y la otra es verdadera,tenemos que el resultado del operador serıa falso.

En caso que un argumento sea True o False y el otro sea N ; como unode los argumentos tiene un valor clasico fijo, mientras que el otro podrıa,tanto potencialmente ser el mismo, como potencialmente ser el opuesto; nose puede saber si la doble implicacion es verdadera o es falsa; lo que justificaque en estos casos tenga como resultado N.


3.1.2. Principio de normalidad y de uniformidad

Una vez definida la semantica de la logica tri-variada de Lukasiewicz, nosgustarıa poder comparar sus similitudes y/o diferencias con la logica clasica.Para esto, introduciremos dos principios deseables de las logicas multivaria-bles, los cuales buscaremos tener en las logicas que deseemos aplicar.

Definicion 3.1. Contraparte: Dado un operador ∗ clasico y un operador ?en otra logica L, ambos con la misma aridad n, diremos que ? es la contrapartede ∗ sı al restringir los valores de los argumentos de ? a valores clasicos{T,F}n, entonces el valor del resultado de ? coincide con el valor de ∗ usandolos mismos valores para los argumentos de ∗.

Definicion 3.2. Operador normal: Si un operador ? en una logica L escontraparte de un operador clasico, entonces diremos que ? es normal.

Definicion 3.3. Principio de normalidad: Una logica L (diferente a laclasica) posee el principio de normalidad si y solo si todos sus operadores sonnormales.

Dada la definicion anterior, note que tiene sentido afirmar que tanto &L y ∧Lson contrapartes de la conjuncion clasica ∧, ası como →L es la contrapartede la implicacion clasica →. El mismo razonamiento se sigue para los demasoperadores que definimos en Lukasiewicz.

Definicion 3.4. Operador uniforme: Dados un operador ∗ clasico y ?operador de otra logica L, ambos con la misma aridad n, diremos que ? esuniforme respecto a ∗ si para todos los valores de verdad clasicos m, c valeque:Si ∗(n1, n2, ..., nj−1,m, nj+1, ..., nn) = d sin importar los valores de ni, i 6= j,entonces ?(n′1, n

′2, ..., n

′j−1,m, n

′j+1, ..., n

′n) = d sin importar los valores de

n′i, i 6= j dentro de los posibles valores de la logica L.Finalmete, diremos que ? es uniforme sı ? es uniforme con respecto a ∗ unoperador clasico y tambien ? es una contraparte del operador ∗

Definicion 3.5. Principio de uniformidad: Una logica L (diferente a laclasica) posee el principio de uniformidad sı y solo sı todos sus operadores


son uniformes.

Lo primero que haremos entonces es demostrar que la logica tri-variada deLukasiewicz posee tanto el principio de normalidad como el principio deuniformidad. Teniendo estas propiedades le permitira al lector en la proximaseccion ver como estas nos ayudan a comparar la logica de Lukasiewicz conrespecto a la logica clasica.

Teorema 3.6. La logica tri-variada de Lukasiewicz(L3 ) tiene el principiode normalidad.

Demostracion. Basta con ver que todos los operadores de L3 son normales;esto se puede apreciar observando las Tablas de la 3.1 a la 3.7, en las cuales,si el lector solo observa las filas y columnas con valores T y F, entoncesestas coinciden con sus contraparte de la logica clasica. Por tanto, L3 tieneel principio de normalidad.

Teorema 3.7. La logica tri-variada de Lukasiewicz(L3 ) tiene el principiode uniformidad.

Demostracion. Basta con ver que todos los operadores de L3 son uniformes;esto requiere ver cada uno de los operadores de la logica clasica.EL primero, la conjuncion ∧. En logica clasica se determina unıvocamen-te la conjuncion clasica como falsa en caso que uno de los argumentos esF independiente del valor del otro argumento. En las Tablas 3.1 y 3.2 se vecomo las conjunciones ∧L y &L de Lukasiewicz tienen los valores F en casoque alguno de los dos argumentos tenga valor F. Se concluye que ambas con-junciones debiles y fuertes son uniformes.Ahora, para la disyuncion clasica ∨, la logica clasica la determina unıvoca-mente como verdadera si alguno de los argumentos es T. En las Tablas 3.3y 3.4 se ve como las disyunciones ∨L y ∇L son siempre verdaderas en casoque uno de los argumentos sea T. Por lo cual la disyuncion debil y fuerte sonuniformes.En caso de la implicacion→, existen dos casos. Primero, si el antecedente esF, la afirmacion es unıvocamente verdadera. De igual forma, en caso que elprecedente es T, tambien la afirmacion es verdadera. Se puede observar en laTabla 3.6 que, en cualquiera de los dos casos anteriores, la implicacion →L

es T.


En el caso de la negacion ¬, por ser un operador unario, es suficiente tenerque el operador ¬L sea normal, como es el caso, siempre que del valor delargumento sea T o F, coincide con su valor en la logica clasica, por lo quetambien es uniforme.Finalmente, en el caso de la doble implicacion ↔, como no existe un casoen la logica clasica en el cual, fijando un argumento e ignorando el valordel otro, quede unıvocamente determinado el valor de la doble implicacion,trivialmente se tiene que ↔L es uniforme.De esta forma, como todos los operadores de L3 son uniformes, se conclu-ye que la logica tri-variada de Lukasiewicz posee el principio de uniformi-dad.

De esta forma, vemos que la logica tri-variada de Lukasiewicz cumple conlos principios de normalidad y uniformidad. Estas son dos propiedades quecumpliran en general todas las logicas que miraremos en el documento. Encaso de no ser ası, se realizara la respectiva mencion. Estas propiedades nosayudaran a comparar de forma mas facil las logicas multivariadas con lalogica clasica.

3.2. Otros significados semanticos para logi-

cas tri-variadas

Hasta ahora, hemos trabajado con la logica tri-variada de Lukasiewicz, lacual es una de las mas relevantes en su version difusa. Sin embargo, no esla unica de las logicas tri-variadas existentes. Para mostrar esto, presenta-remos otras dos logicas tri-variadas, donde cambiara la semantica del valor N.

Primero, comenzaremos con la logica tri-variada de Kleene, en la cual la in-terpretacion de N corresponde al valor “Neutral”, el cual es un valor que ni esTrue, ni es False. El principio que maneja es que toda valoracion que asignea una subformula el valor N, asignara tambien a la formula completa el valorN Neutral.

Comparada con la logica tri-variada de Lukasiewicz, la logica de Kleene cambiaen la definicion de los operadores de →K y de ↔K , ası como se muestra enlas tablas de verdad de las Tablas 3.8 y 3.9 respectivamente. Adicionalmente,en la logica de Kleene solo manejaremos una conjuncion y una disyuncion,

30 3.2. Otros significados semanticos para logicas tri-variadas

las cuales coincidiran con la conjuncion debil y la disyuncion debil de Luka-siewicz.

P →K Q T N FT T N FN T N NF T T T

Tabla 3.8: Tabla de verdad de Kleene para la implicacion

P ↔K Q T N FT T N FN N N NF F N T

Tabla 3.9: Tabla de verdad de Kleene para la doble implicacion

El lector podra observar, realizando un proceso similar al aplicado para Lu-kasiewicz, que la logica tri-variada de Kleene tambien posee los principios denormalidad y de uniformidad.

Otro ejemplo de logica tri-variada que expondremos es la logica tri-variada“Interna”de Bochvar , BI3 . En BI3 daremos interpretacion a N como “sinsentido”, un valor logico que se quiere asignar a afirmaciones que no deberıanser tratadas en principio. Por ejemplo, el lector puede pensar que el trata-miento de tales afirmaciones es similar al que se da en aritmetica al resultadode dividir por 0.

En el caso de la logica tri-variada interna de Bochvar , se tiene como reglaque N sera contagiante, en el sentido que, si una formula llega a tener valorN en alguna de sus subformulas, toda la formula tendra valor N. Dada estacondicion, se tiene, por ejemplo, que F ∧BI3 N ≡ N, por lo que ya podemosdecir que BI3 no cumple con el principio de uniformidad. Forzando que BI3cumpla el principio de normalidad nos permite completar el resto de las ta-blas de verdad que conforman esta logica.


En este caso, se le llama “Interna”porque se puede obtener el resultado N decombinar valoraciones en formulas de BI3 . Existe una version ’Externa’en [Ber08], en la cual se muestra una logica tri-variada en donde no se puedeobtener como resultado el valor N en las valoraciones de sus formulas, perono se considerara dentro del trabajo de este documento en razon a que siem-pre desearemos manejar el concepto de incertidumbre (valores diferentes aT y F ) dentro de los resultados de las logicas a tratar.

Habiendo dado estos tres ejemplos de interpretaciones del valor de incerti-dumbre N, (como indeterminacion, como neutralidad, o como sin sentido),procederemos ahora a introducir el sistema axiomatico de Lukasiewicz parala logica tri-variada, y luego compararemos estas tres logicas para observarpor que ese sistema axiomatico sera suficiente para nuestro analisis.

3.3. Sistema axiomatico para logicas tri-variadas

En este trabajo se desarrollara unicamente el sistema axiomatico de Luka-siewicz (L3A ), y en las siguientes secciones se expondra por que este serasuficiente para validar las tres logicas tri-variadas antes mostradas.

Para el sistema axiomatico, se manejaran dos sımbolos de conectivos basicossobre letras proposicionales: el sımbolo de conectivo unario ¬ y el sımbolode conectivo binario →. Ademas, se trataran cuatro axiomas y una regla dededuccion:

Axioma 6. L3,1.L3,1.L3,1. ϕ→ (ψ → ϕ)

Axioma 7. L3,2.L3,2.L3,2. (ϕ→ ψ)→ ((ψ → χ)→ (ϕ→ χ))

Axioma 8. L3,3.L3,3.L3,3. (¬ϕ→ ¬ψ)→ (ψ → ϕ)

Axioma 9. L3,4.L3,4.L3,4. ((ϕ→ ¬ϕ)→ ϕ)→ ϕ

Y la regla de deduccion de Modus Ponens


Los demas conectivos de Lukasiewicz se expresaran como abreviaciones apartir de ¬ y de →, de la siguiente forma:

32 3.3. Sistema axiomatico para logicas tri-variadas

ϕ ∨ ψ ≡def (ϕ→ ψ)→ ψ

ϕ ∧ ψ ≡def ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ)

ϕ↔ ψ ≡def (ϕ→ ψ) ∧ (ψ → ϕ)

ϕ&ψ ≡def ¬(ϕ→ ¬ψ)

ϕ∇ψ ≡def ¬ϕ→ ψ

El lector podra notar que la mayor diferencia con la logica clasica es la ausen-cia del axioma LC ,2.LC ,2.LC ,2., el cual, veremos en la siguiente seccion como este no esuna tautologıa de L3 . Y se agregan los axiomas L3,2.L3,2.L3,2. y L3,4.L3,4.L3,4., los cuales sontautologıas de la logica clasica. Por lo tanto, es facil ver que cualquier teore-ma que se demuestre con logica clasica usando unicamente LC ,1.LC ,1.LC ,1. y LC ,3.LC ,3.LC ,3., esdemostrable en L3A , y de igual forma, existiran otros conjuntos de teoremasque son deducibles en L3A aun cuando su deduccion en logica clasica use elaxioma LC ,2.LC ,2.LC ,2.

Un ejemplo de esto es ϕ↔ ϕ, el cual es deducible en L3A y es un principioque se desea mantener en Lukasiewicz. La mayorıa de las demostraciones deteoremas de L3A estan en [Ber08], por lo que unicamente demostraremos losnecesarios para deducir ϕ→ ϕ. Especıficamente demostraremos que existendeducciones para:

Deduccion 1. L3.D1.L3.D1.L3.D1. ¬ϕ→ (ϕ→ ψ)

Deduccion 2. L3.D2.L3.D2.L3.D2. ¬¬ϕ→ ϕ

Deduccion 3. L3.D3.L3.D3.L3.D3. ϕ→ ¬¬ϕ

Es de importancia resaltar los teoremas L3.D2.L3.D2.L3.D2. y L3.D3.L3.D3.L3.D3., ya que van a daruna de las caracterizaciones de la logica de Lukasiewicz. A continuacion de-mostramos L3.D1.L3.D1.L3.D1.: “En cada paso de la deduccion, la segunda lınea es lajustificacion”:

Deduccion (procedimiento) 1. L3.D1.L3.D1.L3.D1.

1) ¬ϕ→ (¬ψ → ¬ϕ)< L3,1., con ¬ϕ/ϕ,¬ψ/ψ >

2) (¬ψ → ¬ϕ)→ (ϕ→ ψ)< L3,3., con ¬ψ/ϕ,¬ϕ/ψ >


3) (¬ϕ→ (¬ψ → ¬ϕ))→(((¬ψ → ¬ϕ)→ (ϕ→ ψ))→ (¬ϕ→ (ϕ→ ψ)))< L3,2., con ¬ϕ/ϕ,¬ψ → ¬ϕ/ψ, ϕ→ ψ/χ >

4) ((¬ψ → ¬ϕ)→ (ϕ→ ψ))→ (¬ϕ→ (ϕ→ ψ))< MP , con 1, 3 >

5) ¬ϕ→ (ϕ→ ψ)< MP , con 2, 4 >

Note que la demostracion de las lıneas 3) a 5) es la forma de derivar formulasa traves de la transitividad de la implicacion de las formulas 1) y 2). Estospasos deductivos los usaremos frecuentemente, por lo que los resaltaremoscomo una regla de deduccion, ası:

Regla de deduccion 4. Regla de transitividad (RT):ϕ→ ψ, ψ → χ ` ϕ→ χ

Esto nos permite facilitar las demostraciones de L3.D2.L3.D2.L3.D2. y L3.D3.L3.D3.L3.D3.:


1) ¬¬ϕ→ (¬ϕ→ ¬(ϕ→ ¬ϕ))< L3.D1., con ¬ϕ/ϕ,¬(ϕ→ ¬ϕ)/ψ >

2) (¬ϕ→ ¬(ϕ→ ¬ϕ))→ ((ϕ→ ¬ϕ)→ ϕ)< L3,3., con ϕ/ϕ, ϕ→ ¬ϕ/ψ >

3) ¬¬ϕ→ ((ϕ→ ¬ϕ)→ ϕ)< SH, con 1, 2 >

4) ((ϕ→ ¬ϕ)→ ϕ)→ ϕ< L3,4., con ϕ/ϕ >

5) ¬¬ϕ→ ϕ< SH, con 3, 4 >


1) ¬¬¬ϕ→ ¬ϕ< L3.D3., con ¬ϕ/ϕ >

34 3.3. Sistema axiomatico para logicas tri-variadas

2) (¬¬¬ϕ→ ¬ϕ)→ (ϕ→ ¬¬ϕ)< L3,3., con ¬¬ϕ/ϕ, ϕ/ψ >

3) ϕ→ ¬¬ϕ< MP , con 1, 2 >

Con esto, tenemos las herramientas para deducir ϕ→ ϕ:

Deduccion 4. L3.D4.L3.D4.L3.D4. ϕ→ ϕ


1) ϕ→ ¬¬ϕ< L3.D3., con ϕ/ϕ >

2) ¬¬ϕ→ ϕ< L3.D2., con ϕ/ϕ >

3) ϕ→ ϕ< SH, con 1, 2 >

Con esto, comprobamos que efectivamente podemos deducir el principiosemantico de ϕ→L ϕ que se quiere mantener en Lukasiewicz. A continuacionmencionamos otros teoremas y reglas de deduccion de L3A , cuya deducciono derivacion se encuentra en [Ber08].

Deduccion 5. L3.D5.L3.D5.L3.D5. ((ϕ→ ϕ)→ ψ)→ ψ

Deduccion 6. L3.D6.L3.D6.L3.D6. ϕ→ ((ϕ→ ψ)→ ψ)

L3.D6.L3.D6.L3.D6. tambien se puede ver como ϕ→ (ϕ∨ ψ) usando la abreviacion ante-riormente definida.

Deduccion 7. L3.D7.L3.D7.L3.D7. (ϕ→ (ψ → χ))→ (ψ → (ϕ→ χ))

Regla de deduccion 5. Contrapositiva (CON):¬ϕ→ ¬ψ ` ψ → ϕ

Regla de deduccion 6. Simplificacion de conjuncion por izquierda(SCI):¬((¬ϕ→ ¬ψ)→ ¬ψ) ` ϕ

Esta regla tiene su nombre en razon a que corresponde a ϕ ∧ ψ ` ϕ. Final-mente, tenemos como ultima regla:


Regla de deduccion 7. Substitucion (SUB):Cuando se tiene ϕ → ψ y ψ → ϕ y una formula χ que contiene a ϕ comosubformula, podemos deducir una formula χ∗ que es el resultado de reem-plazar una o mas ocurrencias de ϕ en χ con ψ.

Ası entonces, finalizamos listando algunas de las deducciones y teoremas masutiles de la logica proposicional tri-variada de Lukasiewicz.

3.4. Tautologıas y cuasi-tautologıas de logi-

cas tri-variadas

Para complementar el sistema axiomatico, definiremos ahora el conceptosemantico de tautologıa en las logicas multi-variadas.

Definicion 3.8. Tautologıa multi-variada: Sea una formula ϕ. Se diceque ϕ es tautologıa si para toda valoracion V , se tiene que V (ϕ) = T.En donde una valoracion V de una formula ϕ corresponde a la extension delas valoraciones a letras proposicionales de la logica multi-variada que se estetrabajando.

Como puede notar el lector, seguiremos usando la nocion usual de tautologıaen logica tri-variadas, y esto continuara para las demas logicas multi-variadas.De igual modo definimos las contradicciones de la siguiente forma.

Definicion 3.9. Contradiccion multi-variada: Sea una formula ϕ, se diceque ϕ es contradiccion si para toda valoracion V , se tiene que V (ϕ) = F.En donde una valoracion V de una formula ϕ corresponde a la extension delas valoraciones a formulas de la logica multi-variada que se este trabajando.

Con estas definiciones, es posible ver el siguiente resultado que nos sera utila lo largo de este trabajo.

Teorema 3.10. Toda tautologıa de una logica L multi-variada con el prin-cipio de normalidad es una tautologıa de la logica clasica.Toda contradiccion de una logica L multi-variada con el principio de norma-lidad es una contradiccion de la logica clasica.

36 3.4. Tautologıas y cuasi-tautologıas de logicas tri-variadas

Demostracion. Como L cumple con el principio de normalidad, todos losconectivos cuyos sımbolos ocurren en la formula ϕ son normales, por tanto,las valoraciones de la formula ϕ que solo valoran las letras proposicionalescomo True o False se comportan de forma identica que en la logica clasica.Por tanto, si ϕ es tautologıa, entonces toda valoracion que use solo True yFalse tambien es una valoracion multi-variada y cumple que V (ϕ) = T, porlo tanto es una tautologıa de la logica clasica.Y de igual forma, si ϕ es contradiccion, entonces toda valoracion que use soloTrue y False hace que V (ϕ) = F. Entonces es una contradiccion de la logicaclasica.

De esta forma, podemos ver que todas las tautologıas de logicas con principiode normalidad son igualmente tautologıas clasicas. Ahora, el converso no setiene, y de hecho queremos que no sea verdad.

Para esto, retomemos el ejemplo del teorema clasico del tercio excluidoP ∨¬P , que es una tautologıa logica clasica. Sin embargo, vimos en la moti-vacion que el tercio excluido (que algo sea o no sea por obligacion) es uno delos principios que no queremos que sea verdad en las logicas con algun nivelde incertidumbre. Lo anterior efectivamente ocurre en logicas tri-variadas.Tome como ejemplo la logica de Lukasiewicz.

Sea P una letra proposicional y V una valoracion tal que V (P ) = N. Enton-ces:

V (P ∨ ¬P ) = N ∨ ¬N

= N ∨ N

= N

Entonces, efectivamente el tercio excluido no es una tautologıa de Lukasie-wicz. Sin embargo, es facil observar que para las demas posibles valoracionesde P (V (P ) = T,V (P ) = F), se tiene que:


V (P ∨ ¬P ) = T ∨ ¬T

= T ∨ F

= T

V (P ∨ ¬P ) = F ∨ ¬F

= F ∨ T

= T

Ası vemos que para cualquier valoracion de P , el tercio excluido no da False;esto motiva la definicion de lo que seran las cuasi-tautologıas y las cuasi-contradicciones.

Definicion 3.11. Cuasi-tautologıa multi-variada: Sea una formula ϕ.Se dice que ϕ es cuasi-tautologıa si no existe ninguna valoracion V tal queV (ϕ) = F.

Definicion 3.12. Cuasi-contradiccion multi-variada: Sea una formulaϕ, se dice que ϕ es Cuasi-contradiccion si no existe ninguna valoracion V talque V (ϕ) = T.

Es decir, estamos hablando de formulas para las cuales, no podemos estarseguros de su valor de verdad, pero sı garantizar que no poseen un valorde verdad clasico particular. Es de aclarar al lector que, dependiendo de lalogica multi-variada, el conjunto de las Cuasi-tautologıas puede coincidir o nocon el conjunto de las tautologıas clasicas. Esto se observara en la siguienteseccion, donde compararemos las tres logicas presentadas hasta ahora.

3.5. Comparacion entre logicas tri-variadas

Para analizar las logicas tri variadas presentadas, junto con la logica clasi-ca, se buscara comparar los siguientes aspectos: comparacion de tautologıas,

38 3.5. Comparacion entre logicas tri-variadas

comparacion de cuasi-tautologıas, analisis del sistema axiomatico, decibili-dad, y completitud.

Lo primero, sera revisar las tautologıas presentes en las tres logicas expues-tas. Es de afirmar que tanto Kleene como Bochvar no poseen tautologıas;esto se puede observar tomando VK3,BI3 una valoracion que evalua todas lasletras proposicionales como N. Tanto en Kleene como en Bochvar, todas losconectivos logicos cuyos unicos argumentos son N dan como resultado N.Entonces se tiene que en toda formula ϕ, VK3,BI3(ϕ) = N, y por tanto estaslogicas no poseen tautologıas.

Por el contrario, en Lukasiewicz, ya se mostro que P → P es tautologıa, Dehecho, como Lukasiewicz tiene el principio de normalidad, toda tautologıade Lukasiewicz es tautologıa clasica. Finalmente, tenemos que la inclusiones estricta, porque el tercio excluido no es tautologıa de Lukasiewicz.

