Introducción al Estado Sólido: El amarre fuerte...

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setiembre 2008 amarre fuerte 1

Introduccin al Estado Slido:El amarre fuerte

(tight-binding, en ingls)

R. BaqueroDepartamento de Fsica

Cinvestav

Introduccin al Estado Slido. R. Baquero

setiembre 2008 amarre fuerte 2

Introduccin al Estado Slido. R. Baquero

Por qu estudiamos el mtodo de amarre fuerte?

Uno de los objetos de estudio del Estado Slido, es el estudio de la materia en estado cristalino.

El estado cristalino es un arreglo peridico de tomos en interaccin.

El arreglo peridico se llama red. Una red cubre, en teora todo el espacio.

La periodicidad se describe por medio de la Teora de Grupos

Hay diferentes tipos de periodicidad, es decir diferentes grupos cristalinos que se manifiestan por la colocacin de los tomos en la red.

El grupo cbico tiene simetra cbica, es decir la misma que tiene un cubo. A ese grupo pertenecen tres redes:

1- Cbica simple (CS): simple cubic, en ingls (sc).

2- Cbica centrada en el cuerpo (CCC); body centered cubic, en ingls, (bbc).

3- Cbica centrada en las faces (CCF); face centered cubic, en ingls, (fcc)

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroPor qu estudiamos el mtodo de amarre fuerte?

Red Cbica Simple, CS

Simple cubic lattice (sc)

Encontrar 4 elementos de simetra

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroPor qu estudiamos el mtodo de amarre fuerte?

Red Cbica centrada (CC)

Body centered cubic lattice (bcc)

Encontrar 4 elementos de simetra

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroPor qu estudiamos el mtodo de amarre fuerte?

Red Cbica centrada en las caras (CCC)

Face cubic centered (fcc)

Encontrar 4 elementos de simetra

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroPor qu estudiamos el mtodo de amarre fuerte?

Interacciones en la

Red Cbica Simple, CS

Simple cubic lattice (sc)

a

R2

R4

R6

R1 R3

R5i

jkR = pa i + qa j + ra k

Encontrar los segundos y los terceros vecinos

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroPor qu estudiamos el mtodo de amarre fuerte?

Interacciones en la

Red Cbica Simple, CS

Simple cubic lattice (sc)

a

i

jkR = pa i + qa j + ra k

Metal

Semi-conductor

aislante

Dependiendo del enlace:

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroPor qu estudiamos el mtodo de amarre fuerte?

Interacciones en la

Red Cbica Simple, CS

Simple cubic lattice (sc)

a

i

jkR = pa i + qa j + ra k

Metal

Los electrones estn libres dentro del espacio de la red

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroPor qu estudiamos el mtodo de amarre fuerte?

Interacciones en la

Red Cbica Simple, CS

Simple cubic lattice (sc)

a

i

jkR = pa i + qa j + ra k

Semi-conductor y aislante

Los electronesseencuentran atrapados

en los enlaces

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Introduccin al Estado Slido. R. Baquero

De amarre(bonding)

Anti-enlace

(anti-bonding)

Ejemplos de estados electrnicos en el enlace

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroPor qu estudiamos el mtodo de amarre fuerte?

QU QUEREMOS SABER?

1- Estados electrnicos (funcin de onda y energa

2- Estados de vibracin de los iones (funcin de onda y energas)

(fonn es la diferencia en energa y momento entre dos estados vibracionales)

3- Interaccin entre iones y electrones: cmo se intercambia energa entre ellos. (interaccin electrn-fonn)

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroPor qu estudiamos el mtodo de amarre fuerte?

QU QUEREMOS SABER?1- Estados electrnicos (funcin de onda y energa

2- Estados de vibracin de los iones (funcin de onda y energas)

(fonn es la diferencia en energa y momento entre dos estados vibracionales)

3- Interaccin entre iones y electrones: cmo se intercambia energa entre ellos. (interaccin electrn-fonn)

PARA CALCULAR, EN FORMA SENCILLA, AUNQUE APRXIMADA, LOS ASPECTOS ANTERIORES, ESTUDIAMOS EL MTODO DE AMARRE FUERTE

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroLINEAMIENTOS GENERALES DEL CLCULO

EL mtodo es til porque preserva la simetra exacta del sistema, es decir, el Hamiltoniano tiene la misma simetra que la red cristalina descrita.

