LA FLEXIBILIDAD DE EMPOTRAMIENTOS “RIGIDOS” Y SU...

MEMORIAS DEL XVIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM19 al 21 DE SEPTIEMBRE, 2012 SALAMANCA, GUANAJUATO, MEXICO

LA FLEXIBILIDAD DE EMPOTRAMIENTOS “R IGIDOS” Y SU INFLUENCIAEN LA DETERMINACI ON DE LA PRIMERA FRECUENCIA NATURAL DE

UNA VIGAMario A. Sanchez1, Jose E. Soria1, Maricela Capetillo 1, J. Jesus Cervantes1, Jose M. Rico 1

1Division de Ingenierıas Campus Irapuato-Salamanca

Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km 3.5+1.8 Comunidad de Palo Blanco C.P. 36885 Salamanca, Gto.

Tel.: +52(464)6479940, Fax: 2311

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RESUMEN

Es practica frecuente, en el estudio dela mecanica de solidos y de vibracionesmecanicas, suponer que los empotramientos devigas son completamente rıgidos. Sin embargo,desde hace mas de 50 anos, se conoce que aunsi una viga y su empotramiento se construyende manera monolıtica, con un material dealto modulo de elasticidad, las deformacionesasociadas a la flexibilidad del empotramientocontribuyen a diferencias considerablesentre las deflexiones calculadas mediante lateorıa clasica de la flexion en vigas y lasdeflexiones reales. Esta contribucion presentaevidencia experimental de ese fenomeno ysus consecuencias en la determinacion dela primera frecuencia natural de un sistemavibratorio formado por una viga en voladizo.

ABSTRACT

It is common practice, in the study ofsolid mechanics and mechanical vibrations,to assume that a cantilever in a beam iscompletely rigid. However, since 50 years agoit is well known that even if a cantilevered beamis monolithically machined from a materialwith a high elastic modulus there will besignificant differences between the deflectionspredicted by the classical flexion theory andthe real deflections. This contribution presentsexperimental evidence of this phenomenon andits consequences in the determination of the firstnatural frequency of a vibratory system formedby a cantilevered beam.

1. INTRODUCCION.

La teorıa de la flexion en vigas, debida aBernoulli y Euler, tiene mas de 150 anos dehaberse formulado y es un tema fundamentalen la ensenanza de la mecanica de solidos. Loslibros de texto mas empleados, por ejemploBeer et al, [1], o Popov, [2], presentan la teorıaclasica de la flexion y en la determinacionde la deflexion en vigas suponen que elempotramiento de una viga es completamenterıgido. Posteriormente, durante el estudio delas vibraciones mecanicas, la determinacionde la primera frecuencia natural de un sistemavibratorio formado por una viga empotradatambien supone, implicitamente, que elempotramiento de una viga es completamenterıgido, vea por ejemplo Thomson, [3], o Rao,[4].

Desde 1960, O’Donnell [5] construyo unaviga, a partir de una unica pieza de acero, dondeel empotramiento esta formado por una partede la pieza de dimensiones tan grandes queaproxima a un cuerpo semi-infinito. Sujetandosu viga a fuerzas aplicadas en el extremo libreO’Donnell mostro que las deflexiones reales dela viga eran considerablemente mayores que laspredichas por la teorıa de la flexion y que sumagnitud dependıa, ademas, del radio del fileteque conecta la viga con el empotramiento.

Es interesante notar que aun cuando esteresultado aparece en libros de referencia, [6],los libros de texto tanto de mecanica de solidoscomo de vibraciones mecanicas no mencionaneste hecho que, por un lado, es causa de

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confusion en los estudiantes y practicantes de laingenierıa mecanica y, por el otro lado, por suinfluencia en la determinacion de la frecuencianatural de una viga, puede ser causal de disenospeligrosamente fallidos en el campo de lasvibraciones mecanicas. Algunos artıculos masrecientes [8, 9] intentan tomar en cuenta lainfluencia de la elasticidad de los apoyos sobrela frecuencia natural de las vigas.