Ahora, con respecto a las cuasi-tautologıas, vemos que tanto en Bochvarcomoen Kleene estas coinciden con las tautologıas clasicas:

Teorema 3.13. El conjunto de las cuasi-tautologıas en las logicas de Boch-vary en Kleene es igual al conjunto de tautologıas en la logica clasica.

Demostracion. Primero, sea ϕ una cuasi-tautologıa de BI3 , entonces noexiste una asignacion de verdad V tal que V (ϕ) = F. Como BI3 tiene elprincipio de normalidad, se tiene entonces que, restringiendo nuestro conjuntode valoraciones a las que solo evaluan True o False a las letras proposicionales,por hipotesis V (ϕ) no puede ser False; y por normalidad V (ϕ) ∈ {T,F}, porlo que se concluye que V (ϕ) = T y que ϕ es tautologıa clasica.De igual forma, como K3 tiene el principio de normalidad, por el mismoargumento se tiene que toda cuasi-tautologıa de Kleene es tautologıa clasica.Para la recıproca en Bochvar, asuma que ϕ no es una cuasi-tautologıa en BI3y sea V una asignacion de verdad tal que V (ϕ) = F. Como la valoracion N escontagiosa en BI3 , no existen letras proposicionales P con apariciones en ϕtal que V (P ) = N (de lo contrario, V (ϕ) = N), entonces V es una valoracionclasica para ϕ que testifica que V (ϕ) = F, entonces ϕ no es una tautologıaclasica.Para la recıproca en Kleene, asuma que ϕ no es una cuasi-tautologıa en K3

y sea V una asignacion de verdad tal que V (ϕ) = F. Si V es una valoracion


que solo asigna True o False a las letras proposicionales que ocurren en ϕ, elmismo argumento de BI3 nos sirve para afirmar que esta no es una tautologıaclasica. Por tanto, asumamos que existe al menos una letra proposicional Pen ϕ tal que V (P ) = N.Si lo anterior ocurre y aun ası V (ϕ) = F, por el principio de uniformidaden algun momento de la evaluacion V se aplico la uniformidad de alguno delos operadores K3 cambiando N en un valor de True o False. Este es el unicoescenario en el cual una valoracion de N puede ser cambiada por uno de T oF en KleeneConstruya la valoracion V ′, en donde se cambian las valoraciones de de lasletras P en ϕ cuya valoracion es V (P ) = N por V ′(P ) = T. Por tanto, por elprincipio de uniformidad los valores que antes eran N y ahora seran True nocambian el resultado de la valoracion que en V removıa el valor N. De talforma que V ′ es una valoracion que mantiene que V ′(ϕ) = F, y ademas es unavaloracion clasica para ϕ, por lo que se concluye que ϕ no es una tautologıade la logica clasica.

Una demostracion similar muestra que las cuasi-contradicciones en Kleene yen Bochvar coinciden con las contradicciones en logica clasica. Ahora veamosla relacion de las cuasi-tautologıas en Lukasiewicz con las tautologıas de lalogica clasica.

Teorema 3.14. Toda cuasi-tautologıas; en Lukasiewicz es una tautologıasen la logica clasica.

Demostracion. De igual forma que en Kleene y Bochvar, como Lukasiewicztiene el principio de normalidad, por el mismo argumento se tiene que todacuasi-tautologıa de Lukasiewicz es tautologıa clasica.

Ahora, note que el recıproco no es cierto en Lukasiewicz ; basta con ver elcontraejemplo de ¬(P → ¬P ) ∨ ¬(¬P → P ) con la valoracion V (P ) = N:

V (¬(P → ¬P ) ∨ ¬(¬P → P )) = ¬(N→ ¬N) ∨ ¬(¬N→ N)

= ¬(N→ N) ∨ ¬(N→ N)

= ¬(T) ∨ ¬(T)

= F ∨ F

= F

40 3.5. Comparacion entre logicas tri-variadas

Sin embargo, esta es una tautologıa de la logica clasica; la razon de que estopase es que se tiene otra forma en Lukasiewicz de producir T o F desdeN diferente al principio de uniformidad, y es a traves de tener valoracionesde la forma N→ N. De hecho, es facil ver el siguiente teorema.

Teorema 3.15. Toda tautologıa clasica ϕ que no tenga ocurrencia de losconectivos → ni ↔ es una cuasi-tautologıa en Lukasiewicz.

Demostracion. El argumento es similar al usado para Kleene, debido a que launica forma de cambiar una valoracion de N en una formula que use conecti-vos de {¬,∧,∨} es usando el principio de uniformidad. Aplicando el mismoargumento que en Kleene se obtiene el resultado deseado.

Finalmente, recordemos que en la logica clasica, cualquier formula propo-sicional se puede transformar en una formula equivalente en forma normaldisyuntiva o forma normal conjuntiva. Esto no ocurre en Lukasiewicz, ya quela forma normal disyuntiva de ¬(P → ¬P ) ∨ ¬(¬P → P ) por ser tautologıaclasica que solo usa {¬,∧,∨} siempre tendra valoracion de T o N ; y sin em-bargo existe una valoracion tal que ¬(P → ¬P ) ∨ ¬(¬P → P ) es F. Ası, laequivalencia con formas normales conjuntivas y formas normales disyuntivasson propiedades que se pierden en logicas multivariadas.

Ahora, si bien no se tiene en la equivalencia con forma normal disyuntiva oforma normal conjuntiva, todavıa se tienen decibilidad en logicas tri-variadas.De hecho, este resultado se conserva en toda logica finito-variada.

Teorema 3.16. Las logicas finito-variadas son decidibles. Es decir que paratoda formula ϕ, se tiene un algoritmo con finitos pasos para determinar si ϕes o no una tautologıa.

Demostracion. Para construir los conectivos de las logicas finito-variadas, sedefinen las tablas de verdad de cada uno de los conectivos, los cuales tienencombinaciones finitas de los finitos posibles valores de tabla de verdad. Portanto, dada una formula ϕ, basta con ver todas las finitas combinaciones devaloraciones en la logica para determinar si ϕ es una tautologıa o no (es decir,basta con producir la tabla de verdad).

Ahora, con respecto al sistema axiomatico, hemos presentado el sistema dededuccion de Lukasiewicz, y este sera el unico que nos interesara observar


en el momento. Esto en razon a que, como hemos visto anteriormente, laslogicas de Kleene y de Bochvarno presentan tautologıas (no hay forma queuna formula ϕ sea V (ϕ) = T para valoraciones en Kleene o Bochvar); porlo que no hay razon para considerar un sistema axiomatico.

Aun ası, como se resalta en [Ber08], uno puede hacer deducciones con infe-rencias en, por ejemplo, la logica tri-variada de Kleene, dandose cuenta que laimplicacion logica de Kleene (P →K3 Q) es semanticamente equivalente usan-do los conectivos de Lukasiewicz a ¬LP ∨LQ (es decir (¬LP →L Q)→L Q).Teniendo en cuenta que los demas operadores de Kleene coinciden con Luka-siewicz y que se puede definir P ↔K3 Q como la abreviacion P ↔K3 Q :=(P →K3 Q) ∧L (Q →K3 P ), tenemos que el mismo sistema axiomatico deLukasiewicz nos funciona para realizar deducciones en Kleene.

Finalmente, tenemos que el sistema axiomatico expuesto en L3A es completoy es valido. La demostracion de completitud usa un teorema de satisfac-cion de polinomios en MV-Algebras, el cual retomaremos mas adelante enlas siguientes secciones, y donde la prueba completa se puede encontrar enel artıculo desarrollado por Chang en el ano 1958 [Cha58].

A traves del analisis de varias logicas tri-variadas, por las tautologıas quese pueden formar, hemos mostrado por que sera de nuestro interes traba-jar con la logica tri-variada de Lukasiewicz sobre otras interpretaciones de“Incertidumbres”dadas por otras logicas tri-variadas. Las razones de esto seresumen a que no todas las tautologıas clasicas se conservan como tautologıasen Lukasiewicz, lo cual, es un resultado deseable. Pero igualmente sı existentautologıas y sı tenemos un sistema deductivo asociado en Lukasiewicz. Aho-ra, para poder analizar la paradoja de sorites, debemos primero introducirla logica tri-variada de Lukasiewicz de primer orden.

3.6. Semantica y sistema axiomatico de logi-

cas tri-variadas de primer orden

Para poder formalizar la paradoja de sorites, necesitamos introducir los cuan-tificadores que ayuden a poder formalizar afirmaciones que capturen el sig-nificado semantico de “Toda persona cuya diferencia de altura sea menor a

423.6. Semantica y sistema axiomatico de logicas tri-variadas de primer orden

0.05m de otra persona alta es tambien alta”. Esto lo haremos partiendo delos conectivos logicos que ya habıamos definido en Lukasiewicz.

Para esto, introduciremos los conceptos de predicados, extensiones e interpre-taciones a nivel semantico, junto con las interpretaciones de los sımbolos ∀ y∃. De igual forma, presentaremos el sistema axiomatico de Lukasiewicz paraprimer orden, y finalmente realizaremos el analisis de la paradoja de sori-tes, y como esta no se puede resolver satisfactoriamente con ninguna logicafinito-variada en general.

Durante el desarrollo del trabajo de logicas de primer orden, hemos fijadosiempre nuestro lenguaje de primer orden L con sus correspondientes sımbo-los de constantes, y sus predicados con su respectiva aridad.

3.6.1. Semantica

Lo primero sera definir la semantica que usaremos para la logica tri-variadade Lukasiewicz en primer orden (L3∀ ). Ası entonces definiremos la inter-pretacion que tendran los sımbolos de los predicado de nuestras formulas.Piense que un ejemplo de estas interpretaciones es hablar del mundo de laspersonas, donde tenemos un predicado “P(x)”que nos dice si una persona esalta o no, y donde definimos rangos de altura en los cuales la persona serıaalta, no serıa alta, o podrıa ser tanto alta como no alta (interpretacion deincertidumbre).

Formalmente, una interpretacion I para logicas tri-variadas de primer ordense define como sigue:

Definicion 3.17. Una Interpretacion I consiste en una tripla con los si-guientes tres elementos:

(i) Un conjunto no vacıo D con los elementos de nuestra interpretacion,llamado dominio.

(ii) Tres funciones ext(P ), cxt(P ) y fge(P ) llamadas extension, con-traextension, y margen respectivamente, las cuales asignan a cadasımbolo de predicado P un conjunto de tuplas y cumplen con las si-guientes condiciones:


Las tres funciones asignan a cada P un subconjuntos de n-tuplasde elementos de D, donde n es la aridad del predicado P :

exp(P ) ⊆ Dn, cxt(P ) ⊆ Dn, fge(P ) ⊆ Dn

Las tres asignaciones son mutuamente excluyentes, en el siguientesentido:

ext(P ) ∩ cxt(P ) = ∅ext(P ) ∩ fge(P ) = ∅cxt(P ) ∩ fge(P ) = ∅

Las union de los conjuntos asignados a P cubren completamentea Dn:

ext(P ) ∪ cxt(P ) ∪ fge(P ) = Dn.

(iii) Una asignacion I de miembros de D para cada uno de los sımbolosconstante a de nuestro modelo, es decir.

I(a) ∈ D para cada sımbolo de constante a.

En este caso, la interpretacion intuitiva que le daremos a cada una de lasasignaciones sobre predicados P sera:

ext(P ), la extension de P , seran todas las tuplas que bajo nuestrainterpretacion hacen que nuestro predicado sea True

cxt(P ), la contraextension de P , seran todas las tuplas que hacen nues-tro predicado False

fge(P ), el margen de P , seran las tuplas las cuales no serıan ni verdade-ro ni falso, y sera nuestro equivalente de incertidumbre que manejamosen proposicional a traves del sımbolo N.

Seguidamente, tendremos que una valoracion V para la logica de primerorden sera una asignacion a elementos de nuestro dominio de la siguienteforma:


Definicion 3.18. Valoracion Una valoracion en una interpretacion I es unaasignacion de variables en un subconjunto del dominio D, tal que para todavariable x, V (x) ∈ D.

Definicion 3.19. Valoracion x -variante Dadas una valoracion V sobreuna interpretacion I y una variable x, una valoracion V ′ sobre I es x-variantecon respecto a V si V ′(y) = V (y) para toda variable y diferente a x.

Finalmente, dada una formula ϕ de primer orden, en el lenguaje L , defini-remos su valor de verdad bajo la interpretacion I de la siguiente forma:

(i) Las formulas atomicas de la forma t1 = t2 son:

Satisfacibles por una valoracion V en una interpretacion I si

I∗(t1) = I∗(t2)

Donde I∗(ti) es I(ti) si ti es constante, y I∗(ti) es V (ti) si ti es unavariable

Insatisfacible si

I∗(t1) 6= I∗(t2)

(ii) Las formulas atomicas de la forma Pt1...tn son:

Satisfacibles por una valoracion V en una interpretacion I si

< I∗(t1), ..., I∗(tn) >∈ ext(P )

Donde I∗(ti) es I(ti) si ti es constante, y I∗(ti) es V (ti) si ti es unavariable

Insatisfacible si

< I∗(t1), ..., I∗(tn) >∈ cxt(P )

Ni satisfacible ni insatisfacible si

< I∗(t1), ..., I∗(tn) >∈ fge(P )


Se dice que el predicado es indeterminado en (I, V ) en caso que nosea ni satisfacible ni insatisfacible. Para cada uno de los conectivos deL3∀ Tendremos que:

(iii) La formula ¬ϕ es

Satisfacibles por una valoracion V en una interpretacion I si ϕes insatisfacible para V en I.

Insatisfacible si ϕ es satisfacible por V en I

Ni satisfacible ni insatisfacible en cualquier otro caso.

(iv) La formula ϕ ∧ ψ es

Satisfacibles por una valoracion V en una interpretacion I sitanto ϕ como ψ son satisfacibles para V en I.

Insatisfacible si alguna de las formulas ϕ o ψ son insatisfaciblespara V en I.


(v) La formula ϕ ∨ ψ es

Satisfacibles por una valoracion V en una interpretacion I sialguno de ϕ o ψ es satisfacible para V en I.

Insatisfacible si tanto ϕ como ψ son insatisfacibles para V en I.


(vi) La formula ϕ→ ψ es

Satisfacibles por una valoracion V en una interpretacion I siϕ es insatisfacible para V en I; o tambien en el caso que ψ seasatisfacible para V en I; o en el caso que tanto ϕ como ψ seanindeterminadas para V en I.

Insatisfacible si ϕ es satisfacible y ψ es insatisfacible para V enI.


(vii) La formula ϕ↔ ψ es


Satisfacibles por una valoracion V en una interpretacion I sitanto ϕ como ψ son satisfacibles; o si tanto ϕ como ψ son insa-tisfacibles, o si tanto ϕ como ψ son indeterminadas para V enI.

Insatisfacible si ϕ es satisfacible y ψ es insatisfacible para V enI; o si ψ es satisfacible y ϕ es insatisfacible para V en I.


Y para el manejo de los cuantificadores se tendra lo siguiente:

(viii) La formula ∀xϕ es

Satisfacible por una valoracion V en una interpretacion I si ϕes satisfacible para toda valoracion V ′ x-variante en I.

Insatisfacible si existe al menos una valoracion V ′ x-variante talque ϕ es insatisfacible para V ′ en I; y todas las valoraciones V ′′

x-variantes satisfacen o insatisfacen la formula ϕ.


(ix) La formula ∃xϕ es

Satisfacible por una valoracion V en una interpretacion I si exis-te al menos una valoracion V ′ x-variante tal que ϕ es satisfaciblepara V ′ en I; y todas las valoraciones V ′′ x-variantes satisfacen oinsatisfacen la formula ϕ.

Insatisfacible si ϕ es insatisfacible para toda valoracion V ′ x-variante en I


De esta forma, se tiene que:

Definicion 3.20. En la logica L3∀ , una formula ϕ es:

True en I si es satisfacible para cualquier valoracion para I.

False en I si es insatisfacible para cualquier valoracion para I.

N en I si es indeterminada para cualquier valoracion para I.


Por tanto, note que pueden haber formulas con variables libres, las cualesdependiendo de la valoracion V pueden cambiar el valor final de la formu-la; un ejemplo de esto es Px, predicado el cual puede ser tanto satisfaciblecomo insatisfacible como indeterminado. Sin embargo, lo anterior no ocurreen todos los casos, como se puede ver en el ejemplo Px → Px, en el cual,independiente de la interpretacion y de la valoracion, se tiene que Px→ Pxsiempre es True.

Ahora, con respecto al analisis del manejo de cuantificadores, una formulacerrada (sin variables libres) de la forma ∀xϕ o ∃xϕ sera siempre satisfaci-ble o insatisfacible si todas las valoraciones que modifican el valor de x, setiene que satisface o insatisface a ϕ; en caso que alguna de las valoraciones x-variante sea indeterminada, entonces toda la cuantificacion es indeterminada.

Por tanto, los valores de los cuantificadores solo obtienen un valor indetermi-nado si existe una valoracion x-variante que no satisfaga o insatisfaga ϕ, enel resto de casos, no solo las valoraciones satisfacen o insatisfacen ϕ, sino queademas, por la definicion que se uso, la condicion de satisfaccion coincide conel valor de verdad que se usarıa en la logica clasica de primer orden. Esto dafundamento a una nocion de normalidad sobre los cuantificadores la cual seformaliza de la siguiente manera.

Definicion 3.21. Interpretacion clasica: Llamaremos una interpretacionI clasica si para todos los predicados P , se tiene que los unicos subconjuntosde la interpretacion I para el predicado P que pueden ser diferentes de vacıoson ext(P ) y cxt(P ).

Note que en este caso, una interpretacion clasica en L3∀ es equivalente a decirque para todo predicado P de la interpretacion I se tiene que fge(P ) = ∅.Adicionalmente, se tiene que una interpretacion clasica I tambien es unainterpretacion en la logica clasica.

Definicion 3.22. Cuantificador normal: Un cuantificador logico ? en lasemantica de una logica de primer orden L (diferente a la clasica) se llamacuantificador normal si, en caso que se usen interpretaciones I clasicas, en-tonces la valoracion de ? bajo la interpretacion I coincide con la valoracionde su contraparte ?clasica de la logica clasica de primer orden bajo la mismainterpretacion I.


Definicion 3.23. Principio de normalidad (primer orden): Una logicade primer orden L (diferente a la clasica) posee el principio de normalidadsi y solo si todos sus operadores proposicionales son normales y todos suscuantificadores tambien son normales.

Y finalmente se tiene que:

Teorema 3.24. La logica tri-variada de primer orden de Lukasiewicz(L3∀ )tiene el principio de normalidad.

Demostracion. De secciones anteriores, ya se tenıa que los operadores pro-posicionales de Lukasiewicz eran normales, y se puede ver de la definicionque los anteriores coinciden con la definicion de satisfabilidad (ser T) bajointerpretaciones I clasicas. Adicionalmente, por la definicion de los cuanti-ficadores en L3∀ , hemos validado que bajo I clasica, la valoracion de lasformulas ϕ coinciden con su valoracion en logica clasica, por lo que los cuan-tificadores ∀xϕ y ∃xϕ son normales. Y se concluye que L3∀ posee el principiode normalidad.

Es de aclarar que se seguiran manejando las definiciones de tautologıas yde cuasi-tautologıas que se usaron en la seccion anterior. Se esclarecen lasdefiniciones para la logica de primer orden de la siguiente forma:

Definicion 3.25. Tautologıa multi-variada (Primer orden): Sea unaformula ϕ, se dice que ϕ es tautologıa si para toda interpretacion I, se tieneque ϕ es True.

Definicion 3.26. Contradiccion multi-variada (Primer orden): Seauna formula ϕ, se dice que ϕ es contradiccion si para toda interpretacion I,se tiene que ϕ es False.

Definicion 3.27. Cuasi-tautologıa multi-variada (Primer orden): Seauna formula ϕ, se dice que ϕ es cuasi-tautologıa si no existe ninguna interpre-tacion I tal que ϕ sea False; y ademas toda interpretacion I asigna siemprealguna valoracion de verdad a la formula ϕ.

Definicion 3.28. Cuasi-contradiccion multi-variada (Primer orden):Sea una formula ϕ, se dice que ϕ es cuasi-contradiccion si no existe ninguna


interpretacion I tal que ϕ sea True; y ademas toda interpretacion I asignasiempre alguna valoracion de verdad a la formula ϕ.

Esto nos llevara a resultados interesantes con respecto a la comparacion detautologıas y cuasi-tautologıas, similares a los obtenidos en su version pro-posicional, los cuales se veran en las siguientes secciones.

3.6.2. Sistema deductivo

Para el sistema axiomatico de Lukasiewicz, extenderemos el sistema usadoen su version proposicional a su version de primer orden (L3∀A ) a traves delos siguientes axiomas:

Axioma 10. L3∀,1.L3∀,1.L3∀,1. ϕ→ (ψ → ϕ)

Axioma 11. L3∀,2.L3∀,2.L3∀,2. (ϕ→ ψ)→ ((ψ → χ)→ (ϕ→ χ))

Axioma 12. L3∀,3.L3∀,3.L3∀,3. (¬ϕ→ ¬ψ)→ (ψ → ϕ)

Axioma 13. L3∀,4.L3∀,4.L3∀,4. ((ϕ→ ¬ϕ)→ ϕ)→ ϕ

Axioma 14. L3∀,5.L3∀,5.L3∀,5. (∀x)(ϕ→ ψ)→ (ϕ→ (∀x)ψ)cuando ϕ es una formula en donde x no ocurre libre.

Axioma 15. L3∀,6.L3∀,6.L3∀,6. (∀x)ϕ→ ϕ(x/a)Donde a es cualquier sımbolo constante y la expresion ϕ(x/a) es el resultadode sustituir todas las apariciones libres de x en ϕ por el sımbolo constante a.

Y se tienen la regla de deduccion de Modus Ponens junto con la regla degeneralizacion universal.


Regla de deduccion 9. UG.UG.UG. ϕ(x/a) ` (∀x)ϕDonde x es una variable, donde en ninguna de las formulas del conjuntode premisas contienen el sımbolo constante a, y en donde la formula ϕ nocontiene el sımbolo constante a

.Se sabe entonces que el sistema es valido y completo con respecto a la L3∀ .la prueba se puede consultar en [GLW+74].


Adicionalmente, note que, como tambien se incluyen todos los axiomas yla regla de deduccion de la logica tri-variada proposicional de Lukasiewicz,se tiene que toda deduccion proposicional de Lukasiewicz tambien sera unadeduccion de L3∀ ; y de igual forma, como el sistema proposicional de Luka-siewicz es completo, de las dos anteriores se concluye el siguiente resultado.

