Introducción Al Análisis Gráfico de Datos Experimentales

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Temas de Fsica

Introduccion al analisis grafico dedatos experimentales

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Introduccion al analisisgrafico de datosexperimentales

Berta Oda Noda

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

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Introduccion al analisis grafico de datos experimentales

Coordinacion de Servicios Editoriales,cFacultad de Ciencias, UNAM

ISBN:

Diseno de portada: Laura Uribe

Edicion y figuras: Pablo Rosell y Fernando Magarinos Lamas

Impreso y hecho en Mexico

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INDICE GENERAL

Indice de figuras XI

Presentacion XIII

Prologo a la segunda edicion XV

Prologo a la tercera edicion XVII

1. Mediciones e incertidumbres 11.1. La medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Por que medir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Que es medir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Sistemas de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4. Aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1. Los errores y sus fuentes . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Incertidumbre en medidas reproducibles . . . . . 91.2.3. Incertidumbre en medidas no reproducibles . . . 101.2.4. Incertidumbre absoluta . . . . . . . . . . . . . . 121.2.5. Incertidumbre relativa rX . . . . . . . . . . . . 121.2.6. Incertidumbre porcentual %X . . . . . . . . . . 121.2.7. Por que manejar incertidumbres . . . . . . . . . 13

1.3. Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1. Redondeo en numeros . . . . . . . . . . . . . . . 161.5. Operaciones con cifras significativas . . . . . . . . . . . 17

1.5.1. Suma y resta con cifras significativas . . . . . . . 171.5.2. Multiplicacion y division con cifras significativas 18

2. Mediciones indirectas 192.1. Propagacion de incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . 19

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Indice general

3. Relaciones entre variables 273.1. Relaciones empricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Tabla y grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Relaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1. Intervalo de validez . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2. Interpolacion y extrapolacion . . . . . . . . . . . 393.3.3. Incertidumbre en la pendiente y en la ordenada

al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Relaciones potenciales 454.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Graficado logartmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.1. Graficado logartmico con incertidumbres . . . . 554.3. Graficado en papel logartmico . . . . . . . . . . . . . . 574.4. Fenomenos que se describen por una ecuacion general. . . 63

4.4.1. Relacion P vs V del aire . . . . . . . . . . . . . . 634.4.2. Ecuacion de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 68

5. Relaciones exponenciales 775.1. Deduccion de la ecuacion exponencial . . . . . . . . . . 805.2. Uso del papel semi-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3. Deduccion de la ecuacion exponencial usando logaritmos

naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6. Ejercicios de aplicacion en experimentos 896.1. El agua y el aceite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2. Movimiento en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . 916.3. Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . 936.4. Oscilador vertical amortiguado . . . . . . . . . . . . . . 95

7. Relaciones entre tres variables 99

Apendice A. Sistema Internacional de Unidades (SI) 109A.1. Unidades base o fundamentales . . . . . . . . . . . . . . 110A.2. Unidades suplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A.3. Unidades derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.4. Unidades complementarias aceptadas para si . . . . . . 112A.5. Prefijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.6. Definicion de las unidades SI . . . . . . . . . . . . . . . 113A.7. Reglas para la escritura apropiada de los smbolos que

representan las unidades en el sistema si . . . . . . . . . 116A.8. Escritura de los numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

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Indice general

Apendice B. Criterio estadstico para asignar incertidumbres 119B.1. Mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123B.2. Desviacion estandar, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Apendice C. Logaritmos: propiedades y aplicaciones 129C.1. Definicion de logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129C.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

C.2.1. loga 1 = 0 ya que a0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . 130

C.2.2. loga a = 1 ya que a1 = a . . . . . . . . . . . . . . 130

C.2.3. Logaritmo de un producto . . . . . . . . . . . . . 131C.2.4. Logaritmo de un cociente . . . . . . . . . . . . . 131C.2.5. Logaritmo de una potencia . . . . . . . . . . . . 132C.2.6. Calculo de logaritmos de una base b cualquiera

en funcion de logaritmos de otra base diferente . 134C.3. Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136C.4. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

C.4.1. Calculo de la raiz enesima de un numero cualquiera137C.4.2. Resolucion de ecuaciones exponenciales . . . . . 138C.4.3. Simplificacion de operaciones . . . . . . . . . . . 139

C.5. Calculo de logaritmos de un numero 0 < n < 1 . . . . . 139

Apendice D. Ajuste de rectas por mnimos cuadrados 141D.1. Ajuste de rectas de la forma y = mx+ b por el metodo

de mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143D.2. Ajuste de parabolas por mnimos cuadrados . . . . . . . 149D.3. Analisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Apendice E. Ejercicios de aplicacion 157E.1. Mediciones e incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . 157E.2. Mediciones indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160E.3. Relaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162E.4. Relaciones potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164E.5. Relaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Apendice F. Soluciones a los ejercicios de aplicacion 185F.1. Mediciones e incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . 185F.2. Mediciones indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189F.3. Relaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193F.4. Relaciones potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198F.5. Relaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Bibliografa 211

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INDICE DE FIGURAS

1.1. El Universo de Kapteyn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. La imagen actual de nuestra galaxia. . . . . . . . . . . . 91.3. Cual es la lectura? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1. Representacion de puntos experimentales con sus incer-tidumbres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Tres posibles curvas adaptadas a los puntos trazados enla grafica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. Recta ajustada a traves de los puntos experimentalesobtenidos en la tabla 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4. En donde L representa a la longitud del resorte y C a lacarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5. Grafica que muestra la incertidumbre en la pendiente yen la ordenada al origen de una recta. . . . . . . . . . . 42

4.1. Casos particulares de relaciones potenciales. a) Curvasparabolicas que salen del origen. b) Curvas hiperbolicas. 46

4.2. Formas caractersticas de las graficas de ecuaciones dela forma Y = aXn segun el valor de n. . . . . . . . . . . 46

4.3. Curva cuya ecuacion sera Y = aXn . . . . . . . . . . . 474.4. Porcion de luz emitida por el foco F. . . . . . . . . . . . 494.5. Grafica de la intensidad luminosa en funcion de la dis-

tancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6. Grafica de la intensidad luminosa en funcion de la nueva

variable R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.7. Grafica Y vs X que corresponde a los valores de la ta-

bla 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.8. Grafica logY vs logX que corresponde a los valores to-

mados de la tabla 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.9. Grafica de y vs x en papel log-log de 3 5 ciclos . . . . 59

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Indice de figuras

4.10. Grafica de los puntos de la tabla 4.6 en papel milimetrico. 614.11. Grafica en papel log-log de los valores correspondientes

a la tabla 4.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.12. Dispositivo que se uso en el experimento. . . . . . . . . 644.13. Hiperbola obtenida mediante la grafica de P vs V , que

corresponde a los datos de la tabla 4.8. . . . . . . . . . . 664.14. Recta correspondiente a la tabla 4.9. . . . . . . . . . . . 674.15. Esquema del dispositivo utilizado para la fotografa. . . 72

5.1. Graficas de los puntos correspondientes a las tablas 5.1,A y B, en papel milimetrico. . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2. Graficas de los puntos correspondientes a las tablas 5.1,A y B en papel log-log. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3. Graficas logY vs X que corresponden a las tablas 5.2,A y B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4. Grafica en papel milimetrico de la tabla 5.3. . . . . . . . 865.5. Grafica en papel semilogartmico de la tabla 5.3. . . . . 87

6.1. Dispositivo que se usa en el experimento. . . . . . . . . 946.2. Masa oscilante y resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.3. Familia de rectas de distintas pendientes pero igual or-denada al origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.7. Familia de rectas de igual pendiente en papel log-log . . 1047.9. Pendulo bifilar de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

B.1. La recta se trazo procurando que tanto los puntos 2 y 4como los puntos 3 y 5 quedaran equidistantes a ella. . . 120

B.2. Puntos de la tabla B.1 graficados en un sistema X, Y. . 121

D.1. Ejemplos de diagramas de dispersion de puntos experi-mentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

D.2. Los puntos (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3) con las desviacio-nes D1, D2 y D3 de una cierta recta. . . . . . . . . . . . 144

D.3. Las desviaciones Dj, D

j , D

j de las figuras a, b y c sondiferentes en magnitud, aunque el punto (xj , yj) es elmismo en las tres figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

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PRESENTACION

El presente manual tiene como antecedente el manual de laborato-rio: Una introduccion a la Metodologa de la Experimentacion, en susediciones 1974 y 1977, publicado por la Facultad de Ciencias, u.n.a.m.que surgio de la colaboracion de muchos profesores cuyos nombres apa-recen en sus respectivos prologos y reconocimientos; en forma especialse menciona la labor del Profesor Juan Americo Gonzalez Menendez cu-yas inquietudes, ideas y aportaciones generaron el curso de laboratorio:Introduccion al metodo experimental: Un nuevo curso en la Facultadde Ciencias (Ver [11]).

Me ha tocado a m recoger estas experiencias, las propias y las delos companeros que conformamos la actual Coordinacion del Labora-torio de Fsica General de la Facultad de Ciencias, u.n.a.m. Con baseen ellas, en los ultimos anos hemos actualizado, modificado, corregi-do y aumentado todos los temas y hemos excluido todo lo referente ametodologa experimental.

