INTRODUCCION.docx

7/17/2019 INTRODUCCION.docx

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INGENIERIA:

<MECÁNICA>

MATERIA:

< DINÁMICA DE MAQUINARIA>

UNIDAD I:

<CINÉTICA EN EL PLANO DE CUERPOS RÍGIDOS:

FUERZAS Y ACELERACIONES>TEMAS:

1.1. Intr!"##$%n1.&. E#"'#$n() !( *+$*$(nt #$n,t$# (n (- -'n !( "n

#"(r r/0$!1.&.1. M+$*$(nt Tr')-'#$n'-1.&.&. M+$*$(nt Rt'#$n'-

1.&.. M+$*$(nt P-'n G(n(r'-1.. M+$*$(nt -'n r()tr$n0$!

1..1. Rt'#$%n n C(ntr$!'-

1..&. M+$*$(nt !( R!'!"r'SEMESTRE:

<OCTA2O>PRODUCTO ACADEMICO:

<$n+()t$0'#$n !( -' "n$!'!>ALUMNO Y NUMERO DE CONTROL:

<CARLOS SANC3EZ SANTOS> <11Z456>DOCENTE:

MC. ALE7ANDRO 8ARRADAS DIAZFECHA DE ENTREGA:

&6 FE8RERO DE &419

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIORDE ALVARADO (campus Tlalixcoyan)



Introducción:

En esta unidad se estudió el método de fuerza-masa-aceleración para la soluciónde problemas de cinética del cuerpo rígido, con este enfoque, se logró aprendeprimero un método para resolver problemas de Cinética y luego aplicarloconsecuentemente a una amplia variedad de problemas.

Objetivo:

Aplicar el método de fuerzas y aceleraciones para el anlisis de cuerpos rígidossometidos a fuerzas

1.1. Intr!"##$%n



!a Cinética de los cuerpos rígidos trata de las relaciones e"istentes entre lasfuerzas que sobre ellos e#ercen agentes e"teriores y los correspondientesmovimientos de traslación y rotación de dic$os cuerpos.

En el caso de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesita una ecuación mspara especificar el estado de rotación del cuerpo. Así pues, para determinar elestado de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesitar dos ecuaciones defuerza y una de momentos, o sus equivalentes.

Es decir se estudiara las relaciones e"istentes entre las fuerzas que act%an en uncuerpo rígido, la forma y la masa del mismo, y el movimiento producido.

1.&. E#"'#$n() !( *+$*$(nt #$n,t$# (n (- -'n!( "n #"(r r/0$!

fig &'.&Considérese un cuerpo rígido en el que act%an varias fuerzas e"ternas (&, (), (*,++ (ig. &'.&. e puede suponer que el cuerpo se compone de un gran numeron de partículas de masa /mi i 0 &, ),++, n y que los resultados obtenidos sonvlidos para un sistema de partículas (ig. &'.). i se considera en primer lugar elmovimiento del cuerpo de masa G del cuerpo con respecto al sistema dereferencia ne1toniano 2 xyz , entonces escribimos3

∑F = mā

4onde m es la masa del cuerpo y ā es la aceleración del centro de masa G .

5olviendo a$ora al movimiento del cuerpo con respecto al sistema de referenciacentroidal G x 6y 6z 6, y escribimos3

∑MG = ´G



fig. &'.)

4onde 76G representa la razón cambio de 7G, la cantidad de movimiento angular con respecto a G del sistema de partículas que forman el cuerpo rígido. En lo que

sigue. e $ar referencia a 7G simplemente como la cantidad de movimientoangular del cuerpo rígido con respecto a su centro de masa G . 8untas, lasecuaciones &'.& y &'.) e"presan que el sistema de las fuerzas e"ternas esequipolente al sistema compuesto por el vector m9 fi#o en G y del par de momento76G (ig. &'.*.