Teorema 3.29. Toda tautologıa de L3 es una tautologıa de L3∀ .

Mas resultados interesantes de la version de Lukasiewicz de primer orden seanalizaran en la siguiente seccion

3.6.3. Propiedades

Como se comento anteriormente, la logica de Lukasiewicz es completa y esvalida para su version de primer orden. Adicionalmente, usando el principiode normalidad, se tienen los siguientes resultados:

Teorema 3.30. Toda tautologıa de la logica L3∀ es una tautologıa de lalogica clasica de primer orden.

Demostracion. Este es un resultado directo de usar interpretaciones clasicasI en las tautologıas de L3∀ teniendo en cuenta que, por poseer el principiode normalidad, estas coinciden con su valoracion en la logica clasica, y portanto tambien son tautologıas de logica clasica de primer orden.

Teorema 3.31. Toda quiasi-tautologıa de la logica L3∀ es una tautologıa dela logica clasica de primer orden.

Demostracion. De forma similar al caso proposicional, se tiene que si noexiste una valoracion que haga una formula False en L3∀ , entonces las in-terpretaciones I clasicas adaptadas a la logicas clasicas hacen que tambienla formula no se False en la logica clasica, por lo que se concluye que sontambien tautologıas en la logica clasica.

Y bajo la misma idea, tambien se tiene que:

Teorema 3.32. Toda contradiccion de la logica L3∀ es una contradiccion dela logica clasica de primer orden.


Teorema 3.33. Toda quiasi-contradiccion de la logica L3∀ es una contra-diccion de la logica clasica de primer orden.

3.7. Analisis de la paradoja de sorites

Ahora, para poder formalizar la paradoja de sorites, se debe modelar formal-mente las premisas y la conclusion, que como tal, generara la paradoja. Peroantes de esto, debemos retomar lo que es una inferencia logica con premisasen primer orden.

Definicion 3.34. Dado un conjunto de formulas Γ, y una formula ϕ enL3∀ , diremos que las formulas Γ infieren logicamente a ϕ (Γ � ϕ) si paratoda interpretacion I que haga verdadera todas las formulas de Γ, entoncesI tambien hace verdadera la formula ϕ. En este caso, diremos que (Γ � ϕ)es valido en L3∀ .

Particularmente, si tanto Γ como ϕ son formulas cerradas, entonces la validezdel argumento solo depende de como se defina la interpretacion.Ahora, veremos como la formulacion de la paradoja de sorites es valida enL3∀ y sin embargo, se genera la paradoja como tal. Para esto, retomemos laformulacion de la paradoja de la forma:

PS :PS :PS :

Ts1

(∀x)(∀y)((Tx ∧ Eyx)→ Ty)

Es2s1

Es3s2

Es4s3

...

Es71s70Ts71

Aquı tenemos 71 sımbolos de constantes si, i : 1 ≤ i < 71, adicionales a dossımbolos de predicados, uno unario T y otro binario E. Para el analisis delargumento, piense que s1 tiene la propiedad ’T’, todos los elementos estan

52 3.7. Analisis de la paradoja de sorites

“suficientemente cerca”por la propiedad ’E’, y tenemos que(∀x)(∀y)((Tx∧Eyx)→ Ty) representa que si un elemento tiene la propiedad’T’ y esta lo suficientemente cerca a otro por ’E’, entonces el otro elementotambien deberıa tener la propiedad ’T’.

Primero, veamos que la anterior inferencia logica es semanticamente valida.En este caso, como todas las formulas cerradas, nos basta ver unicamente lasinterpretaciones para verificar la validez del argumento.

Teorema 3.35. PSPSPS es valido en L3∀ .

Demostracion. Sea una interpretacion I tal que para toda formula ϕ en Γde PSPSPS, se tiene que ϕ es True en I. Vamos a demostrar que entonces Ts70 esTrue en I.Como todas las formulas de Γ son True, entonces s1 ∈ ext(T ) y para todoi : 1 ≤ i < 70 se tiene que si+1si ∈ ext(E).Igualmente se tiene que (∀x)(∀y)((Tx ∧ Eyx)→ Ty) es True en I.Mostraremos entonces que en este caso Ts2 es True en I y el resultado seobtendra por induccion en i.Como (∀x)(∀y)((Tx∧Eyx)→ Ty) es True, entonces, para toda valoracion V ,se tiene que toda valoracion x-variante es satisface (∀y)((Tx ∧Eyx)→ Ty),entonces fije una V ′ x-variante tal que V ′(x) = s1. Entonces V ′ satisface(∀y)((Tx ∧ Eyx) → Ty). Y de forma similar, se tiene que una valoracionV ′′ y-variante de V tal que V ′′(y) = s2 (y por ende V ′′(x) = s1) satisface((Tx ∧ Eyx)→ Ty).En este caso, sabemos que Ts1 y Es2s1 son True en I, entonces Tx∧Eyx esvalido para V ′′, y por tanto la unica forma que se satisfaga ((Tx∧Eyx)→ Ty)por V ′′ es que Ts2 sea True.Por induccion usando el mismo argumento y teniendo en cuenta que siemprepara si+1si ∈ ext(E), i : 1 ≤ i < 71 se llega a que Ts71 es True y por lo tantoPSPSPS es valido para L3∀

Por tanto, la inferencia PSPSPS es valida en L3∀ ; y sin embargo, todavıa pode-mos producir la paradoja; esto lo analizaremos a traves del siguiente ejemplobasado en el caso expuesto en la motivacion de este escrito.

Tome la siguiente interpretacion I definida como:


D el conjunto de alturas entre 155.0cm y 190.0cm, dado por incremen-tos de a 0.5cm.

ext(T ) = {< h >: h ∈ D ∧ h ≥ 175,0cm}

cxt(T ) = {< h >: h ∈ D ∧ h ≤ 160,0cm}

fge(T ) = {< h >: h ∈ D ∧ 160,0cm < h < 175,0cm}

ext(E) = {< h1, h2 >: h1, h2 ∈ D ∧ 0 < |h1 − h2| ≤ 0,5cm}

cxt(E) = {< h1, h2 >: h1, h2 ∈ D ∧ (h1 = h2 ∨ |h1 − h2| > 0,5cm)}

fgr(E) = ∅

I(s1) = 190cm

I(s2) = 189,5cm

...

I(si) = (190,5− i · 0,5)cm

...

I(s71) = 155cm

Este era el ejemplo en el cual tenıamos el universo de las alturas de laspersonas, en donde T era determinar si una persona era alta, E representaque las dos personas tienen la misma altura. Y en este caso, tenemos que(∀x)(∀y)((Tx∧Eyx)→ Ty) es la expresion que representa que en cualquiercaso en que dos personas sean de la misma estatura y una de ellas sea alta,la otra tambien sea alta.

De nuevo recordemos que queremos que todas las premisas de PSPSPS sean ver-daderas en nuestra interpretacion I que sea nuestro caso de estudio, pe-ro sabemos, como PSPSPS es valida en L3∀ y como Ts71 no es verdad en I(s71 = 155cm ∈ cxt(T )); concluimos que una de las premisas no es verdaden nuestra interpretacion I.

Y resulta ser que (∀x)(∀y)((Tx ∧ Eyx) → Ty) no es verdad en I, la formade verlo es a traves de las siguientes afirmaciones:

54 3.7. Analisis de la paradoja de sorites

Algunas valoraciones V ′ x-variantes satisfacen (∀y)((Tx∧Eyx)→ Ty)

Esto se puede ver con V ′(x) = 190,0cm, ya que para toda valoracionV ′′ y-variante de V ′, si V ′′(y) 6= 189,5cm, entonces se insatisface Eyxcomo Tx ∧ Eyx y por tanto se satisface (Tx ∧ Eyx)→ Ty.— En caso que V ′′(y) = 189,5cm, entonces tanto Eyx como Tx∧Eyxcomo Ty son satisfacibles y por tanto (Tx∧Eyx)→ Ty) es satisfacible.Por lo que V ′ satisface (∀y)((Tx ∧ Eyx)→ Ty)

Algunas valoraciones V ′ x-variantes no satisfacen ni insatisfacen(∀y)((Tx ∧ Eyx)→ Ty)

Esto se puede ver con V ′(x) = 175,0cm, de forma similar al anterior,toda valoracion V ′′ y-variante de V ′, si V ′′(y) 6= 174,5cm, entonces seinsatisface Eyx como Tx ∧ Eyx y por tanto se satisface(Tx ∧ Eyx)→ Ty.En caso que V ′′(y) = 174,5cm, entonces tanto Eyx como Tx∧Eyx sonsatisfacibles, pero Ty no es ni satisfacible ni insatisfacible, por lo que(Tx ∧ Eyx)→ Ty) no es ni satisfacible ni insatisfacible.Por lo que en este escenario V ′ ni satisface ni insatisface(∀y)((Tx ∧ Eyx)→ Ty)

Ninguna valoracion V ′ x-variante insatisface (∀y)((Tx ∧ Eyx)→ Ty)

Si existiera una valoracion V ′ x-variante que insatisface(∀y)((Tx ∧ Eyx) → Ty), significarıa que existe una valoracion V ′′ y-variante de V ′ tal que Tx y Eyx son satisfacibles por V ′′ y Ty es insa-tisfacible por V ′′. Sin embargo, por la definicion I, no existen alturash1, h2 tales que h1 ∈ ext(T ), h2 ∈ cxt(T ) y que que < h1, h2 >∈ ext(E).Por tanto este escenario no ocurre y se concluye que tal V ′ no puedeexistir.De esto, se sigue que V ′ no puede insatisfacer (∀y)((Tx∧Eyx)→ Ty).

De las tres premisas anteriores, podemos concluir entonces que dentro denuestra interpretacion I, (∀x)(∀y)((Tx ∧ Eyx) → Ty) no es ni satisfacibleni insatisfacible, y por ser una formula cerrada, su valor dentro de nuestrainterpretacion es N.


En este caso, conseguimos plantear una logica que elimina tautologıas comoel tercio excluıdo, posee un conjunto de tautologıas distintas a vacıo, manejauna interpretacion de incertidumbre en su semantica, que es completa; peroque aun ası no puede resolver la paradoja de sorites y por tanto no da expli-cacion a por que nuestro razonamiento de alturas sigue sin ser justificado.

De hecho, en las siguientes secciones, discutiremos por que las logicas confinitos valores de incertidumbre seguiran sin resolver la paradoja de sorites;esto justificara nuestro trabajo con logica difusa.

3.8. Extension del analisis a logicas finito-variadas

Diremos que las logicas finito-variadas son logicas cuyos resultados de sus va-loraciones en su version proposicional (o de las interpretaciones en su versionde primer orden) seran valores dentro del posible conjunto {T,N1, ...Nn, F}con n ≥ 1.

En este caso T y F seguiran siendo las interpretaciones de True y Fal-se respectivamente; mientras que N1, ...Nn corresponderan a los distintos va-lores de incertidumbre que manejara la correspondiente logica finito-variada.

Note que el caso de n = 1 se tienen las logicas tri-variadas. Ahora, veamoslas propiedades deseables que estudiaremos de las logicas finito-variadas quevamos a analizar.

3.8.1. Propiedades deseables y ejemplos

Lo primero, es que por razones de semantica, desearemos mantener un or-den dentro de las valoraciones, de tal forma que se nos permita compa-rar si una formula es “mas correcta”que otra. Por convencion diremos queT > N1 > N2 > ... > Nn > F , donde T (True) sera el mayor nivel de verdadque pueda tener una formula, mientras que F (False) es el menor nivel deverdad posible para una formula.

Por ejemplo, en el caso de n = 3 correspondiente a las logicas penta-variadas,posibles interpretaciones de los valores de verdad serıan:

T : la formula es verdad.

56 3.8. Extension del analisis a logicas finito-variadas

N1: la formula es bastante verdadera.

N2: la formula no es verdadera ni falsa.

N3: la formula no es del todo falsa.

F : la formula es falsa.

Diremos entonces que n sera el numero de valores de incertidumbre de lalogica finito-variada.

De esta forma, se tiene una escala de que tan cierta es una formula de nuestralogica.

Adicionalmente, solo se tendran en cuenta las logicas que tengan el prin-cipio de normalidad. De esta forma, se tendra que todas las tautologıas ycuasi-tautologıas de la logica (usando las definiciones previas para logicasmultivariadas) seguiran siendo tautologıas en la logica clasica.

Esto se hara en razon a que no se desea producir tautologıas o cuasi-tautologıasen las logicas multi-variadas de tal forma no sean verdad en la logica usual.

Adicionalmente, se deseara analizar logicas que cumplan con el principiosemantico deseado de Lukasiewicz de tener siempre como tautologıa a P → Py tener el principio de uniformidad en la logica. Esto con el fin de tener for-mas diferentes al principio de normalidad y uniformidad de producir formulascon valoraciones de T .

Note que en caso de no tener lo anterior, es posible llegar a tener un conjun-to de tautologıas igual a vacıo, lo cual no serıa de tanto interes en nuestroanalisis.

Con estas restricciones, podemos comparar las logicas finito-variadas de nues-tro interes, con respecto a la logica tri-variada de Lukasiewicz.

3.8.2. Comparacion con logicas tri-variadas

Con respecto a la logica tri-variada, por el mismo argumento del uso de ta-blas de verdad, tenemos que todas las logicas finito-variadas son decidibles.


Adicionalmente, para cualquier formula en una logica finito-variada L dife-rente a la tri-variada de Lukasiewicz, se tiene que:

Teorema 3.36. Toda tautologıa ϕ de una logica finito-variada L diferentea la logica tri-variada de Lukasiewicz tambien es una tautologıa de la logicatri-variada de Lukasiewicz

Demostracion. Si hay una tautologıa ϕ en L, cualquier valoracion V quesolo evalue {T,Ni, F}, la cual corresponderıa a una valoracion tri-variada,tambien sera una valoracion de L, por tanto, tambien la formula ϕ seraverdadera para V , y por tanto, se concluira que es una tautologıa en lalogica tri-variada de Lukasiewicz.

Note que este resultado no solo es valido para la logica tri-variada de Luka-siewicz, si no que tambien es valido en general para cualquier logica L′ cuyonumero de valoraciones de incertidumbre sea menor que el de la logica L.

Por tanto, dadas las restricciones y los resultados anteriormente menciona-dos, cada vez que se aumente el numero n de valores de incertidumbre, alo sumo se pierden tautologıas de una logica a otra, pero nunca se agregannuevas verdades.

En consecuencia de lo anterior, cualquier formula que no fuera valida en lalogica tri-variada de Lukasiewicz, no dejara de no ser valida en cualquier otralogica finito-variada con un numero de valoracion de incertidumbre mayor a 1.

Por ejemplo, para nuestro analisis de la Paradoja de sorites, retomando a PSPSPScomo:

58 3.8. Extension del analisis a logicas finito-variadas

PS :PS :PS :

Ts1

(∀x)(∀y)((Tx ∧ Eyx)→ Ty)

Es2s1

Es3s2

Es4s3

...

Es71s70Ts71

Todas las formulas del conjunto de premisas diferentes a(∀x)(∀y)((Tx ∧ Eyx) → Ty) pueden ser trivialmente verdaderas por las in-terpretaciones I de las logicas finito-variadas, esto en razon a que consistenunicamente en predicados atomicos, los cuales dependen unicamente de lainterpretacion I para ser verdaderos.

Y sin embargo, bajo nuestra interpretacion de alturas, si(∀x)(∀y)((Tx∧Eyx)→ Ty) no era satisfacible en la logica tri-variada de Lu-kasiewicz, seguira entonces siendo no satisfacible en las demas. Siempre quepodamos establecer un subconjunto no vacıo para T en una valoracion deincertidumbre Ni que nos separe los conjuntos de predicados que satisfacenT y F ; se podra seguir usando entonces el mismo argumento de la paradojade sorites y encontrar que (∀x)(∀y)((Tx ∧ Eyx) → Ty) no es verdad bajonuestras interpretaciones de alturas.

En consecuencia de lo anterior, sumado a que no se pueden producir nuevastautologıas en las logicas finito-variadas diferentes a las ya existentes en lalogica tri-variada de Lukasiewicz, se tiene que ninguna logica finito-variadade esta forma va a dar solucion a la Paradoja de sorites.

Finalmente, esta es nuestra motivacion para plantear una logica con infinitosvalores de incertidumbre para poder obtener un analisis mas completo a laParadoja de sorites. Y en nuestro caso, la logica difusa sera una de estaslogicas que lograra alcanzar el objetivo.

Capıtulo 4

Logica difusa

De acuerdo al analisis del capıtulo anterior, para tener un razonamiento masadecuado a nuestra cotidianidad en escenarios de manejos de incertidumbre,particularmente en casos como en el de la paradoja de sorites, es necesariauna logica que permita tener infinitos posibles valores de verdad.

Recordemos que en el caso de tener un numero finito de valores posibles,ası como en la paradoja de sorites, en los cuales el numero de premisas sepuede hacer tan grande como desee la persona, siempre podemos encontrarinterpretaciones las cuales logren atravesar todos los posibles valores de pre-dicados, ası como ocurre con el principio de caridad dado por la formula(∀x)(∀y)((Tx ∧ Eyx)→ Ty).

De hecho, nos interesara manejar no solo infinitos valores posibles de verdadpara nuestra logica, si no que tambien nos interesara que estos valores formenun conjunto continuo. Esto principalmente porque queremos tener la flexibi-lidad de poseer una gama completa de valores, que no tengan ’saltos’ entrelos mismos, es decir, queremos quitar la nocion semantica de tener bordesque nos separen cada uno de los posibles valores de verdad.

Es por eso que manejaremos como posibles valores de verdad el intervalocontinuo de [0, 1]. Y la logica difusa (o fuzzy logic conocida en el ingles) serala herramienta a usar.

Hay que resaltar que la logica difusa se diferenciara de otras logicas proba-bilısticas y que manejen valores en el intervalo [0, 1] en el sentido que, la

59

60 4.1. Introduccion a la logica proposicional difusa de Lukasiewicz

logica difusa manejara grados de verdad para modelar matematicamente lanocion de incertidumbre, la cual asume la existencia de un hecho, y evaluaque tan creıble o no es el mismo. Y en este caso, se asume que 0 sera tener unaexpresion False mientras que 1 sera tener una expresion True . Las logicasdifusas se diferencian entonces de otras logicas que manejan el intervalo [0, 1]como las logicas probabilısticas, en el sentido que estas ultimas manejan lanocion de posible ocurrencia de eventos o verdades, los cuales determinan elnumero de escenarios en cuyo caso un evento es totalmente cierto o comple-tamente falso.

Finalmente, debemos resaltar que la logica difusa no es unica, por el contrario,existen muchos tipos de logicas difusas, las cuales cada una modela una inter-pretacion diferente de incertidumbre. Sin embargo, en proximas secciones ellector podra evidenciar que todas las logicas difusas comparten propiedadescomunes que seran de interes desde un punto de vista matematico, y que apartir de ellas podemos encontrar aspectos diferenciadores entre logicas di-fusas.

Con estas consideraciones en mente, introduciremos entonces la logica difusade Lukasiewicz, la cual es la que hemos venido trabajando desde su versiontri-variada, y sera la que nos proporcione el salto conceptual de las logicasfinito-variadas a las logicas infinito-variadas.

Para el desarrollo de este capıtulo, se adapta el formalismo presentado en[Haj98] con respecto a la definicion de las logicas difusas a partir de T-normas,la demostracion de completitud sobre la logica basica BL y sus extensiones, yla formalizacion de N -tautologıas mostradas en [Ber08]. Mientras que el autorhace un trabajo propio en la comparacion entre cada una de las logicas difusaspresentadas, la comparacion de logicas difusas frente a la logica clasica, y elanalisis de la paradoja de sorites para la logica difusa de Lukasiewicz.

4.1. Introduccion a la logica proposicional di-

fusa de Lukasiewicz

En esta seccion, nos centraremos en la introduccion semantica de la logicadifusa proposicional de Lukasiewicz (LLuk ), para esto, primero explicaremos

Chapter 4. Logica difusa 61

lo que son los conjuntos difusos y las funciones de membresıa, para luegoexponer los conectivos, y finalmente analizar por que semanticamente estalogica contiene todos los principios que hemos trabajo con las versiones finito-variadas de las logicas de Lukasiewicz.

Lo primero sera definir los conjuntos difusos y las funciones de membresıa.

Definicion 4.1. Conjunto difuso: Un conjunto difuso es la tupla (U,m)donde U es el conjunto de miembros y m es una funcion m : U → [0, 1]llamada funcion de membresıa.Para cada x ∈ U , m(x) se conocera como el grado de membresıa de x en(U,m)

En el caso de la logica difusa proposicional de Lukasiewicz, nuestros conjun-tos difusos consistiran de las letras proposicionales, por lo que las funcionesde membresıa seran asignaciones de letras proposicionales a valores en [0, 1].

Ahora, con respecto a los conectivos para LLuk , se tendran los mismos co-nectivos usados para su version proposicional tri-variada(¬L ,∧L ,∨L ,→L ,↔L ,&L ,∇L ). Dada una funcion de membresıa de letrasproposicionales P , se definen las valoraciones extendidas V ′ de la siguienteforma:

V ′(ϕ) = V (ϕ) si ϕ es una letra proposicional.

V ′(¬Lϕ) = 1− V ′(ϕ).

V ′(ϕ ∧L ψ) = min(V ′(ϕ), V ′(ψ)).

V ′(ϕ ∨L ψ) = max(V ′(ϕ), V ′(ψ)).

V ′(ϕ→L ψ) = min(1, 1− V ′(ϕ) + V ′(ψ)).

V ′(ϕ↔L ψ) = min(1, 1− V ′(ϕ) + V ′(ψ), 1− V ′(ψ) + V ′(ϕ)).

V ′(ϕ&Lψ) = max(0, V ′(ϕ) + V ′(ψ)− 1).

V ′(ϕ∇Lψ) = min(1, V ′(ϕ) + V ′(ψ)).

62 4.1. Introduccion a la logica proposicional difusa de Lukasiewicz

En este caso, simplemente se dira que V ′ es la valoracion de la funcion demembresıa de V (las cuales de ahora en adelante denotaremos simplementeV ).

