JIMENNota adhesivaLas ecuaciones de movimiento para un sistema que tiene masas de N y N grados de libertad , pero no hay fuerzas externas tienen la siguiente forma:

JIMENNota adhesivaDnde estn coeficientes de rigidez de la k , que son constantes de resorte o combinaciones de los mismos, y las y son los desplazamientos de las masas de parmetros concentrados . *Notacin Matricial es obviamente conveniente cuando se trata de ecuaciones simultneas de movimiento. Sin embargo, no se utiliza en este texto , porque se cree a oscurecer el significado fsico de ecuaciones , y por lo tanto no es aconsejable para material introductorio . Una formulacin de la matriz del mtodo del anlisis modal se da en el Apndice.

JIMENNota adhesivaPrimero ser mostrado que la vibracin en un modo normal siempre debe ser armnico. Como se ha indicado en la seccin anterior durante la vibracin en un solo modo, los desplazamientos de las varias masas son siempre en la misma proporcin; Es decir, todos los posibles son geomtricamente similar. Esto puede ser indicado por.

JIMENNota adhesivaDonde f(t) es la misma funcin en cada caso, y los a son las amplitudes de los movimientos individuales. Sustituyendo en las ecuaciones (3.3),

JIMENNota adhesivaDonde f''(f) es la segunda derivada de f(t)con respecto al tiempo. Reacomodando las ecuaciones:

JIMENNota adhesivaDesde los lados izquierdos de las ecuaciones (3.5) son todos idnticos, los lados derecho debe ser igual a la misma constante, que se identifica por. Por lo tanto todas las ecuaciones puede escribirse como

JIMENNota adhesivaComo se ha indicado por la ecuacin. 3.7, si el sistema est vibrando en un modo normal, los dos desplazamientos son armnicos y en fase, y pueden ser expresados por

JIMENNota adhesivaComo una alternativa a la utilizacin directa de las ecuaciones. 3,9 para la determinacin de las frecuencias naturales, 'podemos sustituir estas expresiones en las ecuaciones. 3,10 para obtener

JIMENNota adhesivaPara que las amplitudes para tener cualquier valor distinto de cero (una condicin NECESARIO para un modo normal), el determinante de los coeficientes debe ser igual a cero.

JIMENNota adhesivaEsta es la ecuacin de frecuencia para el sistema de dos grados en la Fig. 3.6. Los dos races reales son cuadrados de las frecuencias naturales de los dos modos normales.

JIMENNota adhesivaPara ilustrar adicionalmente, supongamos que las tres constantes de resorte son igual a k y ambas masas igual a M. Ecuacin 3.12 entonces se convierte

JIMENNota adhesivaEstas son las frecuencias circulares de los dos modos normales. El w1 menor frecuencia corresponde al modo fundamental, o primera, mientras que w2 es la frecuencia del segundo modo.

JIMENNota adhesivaformas caractersticas

JIMENNota adhesivaTener las frecuencias naturales del sistema de grados mltiples representado por las ecuacin 3.3, las formas caractersticas de los modos pueden obtenerse mediante el uso de las ecuacin 3.8. Si el valor de w2 para un modo particular se sustituye en estas ecuacin N, hay a continuacin exactamente N incgnitas, a saber, las amplitudes A1 ... AN, de ese modo. Desde los lados derechos de las ecuacin 3.8 son cero, valores nicos de las a no se obtienen. Sin embargo, es posible obtener los valores relativos de todas las amplitudes, o en otras palabras, la relacin de cualquiera de dos. Si un valor arbitrario se da una amplitud, todas las dems estn fijadas en magnitud. Un conjunto de tales amplitudes arbitrarias define la forma caracterstica, ya que este ltimo no depende de los valores absolutos de amplitud. En trminos matemticos, un conjunto de amplitudes modales se conoce como un vector caracterstico.

JIMENNota adhesivaNo es sorprendente que los valores singulares de las amplitudes caractersticos son imposibles de conseguir. Estamos aqu hablando de vibraciones, la causa de que no se ha definido por cualquiera de las condiciones iniciales o funcin de forzamiento. El punto importante es que las amplitudes de un modo normal son siempre en la misma proporcin; es decir, se mantiene la forma, independientemente de la causa de la vibracin.

JIMENNota adhesivaPara ilustrar lo anterior, considere de nuevo el sistema de dos grados de la Seccin 3.2a y la figura 3.6, para el que se encontraron las frecuencias naturales para ser (k/M)1/2 y 1,73(k/M)1/2. Desde la k de fueron llevados a ser iguales, al igual que la M, las ecuaciones. 3.11 convertirse.

JIMENNota adhesivaque define la forma caracterstica de la segunda modalidad. Si se desea asignar valores arbitrarios a las amplitudes, las dos formas modales podran ser indicados por

JIMENNota adhesivaLas dos formas caractersticas, es decir, los movimientos asociados a los modos normales, se indican en la figura. 3.7. En el primer modo las dos masas se mueven en la misma direccin y en la misma cantidad. En el segundo modo se mueven en la misma cantidad pero en direcciones opuestas. En ambos casos los movimientos de las dos masas estn en plase

JIMENNota adhesivaSustituyendo w1, la frecuencia del primer modo, en los primeros rendimientos de ecuacione

JIMENNota adhesivaque define la forma caracterstica del primer modo. El mismo resultado se habra obtenido por sustitucin en la segunda ecuacin. La notacin adoptada es que el primer subndice indica en la una de la masa, o el punto de la estructura a la que se produce la amplitud y el segundo subndice designa el modo. Sustituyendo w2 en cualquiera de los rendimientos de ecuaciones