fig. &'.*

Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido enmovimiento plano



Considérese una placa rígida en movimiento plano. i se supone que la placa secompone de un gran numero n de partículas :i de masa /mi , se observa que lacantidad de movimiento angular HG de la placa alrededor de su centro de masaG se puede calcular considerando los momentos con respecto a G de lascantidades de movimiento de las partículas de la placa en su movimiento con

respecto a cualquiera de los sistemas de referencia 2 xyz o Gx 6y 6 (ig. &'.;. ielegimos este %ltimo, escribimos<

(16.3)

4onde r6i y v6i /mi denotan, respectivamente, el vector de posición y la cantidadde movimiento lineal de la partícula :i con respecto al sistema de referenciacentroidal Gx 6y 6. :ero como la partícula pertenece a la placa, se tiene v6 i 0 ω = r6i ,donde ω es la velocidad angular de la placa en el instante considerado.

Escribimos<

i se recurre a la figura &'.;, fcilmente se verifica que la e"presión obtenidarepresenta un vector de la misma dirección que ω es decir, perpendicular a laplaca y de magnitud igual a ω>r6i /mi . ?ecordando que la suma >r6i /mi

representa el momento de inercia @ de la placa con respecto a un e#e centroidalperpendicular a la placa, se concluye que la cantidad de movimiento angular 7G

de la placa con respecto a su centro de masa es<

G = Ī ω(16.4)

Al diferenciar ambos miembros de la ecuación &'.; se obtiene<

!G = Ī ω = Īα

(16.5)

Así pues, la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular de la placaest representado por un vector de la misma dirección que α esto es,

perpendicular a la placa y de magnitud @ α .e debe tener presente que los resultados obtenidos en esta sección se dedu#eronpara una placa rígida en movimiento plano.



MOVIMIENO !"#NO $E %N C%E&!O &'(I$O) !&INCI!IO $E $*#"EM+E&

Considérese una placa rígida de masa m que se mueve ba#o la acción de variasfuerzas e"ternas (&, (), (*,++.., contenidas en el plano de la placa (ig. &'..Con la sustitución de G de la ecuación &'. en la ecuación &'.), yescribiendo las ecuaciones fundamentales de movimiento &'.& y &'.) en formaescalar, tenemos<

(16.6)

!as ecuaciones &'.' demuestran que la aceleración del centro de masa G de laplaca y su aceleración angular α se obtiene con facilidad una vez que sedeterminan la resultante de las fuerzas e"ternas que act%an sobre la placa y sumomento resultante con respecto a G . 4adas las condiciones iniciales apropiadas3se obtiene entonces las coordenadas B y del centro de masa y la coordenadaangular θ de la placa, mediante integración en cualquier instante t . :or tanto, elmovimiento de la placa queda definido por completo por la resultante y laresultante de momentos con respecto a G de las fuerzas e"ternas que act%ansobre ella.

Considérese, en particular, el sistema de fuerzas e"ternas que act%an sobre uncuerpo rígido (ig. &'.'a y el sistema de las fuerzas efectivas asociadas con las

partículas que forma el cuerpo rígido (ig. &'.'b



4e este modo se, puede establecer que las fuerzas que las fuerzas e"ternas queact%an sobre un cuerpo rígido equivalen a las fuerzas efectivas de las diversaspartículas que forman el cuerpo.

Este enunciado se conoce como principio de 46Alembert, en $onor al matemtico

francés 8ean le ?ond d6Alembert &D&D-&D*, aun cuando el enunciado originalde d6Alembert fue escrito en una forma un poco diferente.

El $ec$o de que el sistema de fuerzas e"ternas es equivalente al sistema defuerzas efectivas se $a recalcado con el uso de un signo igual en la figura &'.' ytambién en la figura &'.D, donde al utilizar los resultados obtenidos conanterioridad en esta sección, se remplazaron las fuerzas efectivas con un vector m9 vinculado al centro de masa G de la placa y un par de momento @ α .

1.&.1. M+$*$(nt Tr')-'#$n'-ra-lación) En el caso de un cuerpo en traslación, la aceleración angular delmismo es idénticamente igual a cero y sus fuerzas efectivas se reducen al vectorma F fi#o en G figura &'.. 4e tal modo, la resultante de las fuerzas e"ternas queact%an sobre un cuerpo rígido en traslación pasa por el centro de masa del cuerpoy es igual a ma F.