Ahora, con respecto a la interpretacion semantica de cada uno de los conecti-vos, la justificacion de la formulas que dan origen a &L y∇L se explicaran masa fondo en la seccion de T-normas, pero por ahora, podemos ver en la defini-cion que, por ejemplo para el caso de la conjuncion, para todo V (ϕ), V (ψ) ∈[0, 1], se tiene que max(0, V ′(ϕ) + V ′(ψ) − 1) ≤ min(V ′(ϕ), V ′(ψ)), por loque la conjuncion fuerte siempre genera un menor grado de verdad que suversion debil.

De igual forma, para la disyuncion, para todo V (ϕ), V (ψ) ∈ [0, 1], se tieneque min(1, V ′(ϕ)+V ′(ψ)) ≥ max(V ′(ϕ), V ′(ψ)), por lo que de forma similarse tiene que la disyuncion fuerte genera un mayor grado de verdad que suversion debil.

Adicionalmente, entendiendo que ser True es equivalente a tener una valo-racion de 1, y ser False es equivalente a tener una valoracion de 0, se tieneque todos los operadores (¬L ,∧L ,∨L ,→L ,↔L ) anteriormente definidos soncontraparte de los operadores clasicos (¬,∧,∨,→,↔); a su vez que &L escontraparte de ∧ y ∇L es contraparte de ∨.

De esta forma, se tiene que todos los operadores son normales, y que por lotanto, LLuk tiene el principio de normalidad.

Seguidamente, otra de las propiedades semanticas que queremos conservarsiempre en Lukasiewicz es tener como tautologıa ϕ → ϕ para cualquierformula ϕ. Esto es verdad ya que para toda valoracion V se tiene queV (ϕ→ ϕ) = min(1, 1− V (ϕ) + V (ϕ)) = min(1, 1) = 1.

Adicionalmente, con esta definicion se conserva la nocion que la implicacionde Lukasiewicz ϕ → ψ sigue teniendo el significado semantico de que ψ espor lo menos igual de valido que ϕ, por lo que siempre tenemos que bajocualquier valoracion V , sera siempre verdad que V (ϕ→ ψ) = 1 en caso queV (ϕ) ≤ V (ψ).


4.2. Principio de normalidad y uniformidad

para logica difusa, tautologıas, contra-

dicciones

Similar a como se tenıa en la version tri-variada de Lukasiewicz, se tiene quela version difusa de Lukasiewicz tambien posee los principios de normalidady de uniformidad:

Teorema 4.2. LLuk posee el principio de normalidad

Demostracion. Basta con observar que para cada uno de los operadores,cuando se reemplazan los valores de los argumentos por 1s y 0s, los resultadoscoinciden con sus contrapartes de la logica clasica. Entonces suponga que setiene una valoracion que sin perdida de generalidad, para letras proposicio-nales que llamaremos 1, 0, cumple V (1) = 1 y V (0) = 0. Se tiene entoncesque:

Para ¬L, se tiene que V (¬L1) = 1−V (1) = 0 y V (¬L0) = 1−V (0) = 1.

Para ∧L, como se escoge el mınimo de los dos valores, si uno llegaa ser 0, el mınimo es 0, por lo que la expresion es falsa, mientras esverdad unicamente si ambos argumentos son 1, lo cual coincide con ladefinicion clasica del ∧.

Para ∨L, de forma similar a la anterior, como se escoge el maximo,entonces si una de las expresiones es 1, la expresion es 1, mientras queambas requieren ser 0 para que el resultado de 0, lo cual coincide conel ∨ clasico.

Para →L, ya se tiene como resultado que ϕ → ϕ, y ademas como0 →L 1, tambien se tiene que 0 → 1. Falta entonces solo evaluar elsiguiente caso, V (1→L 0) = min(1, 1− 1 + 0) = min(1, 0) = 0, por loque este coincide con → clasico.

Para ↔L, basta con ver que, como →L,∧L son normales, y por defi-nicion de los operadores V (ϕ ↔L ψ) = V ((ϕ →L ψ) ∧L (ψ →L ϕ)),entonces se tiene que ↔L coincide con el ↔ clasico.

644.2. Principio de normalidad y uniformidad para logica difusa, tautologıas,

contradicciones

Para &L, tomando valores de {0, 1}, V (ϕ) + V (ψ) − 1 solo es mayorestricto a 0 si ambos valores son 1, en cuyo caso &L es 1; mientras quesi alguno tiene valor 0, V (ϕ) + V (ψ)− 1 tendran valor no mayor a 0 ypor tanto &L es 0, lo que coincide con el ∧ clasico.

Para∇L, tomando valores de {0, 1}, V (ϕ)+V (ψ) solo es menor estrictoa 1 si ambos valores son 0, en cuyo caso &L es 0; mientras que si algunotiene valor 1, V (ϕ) + V (ψ) tendran valor no menor a 1 y por tanto &L

es 1, lo que coincide con el ∨ clasico.

Por lo tanto, se concluye que LLuk posee el principio de normalidad

Teorema 4.3. LLuk posee el principio de uniformidad

Demostracion. De nuevo, se requiere ver que cada uno de los conectivos deLLuk es uniforme.

Para ¬L, basta con conocer que ¬L es normal y operador de aridad 1para tener que es uniforme.

Para ∧L, como se tiene que el mınimo de 0 y cualquier x en [0, 1] es 0,se tiene que el operador es uniforme.

Para ∨L, como se tiene que el maximo de 1 y cualquier x en [0, 1] es 1,se tiene que el operador es uniforme.

Para →L, en caso de tener 0 → x para x en [0, 1], como 0 ≤ x, setiene por definicion de la implicacion que V (0 → x) = 1. En caso detener x→ 1 para x en [0, 1], entonces V (x→ 1) = min(1, 1− x+ 1) =min(1, 2− x) = 1. Por lo que se tiene que el operador es uniforme.

Para ↔L no existen casos a considerar en la logica clasica, por lo quetrivialmente el operador es uniforme.

Para &L, como se tiene que max(0, V (ϕ) + V (ψ)− 1) es conmutativo,entonces fijando uno de los valores en 0 y para x en [0, 1] se tiene quemax(0, 0+x−1) = max(0, x−1) = 0, entonces el operador es uniforme.

Para ∇L, como se tiene que min(1, V (ϕ) + V (ψ)) es conmutativo, en-tonces fijando uno de los valores en 1 y para x en [0, 1] se tiene quemin(1, 1 + x) = 1, entonces el operador es uniforme


Por tanto, se concluye que LLuk tiene el principio de uniformidad

De esta forma, se tiene que al igual que su version tri-variada, que Luka-siewicz posee los principios de normalidad e uniformidad, esto nos ayudaraal igual que en las logicas finito-variadas, a compararlo con la logica clasicaproposicional.

Ahora, recordemos las definiciones de tautologıas y de contradiccion para lalogica difusa:

Definicion 4.4. Tautologıa difusa: Sea una formula ϕ, se dice que ϕ estautologıa si para toda valoracion V , se tiene que V (ϕ) = 1.

Definicion 4.5. Contradiccion difusa: Sea una formula ϕ, se dice que ϕes contradiccion si para toda valoracion V , se tiene que V (ϕ) = 0.

4.2.1. Comparacion entre logica difusa de Lukasiewicz,finito-variadas, y logica clasica

Uno de los resultados mas inmediatos del trabajo anterior, teniendo en cuen-ta que en la interpretacion difusa, tener 1 es lo mismo a tener True, y tener0 es lo mismo a tener False, es que las definiciones de tautologıas y contra-dicciones de la logica difusa coinciden con las definiciones de tautologıas ycontradicciones de logicas multi-variables definidos en la seccion anterior. Porlo tanto, los teoremas de comparacion con la logica clasica que eran validospara logicas multivariables tambien son validos en la logica difusa.

Teorema 4.6. Toda tautologıa de LLuk es una tautologıa de la logica clasicaproposicional.

Teorema 4.7. Toda contradiccion de LLuk es una contradiccion de la logicaclasica proposicional.

Ahora, comparemos las tautologıas de las logicas finito-variadas de Lukasie-wicz con su version difusa; y tomemos como ejemplo la logica tri-variada deLukasiewicz (L3 ). Tomando un subconjunto de valoraciones

{V3 : V3 es una valoracion difusa que cumple ∗3}(veradelante)


contradicciones

de las posibles valoraciones de la logica difusa tal que, para las funcionesde membresıas asociadas, se tiene que para toda letra proposicional P , en-tonces V3(P ) ∈ {0, 1

2, 1}( condicion ∗3). Por lo cual, realizando la siguiente

asociacion

1↔ True

1

2↔ N

0↔ False

Se tiene que no solo los {V3 : V3 cumple ∗3} son valoraciones de la logicatri-variada de Lukasiewicz si no que ademas, todos los resultados de los ope-radores proposicionales de L3 coinciden con los resultados de los operadoresde LLuk para este subconjunto de valores.

Por lo cual, toda tautologıa (y contradiccion) de la logica difusa de Lukasie-wicz tambien sera una tautologıa (y contradiccion) de la logica tri-variadade Lukasiewicz.En el caso mas general, si se tiene una logica finito-variada de Lukasiewiczcon n su numero de valoraciones de incertidumbre, tomando el subconjuntode valores {Vn : Vn es una valoracion difusa que cumple ∗n} tal que para to-da las letras proposicionales P se tiene que Vn(P ) ∈ { i

n+1: i ∈ [0, n+ 1]∩N}

(consicion ∗n), se tiene bajo la misma asociacion a los {F,Nn, ..., N1, T},que las tautologıas (y contradicciones) de la logica difusa tambien seran tau-tologıas (y contradiccion) de la logica finito-variada, por lo que se tiene elsiguiente resultado.

Teorema 4.8. Toda tautologıa de LLuk es una tautologıa de cualquier logicafinito-variable proposicional de Lukasiewicz.

Teorema 4.9. Toda contradiccion de LLuk es una contradiccion de cualquierlogica finito-variable proposicional de Lukasiewicz.

Ahora, sabemos que no toda tautologıa (y contradiccion) clasica es una tau-tologıa (y contradiccion) de la logica L3 ; el ejemplo es el tercio excluidoP ∨ ¬P . El mismo ejemplo con una valoracion V (P ) = 0,5 produce queV (P ∨ ¬P ) = min(0,5, 1 − 0,5) = 0,5. Por lo que no toda tautologıa de la


logica clasica es tautologıa de la logica difusa.

De hecho, tambien se tiene que no toda tautologıa de L3 es una tautologıade la logica difusa de Lukasiewicz LLuk . La forma de darse cuenta de estoes a traves de la tautologıa de L3 ((P → P )→ P )→ P la cual es el axiomaL34 del sistema deductivo de esta logica, y a su vez es semanticamente equi-valente en L3 a (P → ¬P ) ∨ P .

Para este caso, tomando una valoracion V en la logica difusa tal que V (P ) =0,7, se tiene que V ((P → ¬P ) ∨ P ) = max(min(1, 1 − 0,7 + 0,3), 0,7) =max(0,6, 0,7) = 0,7 la cual no es 1 y por tanto no es una tautologıa de lalogica difusa.

Por lo cual, la logica difusa de Lukasiewicz tiene un conjunto de tautologıasestrictamente menor al conjunto de tautologıas de tanto su version tri-variadacomo de la logica clasica.

Adicionalmente, uno de los resultados mas recientes conocidos es la decibili-dad de la logica difusa proposicional. Uno de los resultados mostrados en elcapıtulo anterior es que todas las logicas proposicionales finito-variadas sondecidibles al mostrar las tablas de verdad finitas de cada uno de sus opera-dores. Sin embargo, en la logica difusa de Lukasiewicz no tenemos la nocionde tabla de verdad, y de hecho estas no se pueden construir por tener unconjunto infinito de posibles valores para cada uno de los argumentos que seusen en los conectivos. Aun ası se tiene que LLuk es decidible

El hecho que la logica proposicional difusa de Lukasiewicz es decidible fueprobado por Aguzzoli y Ciabattoni en su artıculo “Finiteness in infinite-valued Lukasiewicz logic” del ano 2000 [AC00]. Para su deduccion, se necesitaprimero enunciar la siguiente definicion y lema:

Definicion 4.10. Dada una formula ϕ, se define #O(ϕ) como el numero deocurrencias de formulas atomicas en la formula ϕ.

La anterior se puede formalizar ver como una definicion recursiva, en la cualpara B una letra proposicional, se tiene que #O(B) = 1, ası como quepara formulas ϕ, ψ, se tiene que #O(¬ϕ) = #O(ϕ) y que #O(ϕ∇ψ) =#O(ϕ) + #O(ψ).


contradicciones

Otro de los resultados necesarios que se deben tener en cuenta es que todaformula ϕ de la logica clasica se puede escribir con otra formula ϕ′ equivalen-te que solo tiene ocurrencias de ¬,∇, esto se mostrara mas adelante cuandose haya explicado el tema de T-normas en las siguientes secciones. De hechoexiste una forma procedimental de, a traves de un numero finito de pasos,transformar a ϕ en ϕ′.

Finalmente, el resultado importante que demuestra Aguzzoli y Ciabattoni esel siguiente lema:

Lema 4.11. [AC00] Toda formula ϕ′ que solo contiene operadores de ¬y de ∇ es una tautologıa en LLuk si y solo si ϕ′ es una tautologıa en lalogica finito-variada proposicional de Lukasiewicz con n numero de valoresde incertidumbres y en donde n = 2#O(ϕ′) − 1.

Como ejemplo, la formula P∇¬P con P una letra proposicional tiene que#O(P∇¬P ) = 2, y por el lema anterior, P∇¬P es tautologıa en LLuk sı ysolo sı P∇¬P es tautologıa en la logica finito-variada con numero de valora-ciones de incertidumbre de n = 3; es decir, P∇¬P es tautologıa en LLuk si ysolo si P∇¬P es tautologıa en L5. De los anteriores hechos, se tiene que:

Teorema 4.12. La logica difusa proposicional de Lukasiewicz es decidible,es decir, para toda formula ϕ, existe un metodo efectivo finito para mostrarque la formula es o no una tautologıa de LLuk .

Demostracion. Dada una formula ϕ, transformar a ϕ en ϕ′ formula equiva-lente semanticamente la cual solo posee ocurrencias de conectores de ¬ y ∇.Luego calcule el valor de #O(ϕ′) y de m = 2#O(ϕ′)+1. Y finalmente, a travesde tablas de verdad, retorne como resultado el valor que determine si ϕ′ esuna tautologıa en Lm.Dado que tanto ϕ ≡ ϕ′, como que ϕ′ es tautologıa en LLuk sı y solo sı estautologıa en Lm, se tiene que el anterior procedimiento decide en finitospasos si ϕ es tautologıa o no en LLuk .

Finalmente, uno de los resultados que deseamos mostrar a lo largo de es-te capıtulo es que la logica difusa de Lukasiewicz es completa, para esto,debemos introducir el concepto de T -normas, y mostrar un resultado mas


generico para las logicas difusas en general, y del cual tendremos el resultadopara la logica especıfica de Lukasiewicz.

4.3. T-normas

Para demostrar el resultado de completitud deseado, mostraremos la forma decrear logicas difusas a partir de T-normas, las cuales se definen formalmentede la siguiente forma.

Definicion 4.13. T-normaT-normaT-norma Una T-norma es una operacion ? binaria en [0, 1](? : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1]) la cual satisface las siguientes condiciones:

(i) ? es conmutativo y asociativo, es decir, para todos x, y, z ∈ [0, 1]

x ? y = y ? x

(x ? y) ? z = x ? (y ? z)

(ii) ? es una funcion no decreciente en ambos argumentos, es decir, paratodos x, y, x1, x2, y1, y2 ∈ [0, 1],

x1 ≤ x2 implica que x1 ? y ≤ x2 ? y,

y1 ≤ y2 implica que x ? y1 ≤ x ? y2,

(iii) 1 ? x = x y 0 ? x = 0 para todo x ∈ [0, 1]

Adicionalmente, diremos que ? es una T-norma continua si es una T-norma,y ademas es una funcion continua de [0, 1] × [0, 1] a [0, 1] con la topologıausual de los reales.

Adicionalmente, definiremos la nocion de T-conorma como sigue.

Definicion 4.14. T-conormaT-conormaT-conorma Una T-conorma es una operacion ? binaria en[0, 1] (? : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1]) la cual satisface las siguientes condiciones:

(i) ? es conmutativo y asociativo, es decir, para todos x, y, z ∈ [0, 1]

x ? y = y ? x

(x ? y) ? z = x ? (y ? z).

70 4.3. T-normas

(ii) ? es una funcion no decreciente en ambos argumentos, para todosx, y, x1, x2, y1, y2 ∈ [0, 1]

x1 ≤ x2 implica que x1 ? y ≤ x2 ? y,

y1 ≤ y2 implica que x ? y1 ≤ x ? y2.

(iii) 0 ? x = x y 1 ? x = 1 para todo x ∈ [0, 1]

Adicionalmente, a la definicion anterior, para T-normas y T-conormas sobreel espacio [0, 1], se puede ver que:

Para toda ? T-norma, se tiene x ? y = 0 si x = 0 o y = 0.

Para toda ? T-conorma, se tiene x ? y = 1 si x = 1 o y = 1.

Note que hay una similitud en las definiciones de T-normas y T-conormas, ytendra sentido asociar unas con otras a traves de una nocion de dualidad lacual se formaliza de la siguiente manera:

Definicion 4.15. Dada una T-norma ? y una T-conorma ?′ decimos que(?, ?′) es una pareja dual de T-norma-T-conorma si para todo x, y ∈ [0, 1] secumple que

x ?′ y = 1− ((1− x) ? (1− y).

En caso que esto ocurra, se dira que ?′ es la T-conorma dual de la T-norma?

Para el desarrollo de nuestra labor, nos interesara trabajar con unicamentelas T-normas, y se entendera que, cuando se este hablando de una T-conorma,siempre nos referiremos a la T-conorma dual a la T-norma del contexto enel que estemos trabajando.

Adicionalmente, a partir de una T-norma ? continua fija, definiremos la fun-cion residual ⇒?.

Definicion 4.16. ResidualResidualResidual El residual de una T-norma ? continua es lafuncion ⇒?: [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] tal que:

x⇒? y := max{z ∈ [0, 1] : (x ? z) ≤ y}.


Lo primero sera probar entonces que el residual esta bien definido, esto es,que efectivamente el maximo existe. Debido a que el residual se define en unconjunto de puntos en [0, 1], basta probar que este es cerrado para obtenerel resultado deseado.

Lema 4.17. El residuo de una T-norma ? continua en [0, 1] esta bien defi-nido.

Demostracion. Defina el conjunto Rx,y = {z ∈ [0, 1] : (x ? z) ≤ y}, y sea z′

un punto lımite de Rx,y, entonces existe una sucesion zii∈N ⊆ Rx,y tal quezi → z′. Como para todo i ∈ N, (x ? zi) ≤ y, y (x ? zii∈N), ? es continuo, lafuncion x ? (z) = x ? z es continua, entonces la secuencia x ? zi → x ? z′.Ademas, como para todo i ∈ N, (x ? zi) ≤ y, entonces tambien se tiene porconvergencia que (x?z′) ≤ y, por lo que z′ ∈ Rx,y y por tanto Rx,y es cerrado.Ahora, si considera el sup{z ∈ [0, 1] : (x ? z) ≤ y}, el supremo es un puntolımite por definicion, por tanto sup{z ∈ [0, 1] : (x ? z) ≤ y} ∈ Rx,y, y queademas es el maximo del conjunto. Por lo cual esta bien definido

x⇒? y := max(Rx,y).

Adicional a la definicion, tambien se tiene que el residual de ? es la unicafuncion que cumple una condicion especıfica en caso de que ? sea una T-norma continua, la cual denominaremos condicion del adjunto.

Definicion 4.18. Condicion del adjuntoCondicion del adjuntoCondicion del adjunto Una funcion⇒ cumple la condiciondel adjunto para una T-norma ? si para todo x, y, z ∈ [0, 1] se cumple que

x ? y ≤ z si y solo si x ≤ (y ⇒ z)

Lema 4.19. Si ? es una T-norma continua, el residual ⇒? es la unica fun-cion que satisface la condicion del adjunto.

Demostracion. Para esto, primero debemos probar que el residual de ? sa-tisface la condicion del adjunto, para lo que se quiere probar que para todox, y, z ∈ [0, 1], se tiene que x ? y ≤ z si y solo si x ≤ (y ⇒? z).Para la primera direccion, suponga que x ? y ≤ z, entonces por conmutati-vidad de ? se tiene que y ? x ≤ z, entonces x ∈ Ry,z, y por definicion del

72 4.3. T-normas

maximo, se tiene que x ≤ (y ⇒? z).Para la otra direccion, suponga que x ≤ (y ⇒? z), como se demostro an-teriormente, el residual es un maximo tal que (y ⇒? z) ∈ Ry,z, por lo quey ? (y ⇒? z) ≤ z por definicion de Ry,z, y como x ≤ (y ⇒? z), por ser ? nodecreciente, se tiene que y ?x ≤ y ? (y ⇒? z), por transitividad del ≤ en [0, 1]y conmutatividad de ? obtenemos que x ? y ≤ z.Por lo tanto, se tiene que el residual ⇒? satisface la condicion del adjunto.Ahora suponga otra funcion⇒ que satisfaga la condicion del adjunto, enton-ces x ? y ≤ z si y solo si x ≤ (y ⇒ z). Se tiene entonces que para cualquiery, z ∈ [0, 1] que

{x ∈ [0, 1]|x ≤ (y ⇒ z)} = {x ∈ [0, 1]|x ≤ (y ⇒? z)}

Ya que ambas funciones satisfacen la condicion del adjunto. Note enton-ces que los conjuntos anteriores corresponden a los conjunto de los elemen-tos menores o iguales a (y ⇒ z) y (y ⇒? z) respectivamente, como ambasfunciones estan definidas sobre [0, 1] un conjunto con el orden total ≤, co-mo los conjuntos de los elementos menores o iguales coinciden, se tiene que(y ⇒ z) = (y ⇒? z); y como y, z fueron arbitrarios, se tiene que ⇒=⇒?, loque demuestra el resultado de unicidad.

Con lo anterior, dada una T-norma continua en [0, 1], tambien se tiene defi-nida de forma unica su residual, por notacion, a partir de este momento de-notaremos entonces con⇒ el residual de la T-norma continua ? del contextoque se este trabajando. Adicionalmente, de la misma definicion del residual,se van a tener como resultados particulares que para todos x, y ∈ [0, 1]:

x ≤ y si y solo si (x⇒ y) = 1

(1⇒ x) = x

Y se tienen como resultados adicionales:

Lema 4.20. Si x < y, entonces x = y ? (y ⇒ x).