Como todo libro de texto, tiene como finalidad proveer al estudiantede tecnicas elementales para la comprension, el analisis y la interpre-tacion de datos experimentales por el metodo grafico, lo cual, a su vez,constituira la base para la comprension del analisis estadstico que per-mitira establecer la relacion entre incertidumbre y desviacion estandar,la mejor recta a ojo y el ajuste por mnimos cuadrados. Por otraparte, dada la carencia de un texto que cubra la relacion directa queexiste entre datos experimentales, grafica y ecuacion y su conexion conlos terminos estadsticos, este manual pretende tambien servir como unauxiliar para los maestros de esta area de la fsica.

Aunque es necesario aplicar las tecnicas en datos experimentalesreales, aqu solo aparecen algunos experimentos que damos como ejem-plos o ejercicios, no se incluyen los experimentos a realizar, pues estosdependeran del fenomeno fsico o biologico que se pretenda ilustrar yde la iniciativa, ingenio y creatividad de los profesores y alumnos.

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Presentacion

Como se vera, el contenido de este manual sera util a todos losestudiantes en ciencias experimentales a nivel introductorio.

Los temas se exponen por orden de conocimientos, esto es, tratandode arribar a cada nuevo tema a traves de herramientas conocidas. Porlo tanto, se sugiere llevar el curso en el orden aqu establecido. Pero antetodo, es necesario aclarar al estudiante que las tecnicas se aprenderana traves de las actividades experimentales.

Para aquellos estudiantes que deseen ampliar sus conocimientos basi-cos, hemos agregado cinco apendices: en el apendice A, se dan las unida-des fundamentales y las unidades derivadas del Sistema Internacionalcon sus respectivas definiciones; asimismo encontraran el modo comose escriben esas unidades y los prefijos y smbolos de sus multiplos ysubmultiplos. Considerando que el conocimiento del metodo de analisisestadstico de datos experimentales debe llegar a los estudiantes inme-diatamente despues del analisis grafico, se incluyen los apendices B yD que se refieren al Criterio estadstico para asignar incertidumbres yAjuste de rectas por mnimos cuadrados respectivamente. El apendiceC, contiene ejercicios que esperamos ayudaran a los estudiantes a revi-sar algunos detalles de los primeros cinco captulos. En el apendice E,Logaritmos: propiedades y aplicaciones se encuentra la definicion, pro-piedades y algunas aplicaciones de los logaritmos. Este apendice, porsu importancia en el curso aparece al final pues creemos que sera elconsultado con mas frecuencia.

Reconociendo que a pesar de haberlo escrito con amor y con cui-dado, posiblemente contenga errores, seran bien recibidas todo tipo deindicaciones o sugerencias para futuras ediciones.

Finalmente quiero agradecer a mis companeros: Fs. Francisco Cer-vantes de la Torre, Fis. Emilio Jesus Flores Llamas y Fis. Hilda NoemNunez Yepez, la revision de este manual y sus acertadas sugerencias. Lamecanografa, graficas y dibujos se deben a la Fis. Hilda Noem NunezYepez a quien reitero mi agradecimiento. Asimismo, agradezco al Con-sejo Departamental de Fsica y a la Comision de Publicaciones, suaprobacion y apoyo.

Cd. Universitaria, octubre de 1987.

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PROLOGO A LA SEGUNDA EDICION

Ante todo quiero agradecer la buena acogida que se le brindo a laprimera edicion y la satisfaccion de ver que el numero de lectores quese sirven de este manual se ha incrementado.

Despues de dos reimpresiones agotadas, considere importante, enesta nueva edicion, atender las sugerencias que me hicieron algunosprofesores, corrigiendo omisiones y aumentando cuatro secciones y unapendice.

Las secciones aumentadas son:

IV.2.2. Graficado logartmico con incertidumbres.

IV.4.2. Ecuaciones de movimiento

A.D.2. Ajuste de parabolas por mnimos cuadrados.

A.D.2.1. Analisis dimensional.

Apendice F. Respuestas a los ejercicios propuestos.

Se corrigieron ademas algunas graficas, de manera que fueran masclaras y se cambio el orden de los apendices, quedando los ejercicios deaplicacion en el apendice E y sus respuestas al final, en el F, este meparece un orden mas logico y practico.

A los estudiantes quiero aclararles que estas tecnicas elementales lesserviran de base para cuando tengan que realizar experimentos de otronivel, interpretar curvas que aqu no se contemplan o usar aparatos demedicion mas sofisticados. Esto les dara pie para seguir estudiando porsu cuenta.

Agradezco la transcripcion computacional e insercion de las partesaumentadas de la Fs. Sabina Ruiz Chavara y a la Coordinacion deServicios Editoriales de la Facultad de Ciencias. unam.

Cd. Universitaria, abril de 1996

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PROLOGO A LA TERCERA EDICION

Agradezco la oportunidad de acercarme a ustedes en esta terceraedicion.

Con el afan de mejorar la version anterior, en esta pretendo acla-rar algunos conceptos confusos con cambios en la redaccion, corregiromisiones, y excluir algunas secciones que no son necesarias. Ademas,atendiendo a las sugerencias de algunos profesores y sin abandonar laidea expresada en la primera edicion de que los experimentos a realizardeben surgir del ingenio y creatividad de los profesores y alumnos de lasdiferentes areas en donde se este aplicando el metodo, compartire al-gunas ideas de experimentos que a m me han servido en la didacticae instrumentacion de la tecnica, el analisis del contenido fsico y el usoque se le puede dar a la ecuacion encontrada.

En esta edicion se vera que han desaparecido las secciones: Incerti-dumbre en la pendiente e Incertidumbre en la ordenada al origen queno son necesarias, puesto que una vez que el estudiante haya compren-dido la importancia de obtener la mejor recta (pendiente y ordenadaal origen) a partir de un conjunto de puntos medidos, optara por cal-cularla por el metodo estadstico de los mnimos cuadrados. Sugiero alos estudiantes que consulten el apendice D, seccion A.D.1, Ajuste derectas de la forma Y = mX+b por el metodo de mnimos cuadrados ; yde all sobre todo, la parte introductoria que es donde se explica cuandoes aplicable este metodo.

En el Captulo VI, Ejercicios de aplicacion en experimentos, se haninsertado los siguientes:

VI.1. El agua y el aceite

VI.2. Movimiento en dos dimensiones

VI.3. Ley de enfriamiento de Newton

VI.4. Oscilador vertical amortiguado

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Prologo a la tercera edicion

El primero es recomendable como introductorio a los fluidos; el ter-cero es necesario dentro de los temas de calor y temperatura y el cuartoilustra un fenomeno de ondas longitudinales. Como se ve, estos tres ex-perimentos son aplicables en la didactica dentro del Laboratorio deMecanica, tambien dentro del nuevo plan de estudios de la Facultad deCiencias.

Debo aclarar a los profesores que no es recomendable el uso de pro-gramas computacionales cuando todava no se han comprendido losconceptos ni el metodo del analisis grafico y que los estudiantes debengraficar en papel milimetrico durante el curso.

Finalmente agradezco a la Coordinacion de Servicios Editoriales dela Facultad de Ciencias, unam, la transcripcion computacional e inser-cion de las partes aumentadas en esta edicion.

Berta Oda NodaInstituto de Ciencias de la Atmosfera

Ciudad Universitaria, noviembre de 2004

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MEDICIONES E INCERTIDUMBRES

Durante el Siglo xvii los estudiosos de la Naturaleza, inspirados enlo inadecuado del metodo clasico para hacer avances ulteriores enel conocimiento, empezaron a pensar en la necesidad de saber que eralo que directamente provocaba la ocurrencia de un fenomeno para,eventualmente, poder pensar en como controlar su ocurrencia en algunaforma deseada. Si antes de esto se crea que las cosas se comportaban decierta manera porque esa era su manera natural de ser y se estudiabapara conocer estas maneras naturales, ahora todo lo observado erael efecto de una causa y la busqueda de esas causas se convirtio en elproposito central de la ciencia.

Este nuevo modo de hacer ciencia fue revolucionario en el sentido deque dejo de considerarse el mundo como hecho con una intencion dada,en el que todo esta predestinado para comportarse de determinadamanera, para empezar a verlo como una maquina de eventos en laque todo lo que ocurre, sucede porque algo haba ocurrido antes. Larevolucion cientfica fue un cambio de un mundo de cosas ordenadas deacuerdo a sus naturalezas propias, hacia un mundo de eventos ocurridosen un continuo mecanismo de antes y despues.

El mas destacado en este movimiento fue Galileo y por lo mismosuele llamarsele Revolucion Galileana a este cambio en el modo dehacer la ciencia.

Se descubrio entonces, que es factible desarrollar tecnicas muyprecisas para provocar fenomenos que pueden repetirse a voluntad ymedirse en condiciones controladas. Mas aun, que deba buscarse y pro-vocarse aquello que se deseaba conocer. Ademas, se puntualizo en que,antes de empezar a especular sobre las causas de un fenomeno naturalera necesario describirlo lo mejor posible tanto en terminos cualitativoscomo cuantitativos y para ello, se deban hacer las mediciones de lascaractersticas de los fenomenos observados.