Este trabajo presenta un desarrollo teorico yexperimental que ilustra la imprecision de losresultados teoricos en el calculo de la deflexionen vigas empotradas y su consecuente error enel calculo de la primera frecuencia natural deuna viga empotrada sujeta a vibracion libre.La seccion 2 presenta de manera sucinta lateorıa clasica de la flexion y la determinacionde las curvas elasticas de una viga en voladizosujeta a carga concentrada en el extremo librey carga uniformemente repartida en el claro dela viga, el desarrollo esta tomado de [7]. Laseccion 3 presenta una breve introduccion a lossistemas vibratorios continuos y discretos, alos sistemas vibratorios de un grado de libertady al metodo de Rayleigh para determinar lamasa equivalente de la viga sujeta a vibracion.La seccion 4 muestra la determinacion de laconstante elastica experimental de la viga y sucomparacion con la que se obtiene a partir dela teorıa clasica de la flexion. Finalmente, laseccion 5 ilustra la determinacion experimentalde la frecuencia natural de dos sistemasvibratorios y su comparacion con las calculadasa partir de las constantes elasticas teoricas yexperimentales.

2. TEORIA CL ASICA DE LA FLEXI ONEN VIGAS

Considere el eje neutro —la lıneaformada por aquellos puntos de la viga queno sufren deformacion alguna— de una vigaque cuando se sujeta a una carga determinadaadopta la forma curva mostrada en la figura1 que se denominacurva elastica. La figuramuestra la relacion entre el radio de curvaturaρ , la diferencial de longitud de la curva,dsy elangulo subtendido por esta diferencial,ϕ , dadapor

ρdϕ = ds

Puesto que un momento flector positivo causauna curvatura negativa, concava, en el sistemacoordinado (y,x) empleado en la figura 1, setiene que cuando la flexion es elastica, plana ylineal

Figura 1: Deflexion de una viga causada por unmomento positivo.

1ρ=

dϕds

=− MEI

(1)

dondeE representa el modulo de elasticidad eI representa el segundo momento de area de laseccion transversal de la viga respecto al ejeneutro.

El anguloϕ es el angulo formado porla pendiente de la curva elastica con el ejehorizontal; es decir

ϕ = arctandydx

.

Por lo tanto, la curvatura de la curva elasticaesta dada por

1ρ

=dϕdx

dxds

=ddx

(

arctandydx

)

dxds

=

d2yd2x

1+(

dydx

)2

dxds

=

d2yd2x

1+(

dydx

)2

dx√

dy2+dx2

=

d2yd2x

[

1+(

dydx

)2]

32

(2)

Finalmente, la relacion entre el momentoflectorM y la curva elasticay(x) esta dada por

Derechos Reservadosc© 2012, SOMIM

ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1129


MEI

=−d2yd2x

[

1+(

dydx

)2] 3

2

(3)

La ecuacion (3) representa una ecuaciondiferencial no lineal de segundo grado, susolucion y(x) representa la forma que adoptael eje neutro de la viga y permite determinarla deflexion de la viga. Puesto que la ecuaciondiferencial es no lineal, su solucion no essencilla; sin embargo, en las aplicacionesusuales las deflexiones son pequenas y elangulo ϕ y su tangentedy

dx son igualmente

pequenas. Por lo tanto, el termino(

dydx

)2es

despreciable comparado con 1 y la ecuacion (3)puede simplificarse como

− MEI

=d2yd2x

(4)

La ecuacion (4) es una ecuaciondiferencial lineal de segundo orden que seresuelve simplemente mediante integracionsucesiva. A partir de esta ecuacion es posibleanalizar la deflexion de una viga en voladizo, acontinuacion se presentan dos diferentes casosde aplicacion de cargas

1. Una carga puntual en el extremo librede la viga. La figura 2 muestra el diagramade cuerpo libre de la viga en voladizo,realizando una sumatoria de fuerzas y demomentos se encuentra que la reaccion yel momento en ese punto son

R= P M0 = PL

Figura 2: Diagrama de cuerpo libre de la vigaen voladizo con una carga puntual en el extremolibre.