.( ) ( )jj

in n je = k R

Rr r R

Para construir la matriz hamiltoniana, necesitamos una base completa de funciones. En nuestros caso, si queremos describir un metal (los electrones, las vibraciones y la interaccin electrn-fonn) , esas funciones deben ser soluciones de la Ecuacin de Shrdinger que incluya la periodicidad del sistema. Los electrones pueden ser descritos por medio de ondas de Bloch(que tienen la periodicidad de la red), de la forma:

Calcular las energas significa obtener el Hamiltoniano y resolver la Ecuacin de Shrdinger.

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Introduccin al Estado Slido. R. Baquero.1( ) ( )jj

in n jeN

= k RR

r r R

Los elementos de la matriz Hamiltoniana toman la forma

.( ) *

,

1 ( ) ( )j ij i

in i m je d HN

k R RR R

r r R r R

Vector de desplazamiento desde el tomo donde se encuentra el orbital n al tomo donde se encuentra el orbital m

( )l

lH H= R

r R

El hamiltoniano es esfrico:

En general, de tres centros

Nmero de celda unitarias

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Introduccin al Estado Slido. R. Baquero.( ) *

,( ) ( )j i

j i

in i m je d H

k R RR R

r r R r R

Hiptesis:

Entre ms lejos se encuentren los dos tomos en cuestin, ms pequeo va a ser el integral. Por qu?

Hay traslape porque estn ms cerca

No hay traslape porque estn ms lejos

Entre mayor sea el traslape, mayor ser el integral.

Podemos limitar el nmero de vecinos !!!

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroPrimeros, segundos y terceros vecinos: cuntos hay de cada uno?

a

i

jk

VECINOS EN LA RED CBICA SIMPLE

PRIMEROS VECINOS

SEGUNDOS VECINOS

TERCEROS VECINOS

6

12

8

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Introduccin al Estado Slido. R. Baquero

PRIMEROS VECINOS

SEGUNDOS VECINOS

TERCEROS VECINOS

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Introduccin al Estado Slido. R. Baquero

.( ) * ( ) ( )j ij

in i m je d H

k R RR

r r R r R

Para calcular el elemento Hnm de la matriz Hamiltoniana debemos elegir:

1- la distancia mxima que tomaremos en cuenta para el clculo concreto. Decimos, entonces, que el clculo est hecho a primeros vecinos, a segundos vecinos, a terceros vecinos, etc.

Podemos eliminar la suma por Ri que repite los trminos de la suma por Rj y as eliminamos el prefactor 1/N. Obtenemos:

2- Los estados u orbitales atmicos (n y m) que tomaremos en cuenta en cada uno de los tomos. A esto le llamaremos La base.

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Introduccin al Estado Slido. R. Baquero

El concepto de Base

in

rbitas externas

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Introduccin al Estado Slido. R. Baquero

El concepto de Base

Electrones atmicos externos (de valencia)

Electrones libres metlicos

En un slido, los electrones atmicos externos (de valencia) constituyen los enlaces entre iones (en semi-conductores o aislantes) o se convierten en electrones libres (en metales) tal y como lo ilustra la figura.

EN UN SLIDO:

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Introduccin al Estado Slido. R. Baquero

.( ) * ( ) ( )j ij

in i m je d H

k R RR

r r R r R

Por la razn anterior, para calcular la matriz hamiltoniana, Hnm, seleccionamos como base (como los estados electrnicos n y m) los orbitales atmicos externos del tomo que constituye el slido. Es decir,

Orbitales atmicos externos

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Introduccin al Estado Slido. R. Baquero

.( ) * ( ) ( )j ij

in i m je d H

k R RR

r r R r R

Un clculo de amarre fuerte de la matriz Hmn del Hamiltoniano:

Comienza por especificar

El nmero de vecinos que se toma en cuenta.

Los orbitales tmicos que se toma en cuenta (nmero y tipo).

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Introduccin al Estado Slido. R. BaqueroOrbitales atmicos:

Los nmeros cunticos para un tomo son:

El nmero cuntico principal n

El nmero cuntico del momento angular l (0, 1, 2, n-1)

El nmero cuntico de la proyeccin del momento angular m (- l, - l + 1, - l + 2, , 0 , 1, 2, + l)

Ntese que para cada n hay n2 estados atmicos diferentes sin tomar en cuenta el espn. Si lo tomamos en cuenta, habr 2n2.

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Introduccin al Estado Slido. R. Baquero

DEMOSTRACIN:

1 1

0 0

1 (2 1) 1 3 5 7 ... (2 1)n l n

l m l l

l n

= = =

= + = + + + + +

2

1 3