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Mediciones e incertidumbres

Galileo como primer divulgador de esta revolucion, sento la tesisde que todo conocimiento de la Naturaleza debera establecerse porexperimentacion. (ver Evolucion del Pensamiento Cientfico, [5]).

1.1. La medida

Se dice que antes de la bien llamada Revolucion Galileana, losnaturalistas no saban medir practicamente nada. Las mas simples me-diciones de longitud eran diferentes en diversos lugares y era difcilcomprobarlas pues no existan patrones de longitud de aceptacion ge-neral. Medir el tiempo era aun mas complicado ya que los relojes queexistan en uso como los de Sol, de agua, de arena, etc., no servan pa-ra mediciones precisas de intervalos cortos de tiempo. En su juventud,Galileo observo el balanceo de una lampara de la catedral de Pisa ymidio el perodo de estas oscilaciones contando los latidos de su propiopulso.

Si Galileo con el tiempo llego a descubrir las leyes de la mecanica,es porque fue uno de los primeros en comprender la importancia derealizar mediciones. Inicio as una nueva forma de investigar y con ellolo que ahora llamamos Ciencia.

Cualitativamente, la luz roja es diferente de la luz azul y es innega-ble que impresionan de manera diferente a nuestros sentidos. Pero, unanalisis de la naturaleza de la luz, mostrara que ambas son radiacionelectromagnetica y que no difieren mas que en un aspecto cuantitativo:La primera, es de una longitud de onda cercana a 6.5 107m y lasegunda, cercana a 4.3 107m.

1.1.1. Por que medir

El hombre, a traves de sus sentidos, adquiere los conocimientos ele-mentales del mundo que lo rodea.

Los grados de intensidad de las sensaciones simples son cantida-des aceptadas por la generalidad. Comunmente se hacen apreciacio-nes de tipo cualitativo al decir: hace calor, hay mucho smog, mepego fuerte, etc. En general se entienden estas expresiones de la vidadiaria y no es necesario hacer evaluaciones precisas. Sin embargo, estasevaluaciones son particulares puesto que dependen de cada persona.

Cabe recordar que una de las caractersticas del conocimiento cien-tfico reside en su objetividad. Los hechos existen de manera indepen-diente a cualquier sujeto en particular y al modo como este los conozcao los imagine. La observacion cuantitativa de los hechos es una manera

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La medida

de objetivarlos. La medida hace posible asociar a las cosas y a los even-tos una caracterstica distintiva que todo mundo puede inspeccionar,verificar y utilizar. Asimismo, al asociar un valor numerico a una pro-piedad fsica, el observador la transforma en algo cuantitativo que escomunicable y hace posible reproducir las condiciones caractersticasde un fenomeno en investigacion.

Es necesario reconocer que, el acelerado avance de las ciencias natu-rales se debe en gran medida al avance tecnologico en los aparatos demedicion y a los metodos cada vez mejores de medir, ya que los aspec-tos cualitativos de un fenomeno son en el fondo debidos a diferenciascuantitativas que al ser evaluadas correctamente, permiten el estudiosistematico y profundo de los fenomenos naturales.

La medicion es pues, un paso esencial en el conocimiento y compren-sion del mundo que nos rodea.

1.1.2. Que es medir?

Medir no es la simple lectura en los aparatos de medida. Se le llamamedir a una serie de actividades y procedimientos que se llevan a cabocon el objeto de cuantificar alguna propiedad fsica o de evaluar algu-na variable de un fenomeno. Estas actividades contemplan diferentesaspectos que en parte se trataran en este manual.

El proceso de medicion es uno de los elementos primarios en elquehacer experimental, pero ciertamente no es el mas sencillo.

En una medicion de tiempo con un cronometro, por ejemplo, al repe-tir la medicion en las mismas condiciones, lo mas probable es que no seobserve la misma magnitud y que esta sea diferente tantas veces comose repita. Al tomar la lectura puede haber error de paralaje. Aun mas,debido al tiempo de reaccion caracterstico de todo humano, puede serque no sea iniciado o detenido el cronometro en el instante preciso,necesario. Por otra parte, tampoco se puede asegurar que el cronome-tro este en optimas condiciones porque puede tener imperfecciones deconstruccion afectando a la medida. Ademas, haciendo la medicion conotro metodo u otra tecnica puede resultar que se obtenga una magni-tud diferente y tambien, el medio dentro del cual se encuentra inmersolo que se mide, puede hacer variar la medicion.

Por estas y otras tantas razones, no se puede confiar en la simplelectura que da un instrumento de medicion. La incerteza en la magnitudobservada hace que no se pueda asegurar que esta sea una medicionexacta.

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Aun mas, se podra conocer la medicion exacta? Siempre habra du-da. Es por esto que se dice que todas las medidas son aproximadas,desde las mas burdas a las mas precisas y que, a lo mas, se puede ha-blar del grado de precision en determinada medida. Los errores* quepuede haber en la lectura simple del aparato de medicion, que aqu sellamaran incertidumbres, pueden ser analizados, clasificados y evalua-dos para ser considerados en adicion a la magnitud de la lectura en elinstrumento de medicion.

1.1.3. Sistemas de unidades

Las unidades como: metro, gramo, newton, segundo, etc. asociadasa un numero cualquiera, son las que les asignan caracter fsico a losnumeros. Un numero 3 puede ser de cualquier cosa pero 3 centmetrosya da idea de una longitud, y 3 horas lo hace de un intervalo de tiem-po. As pues, toda dimension fsica debe indicarse con sus unidadescorrespondientes.

Por otra parte, para asociarle una magnitud a una longitud, ma-sa, tiempo, etc., o sea cuantificar alguna caracterstica que se quisieramedir, bastara compararla con cualquier patron arbitrario que sirvierapara ello: codo, pie, vara, cuartillo, rondana, etc. No obstante para faci-litar la comunicacion nacional e internacional en transacciones comer-ciales, reportes cientficos, estudios socioeconomicos y administrativosetc., es necesario disponer de un sistema de unidades de referencia ac-cesible e invariante para todo mundo.

Para los estudiantes, a quienes va dirigido este manual son bienconocidos los sistemas mks y cgs con todos sus multiplos, submulti-plos y derivados, por ser los sistemas adoptados en Mexico y aceptadosinternacionalmente desde hace un siglo, lo cual permite ademas de lacomunicacion, la comparacion inmediata de los resultados de investi-gaciones que se llevan a cabo simultaneamente en diferentes pases. Sinembargo, aqu es necesario senalar que en el ano de 1960, la ConferenciaGeneral de Pesas y Medidas (Bureau International de Poids et Mesu-res) de la cual forma parte tambien Mexico, decidio por unanimidadla creacion de un sistema de unidades al que se le denomino SistemaInternacional (si), que incluye en sus unidades fundamentales, ademasde las de longitud, masa y tiempo, las de intensidad de corriente electri-ca A (ampere), de temperatura K (kelvin), de intensidad luminosa cd

*El termino error no se utiliza aqu en el sentido de equivocacion, sino queas se le llama a una pequena diferencia entre el valor real y el valor observado.

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Incertidumbres

(candela) y de cantidad de sustancia mol. Mas informacion sobre el si,aparece en el apendice A de este manual.

1.1.4. Aproximaciones

A menudo se oye decir que la fsica es ciencia exacta y por supuesto,no lo es. No es posible manejar magnitudes exactas cuando las medi-ciones no lo son.

Es muy usual en fsica, hacer apreciaciones aproximadas de las mag-nitudes, sobre todo cuando se manejan numeros muy grandes o muypequenos. El aproximar consiste en especificar el orden de magnitudde un valor, o sea, la potencia de diez mas cercana a ese numero. Unainformacion de esta manera, da una idea de la magnitud aunque secometan errores de 100%. Nadie conoce el numero de atomos que hayen la cabeza de un alfiler, pero a veces, es suficiente saber que es delorden de 1017(100 000 000 000 000 000).

1.2. Incertidumbres

Debido a los avances tecnologicos, en la actualidad pueden obtenersemediciones con tan alto grado de precision que pueden considerarseexactas. Tal es el caso de la medicion de la velocidad de la luz. Con laayuda de un laser de helio y neon estabilizado con metano, en el ano de1973, pudo ser medida la longitud de onda () de la luz y la frecuencia() de esta en el vaco, encontrandose que:

= 3.39 109m y = 88 1012 s1

Estas mediciones fueron tomadas con tanta precision que al multipli-carlas, se obtuvo para la velocidad de la luz el valor de 299 792 458m/scon un error calculado de 0.000 000 04%. Diez anos despues de esteacontecimiento, la comunidad cientfica acepto tomar este valor, obte-nido experimentalmente, como velocidad de la luz constante en el vacoy sin incertidumbre debido a la alta precision con que fue medida.

Este es un caso excepcional de precision pues, como ya se dijo, todamedicion es susceptible de error o incertidumbre que debe ser evaluadaen magnitud como se vera mas adelante.