Seccionando la viga como se muestra enla figura 3, la expresion para el momento

flector esta dada por

M(x) = Px−PL, 0< x≤ L. (5)

sustituyendo la ecuacion (5) en la ecuacion

Figura 3: Diagrama de cuerpo libre de la seccionde la viga en voladizo

(4) se obtiene

−EId2yd2x

= Px−PL. (6)

integrando por primera vez la ecuacion(6), se obtiene la primer derivada de ladeflexion, y, con respecto a la longitud,x, que representa la tangente de la curvaelastica, esto es

−EIdydx

=Px2

2−PLx+C1 (7)

dondeC1 es una constante de integracionla cual debe determinarse a partir decondiciones iniciales. En particular, parax= 0, la pendiente de la curva esdy

dx

∣

∣

x=0 =0. Por lo tanto bajo estas condicionesC1 =0. Ası pues la expresion para la pendientede la tangente a la curva, es

−EIdydx

=Px2

2−PLx, 0≤ x≤ L (8)

integrando de nueva cuenta la ecuacion (9),se obtiene

−EIy=Px3

3− PLx2

2+C2 (9)

donde y, representa la deflexion de laviga a una longitudx. Para determinar laconstante de integracionC2, se empleala condicion inicial que indica que en elempotramiento la deflexion de la vigaes nula. Es decir que cuandox = 0 la


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deflexion y(x) = 0. De esta manera seobtiene queC2 = 0.

Por lo tanto la expresion para calcular ladeflexion de la viga en voladizo sometida auna carga puntual en su extremo libre es

y(x) =−Px2

6EI(x−3L) 0≤ x≤ L (10)

Por tanto la deflexion maxima que ocurrecuandox= L esta dada por

ymax=PL3

3EI(11)

Suponiendo que la elasticidad de la vigase comporta como un resorte lineal, esposible encontrar la constante elastica deese resorte

k=Pδ=

3EIL3 (12)

2. Una cargaw uniformemente distribuidacomo la mostrada en la figura 4. Siguiendoun procedimiento similar al de la vigasometida a carga puntual, y con lascondiciones iniciales que para este casoson dy

dx|x=0 = 0 y y|x=0 = 0 se obtiene quela ecuacion para la deflexion de la vigaesta dada por

y(x) = w(x4−4Lx3+6L2x2)

24EI0≤ x≤ L

(13)

Y la deflexion maxima en el extremo libreesta dada por

ymax=wL4

8EI(14)

Es importante senalar que la suposicion derigidez perfecta del empotramiento se reflejaen la seleccion de las condiciones inicialesde las integraciones sucesivas. De manera masespecıfica, cuando en cualquiera de los dosdiferentes condiciones de carga se exige que

dydx

∣

∣

x=0 = 0 y y(x)∣

∣

x=0 = 0

se esta suponiendo que el empotramiento escompletamente rıgido.

Figura 4: Diagrama de cuerpo libre de la viga yde una seccion de la viga en voladizo sujeta auna carga uniformemente distribuida

3. SISTEMAS VIBRATORIOS DE UNGRADO DE LIBERTAD

En esta seccion se presentan losfundamentos teoricos de sistemas vibratoriossujetos a vibracion libre; ası como ladescripcion de sistemas vibratorios discretos ycontinuos.