1.&.&. M+$*$(nt Rt'#$n'-

&otación centroidal) Cuando una placa o, ms generalmente, un cuerposimétrico con respecto al plano de referencia, gira alrededor de un e#e fi#operpendicular al plano de referencia y pasa por su centro de masa G, se afirmaque el cuerpo est en rotación centroidal.:uesto que la aceleración a F es idénticamente igual a cero, las fuerzas efectivasdel cuerpo se reducen al par I F _ figura &'.G. 4e tal manera, las fuerzas e"ternasque act%an sobre un cuerpo en una rotación centroidal son equivalentes a un parde momento I F _.

1.&.. M+$*$(nt P-'n G(n(r'-

Movimiento plano general) Al comparar la figura &'.D con las figuras &'. y &'.G,se observa que desde el punto de vista de la cinética, el movimiento plano ms

general de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano de referencia puedereemplazarse por la suma de una traslación y una rotación centroidales. 7ay queadvertir que este enunciado es ms restrictivo que el enunciado similar que se$izo antes desde el punto de vista de la cinemática sección &., ya que serequiere a$ora que el centro de masa del cuerpo se eli#a como el punto dereferencia.En las ecuaciones &'.' se observa que las primeras dos ecuaciones sonidénticas a las ecuaciones de movimiento de una partícula de masa m su#eta a las



fuerzas dadas .&, .), .*, . . . 4e ese modo se verifica que el centro de masa Gde un cuerpo rígido en moimiento plano se muee como si la masa total delcuerpo estuiera concentrada en ese punto, y como si todas las !uerzas externasactuaran so"re él. ?ecuérdese que en el caso general de un sistema departículas, donde éstas no necesariamente estaban conectadas en forma rígida.

e seHaló también, que el sistema de las fuerzas e"ternas no se reduce, engeneral, a un solo vector ma F fi#o en G. :or lo tanto, en el caso general delmovimiento plano de un cuerpo rígido, la resultante de las !uerzas externas #ueact$an so"re el cuerpo no pasa por el centro de masa de este mismo.:or %ltimo, debe observarse que la %ltima de las ecuaciones &'.' seguiría siendovlida si el cuerpo rígido, aunque su#eto a las mismas fuerzas aplicadas, se$ubiera restringido al girar alrededor de un e#e fi#o que pasara por G. 4e talmanera, un cuerpo rígido en moimiento plano gira alrededor de su centro demasa como si este punto estuiera !i%o.

1.. M+$*$(nt -'n r()tr$n0$!

!a mayoría de las aplicaciones de ingeniería tienen que ver con cuerpos rígidosque se mueven ba#o restricciones determinadas. :or e#emplo, las manivelas debengirar alrededor de un e#e fi#o, las ruedas deben rodar sin patinar, y las bielasdescribir ciertos movimientos prescritos. En tales casos, e"isten relacionesdefinidas entre las componentes de la aceleración a F del centro de masa G delcuerpo considerado y su aceleración angular _3 se dice que el movimientocorrespondiente es un moimiento restringido.!a solución de un problema que implica un movimiento plano restringido requiereun análisis cinemático preliminar del problema. Considere, por e#emplo, una varillaligera &' de longitud l y masa m cuyos e"tremos estn conectados a bloques de

masa despreciable que se deslizan a lo largo de correderas $orizontales yverticales sin fricción. e tira de la varilla mediante una fuerza ! aplicada en &figura &'.&&.

e sabe que la aceleración a F del centro de masa G de la varilla puededeterminarse en cualquier instante dado a partir de la posición de la varilla, suvelocidad angular y su aceleración angular en ese instante. uponga, por e#emplo,

que se conocen los valores de en un instante dado, y que se desea



determinar el valor correspondiente de la fuerza !, así como las reacciones en & y'. :rimero se debe determinar las componentes a F x y a F y de la aceleración delcentro de masa G mediante el método de la sección &.. 4espués se aplica elprincipio de dIAlembert figura &'.&), utilizando las e"presiones que se obtuvieronpara a F x y a F y . !as fuerzas desconocidas !, N & y N' se determinan después al

escribir y resolver las ecuaciones apropiadas.