Hasta antes de 1983, el valor aceptado para la velocidad de la luz erael de: (299 792 300800)m/s. En esta expresion, el valor 299 792 300m/srepresenta la mejor estimacion de la velocidad, y 800m/ s la magnitudde la incertidumbre calculada. En otras palabras, la expresion represen-tada as indica que la velocidad de la luz es de un valor que esta entre

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(299 792 300 800)m/ s y (299 792 300 + 800)m/ s y que no se puedeprecisar cual es el valor exacto de ella pero s se puede confiar en quese encuentra dentro del intervalo:

[(299 792 300 800), (299 792 300+ 800)]m/ s.

En general, toda medicion X , debe ser expresada de la manera:X = Xo X , donde Xo es la magnitud obtenida o leda en el ins-trumento de medicion y X es la magnitud del error o incertidumbreevaluada segun el tipo de medicion de que se trate.

Mientras mas precisa es la medicion, menor es la incertidumbre aso-ciada. Al reportar una medicion, en lugar de un solo numero, se espe-cifica un intervalo. Aunque el valor real de una magnitud sera siempredudoso, al asignarle una incertidumbre a la medicion se expresa laconfianza de capturar ese valor verdadero dentro del intervalo definido.Cuantificar la incertidumbre es importante para poder estimar el gradode validez de los datos obtenidos.

1.2.1. Los errores y sus fuentes

Es tarea del observador tratar, en lo posible, de minimizar las incer-tidumbres para obtener mediciones precisas y por lo tanto es necesarioconocer los tipos de errores que pueden afectar y los factores que losgeneran.

Los errores en la medicion surgen de diferentes fuentes, que son: loque se mide, el instrumento de medicion, el observador, las condicionesexternas y tambien el metodo seguido para medir.

Cada una de ellas, por separado, contribuye en mayor o menor gradoa la incertidumbre total. La tarea de detectar y evaluar las incertidum-bres no es simple e implica conocer muchos aspectos de la medicion.

Conociendo las fuentes de incertidumbre, es posible, clasificar dosconjuntos de errores: los aleatorios y los sistematicos.

Al hacer una medicion, repetidas veces en las mismas condiciones,puede suceder que la magnitud observada se repita tantas veces comola medicion se lleve a cabo y si es as, se trata de una medicion re-producible. Si al contrario, la magnitud observada vara cada vez quese mide, aunque esto se haga en las mismas condiciones, se trata deuna medicion no reproducible. El que se reproduzca o no la medicion,depende del tipo de error que resulta ser mas significativo en cada caso.

Los errores aleatorios son tambien llamados estocasticos, azarososo fortuitos y estos, son las perturbaciones que afectan a una medicion

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Incertidumbres

en forma erratica accidental y en magnitudes diferentes haciendo que,en general, si una medicion se repite varias veces, resulta ser no repro-ducible aunque supuestamente se haga en las mismas condiciones. Loque pasa es que los errores aleatorios escapan al control del observadorhaciendo variar las condiciones. En general pueden ser evaluados perono siempre pueden ser eliminados.

En cambio, los errores sistematicos son aquellos que alteran la medi-da de una manera constante, esto es, que afectan a la medicion siempreen la misma forma y en la misma magnitud. Esta caracterstica haceposible que una medicion pueda ser reproducible si los errores aleato-rios son de magnitud tan pequena que no se aprecie diferencia entreuna medicion y otra. En otras palabras, que si la medicion es reprodu-cible, no se puede concluir que la incertidumbre sea cero. Lo que sucedees que los errores aleatorios quedan ocultos, que son menores que laincertidumbre asociada al aparato de medicion, como se explicara masadelante.

Si se detectan, los errores sistematicos s pueden eliminarse. Unamanera de encontrarlos es efectuando la misma medicion, con metodosdiferentes. Otras veces se cuantifican por calibracion de instrumentosal compararlos con patrones de medida. En ocasiones el analisis grafi-co tambien los pone de manifiesto. Ejemplos: un reloj que se atrasamedira tiempos sistematicamente menores; una cinta de acero torcidaproporciona medidas excedidas por una cantidad igual al aumento delongitud producida por la torcedura.

Un ejemplo de error sistematico corregido, es el que se da a conti-nuacion:

EL UNIVERSO DE KAPTEYN

Para determinar el tamano y forma del universo, los astronomos de principiosdel siglo xx contaban el numero de estrellas de diferente brillantez aparente,en funcion de su ubicacion en la esfera celeste.

Bajo la suposicion de que todas las estrellas tuviesen la misma brillantezintrnseca,* la variacion en el brillo aparente se debera unicamente a la dis-tancia a la que se encuentran de la Tierra: las estrellas cercanas apareceranmas brillantes que las lejanas. En esta forma al contar estrellas cada vez masdebiles estaramos observandolas a mayores distancias.

William Herschel, quien uso por primera vez el metodo en el siglo xviii,encontro que a partir de cierta brillantez aparente el numero de estrellas

*Esto no es cierto, pero era una suposicion razonable si no se poda saber cualera la brillantez intrnseca de cada estrella.

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disminua rapidamente por lo que no pareca haber estrellas a partir de ciertadistancia.

El metodo se refino y se realizaron observaciones durante todo el siglo xixque culminaron con el trabajo de Kapteyn en 1922. Este, reviso cuidadosa-mente decadas de observaciones y concluyo que el sistema de estrellas al quepertenece el Sol tiene la forma de un gran disco abultado, (figura 1.1), sudiametro era de 104 anos luz y su grosor de un quinto de este valor; el Solestaba localizado casi en el centro de este sistema. Esto constitua todo eluniverso pues fuera de este disco no haba nada.

Figura 1.1. El Universo de Kapteyn.

As, en 1922, el universo entero se haba medido: su diametro era de 104

anos luz, y tena al Sol en el centro.

Actualmente sabemos que Kapteyn estaba completamente equivocado, eltamano del universo es de 1010 anos luz, y lo que el consideraba comouniverso es solamente una parte de nuestra galaxia (si no es que existe algunotro error sistematico que aun este afectando esta medida).

Como pudieron Kapteyn y los cientficos de su tiempo, estar tan equi-vocados? Como es que observaciones realizadas con mucho cuidado dieronresultados tan malos? La respuesta es que haba un serio error sistematicoque viciaba sus conclusiones: no tomaban en cuenta la existencia de nubesde polvo interestelar (pequenos granos de materia que flotan entre las estre-llas), el polvo hace aparecer las estrellas mucho mas debiles de lo que sone incluso las oculta por completo.* Los investigadores no supieron estimarla influencia del polvo en sus cuidadosos conteos de estrellas. Debido a esteerror se penso por cerca de un siglo que lo que se vea en la cercana del Solera la totalidad del universo!

*El polvo interestelar esta tan esparcido en el espacio que la mayora de las es-trellas en la galaxia permanecen ocultas si solamente las observamos con telescopiosopticos.

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Incertidumbres

Figura 1.2. La imagen actual de nuestra galaxia.

La imagen actual que se tiene de nuestra galaxia, es muy diferente de lade Kapteyn (figura 1.2).

Aunque se confa mas en los datos disponibles ya que se han obtenido

con nuevas y complejas tecnicas de observacion no puede descartarse la po-

sibilidad de existencia de errores sistematicos o conceptuales en este campo.

(Discovering Astronomy ; W. H. Jeffrys y R. R. Robbins (1981); Cap. I)

1.2.2. Incertidumbre en medidas reproducibles

Si a pesar de la influencia de los errores sistematicos y aleatorios,no se detecta variacion de una medicion a otra, quiere decir que lavariacion no rebasa la mitad de la mnima escala del instrumento demedicion.

Este criterio es util y puede establecerse en el caso de aparatosde medida sencillos: regla, transportador, balanza, probeta graduada,manometro, termometro de mercurio, etc. El fabricante garantiza quesus instrumentos estan disenados y construidos de tal manera que aun-que sufran variaciones accidentales, al hacer una medicion, el aparatointroduce una incertidumbre maxima igual a la mitad de la divisionmas pequena de la escala.

Si al medir la longitud de un objeto con una regla en mm se obtiene28.4 cm, la incertidumbre sera de 0.05 cm y el resultado se reportacomo:

(28.4 0.05) cm.Hay casos especiales que pueden incluirse: el vernier, ciertamente no

es sencillo, pero si permite leer decimas de milmetro, la incertidumbre

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sera de media decima de milmetro. Para el cronometro se puede utilizarla misma regla siempre y cuando se consideren tiempos pequenos,ya que para tiempos grandes el cronometro puede introducir erroressistematicos mucho mayores que la mitad de la division mas pequenadel cronometro.

En pocas palabras: En casos en que se usen aparatos de medidasencillos, si la medicion es reproducible se asigna una incertidumbreigual a la mitad de la division mas pequena del instrumento.

Ejemplo 1.2.1. Si al medir repetidas veces la masa de una piedra enuna balanza cuya mnima escala es de 0.1 g, se obtiene siempre 37.2 g,la incertidumbre, (m), sera de 0.05 g y el resultado se reportara como:

m = (37.2 0.05) gy as, el intervalo de incertidumbre sera de 37.15 a 37.25 g.

1.2.3. Incertidumbre en medidas no reproducibles

Cuando se hacen repeticiones de una medida en las mismas condi-ciones y estas resultan en general diferentes, tomando en cuenta que lamedida real no se puede conocer, surgen dos preguntas interesantes:

a) Cual es el valor que se reporta?, es decir: Cual es el valor masprobable?

b) Que incertidumbre se asigna a este resultado?

