Introducion a la dinamica de los cuerpos rıgidos.

Jose Marıa Rico Martınez

Departamento de Ingenierıa Mecanica

Division de Ingenierıas, Campus Irapuato-Salamanca

Universidad de Guanajuato.

Salamanca, Gto. 36730, Mexico

E-mail: jrico@ugto.mx

Abstract

Estas notas tienen por objetivo enfatizar los conceptos fundamentales que se aplican en

el estudio de la Dinamica de los Cuerpos Rıgidos. De modo que el lector centre su atencion

en esos fundamentos y no se pierda en los detalles, no tan importantes, que se necesitan para

“resolver” problemas.

1 Fundamentos de la dinamica de los cuerpos rıgidos

El estudio de la dinamica de los cuerpos rıgidos esta precedido del estudio de la dinamica delas partıculas, esta secuencia no es casual sino que refleja, de manera correcta, la sucesion deconocimientos que es necesario dominar antes de embarcarse en el estudio de la dinamica de loscuerpos rıgidos.

Conviene pues, conectar los conceptos y habilidades aprendidas en la dinamica de las partıculascon los objetivos del estudio de la dinamica de los cuerpos rıgidos, de manera que el lector tengauna ıdea clara del porque la dinamica de las partıculas juega un panel primordial en el estudiode la dinamica de los cuerpos rıgidos. Iniciemos esta coneccion con una definicion de un cuerporıgido.

Definicion: Cuerpo Rıgido. Un cuerpo rıgido es una agrupacion, usualmente continua, departıculas con una propiedad fundamental: La distancia entre dos partıculas cualesquiera

del cuerpo rıgido permanece invariable; es decir, constante. Otra manera de definir uncuerpo rıgido es decir que es un cuerpo que no admite deformacion alguna; es decir, es indeformable.Es importante senalar que en el curso de Dinamica de Cuerpos Rıgidos, una partıcula siempre seconsiderara como un objeto de dimensiones tan pequenas que es imposible que rote. La rotaciones un fenomeno que depende de la orientacion de las lıneas del objeto, de modo que si es imposibledibujar lıneas en el objeto es imposible determinar si el objeto ha sufrido una rotacion. Deberecordarse que en la cinematica de las partıculas, algunos objetos tan grandes como un avion o unauto, pueden considerarse como partıculas. En la Dinamica de Cuerpos Rıgidos, se mostrara elporque de esta consideracion.

Desde el punto de vista de la mecanica de materiales, un cuerpo rıgido requiere de constanteselasticas infinitamente grandes. De modo que, sin importar las magnitudes de las fuerzas queactuan sobre el cuerpo rıgido, su deformacion sea nula. Debe estar claro que el concepto de cuerporıgido es, unicamente, un concepto teorico o, bien, una aproximacion ingenieril. Sin embargo, esimportante senalar que este concepto o aproximacion, permite explicar de manera simple y bastanteexacta un porcentaje elevado de los comportamientos de las maquinas e invenciones desarrolladaspor el hombre hasta la actualidad.1

1Los primeros fenomenos que, probablemente, requirieron abandonar el concepto de cuerpo rıgido fue, por un

1

A grandes rasgos, los temas y conceptos que se estudiaron en la cinematica de las partıculasson:

1. Cinematica de las partıculas.

(a) Analisis de la velocidad y aceleracion de partıculas en el plano y en el espacio, respectoa un sistema de referencia arbitrario; componentes cartesianas, normal-tangencial, ci-lındricas y esfericas.

(b) Analisis de la velocidad y aceleracion de partıculas respecto a un sistema de referenciasujeto al movimiento, de traslacion, de otra partıcula; este tema frecuentemente se leconoce con el nombre de movimiento relativo.

2. Cinetica de las partıculas.

(a) Aplicacion de la segunda Ley de Newton para determinar el movimiento de una partıculacuando esta sujeta a una fuerza o a un conjunto de fuerzas. Este tema requiere delconocimiento del concepto de un sistema de referencia newtoniano o inercial.

(b) Aplicacion del metodo del trabajo y la energıa al movimiento de una partıcula.

(c) Aplicacion del metodo del impulso y el ımpetu al movimiento de una partıcula.

De manera semejante, la dinamica de cuerpos rıgidos tambien se divide en:

1. La cinematica de cuerpos rıgidos, que esta interesada en el movimiento de las partıculas queforman un cuerpo rıgido y las relaciones del movimiento entre ellas, sin considerar cuales sonlas causas de esos movimientos. Ademas, en la cinematica de cuerpos rıgidos estamos intere-sados en analizar las propiedades del movimiento de un cuerpo rıgido que son independientesde las partıculas del cuerpo. En otras palabras, estamos interesados en el movimiento de uncuerpo rıgido como un todo.

2. La cinetica de cuerpos rıgidos, en esta parte, el interes se centra en las relaciones entre lasfuerzas aplicadas a un cuerpo y el movimiento producido por esas fuerzas.

En la cinematica de cuerpos rıgidos, un tema de la cinematica de partıculas es de importanciafundamental: El concepto de sistema de referencia, que conviene definirlo de manera explıcita.

Definicion: Sistema de Referencia. Un sistema de referencia es una persona con una reglay un reloj. Las herramientas de la persona le permiten —aquı el lector debe usar la imaginacion—observar y cuantificar el movimiento de una o varias partıculas, de manera que si una partıculaarbitraria se denomina P , la persona es capaz de determinar la funcion vectorial ~rP como funciondel tiempo; es decir,

~rP = ~rP (t), (1)

donde el vector ~rP , conocido como vector de posicion de la partıcula P , va desde un origen predeter-minado por la persona, por ejemplo, el centro de su mano, a la partıcula P . Es importante senalarque en el concepto de sistema de referencia no existe indicacion alguna acerca del tipo de sistemacoordenado empleado por la persona, que define el sistema de referencia, para descomponer el vec-tor.2 En otras palabras, la persona esta en libertad de emplear coordenadas cartesianas, cilındricaso esfericas. Vea la figura 1.

Dependiendo del estado de movimiento de la persona que define el sistema de referencia, esposible clasificar los sistemas de referencia en

lado, el comportamiento de las alas de los aviones, que empezaron a usar metal en su fabricacion, alrededor de los

anos 30’s del siglo pasado y, por el otro lado, el comportamiento de los arboles de levas en maquinas de combustion

interna de alta velocidad, estos analisis se empezaron a realizar en 1950.2Desafortunadamente, como los sistemas coordenados cartesianos son los mas frecuentemente usados, los estu-

diantes de la cinematica asumen, de inmediato y de manera erronea, que un sistema de referencia implica necesa-

riamente el empleo de coordenadas cartesianas.

2

Figure 1: Sistema de Referencia con Tres Posibles Sistemas Coordenados.

1. Sistemas de referencia fijos

2. Sistemas de referencia moviles

(a) Sistemas de referencia sujetos a movimiento de traslacion.

(b) Sistemas de referencia sujetos a movimiento de rotacion.

(c) Sistemas de referencia sujetos a movimiento general, una combinacion de traslacion yrotacion.

Dependiendo de si la persona esta en reposo o en movimiento y si ese movimiento es de traslacion,rotacion o una combinacion de ambos.

En la dinamica de las partıculas, el lector ya tuvo la oportunidad de considerar sistemas dereferencias fijos y sujetos a movimiento de traslacion, en la cinematica de cuerpos rıgidos, el lectortendra que emplear sistemas sujetos a movimiento de rotacion.3

En la parte final del estudio de la dinamica de cuerpos rıgidos, se extenderan los tres ultimostemas —la segunda Ley de Newton, el metodo del trabajo y la energıa y el metodo del impulso yel ımpetu— de una partıcula a un cuerpo rıgido; es decir, a una agrupacion de partıculas tal quela distancia entre dos partıculas cualesquiera del cuerpo rıgido permanece invariable.

2 La cinematica de cuerpos rıgidos.

Despues de estos conceptos y comentarios fundamentales. Es posible ahora indicar el objetivofundamental del estudio de la cinematica de cuerpos rıgidos.

Objetivo Fundamental de la Cinematica de Cuerpos Rıgidos. Determinar rela-

ciones entre las velocidades y aceleraciones de las diferentes partıculas que forman

3El analisis de sistemas de referencia sujetos a movimiento de rotacion es indispensable para determinar la

componente Coriolis de la aceleracion de ciertas partıculas.