Demostracion. Dados x, y ∈ [0, 1] tal que x < y, si se define la funcioncontinua f(z) = z ?y, f(0) = 0, f(1) = y, y como 0 ≤ x < y, por teorema delvalor medio se tiene entonces para algun valor z′, 0 ≤ z′ ≤ 1 que f(z′) = xy ademas z′ ∈ {z : z ? y ≤ x}. Por definicion de residual, max{z : z ? y ≤x} = (y ⇒ x), entonces se tiene por el orden lineal ≤ que (y ⇒ x) = z′ yque x = y ? (y ⇒ x)


Adicional al residual, para nuestra logica necesitaremos definir los operadoresde min,max,negacion para obtener el algebra que nos dara los resultados decompletitud. Para el intervalo [0, 1], si se denotan ∩,∪ como el min,maxrespectivamente, bajo el ordenamiento ≤ usual, se tiene que

x ≤ y si y solo si x ∩ y = x.

x ≤ y si y solo si x ∪ y = y.

Vamos a mostrar que las operaciones de mınimos y maximos se pueden definira traves de T-normas continuas y sus residuales

Lema 4.21. Para cada ? T-norma continua con su respectivo residual ⇒,se tiene que:

(i) x ∩ y = x ? (x⇒ y)

(ii) x ∪ y = ((x⇒ y)⇒ y) ∩ ((y ⇒ x)⇒ x)

Demostracion. (i) Si x ≤ y, entonces (x⇒ y) = 1 y x?(x⇒ y) = x?1 = x.Si x > y, por el lema anterior se tiene que x ? (x⇒ y) = y.

(ii) Si x ≤ y, entonces (x ⇒ y) = 1 y (x ⇒ y) ⇒ y = (1 ⇒ y) = y.Adicionalmente, por condicion del residuo, como y ? (y ⇒ x) ≤ x,entonces y ≤ (y ⇒ x) ⇒ x, se tiene entonces por la definicion demınimo que ((x⇒ y)⇒ y) ∩ ((y ⇒ x)⇒ x) = y.El caso que y ≤ x es simetrico a la prueba anterior.

Por tanto, efectivamente se pueden definir las funciones de mınimo y maximoa partir de la T-norma continua. Para la negacion, se definira que:

Definicion 4.22. Dada una T-norma con su residual ⇒, se define la nega-cion (−(x)) de un elemento en x ∈ [0, 1] como −(x) = (x⇒ 0)

Con esto, ya tenemos todos los elementos necesarios para definir logicas di-fusas a partir de T-normas, nos daremos cuenta en las proximas seccionesque Lukasiewicz es solo un caso particular de las construcciones que presen-taremos a continuacion.

74 4.4. Sistema axiomatico para logicas difusas a partir de T-normas

4.4. Sistema axiomatico para logicas difusas

a partir de T-normas

Fijando entonces una T-norma continua ? en [0, 1], podemos fijar el calculoproposicional cuyos valores de verdad se encuentran en [0, 1] al tomar la va-loracion de la conjuncion fuerte como el valor de la T-norma ? y la valoracionde la implicacion como el resultado de su correspondiente residual ⇒.

Probaremos entonces que esta logica y cualquier extension de ella es completa(bajo otras condiciones adicionales), para luego mostrar que Lukasiewicz esuna extension particular de esta logica.

4.4.1. Definicion de la logica basica a partir de T-normas

El lenguaje que utilizaremos para el calculo proposicional se define formal-mente de la siguiente manera:

Definicion 4.23. Lenguaje proposicional LPLenguaje proposicional LPLenguaje proposicional LP : El lenguaje proposicional LPse define con las variables proposicionales p1, p2, ..., los conectivos &,→ y elsımbolo constante 0 de la siguiente manera

0 y las letras proposicionales son formulas

si ϕ, ψ son formulas, entonces ϕ&ψ, ϕ→ ψ son formulas

Y se definen los conectivos ∧,∨,¬,↔ como las siguientes abreviaciones

ϕ ∧ ψ es ϕ&(ϕ→ ψ)

ϕ ∨ ψ es ((ϕ→ ψ)→ ψ) ∧ ((ψ → ϕ)→ ϕ)

¬ϕ es ϕ→ 0

ϕ↔ ψ es (ϕ→ ψ)&(ψ → ϕ)

Adicionalmente,

Definicion 4.24. Dada una T-norma continua ? (con su respectivo residual⇒), se define una valoracion V sobre ? como la funcion que asigna a lasletras proposicionales P valores del intervalo [0, 1] (V (P ) ∈ [0, 1]); y queadicionalmente, se extiende unıvocamente la valoracion a formulas de LP dela siguiente forma:


V (0) = 0

V (ϕ→ ψ) = V (ϕ)⇒ V (ψ)

V (ϕ&ψ) = V (ϕ) ? V (ψ)

Note entonces que las valoraciones se definen a partir de la T-norma continua? y de su residual ⇒. Por lo tanto y retomando los resultados de la seccionanterior, se tiene inmediatamente como resultado que para toda formula ϕ, ψde LP :

V (ϕ ∧ ψ) = min(V (ϕ), V (ψ))

V (ϕ ∨ ψ) = max(V (ϕ), V (ψ))

Finalmente, diremos que las formulas verdaderas seran las tautologıas dadaspor:

Definicion 4.25. Diremos que una formula ϕ es una 1-tautologıa de LPsi para toda T-norma continua ? y toda valoracion V sobre ? se tiene queV (ϕ) = 1.

Ya que tenemos nuestro lenguaje proposicional LP con su correspondientesemantica, definimos el sistema axiomatico BL (Basic-logic) para LP de lasiguiente forma:

Definicion 4.26. Definimos el calculo de la logica basica BL de la siguienteforma, para ϕ, ψ, χ formulas, los axiomas de BL son:

Axioma 16. BL,1.BL,1.BL,1. (ϕ→ ψ)→ ((ψ → χ)→ (ϕ→ χ))

Axioma 17. BL,2.BL,2.BL,2. (ϕ&ψ)→ ϕ

Axioma 18. BL,3.BL,3.BL,3. (ϕ&ψ)→ (ψ&ϕ)

Axioma 19. BL,4.BL,4.BL,4. (ϕ&(ϕ→ ψ))→ (ψ&(ψ → ϕ))

Axioma 20. BL,5a.BL,5a.BL,5a. (ϕ→ (ψ → χ))→ ((ϕ&ψ)→ χ)

Axioma 21. BL,5b.BL,5b.BL,5b. ((ϕ&ψ)→ χ)→ (ϕ→ (ψ → χ))

Axioma 22. BL,6.BL,6.BL,6. ((ϕ→ ψ)→ χ)→ (((ψ → ϕ)→ χ)→ χ)


Axioma 23. BL,7.BL,7.BL,7. 0→ ϕ

Y la regla de deduccion sera Modus Ponens


Note que en los axiomas anteriores, BL,1.BL,1.BL,1. es la transitividad de la impli-cacion, BL,2.BL,2.BL,2. es la eliminacion de la conjuncion fuerte, BL,3.BL,3.BL,3. habla de laconmutatividad de la conjuncion fuerte, mientras BL,4.BL,4.BL,4. habla de la comu-tatividad de la conjuncion debil, BL,5a.BL,5a.BL,5a. y BL,5b.BL,5b.BL,5b. expresan la condicion delresiduo, BL,6.BL,6.BL,6. es una version de la prueba de casos, y BL,7.BL,7.BL,7. dire que lo falso0 implica cualquier otra formula de BL.

Adicionalmente, se puede ver que todos los axiomas de BL son 1-tautologıas,esto se puede verificar a traves de unicamente las propiedades de T-normas yla condicion del adjunto expuestas anteriormente. La demostracion completase encuentra en [Haj98]. A modo de ejemplo, ilustraremos el proceso de comoserıa el procedimiento para el primer axioma.

Lema 4.27. BL,1.BL,1.BL,1. es una 1-tautologıa

Demostracion. Dada una T-norma continua ? (con su respectivo residual⇒)y una valoracion V sobre ?, que debemos verificar que

V ((ϕ→ ψ)→ ((ψ → χ)→ (ϕ→ χ))) = 1

Por la forma en que se extiende V sobre formulas, suponiendo que V (ϕ) = x,V (ψ) = y, V (χ) = z, y entendiendo que las valoracion produce valores en elintervalo [0, 1], bastara con demostrar que

1 ≤ (x⇒ y)⇒ ((y ⇒ z)⇒ (x⇒ z))

Para obtener el resultado deseado. Ahora, usando la propiedad el adjuntotres veces, tenemos que esto es equivalente a tener el siguiente resultado

1 ≤ (x⇒ y)⇒ ((y ⇒ z)⇒ (x⇒ z))

(x⇒ y) ? 1 ≤ (y ⇒ z)⇒ (x⇒ z)

(x⇒ y) ≤ (y ⇒ z)⇒ (x⇒ z)

(x⇒ y) ? (y ⇒ z) ≤ (x⇒ z)

(x⇒ y) ? (y ⇒ z) ? x ≤ z


Ahora, teniendo en cuenta en cuenta que ? es asociativa y que de los lemasde la seccion anterior se tiene que x ? (x ⇒ y) = x ∩ y ≤ y y que y ? (y ⇒z) = y ∩ z ≤ z; Tenemos para la anterior expresion que

(x⇒ y) ? (y ⇒ z) ? x =

(x ? (x⇒ y)) ? (y ⇒ z) =

(x ∩ y) ? (y ⇒ z) ≤y ? (y ⇒ z) =

y ∩ z ≤z

Por lo que se tiene efectivamente que

(x⇒ y) ? (y ⇒ z) ? x ≤ z

Y se concluye entonces que

V ((ϕ→ ψ)→ ((ψ → χ)→ (ϕ→ χ))) = 1

Entonces se tiene usando solo propiedades de T-normas que los axiomas deBL son 1-tautologıas. De igual forma, para la regla de deduccionMP.MP.MP., si parauna valoracion particular V se tiene que V (ϕ) = V (ϕ→ ψ) = 1, entonces setiene que

1 = V (ϕ→ ψ) = V (ϕ)⇒ V (ψ) = 1⇒ V (ψ) = V (ψ)

Por lo que tambien tendrıamos que en este caso ψ cumple que V (ψ) = 1,verificando la validez de modus ponens bajo nuestras interpretaciones en LP .

Lema 4.28. Para toda formulas bien formadas ϕ, ψ, χ, se tiene que

BL ` ϕ→ (ψ → ϕ)

BL ` (ϕ→ (ψ → χ))→ (ψ → (ϕ→ χ))

BL ` ϕ→ ϕ

BL ` ϕ→ (¬ϕ→ ψ)


BL ` ϕ→ ¬¬ϕ

BL ` (ϕ&¬ϕ)→ 0

BL ` (ϕ→ ψ)→ (¬ψ → ¬ϕ)

De las anteriores podemos destacar ϕ → ϕ y la presencia de solo una delas direcciones de la doble-negacion, las cuales seran utiles para caracterizarposteriormente Lukasiewicz sobre otras logicas difusas.

Definicion 4.29. Se define el sımbolo 1 como una abreviacion de 0→ 0.

El sımbolo 1 representa lo verdadero en nuestra logica. Tambien se tienecomo formulas deducibles que:

Lema 4.30. Para toda formulas bien formadas ϕ, ψ, χ, se cumple que

BL ` 1

BL ` ϕ→ (1&ϕ)

BL ` (1→ ϕ)→ ϕ

BL ` (ϕ ∧ ψ)→ ϕ

BL ` (ϕ ∧ ψ)→ ψ

BL ` (ϕ↔ ψ)→ ((ϕ&χ)↔ (ϕ&χ))

BL ` (ϕ↔ ψ)→ ((ϕ→ χ)↔ (ψ → χ))

BL ` (ϕ↔ ψ)→ ((χ→ ϕ)↔ (χ→ ψ))

BL ` (ϕ↔ ψ)→ ((ϕ→ ψ) ∧ (ψ → ϕ))

La deduccion rigurosa de cada una de las formulas anteriores se encuentraen [Haj98]. Las anteriores formulas deducibles nos ayudaran a la prueba decompletitud de BL.

Finalmente, sera util tener presente que en BL se pueden deducir las le-yes de Morgan unicamente para las versiones debiles de la conjuncion y ladisyuncion.


Lema 4.31. Para toda formulas bien formadas ϕ, ψ, χ, se cumple que

BL ` (¬ϕ ∧ ¬ψ)↔ ¬(ϕ ∨ ψ)

BL ` (¬ϕ ∨ ¬ψ)↔ ¬(ϕ ∧ ψ)

Este resultado no se tendra en el caso general para las conjunciones y dis-yunciones fuertes de la logica basica.

4.4.2. BL-algebras y la semantica de la logica basica

Para poder probar la completitud del sistema BL, debemos exponer la nocionBL-algebras. Para poderlas definir primero los retıculos residuados.

Definicion 4.32. Retıculo residuado:Retıculo residuado:Retıculo residuado: Los retıculos residuados son algebrasde la forma

(L,∩,∪, ?,⇒, 0, 1),

con L el conjunto de elementos, cuatro operadores binarios (∩,∪, ?,⇒), ydos constantes (0, 1), de tal forma que se cumple:

(i) (L,∩,∪, 0, 1) es un retıculo con maximo 1 y mınimo 0 (con respecto alordenamiento del retıculo ≤).

(ii) (L, ?, 1) es un semigrupo conmutativo con unidad el elemento 1. Esdecir, ? es asociativo, conmutativo, y 1 ? x = x para todo x ∈ L.

(iii) ? y ⇒ son un par que satisface la condicion del adjunto, es decir, paratodo x, y, z ∈ L satisfacen que

z ≤ (x⇒ y) si y solo si x ? z ≤ y.

Definicion 4.33. BL-algebraBL-algebraBL-algebra Una BL-algebra es un retıculo residuado quesatisface las siguientes condiciones para todo x, y ∈ L:

(i) x ∩ y = x ? (x⇒ y)

(ii) (x⇒ y) ∪ (y ⇒ x) = 1

A partir de la definicion de BL-algebras, se pueden probar los siguientesresultados:


Lema 4.34. Para cada x, y, z elementos de una BL-algebra, se tiene que:

(i) x ? (x⇒ y) ≤ y y x ≤ (y ⇒ (x ? y))

(ii) x ≤ y implica que x?z ≤ y ?z, (z ⇒ x) ≤ (z ⇒ y), (y ⇒ z) ≤ (x⇒ z)

(iii) x ≤ y sı y solo sı x⇒ y = 1

(iv) (x ∪ y) ? z = (x ? z) ∪ (y ? z)

(v) x ∪ y = ((x⇒ y)⇒ y) ∩ ((y ⇒ x)⇒ x)

Demostracion. (i) Teniendo en cuenta que (x ⇒ y) ≤ (x ⇒ y), por lacondicion del adjunto de la definicion de BL-algebra se tiene que x ?(x ⇒ y) ≤ y. De igual forma, como (x ? y) ≤ (x ? y), por la mismacondicion se tiene que x ≤ (y ⇒ (x ? y)).

(ii) Suponga que x ≤ y. Por lo anterior, se tiene que y ≤ (z ⇒ y ? z),entonces x ≤ (z ⇒ y ? z) y por la condicion del adjunto se tiene quex ? z ≤ y ? zAhora, asumiendo que x ≤ y, se tiene que z ? (z ⇒ x) ≤ x ≤ y, por loque se tiene que (z ⇒ x) ≤ (z ⇒ y). Y de igual forma como se tieneque x ? (y ⇒ z) ≤ y ? (y → z) ≤ z, se deduce que (y ⇒ z) ≤ (x⇒ z).

(iii) x ≤ y sı y solo sı 1 ? x ≤ y sı y solo sı 1 ≤ (x ⇒ y) sı y solo sı1 = (x⇒ y).

(iv) Como x ≤ x ∪ y, se tiene que x ? z ≤ (x ∪ y) ? z. De forma similary ? z ≤ (x∪ y) ? z, por lo que se tiene que (x ? z)∪ (y ? z) ≤ (x∪ y) ? z.Para el converso, como x?z ≤ (x?z)∪(y?z), se tiene que x ≤ (z ⇒ ((x?z)∪(y?z))), y de forma similar se tiene que y ≤ (z ⇒ ((x?z)∪(y?z))).Entonces se tiene que x ∪ y ≤ (z ⇒ ((x ? z) ∪ (y ? z))). Y por tanto setiene que (x ∪ y) ? z ≤ (x ? z) ∪ (y ? z).


(v)

((x⇒ y)⇒ y) ∩ ((y ⇒ x)⇒ x) =

((x⇒ y)⇒ y) ∩ ((y ⇒ x)⇒ x) ? 1 =

((x⇒ y)⇒ y) ∩ ((y ⇒ x)⇒ x) ? ((x⇒ y) ∪ (y ⇒ x)) =

(...) ? ((x⇒ y) ∪ (y ⇒ x)) =

((...) ? (x⇒ y)) ∪ ((...) ? (y ⇒ x)) ≤(((x⇒ y)⇒ y) ? (x⇒ y)) ∪ (((y ⇒ x)⇒ x) ? (y ⇒ x)) ≤

y ∪ x = x ∪ y

Para la otra desigualdad,

(x⇒ y) ? (x ∪ y) = (x ? (x⇒ y)) ∪ (y ? (x⇒ y)) ≤ y ∪ y = y,

por lo cual, se tiene que x ∪ y ≤ (x ⇒ y) ⇒ y. Y de forma similar setiene que x∪ y ≤ (y ⇒ x)⇒ x. Por lo que se tiene como resultado quex ∪ y ≤ ((x⇒ y)⇒ y) ∩ ((y ⇒ x)⇒ x)

Teniendo en cuenta estas propiedades, definiremos lo que son las valoracionesy las tautologıas para las BL-algebras.

Definicion 4.35. L-valoracion:L-valoracion:L-valoracion: Sea (L,∩,∪, ?,⇒, 0, 1) una BL-algebra. UnaL-valoracion V es una funcion que asigna a cada letra proposicional P unelemento del conjunto L (V (P ) ∈ L). Se extiende la valoracion a formulasde BL de la siguiente forma:

V (0) = 0

V (ϕ→ ψ) = V (ϕ)⇒ V (ψ)

V (ϕ&ψ) = V (ϕ) ? V (ψ).

En consecuencia, bajo las definiciones anteriores, se tiene por extension que

V (ϕ ∧ ψ) = V (ϕ) ∩ V (ψ)

V (ϕ ∨ ψ) = V (ϕ) ∪ V (ψ)

V (¬ϕ) = V (ϕ)⇒ 0.


Definicion 4.36. L-tautologıa:L-tautologıa:L-tautologıa: Una formula ϕ de BL es una L-tautologıasi para toda L-valoracion se tiene que V (ϕ) = 1.

Con la definicion de BL-algebras, probaremos entonces la completitud debilde la logica basica BL.

4.4.3. Teorema de completitud proposicional de la logi-ca basica

Teorema 4.37. Validez:Validez:Validez: La logica BL es valida con respecto a las BL-tautologıas. Es decir, si una formula ϕ es deducible en BL, entonces ϕ esuna L-tautologıa para todas las BL-algebras.

Demostracion. En razon a que en la seccion anterior verificamos la validezde modus ponens (se usa el mismo principio), basta demostrar que cada unode los axiomas de BL son L-tautologıas.

Se vio anteriormente que todos los axiomas son 1-tautologıas cuyas demos-traciones usan unicamente las propiedades de las T-normas continuas con surespectivo residual con la propiedad del adjunto.

Teniendo en cuenta que ? y⇒ de las BL-algebras satisfacen por definicion lacondicion del adjunto y la definicion de T-norma, usando los mismos pasosse demuestra entonces que los axiomas tambien son L-tautologıas.

Ahora, para completar la prueba de completitud de BL, mostraremos unaclase de equivalencia de formulas, LT , la cual es una BL-algebra.

Definicion 4.38. Sea T una teorıa (conjunto de formulas) sobre BL. Pa-ra cada formula ϕ defina [ϕ]T como el conjunto de formulas ψ tal queBL, T ` ϕ ↔ ψ. Note que estas son clases de equivalencia dado que setienen transitividad y simetrıa a partir de los lemas de BL junto con las de-ducciones de ↔, y se tiene reflexividad a partir del hecho que BL ` ϕ→ ϕ.Entonces defina el algebra LT como el conjunto de clases de equivalencia [ϕ]T


junto con las constantes y operadores binarios definidos por:

0 = [0]T

1 = [1]T

[ϕ]T ? [ψ]T = [ϕ&ψ]T

[ϕ]T ⇒ [ψ]T = [ϕ→ ψ]T

[ϕ]T ∩ [ψ]T = [ϕ ∧ ψ]T

[ϕ]T ∪ [ψ]T = [ϕ ∨ ψ]T

Note que las operaciones sobre clases de equivalencia estan bien definidas enel sentido que no van a depender del representanto, esto se puede ver a partirde las deducciones anteriores de BL referentes al ↔ y su prueba rigurosa sepuede observar en [Haj98]. Falta mostrar entonces que LT es efectivamenteuna BL-algebra.

Teorema 4.39. LT es una BL-algebra

Demostracion. La demostracion de cada condicion de la definicion de las BL-algebras se obtiene probando que estas se obtienen de deducciones a partirde los axiomas de BL. Cada prueba rigurosa se encuentran en [Haj98]. Elorden ≤ que tendran las clases de equivalencia, esta dado por:

[ϕ]T ≤ [ψ]T si y solo si T ` ϕ→ ψ.

Por los axiomas de BL, si T ` ϕ→ ψ, se tiene entonces que T ` ϕ↔ (ϕ∧ψ),entonces [ϕ]T = [ϕ]T ∩ [ψ]T y por tanto se tiene que [ϕ]T ≤ [ψ]T . Para elconverso, si [ϕ]T ≤ [ψ]T , entonces T ` ϕ ↔ (ϕ ∧ ψ), y como se tiene queBL, T ` (ϕ ∧ ψ) → ψ como resultado de deducciones en BL, se tiene queT ` ϕ→ ψ.Finalmente, para la condicion del adjunto, se tiene que [χ]T ≤ [ϕ]T ⇒ [ψ]T siy solo si T ` χ→ (ϕ→ ψ) si y solo si T ` (χ&ϕ)ψ si y solo si [χ&ϕ]T ≤ [ψ]TPor lo cual, salvo por las condiciones que requieren deducciones en BL, hemosmostrado que LT es efectivamente una BL-algebra

Con esto, podemos completar el teorema de completitud debil para la logicaBL.