Para resolver el inciso a), se acepta por el momento que el valor masrepresentativo es el promedio X que se calcula como sigue:

X =X1 +X2 + +Xn

n

en donde X1, X2, . . . , Xn son las lecturas particulares y n es el numerode repeticiones. (Ver Apendice B).

En cuanto a la pregunta del inciso b), el tratamiento riguroso deesta cuestion pertenece a la estadstica. En este curso introductorio, seusara un criterio muy sencillo: es evidente que la incertidumbre debereflejar la diversidad (dispersion) de valores obtenidos y ademas, intere-sa que el intervalo definido capture, en lo posible, el valor verdaderode la medicion. En tal situacion, se asigna como incertidumbre la des-viacion absoluta maxima (d.a.m.), que es simplemente la mayor de lasdiferencias absolutas entre el valor promedio y las lecturas obtenidas.

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Incertidumbres

Se ilustra lo anterior en el siguiente caso:

Al medir el tiempo de vaciado del agua contenida en un embudocuando escurre por el fondo, despues de repetir el experimento cincoveces en las mismas condiciones, se obtuvieron los siguientes datos:

t1 = 35.4 s

t2 = 30.2 s

t3 = 33.0 s

t4 = 29.6 s

t5 = 32.8 s.

El tiempo mas probable (t) es:

t =t1 + t2 + t3 + t4 + t5

5= 32.2 s

Los valores extremos son; 35.4 s y 29.6 s. La mayor de las diferenciasocurre con 35.4 s:

|32.2 s 35.4 s| = 3.2 s.

La incertidumbre asociada (d.a.m.) es entonces 3.2 s y el resultadose reporta como:

t = (32.2 3.2) s.

Por supuesto, si una de las lecturas difiere considerablemente delresto, seguramente no se trata de un error accidental, sino de unametida de pata.

Advertencia: Notese que si el numero de repeticiones aumenta, la dis-persion de datos se hara mayor y la d.a.m. crecera, lo cual va en contrade la asignacion de incertidumbre en estadstica.

Considerese este criterio (d.a.m.) para asignar incertidumbres a me-diciones no reproducibles, como un escalon util en la formacion cientfi-ca del estudiante para llegar despues a la estadstica como la herramien-ta mas refinada para resolver el problema de la incertidumbre debidaa los errores estocasticos o aleatorios.

El tratamiento estadstico para la asignacion de incertidumbres amediciones no reproducibles se da en el Apendice B al final de estemanual.

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1.2.4. Incertidumbre absoluta

El error absoluto se define como la diferencia absoluta entre el va-lor verdadero de una magnitud y el valor medido. Como el valor reales desconocido, para propositos practicos se usara como incertidum-bre absoluta a la (X) que es simplemente la incertidumbre asociadaa la medicion (d.a.m. o la mitad de la division mas pequena, o la in-certidumbre por error de calibracion) como se explica en las partes:1.2.2. Incertidumbre en medidas reproducibles y 1.2.3. Incertidumbreen medidas no reproducibles.

1.2.5. Incertidumbre relativa rX

Otra forma de evaluar las incertidumbres es la incertidumbre relati-va. Para ilustrar lo que es la incertidumbre relativa, se consideran lossiguientes casos de mediciones de longitud, efectuadas ambas con unacinta metrica cuya mnima escala es 0.1 cm:

Ancho de una puerta: a = (150.0 0.05) cmLargo de un lapiz: L = (10.0 0.05) cm

Como se ve, la incertidumbre absoluta es la misma en ambas me-diciones, sin embargo, 0.05 cm repartidos en 150.0 cm es mucho menosque lo que es al repartirse en 10.0 cm o en otras palabras, que la signi-ficancia de 0.05 cm es mayor cuando se miden 10.00 cm que cuando semiden 150.0 cm.

As pues, la incertidumbre relativa es el cociente que resulta entrela incertidumbre absoluta y la magnitud observada:

rx =x

x0

y para los ejemplos anteriores:

ra =0.05 cm

150.0 cm= 0.00033 y rL =

0.05 cm

10.0 cm= 0.005.

Como se ve, la incertidumbre relativa es una magnitud adimensional.

1.2.6. Incertidumbre porcentual %X

Si se dice que una medicion, Xo, tiene una incertidumbre de un50% cualquiera puede darse una idea de la magnitud de error, aun

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Cifras significativas

sin conocer la magnitud observada e igual sucedera si el error fuerade 5%.

Es por eso que la incertidumbre porcentual es el ndice mas comun-mente usado para especificar la precision de una medida y se evaluamultiplicando la incertidumbre relativa por 100%:

%X = rX 100%

Continuando con los ejemplos anteriores, nos queda:

%a = 0.00033 100% = 0.033%%L = 0.005 100% = 0.5%

1.2.7. Por que manejar incertidumbres

Parece que complican las cosas innecesariamente, pero se puede de-cir y se comprobara en las practicas que, en el uso de incertidumbresdescansa una buena parte de la validez del curso.

Al hacer un experimento y encontrar diferencia entre los resultadosy el texto, es facil para el estudiante echarle la culpa a los aparatos oa los errores cometidos cuando no se analizan ni se cuantifican.

La aplicacion de ciertas tecnicas que se aprenderan en este curso,hara que el estudiante sienta confianza en sus resultados, lo ayudara adesterrar el espritu de cuchareo y le hara sentir que el experimentos sale.

1.3. Cifras significativas

En una medicion, son cifras significativas todas aquellas que puedenleerse directamente del aparato de medicion utilizado.

El reportar medidas con el numero correcto de cifras significativas,indica implcitamente, la mnima escala del instrumento de medicion ya su vez esto, esta dando otra manera de estimar la incertidumbre.

Ejemplo 1.3.1. La cantidad de 12.49 cm, medida con un vernier cuyamnima escala es 0.01 cm, tiene cuatro cifras significativas: 1, 2, 4 y 9,puesto que en ese vernier pueden leerse hasta las centesimas de centme-tro e implcitamente se esta considerando un intervalo de incertidumbreque va desde 12.485 cm, hasta 12.495 cm.

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Ejemplo 1.3.2. Si la mnima escala del vernier fuera de

0.05mm = 0.005 cm,

el dato del ejemplo 1.3.1 estara mal expresado ya que debera reportar-se como 12.490 cm, quedando as indicado que la medicion haba sidotomada con un instrumento de medicion que mide hasta 5 centesimasde milmetro. En este caso la expresion tendra 5 cifras significativascorrectas y se estara considerando un intervalo de incertidumbre desde12.4875 cm hasta 12.492 5 cm, tomando en cuenta que en este ejemplola incertidumbre sera de 0.0025 cm (la mitad de la mnima escala delvernier).

Si al expresar un resultado no se hace ninguna indicacion de su in-certidumbre (d.a.m.,% de error, etc.), debe entenderse que se esta ha-ciendo uso del criterio anterior.

Se ilustran a continuacion, algunas situaciones particulares:

a) Cuando las cifras no tienen sentido.

La medida 2.047 63 kg obtenida con una balanza de sensibilidad1/10 g, tiene cinco cifras significativas: 2, 0, 4, 7 y 6. El 3, quecorresponde a centesimas de gramo, no puede leerse en esta ba-lanza y por consiguiente, no tiene sentido.

b) Cifra apreciada.

Cuando el observador intenta calcular una fraccion de la longitudentre dos marcas sucesivas de una escala y asigna un numero ala aproximacion, esta dando una cifra apreciada.

En una medicion de 10.57 cm, con regla en milmetros, el 7 escifra apreciada y la medicion tiene solo 3 cifras significativas. Enocasiones se presenta la siguiente situacion: La longitud esta entre36 y 37mm; aproximadamente a la mitad. Como se reporta?(36.5 0.5)mm? (37 0.5)mm?En estos casos se justifica apreciar una cifra mas con el objetode centrar el intervalo de incertidumbre: (36.5 0.5)mm. Sim-plemente se asegura as que la longitud este comprendida entre36 y 37mm.

La cifra apreciada no es significativa de acuerdo a nuestra defini-cion y se indica subrayandola.

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Cifras significativas

Figura 1.3. Cual es la lectura?

c) El punto decimal.

Cuando tenemos que: 3.714m=37.14 dm=371.4 cm=3714mm,en todos los casos hay 4 cifras significativas. La posicion del puntodecimal es independiente del numero de ellas.

d) El cero como cifra significativa.

En los casos en que haya necesidad de hacer cambio de unida-des agregando ceros a la derecha o a la izquierda se tiene que,tomando el ejemplo anterior:

3.714m = 0.003 714 km = 3.714 103 km.Tomando la segunda igualdad se ve que el numero de cifras sig-nificativas es 4 y los ceros agregados no cuentan como cifrassignificativas. Por otro lado, transformando a micras:

3.714m = 3 714 000= 371.4 104 y tomando la segunda igualdad el numero de cifras significativassigue siendo 4.

En otras palabras, que la notacion de potencias de 10 resuelve elproblema para estos casos.