3

parte de un cuerpo rıgido sujeto a los diferentes tipos de movimiento que un cuerpo

rıgido puede sufrir.4

Es, entonces, importante clasificar y definir los diferentes tipos de movimiento que un cuerporıgido puede sufrir, la clasificacion que se presenta a continuacion va de los casos mas generales alos casos mas particulares;

Movimiento Espacial General. En este tipo de movimiento, un cuerpo rıgido es completa-mente libre de moverse en el espacio. En este caso, no se conoce, en general, ningun puntocuya velocidad absoluta o aceleracion absoluta5 sea ~0. El movimiento espacial general tienelos siguientes casos particulares:

1. Rotacion Alrededor de un Punto Fijo, Movimiento Esferico. En este tipode movimiento existe un punto del cuerpo, conocido como centro de rotacion, quepermanece fijo6 —su vector de posicion, respecto a un sistema de referencia apropiada-mente seleccionado, es un vector constante. Es evidente que la velocidad y aceleracionabsolutas de este punto fijo son igual al vector ~0. El resto de las partıculas del cuerpose mueven en esferas concentricas cuyo centro es el punto fijo, pues la distancia entre lapartıcula y el punto fijo es la distancia entre dos partıculas de un cuerpo rıgido y debepermanecer constante.7

2. Movimiento Plano General. En este tipo de movimiento, todas las partıculas delcuerpo se mueven en planos paralelos. En este tipo de movimiento no se conoce a priori

—es decir, de antemano— que punto del cuerpo tiene velocidad igual a ~0 o aceleracionigual a ~0.

3. Rotacion Alrededor de un Eje Fijo. En este tipo de movimiento no solo un puntodel cuerpo permanece fijo sino toda una lınea del cuerpo permanece fija. De manerasemejante al caso de movimiento esferico, la velocidad y aceleracion absolutas de todaslas partıculas que forman parte del eje son nulas. Puesto que la distancia entre cualquierotra partıcula del cuerpo y el punto, del eje fijo, mas cercano a la partıcula original, estambien una distancia entre dos partıculas de un cuerpo rıgido, entonces esta distanciadebe permanecer fija. Por lo tanto, las trayectorias de las partıculas del cuerpo soncırculos concentricos cuyos centros estan localizados en el eje de rotacion.8

4. Traslacion. En este tipo de movimiento, todas las lıneas del cuerpo conservan suorientacion. Puesto que el fenomeno de la rotacion esta asociado a un cambio en laorientacion de las lıneas del cuerpo, la traslacion puede definirse como un movimientosin presencia de rotacion. Nuevamente, en este caso no se conoce a priori que punto delcuerpo tiene velocidad igual a ~0 o aceleracion igual a ~0. Dependiendo de las trayectoriasque siguen las partıculas del cuerpo, la traslacion puede clasificarse en:

(a) Traslacion rectilınea. Cuando todas las partıculas del cuerpo siguen una trayectoriaa lo largo de una lıınea recta o lıneas rectas paralelas.

(b) Traslacion plana. Cuando todas las partıculas del cuerpo describen trayectoriascontenidas, cada una de ellas, en el mismo plano o planos paralelos. Este tipo detraslacion se conoce tambien como traslacion curvilınea, en las que las partıculas

4Esta oracion contiene un abuso del lenguaje que es muy comun en dinamica, pero que el lector debe estar

conciente. En sentido estricto no existen velocidades y aceleraciones relativas entre dos partıculas. La forma

correcta de decirlo es la velocidad y aceleracion de una partıcula como se observa desde un sistema de referencia

sujeto a traslacion con la velocidad y aceleracion de la otra partıcula. Evidentemente, es mas sencillo decir velocidad

o aceleracion relativa.5Es decir respecto a un sistema de referencia fijo.6En ocasiones resulta que el punto fijo esta fuera de los lımites fısicos del cuerpo, pero el lector debe suponer que

el cuerpo rıgido se extiende a voluntad en la direccion necesaria.7Esta es la primera aplicacion de la definicion de un cuerpo rıgido.8Esta es la segunda aplicacion de la definicion de un cuerpo rıgido.

4

del cuerpo describen curvas planas “congruentes”, es decir curvas que permitensatisfacer la condicion de que todas las lıneas del cuerpo conservan su orientacion.

(c) Traslacion espacial. Cuando todas las partıculas del cuerpo describen trayectoriasespaciales que no satisfagan los requisitos de los dos casos previos.

En un curso introductorio de dinamica de cuerpos rıgidos no se estudian todos los tipos demovimiento de un cuerpo rıgido. Frecuentemente, estos cursos introductorios se denominabandinamica plana de cuerpos rıgidos. Indicando, de esa manera, que el caso espacial no se incluye. Acontinuacion, se indican todos los tipos de movimiento que se van a estudiar, de los mas sencillosa los mas complicados.

1. Traslacion. Con todos sus casos especiales, incluyendo aquı por su sencillez el caso espacial.

2. Rotacion Alrededor de un Eje Fijo.

3. Movimiento Plano General. Este es el caso mas general que se tratara en este curso.

Como se indico al inicio de esta seccion, el objetivo fundamental de la cinematica de cuerposrıgidos consiste en: Determinar relaciones entre las velocidades y aceleraciones de las

diferentes partıculas que forman parte de un cuerpo rıgido sujeto a los diferentes tipos

de movimiento que un cuerpo rıgido puede sufrir.

Ahora, podemos ser mas especıficos. En los casos, como traslacion y movimiento plano

general, en que no se conoce a priori un punto del cuerpo cuya velocidad o aceleracion es iguala ~0, lo mas que, por el momento, es posible aspirar es encontrar relaciones entre las velocidades yaceleraciones de las diferentes partıculas. Si, como en el caso de rotacion alrededor de un eje

fijo, se conoce que todos los puntos del eje fijo tienen velocidad y aceleracion absolutas igual a ~0,es posible ser mas ambiciosos y, en este caso, obtendremos expresiones que nos digan cual es lavelocidad y aceleracion absolutas de las partıculas del cuerpo rıgido.9

La dinamica, en general, es una disciplina que no requiere de un gran numero de definiciones,postulados, tecnicas, etc. que sea necesario aprender. En este tema de cinematica de los cuerposrıgidos es importante observar como a partir de exclusivamente:

1. La definicion de un cuerpo rıgido.

2. La definicion del tipo de caso especial del movimiento de un cuerpo rıgido.

Es posible encontrar los resultados deseados. Es importante observar el bosque sin perderse en los

arboles.

3 Analisis del movimiento de traslacion.

Considere el cuerpo rıgido B, mostrado en la Figura 2, que esta sujeto a movimiento de traslacionrespecto a un sistema de referencia representado por el punto O y considere dos puntos arbitrariosP y Q unidos al cuerpo rıgido B. Los vectores de posicion de los puntos P y Q respecto al puntoO estan dados por

~rP/O y ~rQ/O, (2)

respectivamente.Mas aun, estos vectores estan relacionados entre si por

~rQ/O = ~rQ/P + ~rP/O, (3)

9Si, por alguna razon, se desearan las relaciones entre las velocidades y aceleraciones de las partıculas del cuerpo,

a partir de sus valores absolutos pueden encontrarse.

5

Figure 2: Cuerpo B sujeto a movimiento de traslacion respecto a un sistema de referencia repre-sentado por el punto O.

donde ~rQ/P es el vector de posicion del punto Q respecto al punto P . Este es un vector que tienesu origen en el punto P y finaliza en el punto Q.

La magnitud del vector ~rQ/P representa la distancia entre dos puntos de un cuerpo rıgido yes, por la definicion de un cuerpo rıgido, constante. Por otro lado, el vector ~rQ/P determina unalınea del cuerpo rıgido y, por la definicion del movimiento de traslacion, la orientacion de todaslas lıneas del cuerpo y, por consequencia, del vector ~rQ/P , con respecto al sistema de referenciarepresentado por el punto O, es tambien constante. Puesto que el vector ~rQ/P tiene magnitud yorientacion constante es un vector constante, en el sistema de referencia representado por O. Deaquı que

Odn ~rQ/P

d tn= · · · =

Od2 ~rQ/P

d t2=

Od~rQ/P

d t= ~0 (4)

donde el superındice O indica que la derivada respecto al tiempo es, tambien, respecto al sistemade referencia representado por O.

Es ahora posible determinar las relaciones entre las velocidades y aceleraciones de dos puntosarbitrarios, P y Q, del cuerpo rıgido B. Derivando respecto al tiempo, y respecto al sistema dereferencia representado por el punto O, ambos lados de la ecuacion (3), se tiene que

Od~rQ/O

d t=

Od~rQ/P

d t+

Od~rP/O

d t(5)

Sustituyendo en la ecuacion (5) el termino apropiado de la ecuacion (4); es decir

Od~rQ/P

d t= ~0,

se tiene que

O~vBP =

Od~rQ/O

d t=

Od~rP/O

d t= O~vB

Q (6)

Aquı, el superındice B indica que los puntos P y Q pertenecen al cuerpo rıgido B. La ecuacion(6) indica un resultado fundamental de la cinematica de cuerpos rıgidos sujetos a movimiento detraslacion. En un cuerpo rıgido sujeto a un movimiento de traslacion respecto a un

sistema de referencia O, todas las partıculas del cuerpo tienen la misma velocidad,

respecto a ese sistema de referencia.