3.1. SISTEMAS VIBRATORIOSDISCRETOS Y CONTINUOS

En su forma mas general, un sistemavibratorio esta constituido por elementos quesimultaneamente tienen propiedades masicas ode inercia, elasticas y de disipacion de energıa.Estas propiedades estan distribuidas de maneracontinua a lo largo del sistema vibratorio,de manera que todos los sistemas vibratoriosson, en mayor o menor grado, continuos lasherramientas matematicas necesarias paraabordar este tipo de sistemas son las ecuacionesdiferenciales parciales, un tema que usualmenteesta fuera de la currıcula de la gran mayoria delos ingenieros mecanicos. Ejemplos de estossistemas vibratorios continuos son las vigas,placas y laminas; todos ellos tienen un numeroinfinito de grados de libertad.

A diferencia de los sistemas vibratorioscontinuos, la ensenanza de las vibracionesmecanicas inicia a partir de sistemas vibratoriosideales denominados discretos. Estos sistemas


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estan formados por masas, que se suponencompletamente rıgidas y sin amortiguamiento,elementos elasticos, resortes, que se suponensin masa ni amortiguamiento, y elementosdisipadores de energıa, amortiguadores,que se suponen sin masa y completamenterıgidos. Estos sistemas discretos tienenun numero finito de grados de libertad ylas herramientas matematicas asociadasa la solucion de estos sistemas son lasecuaciones diferenciales ordinarias o sistemasde ecuaciones diferenciales ordinarias. Ambasherramientas estan al alcance de un alumnopromedio de ingenierıa mecanica. El prototipode un sistema vibratorio discreto es el sistemamasa resorte amortiguador descrito con masamplitud en la seccion 3.2 que tiene un unicogrado de libertad.

Resulta muy atractivo aproximar elcomportamiento de un sistema vibratoriocontinuo mediante un sistema vibratoriodiscreto. Sin embargo, es necesario reconocerlas limitaciones del proceso. En particular, unsistema discreto no podra determinar el numeroinfinito de frecuencias naturales de un sistemacontinuo. No obstante, un sistema vibratoriode un grado de libertad, puede aproximarcon exito, la primera frecuencia natural de unsistema continuo. El resto de esta contribucionmuestra como un sistema vibratorio de ungrado de libertad permite determinar de manerabastante aproximada la primera frecuencianatural de una viga, que constituye un sistemavibratorio continuo.

3.2. SISTEMAS VIBRATORIOS DE UNGRADO DE LIBERTAD SUJETOSA VIBRACI ON LIBRE

Considere un sistema vibratorio de ungrado de libertad sujeto a vibracion libreamortiguada como el que se muestra en lafigura 5.

La ecuacion de movimiento del sistemavibratorio, esta dada por

Md2ydt2

+ cdydt

+ ky= 0 (15)

donde,M es la masa del sitema,k es la constantedel resorte,c es la constante del amortiguador,y es la variable que representa el movimiento

Figura 5: Sistema vibratorio de un grado delibertad sujeto a vibracion libre amortiguada.

de la masa yt es el tiempo.

Si el sistema esta subamortiguado, el casomas comun, la solucion general de la ecuacionesta dada por

yG(t) = e−ccc

ωnt[

ACos

(

ωn

√

1− (c/cc)2

)

t

+BSen

(

ωn

√

1− (c/cc)2

)

t]

(16)

dondeωn es la frecuencia natural del sistemano amortiguado asociado,c/cc es la relacionde amortiguamiento yA y B son constantesarbitrarias. Mas aun

cc = 2√

M k

es el amortiguamiento crıtico del sistema.

3.3. APLICACI ON DEL M ETODO DERAYLEIGH

Con el objeto de ilustrar la influenciade la falta de rigidez del empotramiento deuna viga sobre su comportamiento vibratorio,se analizo el sistema formado por una vigaempotrada que en su extremo libre tiene unamasa, que puede considerarse puntual, vea lafigura 2. Es importante reconocer que, en estecaso, se viola uno de los requisitos de un sistemavibratorio discreto. De manera mas especıfica,el elemento elastico del sistema, la viga, tieneuna masa que no es despreciable respecto a lamasa puntual colocada en el extremo libre dela viga. Por lo tanto, es necesario determinar lafraccion de la masa de la viga que debe anadirsea la masa puntual colocada en el extremo libre


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para determinar su frecuencia natural, estafraccion de masa se denomina masa equivalentede la viga en voladizo. La determinacion de lamasa equivalente se lleva a cabo mediante elmetodo de energıa de Rayleigh.