Debe notarse que este ultimo criterio se aplica si y solo si los cerosagregados a la izquierda o a la derecha resultan de una transformacionde unidades, porque si no es as, los ceros a la derecha pueden sersignificativos como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.3.3. Al medir con una regla cuya mnima escala son losmilmetros, la magnitud observada es de 27.0 cm. El cero de la derechaes significativo e indica, como ya se dijo, que la mnima escala delinstrumento con el cual se midio son las decimas de centmetro. El cerode la derecha no fue agregado puesto que fueron observados 270mm ypor lo tanto la medicion tiene 3 cifras significativas.

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1.4. Redondeo

En mediciones no reproducibles, es muy comun que al calcular elvalor promedio, y de ah su incertidumbre, se obtengan mas cifras quela cantidad de cifras significativas que indica el aparato de medicion.En estos casos es necesario redondear. Despues de efectuadas todaslas operaciones necesarias promedio y d.a.m. se redondea el valorpromedio al numero de cifras decimales que son significativas y parala incertidumbre se acepta una cifra mas.

Redondear una medicion con cifras decimales es aproximar la ultimacifra significativa, haciendola crecer en una unidad o suprimiendo todoslos dgitos que le siguen a su derecha con los siguientes criterios:

a) Si el dgito que sigue a la derecha de la ultima cifra significativaes menor que cinco, simplemente se suprime este y todo lo demasque le siga. Por ejemplo, si se trata de redondear a decimas :

7.83 redondeado, da 7.8


b) Si lo que sigue a la derecha de la ultima cifra significativa esmayor que cinco, la ultima cifra significativa crece una unidad.

Si la ultima cifra significativa es la de las milesimas:




c) Si la cifra que sigue a la que se quiere redondear es precisamen-te cinco, la cifra redondeada sube una unidad si es impar, y seconserva suprimiendo el cinco, si es par.

Si la ultima cifra significativa es la de las centesimas:



1.4.1. Redondeo en numeros

Es muy comun que en cocientes como por ejemplo 10/3 o 1/6 o ennumeros irracionales como son pi o e, se tenga un sinnumero de cifras

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Operaciones con cifras significativas

decimales. En estos casos, el redondeo se efectua usando los criteriosantes mencionados y en el numero de cifras decimales que se quiera.El numero pi, calculado con 12 cifras decimales es:

pi = 3.141 592 653 589

pero redondeado a menos cifras puede ser: 3.141 6 o 3.142 o 3.14 o 3.1.

El numero 1/6 = 0.166 666 . . . redondeado puede ser 0.166 7, 0.167,0.17 o 0.2.

1.5. Operaciones con cifras significativas

En la practica experimental, muy comunmente se dan los casos enque se tienen que hacer operaciones aritmeticas con mediciones de di-ferente numero de cifras decimales significativas. El criterio generalque se sigue para expresar el resultado en estos casos se ilustra en elejemplo 1.5.1.

Ejemplo 1.5.1. Un joven salio de su casa en auto y tardo 10 minutospara llegar a la de su amiga. All pasaron 45 segundos para que ellaabordara el carro y despues ya juntos se tardaron alrededor de 1 horapara llegar a la Universidad. Podra decir este joven que empleo 1 hora10 minutos y 45 segundos en el trayecto de su casa a la Universidad?Pues no. Tendra que haber medido la ultima hora con una precisionde segundos, y no fue as.

La mejor apreciacion que podra hacer del tiempo sera alrededorde una hora o sea que la precision del resultado final esta determi-nada por la precision de la cantidad peor medida. Asimismo en lasoperaciones de cantidades que tienen diferente numero de cifras deci-males, el resultado debe expresarse con tantas cifras decimales comocorresponde a la cantidad que menos cifras decimales tenga.

1.5.1. Suma y resta con cifras significativas

Como se vio en el ejemplo 1.5.1, si se quieren sumar: Una medidacon precision de milesimas a otra con precision de decimas menosprecisa que la primera el resultado debera expresarse con precisionde decimas, redondeando.

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Por ejemplo al efectuar la suma:

26.031.485

+ 0.928.415

El resultado redondeado sera: 28.4El tercer termino solo se aproxima a las decimas, luego entonces el

resultado se redondea hasta las decimas y se reporta como 28.4. Enotras palabras, que no se podra reportar una precision de mas de unacifra decimal si alguno de los sumandos no pasa de una. Para la resta elprocedimiento es el mismo. Al restar 21.2763.3 = 17.976 el resultadoredondeado que se reporta es 18.0.

1.5.2. Multiplicacion y division con cifras significativas

Aqu tambien como en la suma y resta, el criterio que se sigue paradeterminar el numero de cifras significativas es el de que la precisiondel resultado final esta determinado por la cantidad peor medida.

As la precision de una multiplicacion o division no puede ser mejorque la precision de la cantidad menos precisa que aparezca como factor.

Por ejemplo al efectuar la multiplicacion:

325.054 1.2

65 0108325 054390.0648

El resultado redondeado sera: 390.1El factor de menos precision tiene una sola cifra decimal y en con-

secuencia el resultado se redondea a 390.1 con una sola cifra decimal.Al dividir 458.0 0.37 = 1 237.837 83 . . . el resultado redondeado

que se reporta es 1 237.8, puesto que el factor de menos precision tieneuna sola cifra decimal.

Nota:En el Apendice E al final de este manual se dan ejercicios de Aplicacionen mediciones, Incertidumbres, Cifras significativas y Redondeo.

18

analisis 2008/2/12 20:31 page 19 #35

2

MEDICIONES INDIRECTAS

Medicion indirecta es aquella que se obtiene como resultado deoperaciones realizadas con dos o mas mediciones directas.Hasta aqu, todas las medidas efectuadas han sido directas, en el

sentido de comparar la magnitud desconocida con la unidad de medida.Sin embargo, pensando un poco, se vera que las medidas directas noson las unicas, que su porcentaje es minoritario y que tampoco son lasmas importantes: Cual es la masa de la Tierra? El numero de pinosde un bosque? La temperatura en el interior del Sol? La cantidadde globulos rojos en la sangre de una persona?, y el contenido deazucar o colesterol? La carga del electron? Ninguna de las medicionesanteriores puede obtenerse directamente y su determinacion implica unbuen conocimiento de la fsica o la biologa.

2.1. Propagacion de incertidumbres

Cuando se realizan operaciones aritmeticas con valores experimen-tales, el resultado siempre tiene una incertidumbre. En lo que sigue, seanalizan y obtienen resultados generales para la suma, resta, multipli-cacion, division y potenciacion de mediciones directas.

a) Suma

Si una magnitud es el resultado de la adicion de otras dos:

Z = X + Y,

donde X = Xo XY = Yo Y

19

analisis 2008/2/12 20:31 page 20 #36

Mediciones indirectas

entonces, Z = (Xo X) + (Yo Y )Z = (Xo + Yo) (X + Y )

Si, Z = Zo Z

entonces, Zo = Xo + Yo

y Z = X + Y.

Ejemplo 2.1.1. Al medir el largo de una mesa con una regla de 30 cmgraduada en mm, se obtuvo 78 cm es correcto? No, el resultado debecalcularse as:

X1 = (30.0 0.05) cmX2 = (30.0 0.05) cmX3 = (18.0 0.05) cm

Zo = (30.0 + 30.0 + 18.0) cm

Zo = 78.0 cm

Z = (0.05 + 0.05 + 0.05) cm

Z = 0.15 cm

Z es la incertidumbre absoluta de Z y entonces,

Z = (78.0 0.15) cm,

aunque sera conveniente, en este caso, usar una cinta metrica.

b) Resta

Si Z = X YEl valor maximo de Z es:

Zo + Z = (Xo + X) (Yo Y ) = (Xo Yo) + (X + Y )

y el valor mnimo de Z:

Zo Z = (Xo X) (Yo + Y ) = (Xo Yo) (X + Y )

20

analisis 2008/2/12 20:31 page 21 #37

Propagacion de incertidumbres

entonces,

Z = Zo Z = (Xo Yo) (X + Y )

con

Zo = Xo Yo y Z = X + Y.

Ejemplo 2.1.2. Z = X Y en donde:

X = (28.0 0.05) cmY = (27.0 0.05) cmZo = (Xo Yo) = (28.0 27.0) cm = 1.0 cmZ = (X + Y ) = (0.05 + 0.05) cm = 0.1 cm;

Z = (1.0 0.1) cm.