Derivando, respecto al tiempo, y respecto al sistema de referencia representado por el punto O,ambos lados de la ecuacion (6), se tiene que

O~aBP =

OdO~vBP

d t=

Od2 ~rQ/O

d t2=

Od2 ~rP/O

d t2=

OdO~vBQ

d t= O~aB

Q (7)

6

La ecuacion (7) indica el otro resultado fundamental de la cinematica de cuerpos rıgidos sujetosa movimiento de traslacion. En un cuerpo rıgido sujeto a un movimiento de traslacion

respecto a un sistema de referencia O, todas las partıculas del cuerpo tienen la misma

aceleracion, respecto a ese sistema de referencia.

Resumiendo en un cuerpo rıgido sujeto a un movimiento de traslacion respecto a un sistemade referencia O, todas las partıculas del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleracion,respecto a ese sistema de referencia. Por lo tanto, especificando la velocidad y la aceleracion de unpunto, se especıfica la velocidad y aceleracion de todas las partıculas del cuerpo y, por lo tanto,del cuerpo como un todo.

Este resultado explica, tambien, el porque en la cinematica de partıculas es posible que,un objeto de dimensiones considerables, tal como un auto, un avion o un buque trasatlanticopueden, es ocasiones considerarse como partıculas. Si un objeto esta exclusivamente su-

jeto a movimiento de traslacion, o bien, para el objetivo del estudio a realizar el

posible movimiento de rotacion no es importante, entonces ese objeto puede conside-

rarse como una partıcula. Finalmente, este resultado indica que todos los conocimientos de lacinematica de partıculas pueden extrapolarse, sin cambio alguno, al estudio de la cinematica decuerpos rıgidos sujetos a movimiento de traslacion.

4 Analisis del movimiento de rotacion alrededor de un eje

fijo.

Considere el cuerpo rıgido B, mostrado en la Figura 3, que esta sujeto a un movimiento de rotacionalrededor de un eje fijo respecto a un sistema de referencia representado por el punto O. El eje fijode rotacion esta representado por la lınea L, E es un punto a lo largo del eje de rotacion y u es unvector unitario a lo largo del eje de rotacion. Considere un punto arbitrario P unido rıgidamenteal cuerpo rıgido B. Sea Q la proyeccion del punto P a lo largo del eje de rotacion. Desde el puntode vista matematico, los vectores de posicion de los puntos P y Q, respecto al punto E, satisfacenla condicion

~rP/E = ~rP/Q + ~rQ/E = ~rP/Q + λ u (8)

donde λ ∈ R y~rP/Q · ~rQ/E = 0 = ~rP/Q · u. (9)

En simples palabras, los vectores ~rP/Q y ~rQ/E son perpendiculares.

Puesto que el punto Q tambien pertenece al cuerpo rıgido B, la distancia QP es invariable ypuesto que el punto Q pertenece al eje de rotacion, permanece fijo. Por lo tanto, la trayectoria delpunto P es un cırculo de radio QP y centro en el punto Q. Este resultado puede generalizarse paratodas las partıculas del cuerpo B de la siguiente forma: Considere un cuerpo sujeto a rotacion

alrededor de un eje fijo, la trayectoria de una partıcula arbitraria del cuerpo es un cırculo cuyo

centro esta localizado, a lo largo del eje de rotacion, en la proyeccion de la partıcula sobre el eje de

rotacion y cuyo radio es la distancia mınima, o perpendicular, de la partıcula al eje de rotacion.Como ya se indico en la seccion 2, en la rotacion alrededor de un eje fijo respecto a un sistema

de referencia, se conocen no uno sino una infinidad de puntos, aquellos que forman el eje fijo derotacion, cuya velocidad y aceleracion son nulas. Ası pues, en este caso es posible determinar lavelocidad y aceleracion, absolutas, de las partıculas del cuerpo respecto al sistema de referencia,con respecto al cual esta sufriendo una rotacion alrededor de un eje fijo.

Suponga que se desea encontrar la velocidad del punto P del cuerpo rıgido B y considere elsistema de referencia fijo localizado en el punto E. Debe notarse que tanto el sistema de referencialocalizado en el punto O como el sistema de referencia localizado en el punto E estan fijos, demanera que la velocidad de la partıcula P con respecto a ambos sistemas es igual.

7

Figure 3: Cuerpo B sujeto a movimiento de rotacion alrededor de un eje fijo, respecto a un sistemade referencia representado por el punto O.

Considere pues el vector de posicion de la partıcula P , respecto al sistema de referencia fijolocalizado en el punto E, para el tiempo t y para el tiempo t+∆ t, dados respectivamente por

~rP/E(t) y ~rP/E(t+∆ t). (10)

El incremento del vector de posicion ~rP/E , durante ese intervalo de tiempo, esta dado por

∆~rP/E = ~rP/E(t+∆ t)− ~rP/E(t), (11)

y la velocidad de la partıcula P , respecto al sistema de referencia fijo localizado en el punto E,esta dada por

E~vBP = O~vBP = Lim∆ t→0∆~rP/E . (12)

Para determinar este vector, primero determinaremos su magnitud y, despues, su direccion.Para la magnitud, se tiene que

| E~vBP |= Lim∆ t→0 | ∆~rP/E |, (13)

donde

| E~vBP | = Lim∆ t→0 | ∆~rP/E |= Lim∆ t→0 | ~QP | ∆θ =| ~QP | Lim∆ t→0 ∆θ

= | ~QP | d θd t

=| ~EP | Senφd θ

d t. (14)

En cuanto a la direccion, la velocidad E~vBP es perpendicular al vector unitario u, pues latrayectoria circular del punto P esta contenida en un plano perpendicular a u y es tangente a latrayectoria circular y, por lo tanto, perpendicular a ~rP/Q y ~rP/E . Mas aun, el sentido de la velocidadE~vBP satisface la regla de la mano derecha que corresponde al producto vectorial u × ~rP/E .

Con esta informacion es posible determinar la velocidad de cualquier punto del cuerpo B, sinembargo los calculos seran muy complicados. En los siguientes parrafos se mostrara que existe

8

Figure 4: Determinacion de la velocidad de una partıcula P que pertenece a un cuerpo B sujeto amovimiento de rotacion alrededor de un eje fijo, respecto a un sistema de referencia representadopor el punto O.

una manera mucho mas conveniente de expresar esos resultados mediante la definicion del vectorvelocidad angular.

Ası pues, es posible definir el vector velocidad angular, O~ωB , del cuerpo rıgido B respecto alsistema de referencia representado por el punto E, o el punto O, de acuerdo con las siguientesreglas:

1. La magnitud del vector O~ωB esta dada por d θd t .

2. La direccion del vector es la del eje de rotacion del cuerpo, en este caso indicada por el vectorunitario u.

3. El sentido del vector velocidad angular, es tal que el vector esta dirigido hacia el extremo deleje de rotacion desde donde se vea girar al cuerpo en sentido antihorario. Es facil mostrarque este sentido es independiente del observador o sistema de referencia.

Concluyendo, el vector velocidad angular, O~ωB , esta dado por

O~ωB = OωB u = ω u =d θ

d tu, (15)

donde la magnitud del vector velocidad angular del cuerpo B respecto del sistema de referenciarepresentado por el punto O, esta dada por

| O~ωB |= OωB = ω =d θ

d t,

y el sentido del vector velocidad angular es, en este caso, hacia la parte superior del eje de rotacionde la Figura 4, desde donde se ve girar al cuerpo en sentido antihorario. El lector puede verificarque la velocidad de la partıcula P esta dada por

E~vBP = O~ωB × ~rP/E . (16)

9

Es facil verificar que

| E~vBP | = | O~ωB || ~rP/E | Sen(u, ~rP/E) =d θ

d t| ~EP | Senφ (17)

verificando de esa manera la ecuacion (14). Por otro lado, O~ωB × ~rP/E es perpendicular a u yperpendicular a ~rP/E , verificando la direccion de E~vBP . Finalmente, el sentido del vector E~vBP estadado por la regla de la mano derecha como se indica en la ecuacion (16) y corresponde al sentidoque debe tener de acuerdo a la Figura 4.

Es importante reconocer que a diferencia de la velocidad de una partıcula, que es la derivadarespecto al tiempo, y respecto a un sistema de referencia, del vector de posicion de la partıcula, quees una funcion vectorial, la velocidad angular de un cuerpo B respecto a un sistema de referencia

O no es la derivada, respecto al tiempo, de ninguna funcion vectorial. En cursos mas avanzadosde cinematica se propone una definicion mas formal de la velocidad angular.

4.1 La determinacion de la velocidad angular es independiente de la

lınea del cuerpo que se emplee para determinar la rotacion del

cuerpo.