Cuando un mecanismo consta de arias partes móiles, el método descrito sepuede utilizar con cada parte del mecanismo. El procedimiento requerido paradeterminar las diferentes incógnitas es en ese caso similar al procedimiento quese sigue en la situación del equilibrio de un sistema de cuerpos rígidos conectados

Antes se analizaron dos casos particulares de movimiento plano restringido< latraslación de un cuerpo rígido, en la cual la aceleración angular del cuerpo serestringe a cero, y la rotación centroidal, en la que la aceleración a F del centro demasa del cuerpo se restringe a cero. !os otros casos particulares de movimientoplano restringido son de interés especial< la rotación no centroidal de un cuerporígido y el moimiento de rodamiento de un disco o rueda. Es posible analizar

estos dos casos mediante uno de los métodos generales descritos antes. inembargo, en vista del rango de sus aplicaciones, éstos merecen unos cuantoscomentarios especiales.

1..1. Rt'#$%n n C(ntr$!'-

El movimiento de un cuerpo rígido que est restringido a girar alrededor de un e#efi#o que no pasa por su centro de masa se denomina rotación no centroidal. Elcentro de masa G del cuerpo se mueve a lo largo de un círculo de radio r F centrado en el punto (, donde el e#e de rotación interseca al plano de referenciafigura &'.&;. Al denotar, respectivamente, por _ y _ la velocidad angular y la

aceleración angular de la línea (G, se obtienen las siguientes e"presiones paralas componentes tangencial y normal de la aceleración de G<



:uesto que la línea (G pertenece al cuerpo, su velocidad angular _ y suaceleración angular _ también representan la velocidad angular y la aceleraciónangular del cuerpo en su movimiento relativo a G. !a ecuaciones anterior definenla relación cinemtica que e"iste entre el movimiento del centro de masa G y elmovimiento del cuerpo en torno a G.

1..&. M+$*$(nt !( R!'!"r'

2tro caso importante de movimiento plano es el movimiento de un disco o ruedaque gira sobre una superficie plana. i el disco est restringido a rodar sindeslizarse, la aceleración a F de su centro de masa G y su aceleración angularno son independientes. uponiendo que el disco esté equilibrado, de manera quesu centro de masa y su centro geométrico coincidan, se escribe primero que la

distancia x F recorrida por G durante una rotación _ del disco es ,donde r esel radio del disco. Al diferenciar dos veces esta relación se escribe<

i se recuerda que el sistema de las fuerzas efectivas en movimiento plano se

reduce a un vector ma F y un par , se encuentra que en el caso particular demovimiento de rodamiento de un disco equilibrado, las fuerzas efectivas se

reducen a un vector de magnitud fi#o en G y a un par de magnitud . Así, sepuede e"presar que las fuerzas e"ternas son equivalentes al vector y al par que semuestran en la figura &'.&D.



Conclusión<

En este capítulo se estudió la cinética de cuerpos rígidos, esto es, las relacionesque e"isten entre las fuerzas que act%an sobre un cuerpo rígido, la forma y lamasa del cuerpo y el movimiento que se produce.alvo por las primeras dos secciones, las cuales se aplicaron al caso ms generaldel movimiento de un cuerpo rígido, el anlisis se restringió al moimiento planode placas rígidas y cuerpos rígidos simétricos con respecto al plano de referencia.El estudio del movimiento plano de cuerpos rígidos.e concluye adems que las fuerzas e"ternas que act%an sobre un cuerpo rígidoson realmente equivalentes a las fuerzas efectivas de las diversas partículas queforman el cuerpo. Este enunciado, conocido como principio de dIAlembert, puedee"presarse en la forma del diagrama vectorial

Jibliografía<

Jeer (. :., 8o$nston E. ?. 8r. y Clausen K. E. Lecnica 5ectorial para Mngenieros.

4inmica. Editorial LcNra1 7ill. Gma. Edición

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