Teorema 4.40. Completitud debil de BL:Completitud debil de BL:Completitud debil de BL: Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:


(i) ϕ es deducible en BL

(ii) Para cada BL-algebra L, ϕ es una L-tautologıa

Demostracion. La direccion (I) a (II) se tiene por el teorema de validez deBL. Para la direccion de (II) a (I), tome L∅ la BL-algebra de las formulasque son equivalentes a traves de deducciones que solo usan los axiomas deBL.Asumiendo (II), como L∅ es una BL-algebra, entonces ϕ es una L∅-tautologıa.Ahora considere V la valoracion sobre L∅ tal que para toda letra proposicionalP se tiene que V (P ) = [P ]∅, por la forma de extender las valoraciones, se veque para toda formula bien formada ϕ se tiene que V (ϕ) = [ϕ]∅. En efecto.Como ϕ es L∅, se tiene que

V (ϕ) = [ϕ]∅ = [1]∅ = V (1)

Por lo tanto, se tiene que BL ` ϕ↔ 1. Teniendo en cuenta que en la seccionse mostro que se tiene que

BL ` (ϕ↔ 1)→ ((ϕ→ 1) ∧ (1→ ϕ))

BL ` ((ϕ→ 1) ∧ (1→ ϕ))→ (1→ ϕ)

BL ` (1→ ϕ)→ ϕ

Usando cuatro veces mas la regla de modus ponens, tenemos que BL ` ϕ, loque demuestra que ϕ es deducible en BL.

Ahora que tenemos la demostracion de completitud para la logica basica,mostraremos que en general este resultado se preserva para cualquier ex-tension de la misma. Para esto, formalizamos la nocion de extension de lasiguiente forma:

Definicion 4.41. Extension:Extension:Extension: El calculo proposicional dado por la logica Ces una extension de la logica basica BL si C es el resultado de anadir a losaxiomas de BL finitos o infinitos axiomas adicionales, manteniendo la mismaunica regla de deduccion de modus ponens (MP.MP.MP.).Dada C una extension de BL y L una BL-algebra, decimos que L es unaC-algebra si todos los axiomas de C son L-tautologıas.


Con la anterior definicion, nuevamente tendremos el teorema de completitudpara la logica C.

Teorema 4.42. Completitud debil de extensiones C:Completitud debil de extensiones C:Completitud debil de extensiones C: Dada C una extensionde BL y una formula ϕ, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) ϕ es deducible en C.

(ii) Para cada C-algebra L, ϕ es una L-tautologıa.

Demostracion. Para la prueba de validez de (I) a (II), basta con observarque dado que por definicion de C-algebras se tiene la validez de todas lasformulas ϕ que sean probadas unicamente con teoremas de BL, y por C serextension de BL, se tienen que todas las L-valoraciones validad la regla demodus ponens, y por definicion todas las valoraciones de C-algebras validanlos axiomas adicionales de C, por lo que se tiene que toda formula ϕ deducibleen C cumple que V (ϕ) = 1 para cualquier L-valoracion de C-algebras.

Para la demostracion de completitud de (II) a (I), se debe observar que LCla clase de formulas equivalentes usando los axiomas de C es una C-algebraen si misma. Por tanto, para cualquier C-valoracion, se tiene nuevamente que[ϕ]C = [1]C. Y que por tanto C ` ϕ ↔ 1. Como todos los axiomas de BLtambien son axiomas de C, usando solo axiomas de BL tambien se tienen lasdeducciones de

C ` (ϕ↔ 1)→ ((ϕ→ 1) ∧ (1→ ϕ))

C ` ((ϕ→ 1) ∧ (1→ ϕ))→ (1→ ϕ)

C ` (1→ ϕ)→ ϕ

Y de forma similar a BL, usando cuatro veces la regla de modus ponens, seobtiene que C ` ϕ y que por tanto C es completo.

Con este resultado, mostraremos que la logica difusa de Lukasiewicz es elcaso particular de una extension de la logica basica BL, por lo que obten-dremos el resultado de completitud para la logica difusa de Lukasiewicz .

El lector podra notar que la validez de BL y las extensiones de BL es ciertaaun con un numero arbitrario de premisas Γ, ya que solo basta validar los

86 4.5. Construccion de la logica difusa de Lukasiewicz

axiomas y y la regla de modus ponens (lo cual ya se hizo) para obtener elresultado deseado.

Sin embargo, note que en este caso no se demuestra completitud fuerte deBL (completitud con premisas). Se conoce que la logica difusa de Lukasie-wicz no es completa con premisas, de lo cual mostraremos el contraejemplode este hecho en las siguientes secciones.

Finalmente, note que la completitud mostrada es con respecto a las BL-alge-bras; y en donde se conoce que las valoraciones sobre T-normas continuas sonuna subclase de estas. En [Haj98] se demuestra que BL no solo es comple-ta con respecto a BL-algebras, sino que tambien es completa con respecto aBL-algebras linealmente ordenadas, en las cuales se encuentran las T-normasdefinidas en [0, 1]. Sin embargo los elementos que se usan, van mas alla delalcance y los objetivos de este documento.

4.5. Construccion de la logica difusa de Lu-

kasiewicz

Siguiendo la construccion anterior, se debe realizar dos tareas para construirla logica de Lukasiewicz. La primera es extender el sistema axiomatico deBL para tener el sistema axiomatico de Lukasiewicz, y el segundo es definirla T-norma que dara la semantica de la logica de Lukasiewicz.

Lo primero es recordar que la logica de BL deduce ϕ→ ϕ, una de las carac-terısticas de la logica difusa de Lukasiewicz, y la semantica de las T-normasgarantiza que si x ≤ y, entonces x ⇒ y = 1. Lo que faltarıa verificar deacuerdo a la semantica difusa de Lukasiewicz es que para toda valoracionV se tiene que V (ϕ) = V (¬¬ϕ). Vimos que BL prueba que ϕ → ¬¬ϕ; sinembargo, se puede observar que BL no puede deducir ¬¬ϕ→ ϕ.

De hecho, esto no es verdad en general ni para BL ni para todas las exten-siones de BL (Un ejemplo de esto sera la logica de Godel). Aun ası, semanti-camente la eliminacion de la doble negacion es verdad en Lukasiewicz , porlo que el lector se dara cuenta que la otra direccion de la doble negacion es elaxioma que nos falta agregar para obtener el sistema axiomatico de la logica


difusa de Lukasiewicz.

Definicion 4.43. Definimos L la logica difusa de Lukasiewicz como la ex-tension de la logica basica BL adicionando el axioma para cualquier formulaϕ de BL:

Axioma 24. L,1. L,1. L,1. ¬¬ϕ→ ϕ

Definicion 4.44. Definimos la logica proposicional de Lukasiewicz LP (? L)a partir de la T-norma de Lukasiewicz definida como:

x ? L y = max(0, x+ y − 1)

Primero validemos que ? L es una T-norma continua

Lema 4.45. ? L es una T-norma continua

Demostracion. Sean x, y, z ∈ [0, 1]

(i) Teniendo en cuenta que la suma es conmutativa,

x ? L y = max(0, x+ y − 1) = max(0, y + x− 1) = y ? L x

Para verificar asociatividad, se tiene que

x ? L (y ? L z) = x ? L (max(0, y + z − 1)) =

max(0, x+max(0, y + z − 1)− 1) = max(0,max(0, x+ y − 1) + y − 1) =

(max(0, x+ y − 1)) ? L z = (x ? L y) ? L z

(ii) Suponga que x ≤ y, entonces

x ? L z = max(0, x+ z − 1) ≤ max(0, y + z − 1) ≤ y ? L z

Fijando el otro argumento de ? L, se tiene el mismo resultado teniendoen cuenta que ? L es conmutativa

(iii)

1 ? L y = max(0, 1 + y − 1) = max(0, y) = y

0 ? L y = max(0, 0 + y − 1) = max(0, y − 1) = 0


(iv) ? L es continua por ser la composicion de funciones continuas.

Entonces, efectivamente ? L es una T-norma continua.

Note que la definicion de T-norma coincide con la interpretacion semanti-ca que tiene la conjuncion fuerte (ϕ&ψ) que se dio en la introduccion delcapıtulo.Ademas, se puede ver que el residual de L coincide con la interpretacion dela implicacion (ϕ→ ψ), de tal forma que se tiene que

x⇒? Ly = min(1, 1− x+ y)

Ya que, en caso que x ≤ y, se tiene que el residual x ⇒? Ly = 1, y en caso

que x > y, x⇒? Ly = max{z : max(0, z + x− 1) ≤ y} = y − x+ 1. Con un

calculo similar se tiene que

((x⇒? Ly)⇒? L

y) = max(x, y)

El lector podra verificar que los resultados de valoraciones sobre la T-norma? L de los demas operadores logicos coinciden con las valoraciones definidasde la logica difusa de Lukasiewicz dadas en la introduccion del capıtulo. Elunico operador faltante es la disyuncion fuerte (ϕ∇ψ), en cuyo caso, coinci-dira con la T-conorma que es dual a la T-norma ? L .

Finalmente y teniendo en cuenta que BL ` ϕ → ¬¬ϕ, BL ` (ϕ → ψ) →(¬ψ → ¬ϕ), y teniendo en cuenta el axioma L ` ¬¬ϕ→ ϕ, se tiene entoncesque

L ` ϕ↔ ¬¬ϕ

L ` (ϕ→ ψ)↔ (¬ψ → ¬ϕ)

Con esto, hemos dado el sistema axiomatico y la semantica de la logica difusade Lukasiewicz que introducimos en el capıtulo, lo que basta sera definir laclase de algebras que nos dara el teorema de completitud para esta logica.

4.5.1. MV-algebras

En este caso vamos a estudiar cuales son las propiedades de las L-algebrasque nos proporcionan la completitud de la logica L, es decir, buscaremos lasBL-algebras que satisfagan la interpretacion semantica de ϕ↔ ¬¬ϕ.


Definicion 4.46. MV-algebras:MV-algebras:MV-algebras: Una MV-algebra es una BL-algebra en lacual, para todo x ∈ [0, 1] es valida la identidad

x = ((x⇒ 0)⇒ 0).

El nombre de MV proviene de “many-value” el cual traduce “multi-variado”.Adicionalmente note que ((x⇒ 0)⇒ 0) es la interpretacion semantica de laformula ¬¬ϕ para cualquier valoracion V tal que V (ϕ) = x.

Como en las MV-algebras x = ((x⇒ 0)⇒ 0) para todo x ∈ [0, 1], particular-mente se cumple que ((x⇒ 0)⇒ 0) ≤ x, por lo que cualquier MV-valoracionV hace valida que V (¬¬ϕ→ ϕ) = 1, por lo que las MV-algebras son L-alge-bras.

De hecho, como en todas las BL-algebras, para toda BL-valoracion se tieneque V (ϕ→ ¬¬ϕ) = 1, vemos que las MV-algebras es el mınimo conjunto deBL-algebras que validan los axiomas de L por lo que concluimos que efecti-vamente las MV-algebras corresponden con el conjunto de las L-algebras.

4.5.2. Teorema de completitud para Lukasiewicz

Teorema 4.47. Completitud debil de L:Completitud debil de L:Completitud debil de L: Dada una formula ϕ, las siguientesafirmaciones son equivalentes:

(i) ϕ es deducible en L

(ii) Para cada MV-algebra L, ϕ es una L-tautologıa

Demostracion. Como se vio anteriormente, las MV-algebras son las BL-alge-bras que hacen verdad los axiomas de L y se construyo L como una extensionde BL. Por el teorema de completitud de extensiones C se obtiene el resultadodeseado.

Con esto, hemos mostrado que la logica difusa proposicional de Lukasiewiczes una logica la cual es valida, completa, y a su vez resaltamos que eradecidible. Sin embargo, esta logica no cumple con todas las caracterısticas quetiene la logica proposicional clasica. Dos de las propiedades que se pierden soncompletitud fuerte y compacidad, y del cual mostraremos el contraejemplo acontinuacion.


4.5.3. No compacidad y no completitud fuerte de Lu-kasiewicz

Como se menciono, se mostrara un ejemplo de una inferencia logica en LLuk

con premisas en el cual, si bien la inferencia es valida, no existe una deduc-cion para la misma, y la clave sera tener un conjunto de premisas infinitas.

Sean P,Q letras proposicionales, y considere el conjunto de premisas Γ defi-nido recursivamente de la siguiente manera:

¬P → Q ∈ Γ

Definimos P0 como la abreviacion P0 := (¬P → P )

Definimos Pi para i ∈ N, i > 1 como la abreviacion Pi := (¬P → Pi−1)

Para todo i ∈ N, i ≥ 1, se tiene que Pi → Q ∈ Γ

Es decir los elementos de Γ son de la forma:

¬P → Q

(¬P → P )→ Q

(¬P → (¬P → P ))→ Q

(¬P → (¬P → (¬P → P )))→ Q

(¬P → (¬P → (¬P → (¬P → P ))))→ Q

...

Y queremos validar entonces en LLuk la inferencia

L,Γ |= Q.

Lo primero es verificar que para toda valoracion V tal que ∀ϕ ∈ Γ, V (ϕ) = 1,se cumple que V (Q) = 1. Lo cual es cierto y lo analizaremos por casos.

Lema 4.48. L,Γ |= Q

Demostracion. Suponga una valoracion V tal que ∀ϕ ∈ Γ, V (ϕ) = 1


Si V (P ) = 0, entonces V (¬P ) = 1− 0 = 1 y por tanto

1 = V (¬P → Q) = min{1, 1− V (¬P ) + V (Q)}1 = min{1, 1− 1 + V (Q)}1 = min{1, V (Q)}1 = V (Q)

Si V (P ) ≥ 0,5, entonces V (¬P ) ≤ 0,5 y V (¬P ) ≤ V (P ) por lo que setiene que V (¬P → P ) = 1 y de forma similar al caso anterior

1 = V ((¬P → P )→ Q) = min{1, 1− V (¬P → P ) + V (Q)}1 = min{1, 1− 1 + V (Q)}1 = min{1, V (Q)}1 = V (Q)

Si 0 < V (P ) < 0,5 y diga que V (P ) = m ∈ [0, 1]. Vamos a probarque existe un i > 1, tal que para todo j ≥ i (i, j ∈ N) se cumple queV (Pj) = 1. De forma recursiva, se tiene que:

(i) V (P1) = min{1, 1− (1−m) +m} = min{1, 2 ·m} = 2 ·m(ii) V (Pi+1) = min{1, 1− (1−m) + V (Pi)} = min{1,m+ V (Pi)}

Esto nos da una ecuacion de recurrencia para el caso i donde se puedever facilmente que

V (Pi) = min{1,m · (i+ 1)}

Como m > 0, entonces para todo n ∈ N tal que m ≥ 1n+1

se cumpleque m · (n+ 1) ≥ 1 y que por tanto V (Pn) = 1.Por tanto, para cualquier n ∈ N tal que m ≥ 1

n+1se tiene que

1 = V (Pn → Q) = min{1, 1− V (Pn) + V (Q)}1 = min{1, 1− 1 + V (Q)}1 = min{1, V (Q)}1 = V (Q)

Por lo que en cualquiera de los casos se tiene que V (Q) = 1 y por tanto que L,Γ |= Q


Sin embargo, no existe ninguna deduccion usando como premisas Γ que de-duzcan a Q usando los axiomas de L ( L,Γ 0 Q).

Lema 4.49. L,Γ 0 Q

Demostracion. Suponga por contradiccion que existe una deduccion usandopremisas de Γ tal que L,Γ ` Q. Como cualquier deduccion logica tiene unnumero de pasos finitos, defina a n ∈ N como el numero de pasos de la de-duccion.Como el numero de pasos es finito, el numero de premisas Γ que se usaronen la deduccion tambien es finito. Sea Γ′ ⊆ Γ el subconjunto de premisas quese usaron en la deduccion; entonces |Γ′| ≤ n.

En el caso que ¬P → Q /∈ Γ′, Entonces con una valoracion tal que V (P ) =V (Q) = 0, se tiene que V (P1) = 0, y de hecho, para todo i > 1 se tendratambien que V (Pi) = 0, entonces para todos los Pj → Q ∈ Γ′ se cumple queV (Pj → Q) = 1 y sin embargo V (Q) = 0, por lo que L,Γ′ 2 Q, por la validezcon premisas de extensiones, se tiene que L,Γ′ 0 Q; pero la misma deduccioncon premisas en Γ era una deduccion con premisas en Γ′, contradiccion.

En caso que ¬P → Q ∈ Γ′, defina M ∈ N como el mınimo natural tal que∀m ≥M , Pm → Q /∈ Γ′, esto se puede hacer ya que Γ′ es finito.Con esto, defina p un numero real tal que 0 < p < 1

M+1y defina la valoracion

tal que V (P ) = p, entonces para todos los Pj → Q ∈ Γ′ \ {¬P → Q} secumple que V (Pj) < 1, y tome p′ = max{V (Pj)}, entonces 0 < p′ < 1 ysea q tal que 0 < p′ < q < 1 y defina una valoracion V tal que V (P ) = p yV (Q) = q.Entonces para todos los Pj → Q ∈ Γ′, se tiene que V (Pj) ≤ V (Q) y por tantoque V (Pj → Q) = 1, pero V (Q) = q 6= 1, entonces L,Γ′ 2 Q, y nuevamentepor la validez con premisas de extensiones, se tiene que L,Γ′ 0 Q; pero lamisma deduccion con premisas en Γ era una deduccion con premisas en Γ′,contradiccion.

En consecuencia, se deduce que L,Γ 0 Q

Con el ejemplo de L,Γ |= Q hemos mostrado que no se tiene completitud fuer-te (completitud con premisas). Y de hecho, el mismo resultado nos funciona


para mostrar que no se tiene compacidad en la logica difusa de Lukasiewicz.

Recuerde que compacidad es la propiedad de que dada una inferencia logi-ca que valida una conclusion dadas unas premisas; entonces existe al menosun subconjunto finito de premisas que validan la misma conclusion. En estecaso Γ es un ejemplo en el cual se requiere siempre un conjunto infinito depremisas para poder inferir la conclusion Q.

Entonces LLuk no es compacta, siendo esta junto a completitud fuerte pro-piedades que se pierden con respecto a la logica proposicional clasica.

A continuacion, daremos ejemplos de otras logicas difusas que se puedenobtener como extensiones de la logica basica BL. y realizaremos algunascomparaciones con respecto a la logica difusa proposicional de Lukasiewicz.

4.6. Construccion logicas difusas de Godel y

de Producto

En esta seccion, mostraremos dos logicas difusas adicionales a la logica deLukasiewicz que son igualmente usadas en matematicas, las cuales son laslogicas difusas de Godel y de Producto. Para esto, mostraremos la T-normade cada una de ellas, y cual serıa el correspondiente sistema axiomatico:

Definicion 4.50. Definimos G la logica difusa de Godel como la extensionde la logica basica BL adicionando el axioma para cualquier formula ϕ deBL:

Axioma 25. G,1.G,1.G,1. ϕ→ (ϕ&ϕ)

Definicion 4.51. Definimos el sistema logico proposicional de Godel LP (?G)a partir de la T-norma de Godel :

x ?G y = min(x, y).

Definicion 4.52. Definimos P la logica difusa de Producto como la exten-sion de la logica basica BL adicionando los axiomas para formulas ϕ, ψ, χ deBL:

94 4.6. Construccion logicas difusas de Godel y de Producto

Axioma 26. P,1.P,1.P,1. ¬¬χ→ (((ϕ&χ)→ (ψ&χ))→ (ϕ→ ψ))

Axioma 27. P,2.P,2.P,2. ϕ ∧ ¬ϕ→ 0

Definicion 4.53. El sistema Producto es LP (?P) construido a partir de laT-norma de Producto definida como:

x ?P y = x · y

Se deja al lector la prueba de que ambas ?G y ?P son T-normas continuas,sin embargo este es un resultado directo de su definicion y requieren menortrabajo que ? L .Adicionalmente, se tendra que los valores residuales de Godel y de Productocorrespondientes a la interpretacion de la implicacion (ϕ→ ψ) son:

x⇒?G y =

{1 si x ≤ y

y si x > y

x⇒?P y =

{1 si x ≤ y

y/x si x > y

4.6.1. Comparacion entre logicas difusas

De las anteriores definiciones, lo que podemos resaltar es que, la caracterısti-ca mas importante que se desea obtener de la logica difusa proposicional deGodel es la idempotencia de la conjuncion fuerte, es decir, que se tenga queG ` ϕ↔ (ϕ&ϕ).

Note que en el caso de Lukasiewicz o de Producto, no se tiene la idempotenciade la conjuncion fuerte, basta con tomar una valoracion V (P ) = 0, 25 yentonces

Lukasiewicz : V (P&P ) = max{0, 0,25 + 0,25− 1} = 0 6= 0,25 = V (P )

Producto: V (P&P ) = 0,25 · 0,25 = 0,0625 6= 0,25 = V (P )

Godel : V (P&P ) = min{0,25, 0,25} = 0,25 = 0,25 = V (P )

Ahora, con respecto a la logica difusa de Producto la propiedad principal quequeremos destacar de producto es la propiedad de cancelacion. Esto quiere


decir y entendiendo que la conjuncion fuerte es la multiplicacion de valores: siun valor distinto de 0 esta siendo multiplicado a ambos lados de la igualdad,uno quisiera cancelar el termino y preservar la desigualdad.

Note que la propiedad de cancelacion no es valida ni en Lukasiewicz nien Godel. Para darse cuenta de esto considere una valoracion V tal queV (P ) = 0,5, V (Q) = 0,25, V (R) = 0,2. En este caso como V (R) 6= 0, quequeremos validar la formula ((P&R)→ (Q&R))→ (P → Q):

Lukasiewicz (A): V ((P&R)→ (Q&R)) = min{1, 1− 0 + 0} = 1

Godel(A): V ((P&R)→ (Q&R)) = 0,2⇒?G 0,2 = 1

Producto(A): V ((P&R)→ (Q&R)) = 0,25 · 0,2/(0,5 · 0,2) = 0,5

Lukasiewicz (B): V (P → Q) = min{1, 1− 0,5 + 0,25} = 0,75

Godel(B): V (P → Q) = 0,5⇒?G 0,25 = 0,25

Producto(B): V (P → Q) = 0,25/0,5 = 0,5

Lukasiewicz : V ((A)→ (B)) = min{1, 1− 1 + 0,75} = 0,75 6= 1

Godel : V ((A)→ (B)) = 1⇒?G 0,25 = 0,25 6= 1

Producto: V ((A)→ (B)) = 0,5⇒?G 0,5 = 1

Vemos en este caso ni Godel ni Lukasiewicz validan la propiedad de cance-lacion, mientras que la logica difusa de Producto valida la propiedad al serparte de sus axiomas junto al hecho de la completitud debil de las extensionesde la logica basica BL.