Un lector suspicaz podrıa pensar que la determinacion de la velocidad angular de un cuerpo respectoa un sistema de referencia depende de la lınea del cuerpo empleada para determinar la rotacion delcuerpo. Esta seccion muestra que la determinacion de la velocidad angular de un cuerpo respectoa un sistema de referencia es independiente de la lınea, del cuerpo, considerada.

Una advertencia es necesaria, hay lıneas del cuerpo que no experimentan rotacion alguna,como aquellas paralelas al eje de rotacion del cuerpo, esto no significa que el cuerpo no esterotando, unicamente indica que no seleccionamos adecuadamente la lınea. Suponga, sin perdidade generalidad, que se consideran exclusivamente lıneas que yacen en planos perpendiculares al ejede rotacion.10

Como ya se indico en la seccion 4, empleando la lınea formada por el punto de interes P y suproyeccion a lo largo del eje de rotacion, punto Q, se determino que en el intervalo de tiempo ∆ t,el cuerpo rıgido B ha rotado un angulo ∆ θ. Considere ahora la lınea formada por los puntos Cy D. La Figura 5 muestra la localizacion de los dos puntos para el instante de tiempo t y para elinstante de tiempo t+∆ t.

Suponga que para el tiempo t, el angulo formado por las lıneas QP y CD esta dado por β,entonces para el tiempo t+∆ t, el angulo formado por las lıneas QP y CD seguira dado por β. Sino fuera ası, la distancia entre dos partıculas del cuerpo no se mantendrıa constante.11

Ademas, se han dibujado con lınea punteada roja, dos lıneas paralelas a QP . La primera pasapor el punto A y la segunda pasa por el punto T . Por lo tanto, el angulo entre QP (t) y C(t)D(t)es igual al angulo entre AP ∗(t) y C(t)D(t).

Considere el angulo < P ∗(t), A,D(t + ∆ t), donde el punto A es el vertice, este angulo estadado por

< P ∗(t), A,D(t+∆ t) =< P ∗(t), A,D(t)+ < D(t), A,D(t+∆ t)

por lo tanto< D(t), A,D(t+∆ t) =< P ∗(t), A,D(t+∆ t)− < P ∗(t), A,D(t) (18)

Sin embargo, empleando la lınea paralela a QP que pasa por el punto T .

< P ∗(t), A,D(t+∆ t) = < P ∗∗(t), T,D(t+∆ t)

= < P ∗∗(t), T, P (t+∆ t)+ < P (t+∆ t)T,D(t+∆ t) = ∆ θ + β. (19)

10Toda lınea que no sea paralela al eje de rotacion tiene una proyeccion en el plano perpendicular al eje de rotacion

que puede usarse de la manera descrita en esta seccion.11En cursos mas avanzados de cinematica es tarea estandar mostrar que un desplazamiento de cuerpo rıgido en

general preserva no solo la distancia entre partıculas sino tambien los angulos entre dos lıneas arbitrarias del cuerpo.

10

Figure 5: Un cuerpo rıgido B y dos lıneas perpendiculares al eje de rotacion empleadas paradeterminar la velocidad angular del cuerpo B respecto a un sistema de referencia representado porel punto O.

Sustituyendo la ecuacion (19) en la ecuacion (18), se tiene que

< D(t), A,D(t+∆ t) =< P ∗(t), A,D(t+∆ t)− < P ∗(t), A,D(t) = ∆ θ + β − β = ∆ θ. (20)

Por lo tanto, este analisis muestra que sin importar cual sea la lınea que se analize, desde unsistema de referencia especificado, la determinacion del angulo de rotacion de un cuerpo rıgido esel mismo.

4.2 Determinacion de la aceleracion de un punto fijo a un cuerpo sujeto

a rotacion alrededor de un eje fijo.

Considere ahora el problema de determinar la aceleracion del punto P fijo en el cuerpo B que estasujeto a rotacion alrededor de un eje fijo. De la cinematica de la partıcula se sabe que

E~aBP =E dE~vBP

d t=

E d

d t

(

O~ωB × ~rP/E

)

. (21)

y aplicando las propiedades de la derivacion de funciones vectoriales se tiene que

E~aBP =E dO~ωB

d t× ~rP/E + O~ωB ×

E d~rP/E

d t, (22)

donde, por un lado, puesto que el movimiento del cuerpo B es de rotacion alrededor de un ejefijo, la direccion del vector O~ωB permanece siempre igual a u, por lo tanto, se define la aceleracionangular del cuerpo B respecto al sistema de referencia O como

O~αB ≡E dO~ωB

d t=

d

d t

d θ

d tu =

d2 θ

d t2u,

puesE d u

d t= ~0.

11

Por el otro lado, se tiene que

E d~rP/E

d t= E~vBP = O~ωB × ~rP/E .

Figure 6: Aceleracion tangencial y normal de una partıcula P que pertenece a un cuerpo B sujetoa movimiento de rotacion alrededor de un eje fijo, respecto a un sistema de referencia representadopor el punto O.

Sustituyendo estos dos resultados anteriores en la ecuacion (22), se tiene que

E~aBP = O~αB × ~rP/E + O~ωB ×(

O~ωB × ~rP/E

)

. (23)

De las reglas del producto vectorial, puede determinarse que el primer termino del lado derecho dela ecuacion (23), dado por

E~aBPt =O~αB × ~rP/E ,

es tangente a la trayectoria de la partıcula P , el sentido depende del valor algebraico de O~αB ,por lo tanto, esta componente de la aceleracion E~aBP , del punto P se le conoce como aceleracion

tangencial; de manera mas correcta este termino deberıa llamarse componente tangencial de la

aceleracion. Mas aun, la magnitud de la componente tangencial esta dado por

| E~aBPt |=| O~αB || ~rP/E | sin φ =| O~αB || ~rP/Q |

De manera semejante, puede probarse que el segundo termino del lado derecho de la ecuacion(23), dado por

E~aBPn = O~ωB ×(

O~ωB × ~rP/E

)

,

o bien, por O~ωB × E~vBP , esta siempre dirigido del punto P al centro de curvatura de la trayectoriade la partıcula P , en este caso el punto Q y esta componente de la aceleracion E~aBP , del puntoP se le conoce como aceleracion normal. de manera mas correcta este termino deberıa llamarsecomponente normal de la aceleracion. Mas aun, la magnitud de la componente normal esta dadopor

| E~aBPn |=| O~ωB |2| ~rP/E | sin φ =| O~ωB |2| ~rP/Q | .

12

Es importante notar que en toda esta seccion, el punto a lo largo del eje, fijo, de rotacion apartir del cual se determina el vector de posicion de la partıcula cuya velocidad y aceleracion sedesea, en este caso el punto E, es arbitrario. La siguiente seccion 4.3 muestra como una juiciosaseleccion de este punto permite reducir ventajosamente algunos de los terminos de la ecuacion (23)y de las magnitudes de las componentes.

4.3 El concepto de placa representativa.

Considere ahora los cambios que ocurren cuando el punto arbitrario E, que permite escribir lasecuaciones de esta seccion, se selecciona de manera tal que el punto se mueve del punto E al puntoQ. El primer efecto patente es que el angulo φ se incrementa de manera continua hasta llegar a unvalor de 90◦ cuando el punto E se funde con el punto Q. Analizemos ahora las magnitudes de lascomponentes tangencial y normal cuando el punto E se funde con el punto Q. Para la componentetangencial, su magnitud esta dada por

| E~aBPt |=| O~αB || ~rP/Q |,

este resultado simplifica el resultado obtenido para un punto arbitrario E. Para la componentenormal, su magnitud esta dada por

| E~aBPn |=| O~ωB |2| ~rP/Q | .

Sin embargo, en este caso, ademas de la simplificacion en la magnitud de la componente resultaque E~aBPn y ~rP/Q tienen sentidos opuestos, por lo tanto, se tiene que cuando el punto arbitrarioa lo largo del eje de rotacion, E, se selecciona el punto del eje rotacion, Q, mas cercano al puntoP cuya velocidad y aceleracion se desea determinar P , se tiene que la componente normal de laaceleracion esta dada por

E~aBPn = − | O~ωB |2 ~rP/Q. (24)

Bajo estas condiciones, la aceleracion del punto P , como parte del cuerpo rıgido B puedeescribirse como

E~aBPn = O~αB × ~rP/Q− | O~ωB |2 ~rP/Q (25)

Estas son las bases del concepto de placa representativa, si es posible mentalmente “aplanar”

un cuerpo rıgido en la direccion del eje de rotacion. El unico punto del eje de rotacion “aplastado”satisface las propiedades del punto Q respecto a todos los puntos P , del cuerpo rıgido, cuyavelocidad y aceleracion se desean determinar.