El metodo de Rayleigh es un metodobasado en la ley de conservacion de la energıaque determina la masa equivalente de unaviga a partir de una aproximacion del modode vibracion de la viga cuando se sujeta avibracion. Para la primera frecuencia natural deuna viga, una aproximacion razonable del modode vibracion es la curva elastica de la viga bajocargas estaticas.

Como una primera opcion, se calcula la masaequivalente para una viga en voladizo, tomandocomo referencia la curva elastica de la vigacuando se sujeta a una carga puntual en suextremo libre. Rearreglando la ecuacion (10) enterminos de la deflexion maxima dada por (11)se obtiene que:

y(x) = ymax

[

x2

2L3 (3L− x)

]

(17)

La energıa cinetica de la viga en voladizo seencuentra integrando la energıa cinetica de loselementos diferenciales de la propia viga. Esteproceso conduce a

Tmax=12

∫ L

0

mL(y)2dx, (18)

Calculando la integral se obtiene, finalmente,que la energıa cinetica maxima es

Tmax=12

[

33140

m

]

y2max =

12[meq] y

2max, (19)

Por lo tanto la masa equivalente de una vigaen voladizo con una carga puntual ubicada en suextremo libre es

meq=33140

m= 0.2357m. (20)

Como una segunda aproximacion, se calculala masa equivalente para la viga en voladizotomando como referencia la curva elasticade la viga cuando se sujeta a una cargauniformemente distribuida a lo largo de sulongitud. Siguiendo un procedimiento similaral de la viga sujeta a una carga puntual en suextremo libre, se obtiene que:

meq=104405

m= 0.2568m. (21)

Comparando las ecuaciones (20) y (21) seobserva que los resultados son similares. Elmetodo de Rayleigh es bastante insensitivo auna seleccion razonable de la curva elasticapropuesta. En el resto de esta contribucion,la masa equivalente se calculara empleando laecuacion (20).

4. MEDICI ON EXPERIMENTAL DELA CONSTANTE EQUIVALENTEDEL RESORTE ASOCIADO A LAVIGA

En esta seccion se presenta el desarrollode los experimentos estaticos realizados paraencontrar la constante elastica experimental,ke, de una viga de alumino y una viga de acerosujetas a cargas puntuales en el extremo libre.

La figura 6 muestra la configuracionexperimental con la cual se midieron lasdeflexiones en la viga de aluminio producidaspor pesos ubicados en el extremo libre. Lasmediciones de la deflexion se obtuvieronmediante el uso de un indicador de caratula dealta precision, Mitutoyo, sujeto mediante unabase magnetica.

Figura 6: Configuracion experimental para lamedicion de las deflexiones en una viga dealuminio.

Una de las vigas que se eligio pararealizar estos experimentos, es una viga dealuminio 6063, de 0.009525m(3

8”) de espesor,0.0762m(3”) de ancho, y una longitud de0.625m desde el empotramiento hasta suextremo libre. La viga es de seccion transversalrectangular uniforme por lo que su segundo


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momento de area respecto al eje neutroesta dado porI = 1

12bh3 = 5.4874× 10−9m4

dondeb es el ancho yh es el espesor de la viga.El modulo de elasticidad del aluminio es deE = 70×109 N/m2

Mediante la ecuacion (12) es posibledeterminar las deflexiones teoricas de maneraque puedan compararse con los valoresexperimentales y calcular la constante elasticateorica de la viga, dada por

kt =3E IL3 = 4720.06 N/m (22)

La Tabla (1) muestra las deflexiones, enmetros, en el extremo libre de la viga que seobtienen al incrementar la carga, en newtons,colocada en la misma posicion; ası comosu comparacion con los valores obtenidosteoricamente.