Finalmente, se habıa mencionado que Lukasiewicz es la logica difusa quevalida que L |= ϕ ↔ ¬¬ϕ. Esta propiedad no es valida ni en Godelni enProducto. Para darse cuenta de esto, basta enunciar que la interpretacion ¬ϕque corresponde a la valoracion de V (ϕ) ⇒ 0 tiene como resultado en laslogicas difusas:

Lukasiewicz : V (¬ϕ) = 1− V (ϕ)

Godel : V (¬ϕ) =

{1 si V (ϕ) = 0

0 si V (ϕ) > 0

Producto: V (¬ϕ) =

{1 si V (ϕ) = 0

0 si V (ϕ) > 0

96 4.7. Semantica de primer orden para logicas difusas

Por tanto, es facil ver que para una valoracion V tal que V (P ) = 0,5 se tieneque

Lukasiewicz : V (¬¬P ) = 1− (1− 0,5) = 0,5 = 0,5 = V (P )

Producto: V (¬¬P ) = 1 6= 0,5 = V (P )

Godel : V (¬¬P ) = 1 6= 0,5 = V (P )

Por lo que se concluye que la logica difusa de Lukasiewicz es la unica de lastres que valida que L |= ϕ↔ ¬¬ϕ. Estos son las propiedades que diferenciancada una de las logicas. Y es entonces labor del investigador escoger cualespropiedades le interesa conservar durante la implementacion de aplicacionesen logicas difusas.

Lo que resta del capıtulo, introduciremos la semantica en primer orden dela logica difusa de Lukasiewicz, explicaremos lo que son las N-tautologıasy las inferencias por grados, para de esta forma, poder volver a analizar laparadoja de sorites a luz de la logica difusa.

4.7. Semantica de primer orden para logicas

difusas

Similar a como se trabajo en la logica tri-variada de Lukasiewicz, la logicadifusa de primer orden de Lukasiewicz (LLuk∀ ) usara la nocion de inter-pretaciones, las cuales representaran los mapeos de los grados de membresiade las tuplas de elementos dentro de nuestro dominio. Formalmente, unainterpretacion I para logica difusa de primer orden se define a continuacion:

Definicion 4.54. Una interpretacion difusa I consiste en una tripla conlos siguientes componentes:

(i) Un conjunto no vacıo con los elementos de nuestra interpretacion, lla-mado dominio D.

(ii) Para cada predicado de n-argumentos, se define una funcion que mapeacada n-tupla de elementos de D en valores dentro de [0, 1]. Es decir,

I(P )(< x1, ...xn >) ∈ [0, 1].


(iii) Una asignacion de miembros de constantes de D para cada uno de lossımbolos constantes a de nuestro lenguaje:

I(a) ∈ D.

En este caso, no tenemos clases o particiones en los predicados que determi-nan un valor de verdad, sino tenemos la posibilidad de asignar un conjuntode membresıas difusas continuas a cada predicado de nuestro lenguaje.

De igual forma, tendremos que una valoracion V para la logica difusa deprimer orden sera una asignacion de sımbolos de variables a elementos denuestro dominio de forma similar al caso tri-variado, por lo que se usa lamisma definicion que en el capıtulo 3. De igual forma, se reutiliza la defini-cion de V ′ una valoracion x-variante de V bajo la nocion del capıtulo 3 parala logica tri-variada de Lukasiewicz.

Ahora, para una formula ϕ de nuestro lenguaje, denotaremos IV (ϕ) como elresultado de usar V de la formula ϕ bajo la interpretacion I de la siguientemanera:

(i) Para las formulas atomicas de la forma t1 = t2:

IV (t1 = t2) =

{1 si I∗(t1) = I∗(t2)

0 si I∗(t1) 6= I∗(t2)

donde I∗(ti) es I(ti) si ti es constante, y I∗(ti) es V (ti) si ti es unavariable.

(ii) Para las formulas atomicas de la forma Pt1...tn es:

IV (Pt1...tn) = I(P )(< I∗(t1), ..., I∗(tn) >),

donde I∗(ti) es I(ti) si ti es constante, y I∗(ti) es V (ti) si ti es unavariable.

(iii) IV (¬ϕ) = 1− IV (ϕ)

(iv) IV (ϕ&ψ) = max{0, IV (ϕ) + IV (ψ)− 1}

(v) IV (ϕ∇ψ) = min{1, IV (ϕ) + IV (ψ)}


(vi) IV (ϕ ∧ ψ) = min{IV (ϕ), IV (ψ)}

(vii) IV (ϕ ∨ ψ) = max{IV (ϕ), IV (ψ)}

(viii) IV (ϕ→ ψ) = min{1, 1− IV (ϕ) + IV (ψ)}

(ix) IV (ϕ↔ ψ) = min{1, 1− IV (ϕ) + IV (ψ), 1− IV (ψ) + IV (ϕ)}

(x) IV ((∀x)ϕ) = ınf{IV ′(ϕ) : V ′ es x-variante de V }

(xi) IV ((∃x)ϕ) = sup{IV ′(ϕ) : V ′ es x-variante de V }

Con esto queda completamente definido la valoracion de las formulas de pri-mer orden para un lenguaje fijo. En el caso de los cuantificadores (∀x)ϕ, (∃x)ϕ,se usan las operaciones supremos e ınfimos para poder manejar todos los po-sibles infinitos valores que puede adquirir una formula ϕ. De igual forma,por ejemplo se tiene que IV ((∀x)ϕ) = 1 si y solo si para toda V ′ valoracionx-variante de V se cumple que IV ′(ϕ) = 1. Simetricamente IV ((∃x)ϕ) = 0si y solo si para toda V ′ valoracion x-variante de V se cumple que IV ′(ϕ) = 0.

Teorema 4.55. La logica difusa de primer orden de Lukasiewicz(LLuk∀ )tiene el principio de normalidad

Demostracion. Como se vio en secciones anteriores, todos los operadores queno son cuantificadores son normales en la logica difusa proposicional de Lu-kasiewicz ; y teniendo en cuenta que su definicion no cambia con respecto asu version de primer orden, estos siguen siendo operadores normales.Y como se mostro anteriormente, IV ((∀x)ϕ) = 1 si y solo si cada V ′ x-variante evalua ϕ en 1, y en caso que alguna sea 0, entonces IV ((∀x)ϕ) = 0.Similar resultado se obtiene para IV ((∃x)ϕ), por lo que se tiene que los cuan-tificadores tambien son operadores normales.Y de esta forma se concluye que LLuk∀ tiene el principio de normalidad.

Mantenemos las mismas definiciones de tautologıas y contradicciones multi-variadas definidas en el capıtulo anterior. Es decir que, por ejemplo para elcaso de tautologıas, ϕ es una tautologıa sı y solo sı para toda interpretacionI y para toda valoracion V de I se tiene que IV (ϕ) = 1. Y de forma similarϕ es una contradiccion sı y solo sı para toda interpretacion I y para todavaloracion V de I se tiene que IV (ϕ) = 0.


Con el resultado de principio de normalidad se tiene entonces que toda tau-tologıa de la logica difusa de Lukasiewicz en primer orden son tautologıas dela logica de clasica de primer orden (al igual que con las contradicciones). Yde nuevo el tercio excluido ϕ∨¬ϕ sera el ejemplo que contradice el conversoentre tautologıa clasicas y difusas en primer orden.

A continuacion, mostraremos una relajacion a las definiciones de tautologıasy contradicciones e introduciremos el concepto de inferencias logicas por gra-dos; conceptos los cuales nos permitiran entender mejor la paradoja de sori-tes.

4.7.1. N-tautologıas, N-contradicciones inferencias logi-cas por grados, y N-inferencias logicas

Primero y a modo de introduccion, con el manejo de incertidumbres, nosolo nos interesaran las verdades absolutas, sino tambien nos interesan lasafirmaciones que si bien no siempre son 1, sı podemos garantizar al menosun grado de verdad sobre las mismas, este concepto es lo que se conoce comolas N-tautologıas las cuales se formalizan de la siguiente manera:

Definicion 4.56. N-tautologıa (Primer orden): Sea un N ∈ [0, 1] y unaformula ϕ, se dice que ϕ es N-tautologıa si

N = ınf{IV (ϕ)}

para cualquier interpretacion I y para cualquier valoracion V de I.

Definicion 4.57. N-contradiccion (Primer orden): Sea un N ∈ [0, 1] yuna formula ϕ, se dice que ϕ es N-contradiccion si

N = sup{IV (ϕ)}

para cualquier interpretacion I y para cualquier valoracion V de I.

Note entonces que de la definicion anterior, por ejemplo, las 1-tautologıasson las formulas ϕ en las cuales 1 = ınf{IV (ϕ)} para todos I y V , lo cualcoincide con la definicion de tautologıa multi-variada. Igual es el caso de la0-contradiccion con respecto a las contradicciones multi-variadas.


Ahora, considere el ejemplo del medio excluido ϕ ∨ ¬ϕ. Para toda inter-pretacion I y toda valoracion V de I, se tiene que IV (¬ϕ) = 1 − IV (ϕ), ycomo IV (ϕ) ∈ [0, 1], el lector podra observar que usando casos, se llegara alresultado de

IV (ϕ ∨ ¬ϕ) = max{IV (ϕ), 1− IV (ϕ)} ≥ 0, 5

Por lo cual se tiene que el medio excluido ϕ ∨ ¬ϕ es una 0.5-tautologıa. Esdecir, la formula siempre garantiza como mınimo la mitad de la pertenenciadel grado de verdad en cualquiera de sus interpretaciones.

Con esto, tenemos una forma de categorizar las formulas dependiendo delmınimo de grado de verdad que se puede garantizar en cada formula. Unanocion similar se puede usar en las inferencias logicas con premisas; a esteconcepto se le va a dar el nombre de inferencias logicas por grados.

Definicion 4.58. Inferencias logicas por gradosInferencias logicas por gradosInferencias logicas por grados Dado un conjunto de formu-las Γ y una formula ϕ, decimos que Γ infiere por grados a ϕ si para todainterpretacion I y para toda valoracion V de I, se tiene que

IV (ϕ) ≥ ınf{IV (ψ) : ψ ∈ Γ}.

En este caso, se dice que la inferencia Γ �G ϕ es valida por grados.

En este caso, nos interesa validar que independientemente de nuestra inter-pretacion, la valoracion de nuestra conclusion ϕ nunca sera menor que elgrado de verdad que ya tenıamos en cada una de nuestras premisas.

Teorema 4.59. Toda inferencia por grados Γ �G ϕ es una inferencia logicaΓ � ϕ

Demostracion. Suponga que se tienen Γ, ϕ tal es que Γ �G ϕ y tome unainterpretacion I y una valoracion V de I tal que para todo ψ ∈ Γ, IV (ψ) = 1,entonces

1 ≥ IV (ϕ) ≥ ınf{IV (ψ) : ψ ∈ Γ} = 1

Entonces IV (ϕ) = 1 y se concluye que Γ � ϕ.


El converso no es valido, y el contraejemplo que nos evidenciara esto sera elcaso de la paradoja de sorites.

Ahora, suponga que se tienen Γ y ϕ tal que Γ 2G ϕ. Esto significa queexiste al menos una interpretacion I y una valoracion V de I tal es queIV (ϕ) < ınf{IV (ψ) : ψ ∈ Γ}; nos interesara medir esta distancia, lo cualformalizaremos de la manera:

Definicion 4.60. Distancia de caıda:Distancia de caıda:Distancia de caıda: Dados Γ, ϕ e interpretacion I juntocon una valoracion V de I tal que

IV (ϕ) ≤ ınf{IV (ψ) : ψ ∈ Γ},

definimos dI,V la distancia de caıda de la interpretacion I con la valoracionV como la diferencia

dI,V := ınf{IV (ψ) : ψ ∈ Γ} − IV (ϕ).

Definicion 4.61. Maxima distancia de caıdaMaxima distancia de caıdaMaxima distancia de caıda Suponga que se tiene Γ, ϕ tales que existe una interpretacion I y valoracion V tal es queIV (ϕ) ≤ ınf{IV (ψ) : ψ ∈ Γ}. Defina entonces la maxima distancia de caıdade Γ a ϕ como el supremo de los valores dI,V de las interpretaciones y valo-raciones que testifican que IV (ϕ) ≤ ınf{IV (ψ) : ψ ∈ Γ}.

Definicion 4.62. N-inferencias logicasN-inferencias logicasN-inferencias logicas Suponga que se tienen Γ, ϕ tal es queexiste una interpretacion I y validacion V tal es queIV (ϕ) ≤ ınf{IV (ψ) : ψ ∈ Γ}. Se dice que Γ �N ϕ es una N-inferencia logicasi 1−N es la maxima distancia de caıda de Γ a ϕ.

De esta forma, en caso que tengamos un conjunto de premisas que no puedenvalidar por grados una conclusion, tenemos en el valor de la maxima distan-cia de caıda la forma de estimar que tanto grado de verdad se podrıa perderen el peor de los casos al aplicar dicha inferencia.

En este caso, note que Γ �1 ϕ, una 1-inferencia logica, es de tal forma quesu valor maximo de distancia de caıda es 0, por lo que se tiene por definicionque tambien es una inferencia por grados Γ �G ϕ.

1024.8. Analisis a la paradoja de sorites para la logica difusa de Lukasiewicz

Finalmente, analizaremos entonces la paradoja de sorites, la cual nos darauna mejor comprension entre la diferencia de las inferencia por grados y lasN-inferencias expuesta en este capıtulo, y la inferencia tradicional que se usaen logica clasica.

4.8. Analisis a la paradoja de sorites para la

logica difusa de Lukasiewicz

Para analizar la paradoja de sorites modifiquemos un poco la formulacion dela paradoja de la siguiente forma (para el caso especial de 193 sımbolos deconstantes si):

PS :PS :PS :

Ts1

(∀x)(∀y)((Tx ∧ Eyx)→ Ty)

Es2s1

Es3s2

Es4s3

...

Es193s192Ts193

Aquı tenemos 193 sımbolos de constantes si, i : 1 ≤ i < 194, adicionales ados predicados, uno unario T y otro binario E. En este caso, solo hemos agre-gado mas constantes a la formulacion de nuestra paradoja; aun ası, se sigueconservando el principio de caridad (∀x)(∀y)((Tx ∧ Eyx) → Ty), ası comotener que s1 cumple la propiedad T y que todos los elementos efectivamenteestan lo suficientemente cercanos uno a uno por la propiedad E.

Igualmente note que tanto las premisas como la conclusion son formulascerradas (sin variables libres), por lo que esta formalizacion nos permitiraconcentrarnos unicamente en las interpretaciones I sin importar que valora-cion V se este trabajando.


Por facilidad, denotemos las premisas de PSPSPS con Γ. Lo primero sera verque PSPSPS esta efectivamente sigue siendo una inferencia logica segun la nocionusual.

Teorema 4.63. PSPSPS es valida en LLuk∀ . Es decir, Γ � Ts193.

Demostracion. Suponga que se tiene una interpretacion I y una valoracionV de I tal que para todo ψ ∈ Γ, IV (ψ) = 1. Entonces se tiene queIV (T )(< IV (s1) >) = 1 y que IV (E)(< IV (s1), IV (s2) >) = 1, por lo quetambien se tiene que IV (Ts1 ∧ Es2s1) = 1.Esto es similar a como se tenıa en el caso tri-variado. Por el principio decaridad, para cualquier V ′ valoracion que varıe V de tal forma que V ′(x) = s1,V ′(y) = s2, se tiene que IV ′((Ts1∧Es2s1)→ Ts2) = 1, y esto solo se cumplepor la interpretacion difusa de → si IV ′(Ts2) = 1; y como s2 es un sımbolode constante y V ′ es una variacion de V , se tiene que IV (Ts2) = 1.Y repitiendo el mismo procedimiento por induccion se tiene queIV (Ts193) = 1 y se concluye que Γ � Ts193.

Entonces tenemos que PSPSPS sigue siendo una inferencia valida bajo la nocionusual; sin embargo la gran diferencia con respecto a las logicas finito-variadases que PSPSPS no va a ser una inferencia logica por grados. Y es aquı dondeentenderemos como interpretar la paradoja a luz de la logica difusa.

Teorema 4.64. PSPSPS no es valida por grados en LLuk∀ . Es decir, Γ 2G Ts193.

Demostracion. Para obtener este resultado, basta con dar la interpretacionque hemos manejado desde la motivacion de interpretacion de alturas en laspersonas. Para el caso de logica difusa, considere la siguiente interpretacionI definida como:

D el conjunto de alturas entre 155.0cm y 190.0cm.

I(T )(< x >) = (x− 155)/35

I(E)(< x1, x2 >) =

{1 si 0 < x1 − x2 ≤ 1

35

0 de lo contrario

I(s1) = 190cm

1044.8. Analisis a la paradoja de sorites para la logica difusa de Lukasiewicz

...

I(si) = (190− 35·(i−1)192

)cm

...

I(s193) = 155cm

De esta forma, tenemos una interpretacion en la cual, mientras menos alturatenga una persona, menos valido sera el valor de la interpretacion I(T ). Deigual forma, tenemos que para cada par de constantes seguidasI(E)(< I(si+1), I(si) >) = 1, adicionalmente se tiene queI(T )(< I(s1) >) = 1, y que de la conclusion I(T )(< I(s193) >) = 0.

Por tanto, nos falta verificar cuanto es el valor de nuestra interpretacion parael principio de caridad, sabemos que este no puede ser 1 ya que la conclusiones 0. Por la definicion de la interpretacion del ∀, nuestro problema se reducea encontrar el ınfimo de la interpretacion de la formula (Tx ∧ Eyx) → Typara x, y entre 155cm y 190cm.

Primero note que IV ((Tx ∧ Eyx) → Ty) = 1 si IV (Eyx) = 0, por tanto,consideremos los casos en que IV (Eyx) 6= 0, a luz de nuestra interpretacion,el caso en que IV (Eyx) = 1 y que por tanto 0 < x − y ≤ 1

35. En los casos

de valoraciones V en los cuales IV (Eyx) = 1, se tiene por la interpretaciondel ∧ que IV ((Tx ∧ Eyx) → Ty) = IV (Tx → Ty), por lo que tenemos queencontrar el valor ınfimo de las interpretaciones para la formula Tx → Ty,teniendo en cuenta que 0 < x− y ≤ 1

35y que lo que queremos es el mınimo

valor para

IV (Tx→ Ty) = min{1, 1− IV (T )(< x >) + IV (T )(< y >)}.

El mınimo valor se alcanza cuando se minimiza1− IV (T )(< x >) + IV (T )(< y >), es decir, cuando se minimiza:

1− x− 155

35+y − 155

35= 1− x− y

35

La minimizacion ocurre exactamente cuando x − y = 135

, en cuyo caso setiene que el ınfimo de la interpretacion del principio de caridad es

1− 1/35

35= 1− 1

352=

1224

1225≈ 0,999184 < 1,


por lo cual, se concluye que

IV (Ts193) = 0 <1224

1225= ınf{IV (ψ) : ψ ∈ Γ}

Y de esto se concluye que Γ 2G Ts193

Lo que ocurrio entonces es que no solo la paradoja de sorites no es una infe-rencia por grados, sino que tambien es una 0.000816-inferencia logica, lo queafirma que no se preserva practicamente nada del valor del grado de verdadde las premisas.

Ahora, note que hay un factor que influye en que la paradoja de sorites seauna N-inferencia con un valor N tan bajo, y es la escogencia de la conclusionTs193.

Note que en caso de cambiar nuestra conclusion y analizar la veracidad deque Γ deduzcan Ts49, en este caso, queremos verificar si una persona de181.25cm serıa una persona alta o no. En este caso IV (Ts49) = 0,757143, ypor tanto tenemos que Γ �0,242041 Ts49 es una N -tautologıa que preserva masel grado de verdad que deducir Ts193.

Este analisis coincide entonces con el razonamiento cotidiano en el sentidoque, mientras mas veces se use el principio de caridad, menos cierta serıala inferencia que estamos realizando. Y lo anterior se debe a que como elprincipio de caridad tienen un valor de interpretacion muy cercano pero dife-rente a 1, entonces cada vez que se use, se pierde grado de verdad en nuestrorazonamiento logico.

De esta forma, damos solucion a la paradoja de sorites al responder que suformulacion no es una inferencia valida por grados, es decir, que cada vezque se use el principio de caridad, se pierde grado de verdad en el razona-miento logico, y esta perdida depende de que altura se esta analizando, locual coincide con el razonamiento cotidiano que se usa coloquialmente paradeterminar si una persona es o no es alta.

Capıtulo 5

Aplicaciones de logica difusa asistemas informaticos

Con la paradoja de sorites, hemos mostrado un ejemplo de como se puedeaplicar la logica difusa para poder afirmar si una inferencia es verdadera conun cierto grado de veracidad. Particularmente, para el analisis de la paradojadefinimos el concepto de lo que es ser alto como una funcion de membresıade alturas entre 155.0cm a 190.cm.

El concepto de funciones de membresıa sera la base para aplicar los concep-tos de logica difusa en los problemas de ingenierıa e inteligencia artificial.Especıficamente, se busca a traves de las funciones de membresıa una for-ma intuitiva de poder definir diferentes niveles de vaguedad en cuestion dedeterminar los atributos de un sistema en especıfico; y dependiendo de losgrados de pertenencia a los atributos del sistema, decidir cual es el curso deacciones que se debe seguir.

El objetivo de este capıtulo sera entonces introducir los conceptos basicosque se usan en ingenierıa para poder aplicar las inferencias difusas. Esto lorealizaremos a traves de un ejemplo, de tal forma que el lector pueda com-prender todos los elementos que involucran modelar un problema. Para luego,mostrar mas ejemplos de interes de como se puede aplicar la logica difusa endiferentes aplicaciones de ingenierıa.

Para el desarrollo de este capıtulo, se adapta las tecnicas expuestas en [YL99]para la aplicacion de logica difusa mientras que el autor formaliza varios

107

108 5.1. Conceptos para aplicar la logica difusa

aspectos del pseudo-algoritmo de inferencia y realiza un analisis adicional decomo los metodos pueden ser utilizados en aplicaciones de ingenierıa.