4.3.1 Una diferente alternativa para llegar al concepto de placa representativa.

Considere la ecuacion de la aceleracion de la partıcula, P , que forma parte de un cuerpo B queesta sujeto a rotacion alrededor de un eje fijo, (23)

E~aBP = O~αB × ~rP/E + O~ωB ×(

O~ωB × ~rP/E

)

.

vea la figura 4.2. De la figura resulta que

~rP/E = ~rP/Q + ~rQ/E = ~rP/Q+ | ~rQ/E | u

mientras queO~αB = OαB u O~ωB = OωB u

Sustituyendo estos resultados en la ecuacion (23), se tiene que

E~aBP = OαB u× (~rP/Q+ | ~rQ/E | u) + OωB u×(

OωB u× (~rP/Q+ | ~rQ/E | u))

.

13

Puesto que u × u = ~0, se tiene que

E~aBP = OαB u× ~rP/Q + OωB u×(

OωB u× ~rP/Q

)

.

Empleando la identidad del triple producto vectorial, se tiene que

~a×(

~b× ~c)

= ~b (~a · ~c)− ~c(

~a ·~b)

Por lo tanto

OωB u×(

OωB u× ~rP/Q

)

= OωB u(

OωB u · ~rP/Q

)

− ~rP/Q (OωB u · OωB u)

Sin embargo, de la figura 4.2, se tiene que u y ~rP/Q son perpendiculares y por otro lado u · u = 1.Por lo tanto, sustituyendo estos resultados en la ecuacion anterior, se tiene que

OωB u×(

OωB u× ~rP/Q

)

= OωB u(

OωB u · ~rP/Q

)

− ~rP/Q (OωB u · OωB u) = −OωB2 ~rP/Q

y finalmente, sustituyendo los resultados anteriores en la ecuacion (23), se obtiene que

E~aBP = O~αB × ~rP/Q − OωB2 ~rP/Q

Este resultado indica que si el sistema de referencia fijo, representado por el punto E localizado alo largo del eje de rotacion, se selecciona en el punto del eje de rotacion mas cercano al punto P ,en este caso el punto Q, la expresion de la aceleracion del punto P , se reduce considerablemente.Note que en este caso el angulo ϕ = 90◦ y las expresiones para las magnitud de la aceleraciontangencial se reduce considerablemente.

4.4 El analisis del movimiento de rotacion del cuerpo rıgido como un

todo.

Finalmente, en esta seccion se analiza el movimiento del cuerpo, sujeto a movimiento de rotacionalrededor de un eje fijo, como un todo. La orientacion del cuerpo rıgido sujeto a movimiento derotacion alrededor de un eje fijo y, por lo tanto, la posicion del cuerpo rıgido esta determinadapor el angulo θ que forma una lınea fija al cuerpo con respecto a otra lınea fija en el sistema dereferencia, que para el tiempo t = 0 es paralela a la lınea fija al cuerpo.

Puesto que el eje de rotacion permanece fijo, entonces la velocidad y la aceleracion del cuerporıgido estan dados por

ω =d θ

d t(26)

y

α =dω

d t=

d2 θ

d t2(27)

Por otro lado, es posible encontrar otra relacion entre la aceleracion angular y el angulo de rotacion,a partir de la ecuacion (26), se tiene que

d t =d θ

ω

sustiyuyendo esta relacion en la ecuacion (27), se tiene que

α =dω

d t=

dωd θω

= ωdω

d θ(28)

Es importante notar la analogıa entre el movimiento de una partıcula sujeta a movimiento detraslacion rectilınea —donde las variables son: s, v, a el desplazamiento, velocidad y aceleracionde la partıcula respectivamente— y el movimiento de rotacion alrededor de un eje fijo —dondelas variables son: θ, ω, α el desplazamiento, velocidad y aceleracion angular del cuerpo rıgidorespectivamente. Ası pues, es posible extrapolar todos los metodos de analisis de una partıculasujeta a traslacion rectilınea al analisis de un cuerpo rıgido sujeto a rotacion alrededor de un ejefijo.

14

5 Relacion entre las derivadas de un vector respecto a un

sistema de referencia sujeto a traslacion.

Previo al analisis del movimiento de un cuerpo rıgido sujeto a movimiento plano general, esnecesario determinar la relacion entre la velocidad de una funcion vectorial, tal como se observadesde dos sistemas de referencia un sistema de referencia fijo y otro sistema de referencia sujeto amovimiento de traslacion respecto al sistema de referencia original.

Considere los dos sistemas de referencia mostrados en la Figura 7. El sistema de referenciarepresentado por el punto O esta fijo, mientras que el sistema de referencia representado por elpunto A, fijo en el cuerpo mostrado en la figura 7, esta sujeto a traslacion con respecto al sistemarepresentado por el punto O con la velocidad y aceleracion del punto A. Es importante senalarque, en este caso, los sistemas de referencia tienen incluidos sistemas coordenados cartesianos,que no son necesarios, pero que en este caso se incluyen para resaltar el hecho de que el sistemarepresentado por el punto O esta fijo y el sistema de referencia representado por el punto A estasujeto a traslacion con respecto al sistema de referencia representado por el punto O.

Figure 7: Dos Sistemas de Referencia para Relacionar la Derivada del Vector ~rP/A.

El objetivo de este analisis es relacionar las derivadas de una funcion vectorial, en este caso~rP/A, tal como se determina desde los sistemas de referencia representados por los puntos O y A.Es decir, relacionar

Od~rP/A

d ty

Ad~rP/A

d t.

Represente el vector ~rP/A en terminos de sus componentes cartesianas como

~rP/A = rP/Axi+ rP/Ay j + rP/Az k. (29)

donde rP/Ax, rP/Ay y rP/Az representan las componentes cartesianas12 del vector ~rP/A y i, j y krepresentan los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados. Es importante notar que estosvectores unitarios tienen direccion constante en ambos sistemas de referencia.

Considere ahora las derivadas del vector ~rP/A con respecto al tiempo y con respecto a los

diferentes sistemas de referencia. Es importante recordar que los vectores unitarios i, j y k son

12Es importante notar que estas componentes son cantidades escalares.

15

constantes en ambos sistemas de referencia.

Od~rP/A

d t=

Od

d t

(

rP/Axi+ rP/Ay j + rP/Az k)

=

(

Od rP/Ax

d ti+

Od rP/Ay

d tj +

Od rP/Az

d tk

)

+

(

rP/Ax

Od i

d t+ rP/Ay

Od j

d t+ rP/Az

Od k

d t

)

=Od rP/Ax

d ti+

Od rP/Ay

d tj +

Od rP/Az

d tk (30)

De manera semejante, se tiene que

Ad~rP/A

d t=

Ad

d t

(

rP/Axi+ rP/Ay j + rP/Az k)

=

(

Ad rP/Ax

d ti+

Ad rP/Ay

d tj +

Ad rP/Az

d tk

)

+

(

rP/Ax

Ad i

d t+ rP/Ay

Ad j

d t+ rP/Az

Ad k

d t

)

=Ad rP/Ax

d ti+

Ad rP/Ay

d tj +

Ad rP/Az

d tk (31)

Puesto que las derivadas de cantidades escalares son independientes del sistema de referenciacon respecto al cual se derivan, se tiene que

Od rP/Ax

d t=

Ad rP/Ax

d t

Od rP/Ay

d t=

Ad rP/Ay

d t

Od rP/Az

d t=

Ad rP/Az

d tk.

Por lo tanto, la derivada de una funcion vectorial respecto a dos sistemas de referencia uno fijoy otro sujeto a movimiento de traslacion respecto son iguales. En terminos de ecuaciones, se tieneque

Od~rP/A

d t=

Ad~rP/A

d t. (32)

6 Analisis del movimiento plano general.

En esta seccion, se analizaran las velocidades y aceleraciones de las partıculas de un cuerpo rıgidosujeto a movimiento plano general. Como, en general, no se conoce algun punto del cuerpo rıgidoque tenga velocidad igual a ~0, a lo mas que podemos aspirar es determinar relaciones entre lasvelocidades de las partıculas del cuerpo rıgido.13

Considere el cuerpo B sujeto a movimiento plano general, donde la lınea mostrada en la figura8 que corta al cuerpo B es perpendicular a los planos de movimiento de las partıculas de cuerporıgido. Considere las partıculas P y R que pertenecen al cuerpo rıgido B. Para este analisis seconsideraran dos diferentes sistemas de referencias:

1. Un sistema de referencia fijo representado por el punto O.

2. Un sistema de referencia movil, sujeto a movimiento de traslacion, representado por elpunto P y cuya velocidad y aceleracion es la del punto P .

Los vectores de posicion de los puntos P y R respecto al punto O estan dados por

~rP/O y ~rR/O, (33)

respectivamente. Mas aun, estos vectores estan relacionados entre si por

~rR/O = ~rP/O + ~rR/P , (34)

13Esta situacion se repite durante el analisis de aceleracion de las partıculas del cuerpo rıgido.

16

Figure 8: Cuerpo B sujeto a movimiento plano general respecto a un sistema de referencia repre-sentado por el punto O.

donde ~rR/P es el vector de posicion del punto R respecto al punto P . Este es un vector que tienesu origen en el punto P y finaliza en el punto R.