Tabla 1: Datos obtenidos experimental yteoricamente para las deflexiones de la viga dealuminio.

Fuerza Deflexionexperimental

Deflexionteorica

9.3587 0.00216 0.002017.3343 0.004105 0.003726.1240 0.00624 0.0055

En la figura 7 la lınea roja representa la rectaque mejor aproxima las mediciones medianteel metodo de mınimos cuadrados. Mientrasque la lınea azul punteada representa la rectacorrespondiente a los resultados teoricos.

La ecuacion de la lınea roja en la figura 7 quemejor ajusta los datos experimentales esta dadapor

F = 4109.267δ +0.47688 (23)

dondeF esta en Newtons yδ en metros.

Para comprobar que esta rectaverdaderamente se ajusta a los datos se calculael coeficiente de correlacion que esta dado por

R2 = 0.999998669 (24)

El valor de R2, cercano a 1, indica que lalınea recta dada por la ecuacion (23) es una

Figura 7: Ajuste de la recta aproximada entreel incremento de carga y las deflexiones en elextremo libre de una viga.

muy buena aproximacion para estos datos. Lapendiente de la recta en la figura 7 representa laconstante elastica experimental

ke = 4109.267 N/m (25)

El porcentaje de error calculado entre laconstante elastica experimental y la constanteteorica es de

%error =kt − ke

ke× 100= 14.86%

El error muestra que la variacion entrela constante elastica experimental y laconstante elastica teorica es considerable,aun cuando el soporte que esta presente en eldispositivo experimental, vea figura 6, parecesuficientemente rıgido.

De manera similar en la figura 8 se muestra laconfiguracion experimental, que se utilizo paramedir las deflexiones en una viga de aceroproducidas por pesos ubicados en el extremolibre. La viga que se eligio para realizareste segundo experimento, es una viga deacero rolado en frio, del cual no se pudoobtener mayor informacion, con 0.00635m(1

4”)de espesor, 0.0762m(3”) de ancho, y unalongitud de 0.63m desde el empotramientohasta su extremo libre. Los primeros 0.58m dela viga tienen seccion transversal rectangularuniforme por lo que su segundo momento de


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area respecto al eje neutro esta dado porI =112bh3 = 1.6259× 10−9m4 dondeb es el anchoy h es el espesor de la viga. El modulo deelasticidad del acero es deE = 200×109 N/m2.Debe notarse que en los ultimos 0.05m laseccion transversal de la viga se incrementaenormemente por las placas de acero unidasrigidamente a la viga y la placa de aluminio quesirve de soporte al motor.

Figura 8: Configuracion experimental para lamedicion de las deflexiones en una viga de acerorolado en frio.

De nueva cuenta, se compararan lasdeflexiones teoricas y las experimentales.La constante elastica teorica para el caso de laviga, calculado con una longitudL = 0.58m, es

kt =3E IL3 = 4999.91 N/m (26)

En la tabla (2) se muestran los datoscorrespondientes a las deflexiones, en metros,al incrementar la carga, en newtons, en elextremo libre

Tabla 2: Datos obtenidos experimental yteoricamente para las deformaciones.

Fuerza Deformacionexperimental

Deformacionteorica

9.3587 0.0023 0.0018717.3343 0.0046 0.003526.1240 0.0071 0.0052

De manera similar al caso anterior en lafigura 9 la lınea roja representa la recta quemejor aproxima las mediciones mediante elmetodo de mınimos cuadrados. Mientras que

la lınea azul punteada representa la rectacorrespondiente a los resultados teoricos.