5.1. Conceptos para aplicar la logica difusa

Para ilustrar cada concepto que se usa en la aplicacion de la logica difusa,considere el ejemplo de un sistema de control para un ciclo de lavado de unalavadora electronica. En este caso, dado las condiciones de la ropa que se in-troduce en el electrodomestico, queremos evaluar que tipo de ciclo de lavadodebe usar el dispositivo entre delicado, ligero, normal, o fuerte. En este casocada uno de los ciclos se diferencia del otro por el nivel de intensidad queaplica en el lavado.

La ropa que puede recibir una lavadora tiene dos cualidades importantes aconsiderar: suavidad y cantidad. Dependiendo de la cantidad de ropa quetenga la lavadora y de la suavidad de la misma, se debe determinar cual delos cuatro tipo de ciclos deberıa ejecutar la lavadora.

Finalmente, es de aclarar que para este problema, el usuario tendra una for-ma de medir el nivel de intensidad de los ciclos de lavado, al igual que laforma de medir la suavidad de la ropa, y de poder contar la cantidad de lamismas.

En el caso de aplicaciones de logica difusa, note que siempre se tendra unavariable objetivo y variables de entrada.

La variable objetivo es el valor que se desea determinar dependiendode los valores de las variables de entrada

Las variables de entrada son valores que reflejan el estado actual delsistema que se desea analizar y de los cuales se determinara el resultadopara la variable objetivo

En el caso del ejemplo, tenemos que la variable objetivo sera la intensidaddel lavado, el cual deseamos determinar a traves de las variables de entradade suavidad y de cantidad de ropa.

Chapter 5. Aplicaciones de logica difusa a sistemas informaticos 109

5.2. Funciones de membresıa

El primer paso para modelar el problema sera definir las funciones de mem-bresıa que tendra cada una de las variables. Recordemos que para nuestroejemplo tenemos:

Variable de entrada: Cantidad de ropa

Variable de entrada: Suavidad de ropa

Variable objetivo: Intensidad de lavado

Y para cada variable se definiran una serie de categorıas de pertenencia quenos permitan caracterizar la misma

(i) Cantidad de ropa

Poca

Mediana

Mucha

(ii) Suavidad de ropa

Dura

Semi-dura

Suave

Semi-suave

(iii) Intensidad de lavado

Delicado

Ligero

Normal

Fuerte

De esta forma, dados valores fijos en cada una de las variables, deseamosdeterminar a cual de las categorıas pertenecerıa mas una cantidad en es-pecıfico. Para esto se define por cada categorıa de cada variable una funcion

110 5.2. Funciones de membresıa

de membresıa sobre el respectivo dominio de la variable.

Por ejemplo, para la variable de cantidad de ropa, suponga que se admiteropa desde 0 unidades hasta 200 unidades, entonces esta variable tendrıa tresfunciones de membresıa las cuales se pueden definir de la siguiente forma:

0 40 80 120 160 2000

0,25

0,5

0,75

1

Cantidad de ropa (unidades)

Inte

rval

o[0,1

]

Funciones de membresıa para Cantidad de ropa

PocaMedianaMucha

En este caso, se definen funciones desde la cantidad posible de ropa a va-lores del intervalo [0, 1]. En este caso, 20 unidades de ropa tendra un valorde pertenencia de 1 a la categorıa de Poca y 0 en las demas; mientras queel valor de 20 unidades tendra mayor grado de pertenencia a la categorıa demediana que a la categorıa de poca, pero esto no significa que 80 unidadessea completamente una Mediana cantidad o que no sea Poca cantidad.

Ahora, para las variables de suavidad de ropa y de intensidad de lavado, sepueden definir las funciones de membresıa de cada una de las categorıas dela siguiente forma:


0 20 40 60 80 1000

0,25

0,5

0,75

1

Suavidad de ropa (porcentaje)

Inte

rval

o[0,1

]

Funciones de membresıa para Suavidad de ropa

DuraSemi-duraSemi-suave

Suave

0 20 40 60 80 1000

0,25

0,5

0,75

1

Intensidad de ciclo de lavado

Inte

rval

o[0,1

]

Funciones de membresıa para Intensidad de lavado

DelicadoLigeroNormalFuerte

Note que las funciones de membresıa no tienen que contener obligatoriamen-te formas trapezoidales, sin embargo, con alta frecuencia se usan funcionescontinuas que en principio son faciles de operar y calcular.

Habiendo definido el grado de pertenencia para cada valor dentro de lascategorıas de cada variable, y dados unos valores iniciales para las variablesde entrada, falta determinar reglas difusas para determinar a que categorıa

112 5.3. Inferencias difusas basadas en reglas

deberıa pertenecer el resultado dentro de nuestra variable objetivo.

5.3. Inferencias difusas basadas en reglas

Una vez establecido las funciones de membresıas, se aplica las inferenciasdifusas a traves de una tecnica basada en reglas. Las reglas de inferencia sonde la forma:

IF < Antecedentes > THEN < Consecuencia >,

En donde

Para los < Antecedentes >:

• x ∈ A es un < Antecedente > con x una variable de entrada y Auna categorıa con su respectiva funcion de membresıa

• Si ϕ, ψ son < Antecedentes >, entonces ϕANDψ, ϕORψ, NOTϕ,son < Antecedentes >

Para las < Consecuencias >:

• x ∈ A es una < Consecuencia > con x una variable objetivo y Auna categorıa con su respectiva funcion de membresıa.

Las reglas se deben disenar dependiendo de las condiciones del problema. Porejemplo, en el caso de nuestro ejemplo del sistema de lavadoras, para s, c, ivariables que representa suavidad, cantidad, e intensidad respectivamente.Se establece una de las reglas de la siguiente forma:

SI (s ∈ Semi-dura)AND(c ∈ Mediana)THEN(i ∈ Normal)

La combinacion de las reglas nos permitiran concluir cual es la pertenen-cia de la variable objetivo segun los valores de la variable de entrada. Pa-ra facilidad de nuestro ejemplo, todas nuestras reglas seran de la formaIF ()AND()THEN(), y las cuales podemos resumir en la siguiente tabla:

Suavidad\ Cantidad Poca Mediana Mucha

Suave Delicado Ligero normalSemi-suave Ligero Normal NormalSemi-dura Ligero Normal Fuerte

Dura Ligero Normal Fuerte


Habiendo definido las funciones de membresıas y las inferencias definidas apartir de reglas, falta entonces aplicar el pseudo-algoritmo de inferencia ba-sado en reglas para obtener el resultado deseado.

El pseudo-algoritmo consiste en recibir como parametros los valores fijos decada una de las variables de entrada, y luego ejecutar los siguientes tres pasosen el siguiente orden:

(i) Emparejamiento difuso: Dados los valores de cada una de las varia-bles de entrada, se calcula el grado de pertenencia de los datos a los< Antecedentes > para cada una de las reglas definidas.

(ii) Inferencia: Calcula las funciones de membresia para cada una de las< consecuencias > establecidas en de cada una de las reglas a partirde los resultados del emparejamiento difuso.

(iii) Combinacion: Combina las funciones de membresıa de todas las ca-tegorıas producidas en cada una de las inferencias de las reglas difusaspara producir una unica funcion de membresıa para la variable objetivo.

Ilustraremos mejor como funciona cada paso a traves de nuestro ejemplo:

5.3.1. Emparejamiento difuso

El primer paso es determinar el grado de pertenencia de cada categorıa paracada una de nuestras variables de entrada. Fije como entrada valores s, c querepresenta suavidad y la cantidad respectivamente y suponga para nuestroejemplo que el grado de pertenencia de s a la categorıa de Semi-dura es del0,8 mientras que el grado de pertenencia de c a la categorıa de Mediana esdel 0,65.

Para nuestro ejemplo, digamos que queremos evaluar el grado de pertenenciade las condiciones de los < Antecedentes > para la regla

SI (s ∈ Semi-dura)AND(c ∈ Mediana)THEN(i ∈ Normal),

y por lo cual debemos dar una interpretacion semantica al operdor AND.Para nuestro ejemplo usaremos la operacion de min como la semantica del


operador AND. Entonces tenemos que el grado de pertenencia para las con-diciones de esta regla es

(s ∈ Semi-dura)AND(c ∈ Mediana) = min{0,8, 0,65} = 0,65.

Este proceso se debe determinar para cada una de las reglas difusas definidasen el modelo de nuestro problema.

5.3.2. Inferencia

Una vez establecido el emparejamiento difuso para cada una de las reglasdefinidas, se usan las reglas para determinar el nuevo grado de pertenenciade la variable objetivo segun la afirmacion de la regla. En nuestro ejemplo,queremos calcular el grado de pertenencia a partir de la funcion de membresıaNormal segun una regla especıfica. Para esto existen dos tipos de metodos:

Metodo de recorte

El metodo de recorte consiste en reajustar la funcion de membresıa de Normalcortando el tope de la funcion de tal forma que el maximo de la misma corres-ponda exactamente al resultado del emparajamiento difuso del paso anterior.

Teniendo en cuenta que la grafica original de la funcion de membresıa es

0 20 40 60 80 1000

0,25

0,5

0,75

1


Inte

rval

o[0,1

]

Funcion de membresıa de Normal para Intensidad de lavado

Normal


Y teniendo en cuenta que el valor de emparejamiento difuso para

(s ∈ Semi-dura)AND(c ∈ Mediana) = min{0,8, 0,65} = 0,65

es de 0,65, se tiene que el resultado de la inferencia es

0 20 40 60 80 1000

0,25

0,5

0,650,75

1


Inte

rval

o[0,1

]

Funcion de membresıa despues del metodo de recorte

Resultado de regla

Este metodo se debe aplicar para cada una de las reglas difusas definidas enel modelamiento del problema

Metodo de escalamiento

El metodo de escalamiento consiste en reajustar proporcionalmente la fun-cion de membresıa de la conclusion de tal forma que el maximo de la funcionno sea 1 sino que se ajuste al resultado del emparejamiento difuso para cadaregla definida en el modelamiento.

Nuevamente, para el caso de la regla

(s ∈ Semi-dura)AND(c ∈ Mediana) = min{0,8, 0,65} = 0,65

con valor de emparejamiento difuso de 0,65, se tiene que el resultado de lainferencia es


0 20 40 60 80 1000

0,25

0,5

0,650,75

1


Inte

rval

o[0,1

]Funcion de membresıa despues del metodo de escalamiento

Resultado de regla

De nuevo, se debe de recalcular la funcion de membresıa para cada una delas reglas definidas en el modelamiento del problema.

5.3.3. Combinacion

Del paso anterior obtuvimos como resultado multiples funciones de mem-bresıas para cada una de las reglas difusas definidas en el ejemplo (ver nue-vamente tabla Suavidad \ Cantidad). Ahora el resultado de nuestro pseudo-algoritmo sera producir nueva funcion difusa para el dominio de la variableobjetivo.

Para obtener este resultado, debemos combinar todas las funciones de mem-bresıas resultantes de las inferencias, aun cuando las consecuencias corres-pondan a diferentes funciones de membresıa originales en la variable objetivo.El proceso de esta combinacion sera calculando el maximo para cada gradode pertenencia de cada elemento del dominio.

A modo de ejemplo, suponga que las inferencias de dos reglas diferentes nosproducen las siguientes funciones de membresıa:


0 20 40 60 80 1000

0,25

0,5

0,650,75

1


Inte

rval

o[0,1

]

Funcion de membresıa de la inferencia 1

Resultado de regla 1

0 20 40 60 80 1000

0,25

0,5

0,750,8

1


Inte

rval

o[0,1

]

Funcion de membresıa de la inferencia 2

Resultado de regla 2

Tenemos entonces que el resultado de combinar ambas funciones de mem-bresıa, que sera hallar el maximo grado de pertenencia para cada elementodel dominio de la variable objetivo, lo cual correspondera a:

118 5.4. Desdifusificacion

0 20 40 60 74,480 1000

0,250,35

0,5

0,650,750,8

1


Inte

rval

o[0,1

]

Funcion de membresıa de la combinacion las inferencias 1 y 2

Resultado de combinacion

De esta forma, al combinar todas las funciones de membresıa de cada una delas inferencias de nuestras reglas difusas, el pseudo-algoritmo produce unafuncion de membresıa que mide el grado de pertenencia de cada uno de losposibles valores del dominio de la variable objetivo al fijar los valores de lasvariables de entrada.

5.4. Desdifusificacion

Note que en nuestro proceso, al definir funciones de membresıa y reglas deinferencia difusa, podemos producir un resultado final para la variable obje-tivo en terminos de funciones de membresıas difusas. Este proceso para unsistema que procese funciones difusas y en general logica difusa ya serıa unresultado util.

Sin embargo, muchos de los sistemas de control y en general sistemas de in-genierıa que aplican logica difusa requieren un resultado numerico concretoen el dominio de la variable objetivo como resultado de la inferencia logica.Este resultado se puede obtener a partir de la funcion de membresıa de laconclusion donde un proceso de desdifusificacion.

Se puede apreciar el interes de obtener este valor a traves del ejemplo de lalavadora, en el cual a partir de la funcion de membresıa de la conclusion,


deseamos obtener un valor de intensidad de lavado entre 0 a 100 para quesea ajustado en el proximo ciclo de lavado. Este valor se obtiene a traves dedesdifusificacion.

Existen muchos procesos de desfusificacion en la literatura, y muchos de esosson de interes de estudio en la actualidad. Varios ejemplos de metodos dedesdifusificacion son AI (adaptive integration), BADD (basic defuzzificationdistributions), BOA (bisector of area), CDD (constraint decision defuzzifi-cation), COA (center of area), COG (center of gravity), FM (fuzzy mean),FOM (first of maximum) ,GLSD (generalized level set defuzzification), ICOG(indexed center of gravity), entre otros mas y de los cuales algunos se explicanen [YL99].

Explicar cada uno de los metodos de desdifusificacion requiere un trabajoadicional que se sale del alcance y los objetivos de este trabajo. Sin embargo,a modo de ejemplo explicaremos la idea general de uno de ellos, el cual es elCOA (center of area) o desdifusificacion por centro de area.

La idea general del metodo consiste en calcular el peso promedio de lasalturas de los grados de pertenencia de la funcion de membresıa para loselementos del dominio de la funcion objetivo. Suponga que f es la funcion demembresıa sobre el dominio D, de tal forma que f es ademas continua e inte-grable, entonces el valor de COA resultante del proceso de desdifusificacioncorresponde a

COA =

∫D f(x) · x dx∫D f(x) dx

Se puede ver que COA es efectivamente un promedio de darle peso a cadavalor del dominio segun su correspondiente grado de pertenencia. Y en casode usar este metodo en nuestro ejemplo del ciclo de lavado; el valor COAcorresponderıa al nivel de intensidad del ciclo de lavado que nuestro modelodecide aplicar.

120 5.5. Consideraciones finales respecto a aplicaciones en ingenierıa

5.5. Consideraciones finales respecto a apli-

caciones en ingenierıa

Durante el desarrollo de este capıtulo, explicamos un metodo de como aplicarlogica difusa en sistemas de control para decidir el valor resultante de unavariable objetivo a traves de funciones de membresıas e inferencias difusas.

Esta no es la unica forma de aplicar logica difusa ni es la unica aplicacionque puede utilizar este tipo de razonamiento. La clave de la logica difusaa la luz de las aplicaciones de ingenierıa radica en el manejo de conceptosincertidumbre y vaguedad; a su vez de su facilidad de modelar en escenariosaplicados.

Con respecto a la primera consideracion, note que a traves de las funcionesde membresıa, el ingeniero no necesita garantizar que una variable tendraunas propiedades o condiciones exactas, sino que puede darse la libertad deafirmar que la variable se encuentra en un posible rango de valores, y cate-gorizar el rango de los mismos.

Adicionalmente y con respecto a la segunda consideracion, usar logica difusafacilita la construccion de reglas de inferencia. En un escenario difuso, el inge-niero puede establecer reglas de inferencia simples a traves de las categorıasque ya definio para cada variable. Y el pseudo-algoritmo de logica difusa seencarga entonces de recolectar toda la informacion esparcida entre reglas ygrados de pertenencia, y ası determinar un resultado final para usarse en elsistema.

Los anteriores elementos brindan gran flexibilidad a la hora de modelar unrazonamiento con la opcion de permitir vaguedad en la informacion que setiene del sistema observado.

Es por esto que, algunos de los ejemplos de aplicaciones de logica difusa soninteligencia artificial y robotica movil. En el ambito de inteligencia altificial,se usan las funciones de membresıa para poder evaluar que tan exacta es lasituacion actual del agente inteligente, como por ejemplo la forma de medirque tan adecuada es la conversacion con un interlocutor en el caso de loschatbot ; al igual que con inferencias difusas, el chatbot puede seleccionar cual


es la siguiente categorıa de preguntas que puede aplicar al interlocutor.

Y en el caso de robotica movil, considere un sistema de parqueo de un carroque se maneja sin conductor a traves de inteligencia basado en logica difusa.En este caso, las variables de entrada del sistema pueden ser los sensoresde cercanıa del vehıculo con respecto a los muros a los cuales el automovilse debe aproximar para parquearse. En este escenario, la variable objetivoserıa la presion que se debe aplicar a los frenos del vehıculo, de tal formaque mientras mas cerca este del muro, menos momentum deberıa tener elautomovil, y en donde las inferencias difusas nos ayudan a modelar el frenadosuavizado y uniforme que deberıa tener este tipo de carros.

Capıtulo 6

Conclusiones y trabajo futuro

6.1. Conclusiones

Este trabajo surgio con la duda de por que se usa “logica difusa” en aplicacio-nes de ingenierıa, especıficamente el termino “logica” el cual tiene relevanciaen el estudio de las matematicas formales. Para poder estudiar los fundamen-tos de esta logica, se busco una explicacion para el uso de las matematicas,especıficamente en comparacion con la logica clasica tradicional.

Para justificar la razon de la logica difusa en las matematicas formales, in-troducimos el problema de la paradoja de sorites, en el cual mostramos comoun razonamiento que suena intuitivo para nuestra cotidianidad como lo es eldel principio de caridad, es valido en la logica clasica de primer orden, peronos lleva a una inferencia contradictoria en la cual una persona de 155cm queclaramente no es alta termina siendo igual de alta que una persona de 190 cm.

A traves de las logicas multi-variadas, nos dimos cuenta que lo que falta en lalogica difusa es capacidad de manejar los conceptos de vagueza e incertidum-bre en su semantica. Se aprecio como este concepto no puede ser modeladoen logica clasica al tener solo dos unicos posibles valores de verdad (T,F).Por tanto, con las logicas multi-variadas, introducimos mas posibles valoresde verdad para manejar mas grados de incertidumbre.

Para el caso de tener una variable mas de incertidumbre, como lo fue el casode las logicas tri-variadas. Vimos como se puede establecer una logica que

123

124 6.1. Conclusiones

es completa, decidible, valida, y que no genera mas tautologıas de las quetenemos presente en la logica clasica. Tambien observamos que tautologıascomo el medio excluido ϕ ∨ ¬ϕ no tendrıa sentido que fueran validas en laslogicas multi-variados donde no todo es “blanco o negro”, y efectivamentedonde no es verdad para logicas multi-variadas.

Sin embargo, se observo que ni con las logicas tri-variadas, ni con logicasfinito-variadas, es posible capturar todos los elementos para poder entendercomo se debe analizar la paradoja de sorites. Por eso, se introduce la logicadifusa como la forma de tener infinitos valores (continuos) de incertidumbreen el intervalo [0, 1]. Se mostro que estas logicas son validas, decidibles, ycompletas con respecto a BL-algebras y sus correspondientes extensiones,al igual que con las T-normas se dio una forma de construir logicas difusassegun las propiedades que se quieran hacer validas en este tipo de logicas.

A traves de estas logicas, se pudo dar explicacion de como se puede enten-der la paradoja de sorites y de por que esta no es valida bajo la nocion deinferencias por grados. Mas aun, se mostro como aun cuando el principio decaridad puede ser tan cercano a una verdad absoluta como se desee, esta noes completamente valida, y por lo cual, al usarla muchas veces como es en elcaso de la paradoja, se pierde grado de verdad en cada uno de los pasos denuestra inferencia.

Comenzando con estos resultados, se mostro como las aplicaciones de inge-nierıa rescatan los conceptos de funciones de membresıa de la logica difusa, yadaptan las interpretaciones de inferencias difusas en terminos de reglas difu-sas y categorıas para variables. A partir de estos terminos, se mostro como sepueden usar los anteriores conceptos para modelar decisiones en sistemas decontrol que manejan conceptos de ambiguedad, de tal forma que los mismosson faciles de implementar y tienen sentido con la semantica del problemaque se desea analizar.

Finalmente, se introdujo como estas tecnicas se pueden aplicar en mas casosde interes de ingenierıa, de tal forma que el lector pueda ilustrarse de las ra-zones de por que la logica difusa es usada en temas de actualidad en sistemasde control, robotica, e inteligencia artificial.

Chapter 6. Conclusiones y trabajo futuro 125

6.2. Trabajo futuro

Como trabajo a futuro, quedan abiertas dos preguntas que serıa de interesprofundizar en nuestro estudio. La primera es, se mostro que la logica difusaproposicional BL es debilmente completa con respecto a las clases de las BL-algebras, y mas aun se cito que tambien la logica difusa BL es completa conrespecto a la subclase de las BL-algebras linealmente ordenadas. Sin embar-go, nos interesarıa explorar la completitud de esta logica con respecto a lassubclases de las 1-tautologıas de las valoraciones sobre T-normas; las cualescorresponden a una subclase de las BL-algebras linealmente ordenadas.

La segunda, es con respecto al proceso de desdifusificacion y como se puedenadaptar en aplicaciones de ingenierıa, se introdujo la idea basica de como, atraves del metodo de COA, se puede obtener un valor para la variable obje-tivo a partir de la funcion de membresıa obtenida del algoritmo de inferenciabasada en reglas difusas. Sin embargo se mostro que existen muchas tecnicaspara obtener este tipo de valores, las cuales varıan en el tipo de supuestosque tienen y en los resultados que pueden generar. Por tanto, es de interescomparar cuales son las diferencias de cada una de estas tecnicas. Y observarcomo y en que casos se deberıan de adaptar cada una de estas tecnicas enaplicaciones de ingenierıa.

Bibliografıa

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