La magnitud del vector ~rR/P representa la distancia entre dos puntos de un cuerpo rıgido yes, por la definicion de un cuerpo rıgido, constante. Sin embargo, a diferencia del analisis delmovimiento de traslacion, la orientacion del vector ~rR/P no permanece constante. Por lo tanto

Odn ~rR/P

d tn= · · · =

Od2 ~rR/P

d t2=

Od~rR/P

d t6= ~0 (35)

donde el superındice O indica que la derivada respecto al tiempo es, tambien, respecto al sistemade referencia representado por O.

Figure 9: Determinacion del movimiento de la partıcula R respecto de la partıcula P en un cuerporıgido sujeto a movimiento plano general.

Para determinar como es el movimiento de la partıcula R con respecto a la partıcula P ambasfijas a un cuerpo rıgido sujeto a movimiento plano general, es necesario notar que puesto quela distancia PR es la distancia entre dos partıculas de un cuerpo rıgido es invariable. Por lotanto la partıcula R debe moverse en la superficie de una esfera de radio igual a PR, esta es unaaplicacion de de definicion de un cuerpo rıgido— vea la figura 9. Sin embargo, puesto que escuerpo rıgido esta sujeto a movimiento plano general, todas las partıculas del cuerpo se muevenen planos paralelos. Considere el eje mostrado en la figura 9 que es perpendicular a todos losplanos de movimiento de las partıculas del cuerpo, entonces el movimiento de la partıcula R esta

17

contenido en el plano perpendicular al eje que pasa por la partıcula R —esta es una aplicacionde la definicion de movimiento plano general de un cuerpo rıgido. Como resultado de estos dosrazonamientos, la desplazamiento de la partıcula R respecto a la partıcula P esta contenido en lainterseccion de la esfera y el plano mostrados en la figura 9. Esta interseccion esta constituida porun cırculo cuyo radio es la proyeccion del radio de la esfera sobre uno, cualquiera, de los planos demovimiento de la partıcula, ademas, el centro de ese cırculo esta localizado en el eje perpendiculara los planos de movimiento de las partıculas del cuerpo que pasa por el punto P . Concluyendo, elmovimiento del cuerpo rıgido respecto a un sistema de referencia sujeto a la traslacion del puntoP es rotacion alrededor de un eje fijo que pasa por P .

De manera que para determinar la velocidad y aceleracion de la partıcula R respecto al sistemade referencia movil indicado por P es posible emplear las ecuaciones asociadas al movimiento derotacion alrededor de un eje fijo.

6.1 Velocidad de un punto fijo a un cuerpo sujeto a movimiento plano

general.

A partir de estas suposiciones, se tiene que para realizar el analisis de velocidad de un cuerpo rıgidosujeto a movimiento plano general, es necesario derivar con respecto al tiempo t y con respecto alsistema de referencia fijo representado por el punto O, la ecuacion (34).

Od~rR/O

d t=

Od(

~rP/O + ~rR/P

)

d t=

Od~rP/O

d t+

Od~rR/P

d t. (36)

Sin embargo de la seccion 5, acerca de sistemas de referencia sujetos a movimiento de traslacion,y del analisis del movimiento de rotacion alrededor de un eje fijo, vea la seccion 4.

Od~rR/P

d t=

P d~rR/P

d t= ~ω × ~rR/P , (37)

donde ~ω es la velocidad angular del cuerpo B respecto al sistema de referencia fijo representadopor el punto O. Ademas se sabe que

~vR =Od~rR/O

d ty ~vP =

Od~rP/O

d t(38)

Por lo tanto, la relacion entre las velocidades de dos puntos P y R que pertenecen a un cuerporıgido sujeto a movimiento plano general esta dado por

~vR = ~vP + ~ω × ~rR/P . (39)

6.2 Aceleracion de un punto fijo a un cuerpo sujeto a movimiento plano

general.

De manera semejante, para encontrar la relacion entre las aceleraciones de dos puntos P y Q quepertenecen a un cuerpo rıgido sujeto a movimiento plano general es necesario derivar con respectoal tiempo t y con respecto al sistema de referencia fijo representado por el punto O, la ecuacion(39).

Od~vRd t

=Od~vPd t

+Od(

~ω × ~rR/P

)

d t=

Od~vPd t

+Od ~ω

d t× ~rR/P + ~ω ×

Od~rR/P

d t

=Od~vPd t

+Od ~ω

d t× ~rR/P + ~ω ×

P d~rR/P

d t=

Od~vPd t

+Od ~ω

d t× ~rR/P + ~ω ×

(

~ω × ~rR/P

)

(40)

18

Finalmente, recordando el significado de los terminos en la ecuacion (40), se tiene que

~aR = ~aP + ~α× ~rR/P + ~ω ×(

~ω × ~rR/P

)

. (41)

Esta ecuacion constituye la relacion entre las aceleraciones de dos puntos P y R que pertenecena un cuerpo rıgido sujeto a movimiento plano general.

Es importante recordar que, en el caso de un cuerpo sujeto a movimiento plano general, esigualmente posible emplear el concepto de placa representativa, de manera que la ecuacion (41)puede escribirse de manera mucho mas simple como

~aR = ~aP + ~α× ~rR/P − ω2~rR/P . (42)

7 Movimiento entre dos cuerpos sin deslizamiento.

Frecuentemente, en problemas de cinematica de cuerpo rıgido se presentan situaciones en las cualesun cuerpo rıgido se mueve con respecto a otro cuerpo, de manera que no existe deslizamiento. Eldeslizamiento se presenta de manera frecuente en nuestra vida diaria, por ejemplo:

1. Para que un gis pueda escribir sobre un pizarron tradicional, es necesario que exista desliza-miento entre el gis y el pizarron.

2. Se presenta deslizamiento cuando un carro acelera rapidamente, o bien cuando frena de ma-nera repentina. Estas situaciones aparecen en carreras de autos conocidas como “dragsters”o bien cuando el conductor debe frenar para evitar un accidente.

Figure 10: Dos cuerpos A y B sujetos a movimiento sin deslizamiento.

Ahora bien, ¿Cuales son las condiciones para que el movimiento entre dos cuerpos se realize sindeslizamiento?, la respuesta es relativamente simple. Para que el movimiento entre dos cuerpos serealize sin deslizamiento es necesario que:

Las velocidades de los dos partıculas, que en el instante considerado, estan en contacto, seaniguales, vea la figura 10. Es decir, si los puntos que estan en contacto son PA, como parte delcuerpo rıgido A, y PB , como parte del cuerpo rıgido B, estan en contacto, entonces

~vPA= ~vPB

. (43)

19

Las aceleraciones tangenciales de las partıculas, que en el instante considerado, estan en con-tacto, sean iguales. Es decir, si los puntos que estan en contacto son PA, como parte del cuerporıgido A, y PB , como parte del cuerpo rıgido B, estan en contacto, entonces

~atPA= ~atPB

. (44)

Debe notarse que no hay ninguna restriccion sobre las componentes normales de

la aceleracion de los puntos que estan en contacto en el instante considerado.

8 Otra Vision de la Transmision de Movimiento Sin Desli-

zamiento y con Deslizamiento.

Considere dos cuerpos rıgidos 1 y 2 que rotan alrededor de ejes fijos perpendiculares al plano delpapel, que intersectan el plano del papel en los puntos M = O10 y N = O20 respectivamente, vea laFigura 1, el eslabon fijo de denota por 0. Suponga ademas que los cuerpos estan permanentementeen contacto y que, en el instante considerado, el contacto ocurre en el punto P . De manera masespecıfica, existen dos puntos coincidentes, P1 que pertenece al cuerpo 1 y P2 que pertenece alcuerpo 2. En ese punto P los lımites geometricos de los dos cuerpos determinan una lınea tangentecomun, que pasa por el punto P y determinada por el vector unitario t y una lınea normal comun,que tambien pasa por el punto P y que esta determinada por el vector unitario n. Obviamente, latangente comun y la normal comun son perpendiculares. El objetivo del dispositivo es transmitirmovimiento de un cuerpo al otro.

Figure 11: Dos Cuerpos Rıgidos en Contacto Transmitiendo Movimiento.

La transmision del movimiento de puede realizarse de dos diferentes maneras.

1. Mediante rodadura; es decir, sin deslizamiento o velocidad relativa entre los puntos de con-tacto.

2. Mediante deslizamiento; es decir con velocidad relativa entre los puntos de contacto.

Para determinar de manera mas formal cuales son las condiciones bajo las cuales se transmitemovimiento de rotacion mediante rodadura o mediante deslizamiento, es necesario realizar unsencillo analisis.