Conclusion: tanto en la suma como en la resta de dos mediciones laincertidumbre absoluta del resultado es la suma de las incertidumbresabsolutas de las mediciones.

c) Multiplicacion

Si Z = a bdonde a y b son cantidades medidas directamente y por lo tanto:

a = ao a y b = bo b

entonces:

Z = (ao a) (bo b)

y desarrollando paso a paso el producto de binomios se tiene que

Z = aobo aob boa+ (a)(b)

donde el ultimo termino del miembro derecho, por ser producto de in-certidumbres, es de magnitud despreciable en comparacion a los demasy se desprecia quedando:

Z = aobo (aob+ boa)

21

analisis 2008/2/12 20:31 page 22 #38


y como

Z = Zo ZZo = aobo

y Z = aob+ boa

es la incertidumbre absoluta de Z.La incertidumbre relativa* de Z, se calcula con Z y Zo:

rZ =Z

Zo=

aob+ boa

aobo=

b

bo+a

ao

y de aqu se ve que la incertidumbre relativa en un producto es la sumade las incertidumbres relativas de cada uno de los factores.

d) Division

Si, Z =P

Q= Zo Z

En donde P = Po Py Q = Qo Q

entonces, Z =Po PQo Q = Zo Z

De todas las combinaciones posibles con los signos se puede deter-minar el valor maximo de Z o sea Zo + Z que estara dado al dividirel valor maximo de P entre el valor mnimo de Q esto es,

Zo + Z =Po + P

Qo Q (2.1)

y el valor mnimo de Z sera el cociente del valor mnimo de P entre elmaximo de Q, o sea,

Zo Z = Po PQo + Q

(2.2)

y restando miembro a miembro la expresion (2.2) de la (2.1) se tieneque para el miembro izquierdo

(Zo + Z) (Zo Z) = 2Z*Ver las secciones 1.2.4, 1.2.5 y 1.2.6, pag. 12 .

22

analisis 2008/2/12 20:31 page 23 #39


y para el miembro derecho

Po + P

Qo Q

Po P

Qo + Q=

(Qo + Q)(Po + P ) (Qo Q)(Po P )

(Qo Q)(Qo + Q)

por lo tanto:

2Z =QoPo +QoP + PoQ+ QP [QoPo QoP PoQ+ QP ]

Q2o (Q)2

sumando terminos semejantes y suprimiendo (Q)2 por ser despreciablefrente a Q2o

2Z =2(PoQ+QoP )

Q2o

y de aqu que:

Z =PoQ+QoP

Q2o

es la incertidumbre absoluta de Z, y:

Zo =PoQo

Por otra parte, la incertidumbre relativa de Z sera:

rZ =Z

Zo=

PoQ+QoP

Q2o

/PoQo

rZ =Qo(PoQ+QoP )

PoQ2o=

Q

Qo+P

Po.

Conclusion: Tanto en el caso de un producto como de un cociente, laincertidumbre relativa asociada al resultado es la suma de las incerti-dumbres relativas asociadas a cada medicion directa. En consecuencia,las incertidumbres porcentuales en el producto y en el cociente tambienresultan de la suma de las incertidumbres porcentuales de los factores.

e) Potenciacion

Por lo antes visto en el inciso c) referente a la multiplicacion, setiene que si:

T = To TT 2 = (To T )2 = (To T )(To T )

T 2 = T 2o 2ToT

23

analisis 2008/2/12 20:31 page 24 #40


de aqu se ve que la incertidumbre absoluta de T 2 es 2ToT y que:

r(T2) =

2ToT

T 2o= 2

T

To

T 3 = T 2 T = (T 2o 2ToT )(To T )

T 3 = T 3o T 2o T 2T 2o T 2To(T )2

T 3 = T 3o 3T 2o T y r(T 3) =3T 2o T

T 3o= 3

T

To

As pues, procediendo de la misma manera, se tiene que:

T 4 = T 3 T = T 4o 4T 3o T y r(T 4) = 4T

To

y que para toda potencia n donde n puede ser positiva negativa ofraccionaria:

T n = T no |n|T n1o T y r(T n) = |n|T

To.

Ejemplo 2.1.3.

T = T 1/2 = T 1/2o |1/2|T 1/21o TT = T 1/2o (1/2)T1/2o T

que puede escribirse como:

T = T 1/2o

T

2To

donde la incertidumbre absoluta de T esta dada por:

(T ) =

T

2To

y, por lo tanto:

r(T ) =

(T

2To

/To

)=

T

2To=

1

2

(T

To

).

24

analisis 2008/2/12 20:31 page 25 #41


Ejemplo 2.1.4.

X3 = X3o | 3|X31o XX3 = X3o 3X4o X

por lo tanto la incertidumbre absoluta de X3 esta dada por:

(1

X3

)=

3X

X4o

de donde,

r

(1

X3

)=

3X

X4o

/1

X3o=

3X3oX

X4o= 3

X

Xo

es su incertidumbre relativa.

Nota:En el Apendice E se dan ejercicios para tarea o para repasar las partesde mediciones directas e indirectas.

25

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3

RELACIONES ENTRE VARIABLES

Un experimento es una de las actividades a la que muy frecuente-mente se recurre para comprender la naturaleza de un fenomeno,para comprobar o demostrar lo que teoricamente se deduce o por otrasmuy diversas razones.

Para avocarse a ello, es necesario comenzar por la identificacion delas variables caractersticas cuyo cambio podra ser observado cualita-tiva y cuantitativamente. El conocimiento de las variables y la forma enque dependen unas de otras, o sea saber cual es la relacion que existeentre ellas, permite obtener informacion del proceso y posteriormenteelaborar un modelo de el.

Sin embargo, estudiar sistemas caracterizados por varias variables esconfuso, complicado y muchas veces imposible. Por lo tanto, es conve-niente y siempre es posible, restringir el numero de variables y analizarlos sistemas por partes.

As pues, la seleccion de las variables de acuerdo al tipo de infor-macion que se busca, es el primer paso a efectuar en un experimento.Cuando un fenomeno puede ser descrito por dos variables, se dice queuna es la variable independiente y la otra la dependiente. En el la-boratorio, la variable independiente es la variable controlada, o sea,aquella a la que el experimentador le asigna valores determinados yla dependiente, es la variable que resulta afectada por los valoresasignados a la variable independiente.

Una vez que se ha escogido cual sera la variable independiente ycual la dependiente, lo que sigue es determinar los lmites dentro delos cuales se modificara la variable independiente, as como determinarcuantos valores o que valores asignarle, esto es, planificar el metodo aseguir en el estudio de tal fenomeno. En un laboratorio escolar comoel nuestro es necesario ademas tomar en cuenta que el experimento arealizar estara restringido por el material disponible en el laboratorio ypor el tiempo que lleva hacer cada medicion. En resumen, para iniciar

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analisis 2008/2/12 20:31 page 28 #44

Relaciones entre variables

un experimento es necesario analizar con detenimiento y determinar,segun sea el objetivo perseguido:

a) Las variables a controlar.

b) El intervalo dentro del cual van a variarse dichas variables.

c) El metodo y los instrumentos para medirlas.

d) El numero de puntos experimentales a medir.

e) El numero de repeticiones de la medicion para cada punto.

Ejemplo 3.1 (Movimiento horizontal). Para este experimento se cuentaen nuestro laboratorio con un riel sobre el cual se hace deslizar un balnal que se le imprime energa cinetica, dejando caer el baln por un planoinclinado desde cierta altura, tratando de caracterizar un movimientohorizontal en la parte horizontal del riel.

Pensando solo en las principales variables que caracterizan este sis-tema se podran enumerar las siguientes:

1) La distancia que recorre el baln sobre el plano horizontal.

2) El tiempo que tarda en recorrerla.

3) la friccion que se opone al movimiento.

4) La velocidad que adquiere el baln al llegar al plano horizontal.

5) El diametro del baln.

6) La calidad (esfericidad) y material con que esta construdo el baln.

Si se utiliza un mismo baln en todo el proceso, los puntos 5 y 6 pasana ser constantes en un sistema peculiar.

La velocidad del baln al llegar al plano horizontal puede ser inva-riante si se procura soltar el baln siempre desde la misma altura yaque de esta manera, la velocidad sera reproducible.

En cuanto a la friccion, es claro que nunca podra ser anulada perose puede tratar de que, tanto el riel como el baln tengan lo mnimode rugosidades y esten suficientemente lisos con lo cual esta variablepuede ser minimizada.

De esta manera, queda un sistema caracterizado por solamente dosvariables: distancia y tiempo. De estas dos variables cual podra serla variable a controlar? Pues la que fuera mas facil de ser controladacomo variable independiente.

28

analisis 2008/2/12 20:31 page 29 #45

Relaciones empricas

a) Si se escoge la distancia, es necesario ver el riel y dentro de el, elintervalo dentro del cual va a variarse la distancia y determinar elnumero de puntos experimentales que se van a medir.

Si el riel tiene 1.5m en su parte horizontal y se quieren medir 10puntos, podran variarse las distancias de 15 en 15 cm. Esto es, quese medira con un cronometro el tiempo (variable dependiente) queemplea el baln en recorrer 15, 30, 45,. . . , 150 cm marcados en el riely para cada distancia se medira el tiempo un mnimo de 10 veces.De otra manera, podran ser 7 puntos variando de 20 en 20 cm o 6puntos variando de 25 en 25 cm, etc, y en todos los casos la medicionpara cada punto debe ser repetida varias veces y si resulta ser noreproducible, la repeticion sera de 10 o mas veces.

b) Si se escoge el tiempo como variable independiente sera necesariohacer dos o tres ensayos para ver el intervalo dentro del cual va avariarse el tiempo. En otras palabras, que si el baln recorre todo elriel en dos segundos y se requiere medir 10 puntos podran medirselas distancias recorridas (variable dependiente) en 10 intervalos detiempo diferentes con 0.2 s de diferencia entre cada uno o sea, lasdistancias recorridas de 0.2, 0.4, 0.6, . . . , 2.0 s midiendo cada una deestas distancias un mnimo de 10 veces. Si se variaran los tiemposcon 0.5 s de diferencia entre uno y otro solo se podran obtenercuatro puntos diferentes y si se variaran con 0.1 s de diferencia entreuno y otro se podran medir hasta 20 intervalos diferentes, aunqueen la practica, esto ultimo sera imposible. De cualquier manera yen todos los puntos, al igual que en la opcion a), las medicionesdeben repetirse varias veces y entre mas sean es mejor.