Figura 9: Ajuste de la recta aproximada entreel incremento de carga y las deflexiones en elextremo libre de una viga.

La ecuacion de la lınea roja en la figura 9 quemejor ajusta los datos experimentales esta dadapor

F = 3628.3263δ +0.4195 (27)

dondeF esta en Newtons yδ en metros.

Para comprobar que esta rectaverdaderamente se ajusta a los datos se calculael coeficiente de correlacion que esta dado por

R2 = 0.999980218 (28)

Este resultado indica que es una muy buenaaproximacion. La pendiente de la recta enla figura 9 representa la constante elasticaexperimental

ke = 3628.3263 N/m (29)

El porcentaje de error calculado entre laconstante elastica experimental y la constanteteorica es de

%error =kt − ke

ke× 100= 37.805%

De nueva cuenta el error muestra quela variacion entre la constante elasticaexperimental y la constante elastica teoricaes considerable, aun cuando el soporte que


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esta presente en el dispositivo experimental,vea figura 8, parece suficientemente rıgido.

5. DETERMINACI ON DE LAPRIMERA FRECUENCIANATURAL DE LA VIGA ENVOLADIZO.

En esta seccion se determinara la primerafrecuencia natural de los sistemas vibratoriosformado por las vigas estudiadas en la seccion 4.

La figura 10 muestra el dispositivoexperimental empleado para registrar lavibracion libre y consta de un modulo deadquisicion de senales dinamicas modeloNI9234, acoplada al chasis NI cDAQ-9174marca National Instruments conectada a unacomputadora digital que soporta el softwareLabviewc©. El sensor es un acelerometro PCBmodelo 352C03 que se conecta a la vigamediante una pequena base magnetica en elcaso de la viga de acero, y en el caso de la vigade aluminio mediante una pequena aplicacionde cera en la base del acelerometro.

Figura 10: Dispositivos experimentalesempleados para medir la vibracion libre en unaviga de aluminio.

En el caso de la viga de aluminio la masalocalizada en el extremo libre es deMext libre =3.2888kg—esta masa vibra con el movimientodel extremo libre de la viga— mientras quela masa por unidad de longitud de la viga dealuminio esta dada por

mlal = 1.9105kg/m

Por lo tanto, la masa equivalente ubicada en elextremo libre de la viga esta dada por

meq= 0.2357×mlal ×L = 0.2814.kg

dondeL = 0.625m es la longitud de la vigadesde su extremo empotrado al punto deaplicacion de las cargas.

La figura 11 muestra la grafica de laaceleracion asociada a la vibracion libreregistrada mediante el sistema de adquisicionde datos, a partir de esa figura es posibledeterminar dos parametros importantes;la relacion de amortiguamientoc/cc y lafrecuencia natural experimental del sistema noamortiguado asociado,ωn,exp. Debe notarse quela senal obtenida por el modulo de adquisicionde datos fue filtrada mediante un filtro tipoButterworth con una frecuencia de cortemınima de 3Hz y una frecuencia de cortemaxima de 7Hz. Los resultados estan dadospor

ωn,exp = 33.83rad/s (30)ccc

= 0.00421 (31)

Figura 11: Aceleracion asociada a la vibracionlibre de la viga de aluminio.

Finalmente, es necesario comparar lafrecuencia natural experimental del sistemano amortiguado asociado,ωn,exp, con dosfrecuencias naturales obtenidas de dosdiferentes maneras

1. Considerando la masa equivalente dela viga empleando la constante elasticateorica. En este caso

ωn,t =

√

kt

Mext libre+meq= 36.3642rad/s

(32)

2. Considerando la masa equivalente de laviga pero empleando la constante elasticaexperimental.

ωn,te =

√

ke


(33)


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Es importante senalar que la frecuencianatural que se determina empleando laconstante elastica experimental es mas cercanaa la frecuencia natural experimental que lafrecuencia natural que se determina empleandola constante elastica teorica. Los porcentajes deerror entre la frecuencia natural experimental ylas calculadas a partir de las constantes elasticasteoricas y experimental son

%errort =ωn,t −ωn,exp

ωn,exp× 100= 7.49%

%errore =ωn,te−ωn,exp

ωn,exp× 100= 0.29%

Siguiendo la metodologıa ilustrada en laprimera parte de esta seccion para la vigade acero mostrada en la figura 12 es posibleadquirir la senal de aceleracion asociada a lavibracion libre mostrada en la figura 13.