20

Las velocidades de los puntos P1 y P2 estan dadas por

~vP1 = ~ω1 × ~rP1/M y ~vP2 = ~ω2 × ~rP2/N (45)

donde ~ω1 and ~ω2 son las velocidades angulares, absolutas, de los cuerpos 1 y 2 respectivamente.Puesto que los puntos P1 y P2 estan en contacto y los cuerpos 1 y 2 son rigıdos y permanecen encontacto, las componentes de las velocidasdes ~vP1 y ~vP2 a lo largo de la normal comun n debenser iguales tanto en magnitud como en sentido; es decir

vnP1 = ~vP1 · n = ~vP2 · n = vnP2. (46)

Los vectores velocidad se pueden descomponer en sus componentes normales y tangenciales

~vP1 = vnP1n+ vtP1t y ~vP2 = vnP2n+ vtP2t (47)

Por lo tanto, la velocidad relativa entre los puntos esta dada por

~vP1/P2 = ~vP1 − ~vP2 = (vnP1n+ vtP1t)− (vnP2n+ vtP2t) =(

vtP1 − vtP2

)

t (48)

De esa manera, se ha probado el siguiente resultado.Proposicion 1. Considere dos cuerpos rıgidos 1 y 2 que rotan alrededor de ejes fijos perpendi-

culares al plano del papel, que intersectan el plano del papel en los puntos M y N respectivamente.Suponga ademas que los cuerpos estan permanentemente en contacto y que, en el instante conside-rado, el contacto ocurre en el par de puntos coincidentes P1 y P2. Entonces, la velocidad relativaentre los puntos P1 y P2 tiene la direccion de la tangente comun.

Con la proposicion 1, es posible determinar un sencillo resultado que determina bajo que condi-ciones la transmision de movimiento se lleva a cabo mediante rodadura pura o mediante desliza-miento.

Proposicion 2. Considere dos cuerpos rıgidos 1 y 2 que rotan alrededor de ejes fijos perpendi-culares al plano del papel, que intersectan el plano del papel en los puntos M y N respectivamente.Suponga ademas que los cuerpos estan permanentemente en contacto y que, en el instante consi-derado, el contacto ocurre en el par de puntos coincidentes P1 y P2. Entonces, la transmision demovimiento se realiza mediante rodadura pura; es decir, sin deslizamiento, cuando

vtP1 = vtP2. (49)

En caso contrario; es decir cuando

vtP1 6= vtP2, por lo tanto ~vP1 6= ~vP2 (50)

la transmision de movimiento se realiza mediante deslizamiento.Prueba: Si la transmision de movimiento se realiza mediante rodadura pura, entonces por

definicion~vP1 = ~vP2 (51)

Entonces, sustituyendo la ecuacion (51) en la ecuacion (48), se tiene que(

vtP1 − vtP2

)

t = ~0 por lo tanto vtP1 − vtP2 = 0

ovtP1 = vtP2

En caso contrario, es decir sivtP1 6= vtP2.

Entonces, es evidente que~vP1 6= ~vP2

y la transmision de movimiento se realiza mediante deslizamiento.

21

9 Movimiento de Rodadura.

El movimiento de rodadura, es un caso especial de movimiento plano general, con caracterısticasmuy especiales que pueden analizarse desde la posicion o desde la velocidad. Aquı, se decidioanalizarlo a partir del analisis de velocidad.

Definicion. Un movimiento se define como de rodadura, si los dos cuerpos que estan encontacto satisfacen la propiedad de que los puntos de contacto cumplen con la condicion

~vA1 = ~vA2 ~atA1 = ~atA2.

Uno de los casos mas sencillos e importantes del movimiento de rodadura es el de un ciındro deradio r rodando sobre una superficie plana. La figura 12 muestra los elementos principales delanalisis de este caso del movimiento de rodadura.

Figure 12: Movimiento de rodadura.

Suponiendo que la superficie plana 1 esta fija, se tiene que

~vA2 = ~0 ~atA2 = ~0.

Analisis de velocidad. Suponga que la velocidad angular del cilındro, esta dada por

~ω =d θ

dtk

donde k representa un vector unitario perpendicular al plano del papel. Por otro lado, se sabe queel centro del cilındro, se mueve a lo largo de una lınea recta horizontal, de manera que

~vO = vO i

Por lo tanto, se tiene que

~vO = ~vA + ~ω × ~rO/A vO i = ~0 +(

ω k)

×(

r j)

= −ω ri

Por lo tantovO = −ω r

22

Este resultado, indica que si la velocidad angular es positiva, antihoraria, la velocidad del puntoO es a la izquierda y si la velocidad angular es negativa, horaria, la velocidad del punto O es a laderecha.

Analisis de aceleracion. Suponga que la aceleracion angular del cilındro, esta dada por

~α =d ~ω

dtk =

d2 θ

dt2k = α k

De las condiciones del movimiento de rodadura, se sabe que

~aA = aAy j ~aO = aOx i

Por lo tanto, se tiene que~aO = ~aA + ~α× ~rO/A − ω2 ~rO/A

o, desarrollando la ecuacion

aOx i = aAy j +(

α k)

×(

r j)

− ω2

(

r j)

Por lo tantoaOx = −α r i 0 = aAy − ω2 r j.

De esta manera~aO = −α r i ~aA = ω2 r j

Este resultado, indica que si la aceleracion angular es positiva, antihoraria, la aceleracion del puntoO es a la izquierda y si la aceleracion angular es negativa, horaria, la aceleracion del punto O es ala derecha. Ademas, debe notarse que el punto A tiene una acceleracion hacia arriba del plano.

Analisis de posicion. Si se integra la ecuacion de la velocidad del punto O, se tiene que

∫

~vO dt =

∫

−ω i r dt

∫

d~rOdt

dt =

∫(

−d θ

dti r

)

dt

∫

d~rO = −r i

∫

d θ

Finalmente~rO = −θ ri+ ~C

La constante de integracion, se puede determinar a partir de la condicion

~rO = ~0 para θ = 0

De aquı que~C = ~0

La ecuacion final resulta ser~rO = −θ ri

Nuevamente, esta ecuacion indica que si la rotacion del cilındro es positiva, antihoraria, el puntoO se desplaza a la izquierda, si la rotacion del cilındro es negativa, horaria, el punto O se desplazaa la derecha.

10 Problema Interesante.

En esta seccion se presenta un problema que rompe con las convenciones casi universales de loslibros de Mecanica Vectorial y ademas muestra como las respuestas proporcionadas por los librosde texto no son necesariamente completas.

23

Figure 13: Problema 5/145 del libro Meriam and Kraige.

Ejemplo. Para el eslabonamiento mostrado, si v = 20 in/s y es constante cuando los doseslabones se hacen perpendiculares entre sı, determine las aceleraciones angulares del eslabon CBpara esta posicion.14.

El problema es interesante por dos razones,

1. La gran totalidad de los libros de texto de Dinamica analizan el comportamiento cinematicode eslabonamientos o mecanismos; sin embargo este es el primer caso, que el autor de estasnotas conoce, en la que se solicita al lector a realizar el analisis de posicion correspondiente;es decir, en todos los restantes casos los libros proveen la solucion del analisis de posicion deleslabonamiento y, por lo tanto, la determinacion de los vectores de posicion correspondienteses simple e inmediato.

2. Como se aprendera en el estudio del analisis cinematico de mecanismos, el analisis de posicionde un eslabonamiento puede tener multiples soluciones, desafortunadamente los autores dellibro parecen desconocer esta situacion y proporcionan exclusivamente los resultados corres-pondientes a una de las dos posibles soluciones del analisis de posicion.

Debe notarse que la figura 13 muestra que los puntos A y C yacen sobre una misma lınea rectavertical, de manera que la figura mostrada no corresponde a la solucion del analisis de posicionpues, si la figura mostrara esta solucion, las barras CB y AB serıan perpendiculares y el trianguloABC serıa un triangulo rectangulo y deberıa satisfacer el teorema de Pitagoras, es decir

(AC)2 = (AB)2 + (CB)2 72 = 52 + 52 sin embargo 49 6= 25 + 25 = 50

14Este es el problema 5/145 del libro Meriam J.L. y Kraige L.G., [2012], Engineering Mechanics: Dynamics,Seventh Edition, New York: John Wiley and Sons

24

Figure 14: Analisis de Posicion del Problema 5/145 del libro Meriam and Kraige.

La figura 14 muestra los dos posibles soluciones del analisis de posicion del mecanismo prop-uesto.

10.1 Analisis de Posicion del Mecanismo.

Si se denomina a h = 7” y a = 5”, y si el angulo entre la barra CB, denominada eslabon 2, y labarra AB, denominada eslabon 3, es de 90◦ se tiene que la localizacion de las posibles posicionesdel punto A estan dadas por la interseccion de la lınea de movimiento del piston, cuyo vastagose denomina eslabon 4, y un cırculo de radio

√2 a2 con centro en el punto C. Por lo tanto, la

distancia horizontal d a partir de la vertical que pasa por el punto C debe satisfacer la condicion

h2 + d2 =(√

2 a2)2

d =

√

(√2 a2

)2

− h2 =√

2 a2 − h2 =√50− 49 = ±1.