Figura 12: Dispositivos experimentalesempleados para medir la vibracion libre en unaviga de acero.

Figura 13: Aceleracion asociada a la vibracionlibre de la viga de acero.

La relacion de amortiguamiento y lafrecuencia natural experimental asociados aeste sistema vibratorio estan dadas por

ωn,exp= 23.784rad/sccc

= 0.00657 (34)

La masa en el extremo libre esta constituidapor un motor deMmotor = 5.302kg, una serie

de placas cuyo peso es deMplacas= 1.312kgy la masa equivalente de la viga situada en elextremo libremeq = 0.50824kg de modo quela masa total es demt = 7.122kg, vea la figura 8.

De igual forma se calcula la frecuencianatural experimental del sistema noamortiguado asociado, ωn,exp, con dosfrecuencias naturales obtenidas de dosdiferentes maneras

1. Considerando la masa equivalente dela viga empleando la constante elasticateorica. En este caso

ωn,t =

√

kt


(35)

2. Considerando la masa equivalente de laviga pero empleando la constante elasticaexperimental.

ωn,te =

√

ke


(36)

Los porcentajes de error entre la frecuencianatural experimental y las calculadas a partir delas constantes elasticas teoricas y experimentalson

%errort =ωn,t −ωn,exp

ωn,exp× 100= 11.4%

%errore =ωn,exp−ωn,te

ωn,exp× 100= 5.1%

El objetivo del motor con una masadesbalanceada y cuyo centro de masascoincide con el extremo libre de la viga fuela de comprobar la frecuencia natural delsistema vibratorio mostrado en la figura 8.Efectivamente, cuando se hace girar el motora una velocidad angular igual a la frecuencianatural determinada experimentalmente,ωn,exp = 23.784rad/s ≈ 227rpm, el sistemaentra en resonancia.

CONCLUSIONES.

La contribucion ha presentado resultadosexperimentales que muestran la influencia de


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la flexibilidad de un empotramiento, a primeravista, rıgido sobre la constante elastica dela viga y su comparacion con la constanteelastica obtenida a partir de la teorıa clasica dela flexion en vigas. Los resultados obtenidosmuestran que para la viga de aluminio, elerror entre la constante elastica teorica yexperimental es de 14.86% mientras quepara la viga de acero, el error es de 37.8%.Ademas, la contribucion muestra el efecto de laflexibilidad del empotramiento y de la masa dela viga sobre la frecuencia natural de un sistemavibratorio formado por la viga empotrada yuna masa puntual en el extremo libre de laviga. De manera semejante los errores entrela primera frecuencia natural determinadaa partir de la constante elastica obtenidade manera teorica y la determinada a partirde la constante elastica obtenida de maneraexperimental comparada con la frecuencianatural determinada experimentalmente sonpara la viga de aluminio iguales a 7.49% y0.29% respectivamente, y para la viga de aceroson de 11.4% y 5.1% respectivamente.

AGRADECIMIENTOS.

Los autores agradecen a la Division deInvestigacion y Posgrado de la Universidadde Guanajuato por el apoyo necesario parala realizacion de este pequeno proyecto. Losautores agradecen a Jesus y Miguel Losoya porel maquinado de muchos de los componentesdel dispositivo experimental.

Referencias

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LA FLEXIBILIDAD DE EMPOTRAMIENTOS “RIGIDOS” Y SU...

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