Por lo tanto, los dos posibles vectores de posicion del punto A respecto del punto C =, estan dadospor

~r1A/C = 1 i− 7 j ~r2A/C = −1 i− 7 j

Entonces el analisis de posicion se formula como

~rB/C = aCos θ i− aSen θ j ~rA/B = −aSen θ i− aCos θ j

• Primera solucion ~r1A/C

1 i− 7 j = ~rA/C = ~rB/C + ~rA/B =(

aCos θ i− aSen θ j)

+(

−aSen θ i− aCos θ j)

Las ecuaciones escalares son

1 = aCos θ − aSen θ − 7 = −aSen θ − aCos θ

Sumando y restando las ecuaciones, se llega a los siguientes expresiones para el Seno y Cosenodel angulo θ

−6 = −2 aSen θ o Sen θ =−6

−2 a=

3

58 = 2 aCos θ o Cos θ =

8

2 a=

4

5

25

Debe notarse que estos resultados satisfacen las identidad trigonometrica

Sen2 θ + Cos2 θ =

(

3

5

)2

+

(

4

5

)2

= 1

• Segunda solucion ~r2A/C

−1 i− 7 j = ~rA/C = ~rB/C + ~rA/B =(

aCos θ i− aSen θ j)

+(

−aSen θ i− aCos θ j)

Las ecuaciones escalares son

−1 = aCos θ − aSen θ − 7 = −aSen θ − aCos θ

Sumando y restando las ecuaciones, se llega a los siguientes expresiones para el Seno y Cosenodel angulo θ

−8 = −2 aSen θ o Sen θ =−8

−2 a=

4

56 = 2 aCos θ o Cos θ =

6

2 a=

3

5

Debe notarse que estos resultados satisfacen las identidad trigonometrica

Sen2 θ + Cos2 θ =

(

4

5

)2

+

(

3

5

)2

= 1

10.2 Analisis de Velocidad y Aceleracion para la Primera Solucion del

Analisis de Posicion.

Los datos para el analisis de velocidad y aceleracion son

~vA = −20”/s i ~aA = ~0.

Para esta solucion del analisis de posicion se tiene que se tiene que

~rB/C = 5”4

5i− 5”

3

5j = 4” i− 3” j ~rA/B = −5”

3

5i− 5”

4

5j = −3” i− 4” j

Ademas, se tiene que

~ω2 = ω2 k ~ω3 = ω3 k ~α2 = α2 k ~α3 = α3 k

Entonces, las ecuaciones que conducen al analisis de velocidad son

~vB3 = ~vB2 = ~ω2 × ~rB/C = ω2 k ×(

4” i− 3” j)

= ω2 3” i+ ω2 4” j

y

−20”/s i = ~vA4 = ~vA3 = ~vB3 + ~ω3 × ~rA/B =(

ω2 3” i+ ω2 4” j)

+ ω3 k ×(

−3” i− 4” j)

= (ω2 3” + ω3 4”) i+ (ω2 4”− ω3 3”) j

las ecuaciones escalares son

20”/s = ω2 3” + ω3 4” 0 = ω2 4”− ω3 3”

De la segunda ecuacion, se tiene que

ω3 =4

3ω2

26

Sustituyendo este resultado en la primera ecuacion se tiene que

20”/s = ω2 3” +4

3ω2 4” = ω2

(

3” +16

3”

)

= ω2

25

3”

Por lo tanto,

ω2 =60

25rad/seg = 2.4 rad/seg ω3 =

4

3(2.4 rad/seg) = 3.2 rad/seg.

Para el analisis de aceleracion, se tiene que las ecuaciones son

~aB3 = ~aB2 = ~α2 × ~rB/C − ω2

2 ~rB/C = α2 k ×(

4” i− 3” j)

− (2.4 rad/seg)2(

4” i− 3” j)

=(

α2 3”− 23.04”/s2)

i+(

α2 4” + 17.28”/s2)

j

y

~0 = ~aA4 = ~aA3 = ~aB3 + ~α3 × ~rA/B − ω2

3 ~rA/B

=(

α2 3”− 23.04”/s2)

i+(

α2 4” + 17.28”/s2)

j + α3 k ×(

−3” i− 4” j)

− (3.2 rad/seg)2(

−3” i− 4” j)

=(

α2 3”− 23.04”/s2 + α3 4” + 30.72”/s2)

i+(

α2 4” + 17.28”/s2 − α3 3” + 40.96”/s2)

j

De manera que las ecuaciones que resuelven el sistema en forma matricial[

3” 4”4” −3”

] [

α2

α3

]

=

[

−7.68”/s2

−58.24”/s2

]

El determinante de la matriz de coeficientes esta dado por

∆ =

∣

∣

∣

∣

3” 4”4” −3”

∣

∣

∣

∣

= −9”2 − 16”2 = −25”2.

De manera que la solucion del analisis de aceleracion esta dado por

α2 =

∣

∣

∣

∣

−7.68”/s2 4”−58.24”/s2 −3”

∣

∣

∣

∣

∆=

256”2/s2

−25”2= −10.24 rad/s2 α3 =

∣

∣

∣

∣

3” −7.68”/s2

4” −58.24”/s2

∣

∣

∣

∣

∆=

−144”2/s2

−25”2= −5.76 rad/s2

10.3 Analisis de Velocidad y Aceleracion para la Segunda Solucion del

Analisis de Posicion.

Los datos para el analisis de velocidad y aceleracion son

~vA = −20”/s i ~aA = ~0.

Para esta solucion del analisis de posicion se tiene que se tiene que

~rB/C = 5”3

5i− 5”

4

5j = 3” i− 4” j ~rA/B = −5”

4

5i− 5”

3

5j = −4” i− 3” j

Ademas, se tiene que

~ω2 = ω2 k ~ω3 = ω3 k ~α2 = α2 k ~α3 = α3 k

Entonces, las ecuaciones que conducen al analisis de velocidad son

~vB3 = ~vB2 = ~ω2 × ~rB/C = ω2 k ×(

3” i− 4” j)

= ω2 4” i+ ω2 3” j

27

y

−20”/s i = ~vA4 = ~vA3 = ~vB3 + ~ω3 × ~rA/B =(

ω2 4” i+ ω2 3” j)

+ ω3 k ×(

−4” i− 3” j)

= (ω2 4” + ω3 3”) i+ (ω2 3”− ω3 4”) j

las ecuaciones escalares son

20”/s = ω2 4” + ω3 3” 0 = ω2 3”− ω3 4”

De la segunda ecuacion, se tiene que

ω3 =3

4ω2

Sustituyendo este resultado en la primera ecuacion se tiene que

20”/s = ω2 4” +3

4ω2 3” = ω2

(

4” +9

4”

)

= ω2

25

4”

Por lo tanto,

ω2 =80

25rad/seg = 3.2 rad/seg ω3 =

3

4(3.2 rad/seg) = 2.4 rad/seg.

Para el analisis de aceleracion, se tiene que las ecuaciones son

~aB3 = ~aB2 = ~α2 × ~rB/C − ω2

2 ~rB/C = α2 k ×(

3” i− 4” j)

− (3.2 rad/seg)2(

3” i− 4” j)

=(

α2 4”− 30.72”/s2)

i+(

α2 3” + 40.96”/s2)

j

y

~0 = ~aA4 = ~aA3 = ~aB3 + ~α3 × ~rA/B − ω2

3 ~rA/B

=(

α2 4”− 30.72”/s2)

i+(

α2 3” + 40.96”/s2)

j + α3 k ×(

−4” i− 3” j)

− (2.4 rad/seg)2(

−4” i− 3” j)

=(

α2 4”− 30.72”/s2 + α3 3” + 23.04”/s2)

i+(

α2 3” + 40.96”/s2 − α3 4” + 17.28”/s2)

j

De manera que las ecuaciones que resuelven el sistema en forma matricial

[

4” 3”3” −4”

] [

α2

α3

]

=

[

7.68”/s2

−58.24”/s2

]

El determinante de la matriz de coeficientes esta dado por

∆ =

∣

∣

∣

∣

4” 3”3” −4”

∣

∣

∣

∣

= −16”2 − 9”2 = −25”2.

De manera que la solucion del analisis de aceleracion esta dado por

α2 =

∣

∣

∣

∣

7.68”/s2 3”−58.24”/s2 −4”

∣

∣

∣

∣

∆=

144”2/s2

−25”2= −5.76 rad/s2 α3 =

∣

∣

∣

∣

4” 7.68”/s2

3” −58.24”/s2

∣

∣

∣

∣

∆=

−256”2/s2

−25”2= 10.24 rad/s2

Este es el resultado del libro reportado. Debe ser evidente que esta solucion unicamente repre-senta una solucion parcial y arbitrariamente seleccionada por los autores.

28