3.1. Relaciones empricas

Como se dice en la parte introductoria a este captulo, los propositosperseguidos al realizar un experimento son muy diversos, sin embargoen muchos casos, se trata de investigar la relacion entre las variablesque caracterizan el fenomeno en cuestion.

Una forma de buscar el tipo de relacion que podra haber entredos variables, es la de graficar en un sistema de ejes coordenados, losvalores asignados a la variable independiente en el eje de las abscisasy los valores obtenidos para la variable dependiente, en el eje de lasordenadas obteniendo as una curva que caracteriza la relacion buscada.

Toda curva obtenida a partir de datos experimentales es una relacionemprica, aunque en algunos casos se denomina as a los resultados ex-

29

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perimentales que, sin el apoyo de un modelo teorico, se originan cuandoun investigador encuentra que los cambios en una variable producenefectos diferentes en otra y vale la pena investigar la relacion funcio-nal existente. En esta acepcion, las relaciones empricas representanel primer paso en el descubrimiento de una ley. Para obtener buenosresultados en la grafica de la curva caracterstica, se sugiere seguir lasindicaciones que se dan a continuacion para la tabulacion y graficado.

3.2. Tabla y grafica

Es muy conveniente organizar los datos medidos en una tabla. Es-ta debe ser lo mas ordenada clara y explcita posible. Deberan verseall tanto las magnitudes observadas como las incertidumbres y uni-dades. Es conveniente seguir un orden de preferencia creciente para lavariable independiente.

Los datos as tabulados, facilitaran la construccion de la grafica, quese hara como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.2. Al realizar un experimento en el laboratorio con un con-densador que se descarga a traves de una resistencia se midieron lostiempos correspondientes a ciertos valores de la corriente. Los resulta-dos se dan en la tabla 3.1 en la que aparecen los valores de los tiemposcorrespondientes al promedio de diez mediciones para cada valor decorriente.

Tabla 3.1.

I 0.5 t 0.5(A) (s)

25 3.520 815 1110 205 31.5

En donde I es la corriente, medida en microamperes, t el tiempomedido en segundos. Las incertidumbres estan incluidas en la tabla.

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analisis 2008/2/12 20:31 page 31 #47

Tabla y grafica

La inspeccion de los datos permite hacer la observacion trivial deque la corriente disminuye a medida que el tiempo aumenta, pero loque se pretende en ultima instancia, trasciende esta simple apreciacion.

Una forma facil y directa de mostrar la conexion entre las variablesdel fenomeno, es la representacion grafica de los resultados y ademas,mediante el analisis de los datos y con base en ciertas suposiciones, esposible extraer una gran cantidad de informacion.

En la figura 3.1 se encuentran representados en un par de ejes rectan-gulares, los puntos experimentales obtenidos con sus respectivas incerti-dumbres (ver referencia [12], texto programado, Graficas y EcuacionesEmpricas).

(I 0.5)(A)

(t 0.5)(s)-

6

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5

10

15

20

25

30

Figura 3.1. Representacion de puntos experimentalescon sus incertidumbres.

El siguiente paso consiste en trazar una curva continua a travesde los puntos obtenidos. Si se tuviera una cantidad mucho mayor depuntos y si ademas, estos no tuvieran incertidumbre, el trazado de lacurva sera inmediato. Cuando, como en el ejemplo propuesto, los datosson pocos y no exactos, el problema se complica, ya que son muchaslas curvas que se podran trazar.

31

analisis 2008/2/12 20:31 page 32 #48


Figura 3.2. Tres posibles curvas adaptadas a los puntostrazados en la grafica.

Conviene recordar en este momento, que el rectangulo de incerti-dumbre corresponde a una zona de confianza, en el sentido de quese ignora donde esta el punto verdadero o mas probable, peros se puede afirmar, con razonable seguridad que esta contenido en elrectangulo. En consecuencia la curva que mejor se ajuste, tendra quepasar por los rectangulos, aunque no necesariamente por los centros delos mismos.

Es necesario destacar aqu, que adaptar una curva a traves de lospuntos obtenidos, significa hacer predicciones sobre puntos que no hansido determinados experimentalmente, en otras palabras, la curva re-presenta el comportamiento del fenomeno.

De las curvas presentadas en la figura 3.2, A es la mas complicada,sugiere la existencia de maximos y mnimos que pueden ser verificadosexperimentalmente, tomando mas mediciones y graficando puntos in-termedios. B se construyo usando segmentos rectilneos que conectan

32

analisis 2008/2/12 20:31 page 33 #49

Relaciones lineales

los puntos experimentales. Se ve claramente que la supresion de algunpunto o la adicion de otros cambiara la forma de la grafica. La massimple es C, predice un comportamiento regular y en este caso sera laescogida, a reserva de posteriores verificaciones.

Para resumir, la curva que mejor se adapta a traves de una seriede puntos con incertidumbre, debe ser una curva suave que pase porlos rectangulos de incertidumbre y con los centros de los rectangulosigualmente distribuidos a ambos lados de la curva.

3.3. Relaciones lineales

Entre las relaciones empricas, la curva mas simple que se podraobtener al graficar una serie de datos experimentales tabulados es lalnea recta y corresponde a las llamadas relaciones lineales.

Una relacion lineal cuya grafica es como ya se dijo, una lnea recta,representa el comportamiento del fenomeno mismo que se expresa enla ecuacion general de la recta, de la forma:

Y = mX + b

en donde X representa a la variable independiente y Y a la variabledependiente.

Ademas, si P1 y P2 son puntos de la recta con coordenadasP1(X1, Y1) y P2(X2, Y2), la llamada pendiente de la recta m es unamagnitud constante que se calcula con:

m =Y2 Y1X2 X1 .

As pues, la pendiente m es la tangente del angulo que se forma entrela recta y una horizontal adyacente y se calcula por cateto opuesto(Y2Y1) entre cateto adyacente (X2X1) de un triangulo rectangulo.Se sabe que m es constante, ya que sean cuales fueren los dos puntosescogidos de la recta, siempre daran lugar a triangulos rectangulossemejantes.

La cantidad b, que es llamada ordenada al origen, es el valor que lecorresponde a Y cuando X = 0; es decir, que es un punto de la rectade la forma (0, Y ). Resumiendo:

Y = b X = 0.Esta b, es la otra constante de la ecuacion de la recta, que puede ser

cero o distinta de cero.

33

analisis 2008/2/12 20:31 page 34 #50


Si b es igual a 0, la ecuacion queda como:

Y = mX

e indica una relacion de proporcionalidad entre las variables X y Y endonde m es la constante de proporcionalidad.

En cambio, si b es distinta de cero, se tiene que

Y b = mXy por lo tanto, si Y = Y b, Y es proporcional aX ya que la pendientede la recta, m, es constante.

As pues, una relacion lineal indica que existe una relacion de pro-porcionalidad entre las variables en cuestion.

Es necesario asignar correctamente las unidades que le correspondena la pendiente de la rectam y a la ordenada al origen b, pues del analisisdimensional de estas y de la correcta interpretacion fsica de las mismaspuede obtenerse mucha informacion del fenomeno en cuestion como severa en los ejemplos 3.3.1 y 3.3.2.

Notas importantes

i) Como se dijo en la primera parte de este captulo la curva que seescoja a ojo como la mejor, tendra que pasar por los rectangulosde incertidumbre aunque no necesariamente por los centros de losmismos.

ii) La curva debe ser lo mas lisa posible. Sin angulos ni ondulaciones.

iii) Los centros de los rectangulos deben quedar equidistantementedistribuidos, de dos en dos, a ambos lados de la curva. Esto es,que si uno de los centros queda por arriba de la curva a trazar,otro debe quedar por debajo, equidistantemente.

iv) Al ajustar una recta, los puntos experimentales, o sea, los puntoscentrales, generalmente no son puntos de la recta.

v) Para calcular la pendiente m, los puntos P1 y P2 que necesaria-mente deben ser puntos de la recta pueden no coincidir con losexperimentales.

Ejemplo 3.3.1. Para diferentes muestras de hierro, se efectuaron medi-ciones de las masas y los volumenes respectivos. Los datos obtenidosse consignan en la tabla 3.2, con sus incertidumbres.

34

analisis 2008/2/12 20:31 page 35 #51

Relaciones lineales

La grafica correspondiente se ve en la figura 3.3. De acuerdo conlas escalas escogidas, no es posible graficar las incertidumbres en lamasa, y en consecuencia, los rectangulos de incertidumbre se reducena intervalos o barras.

Tabla 3.2.

V 0.5 M 0.5(cm3) (g)

1 113 235 368 6510 75

Al trazar la curva que mejor se adapta a los intervalos de incerti-dumbre, se obtiene una recta que pasa por el origen.

En este caso particular, es muy facil obtener la relacion entre las va-riables que intervienen en el fenomeno ya que la ecuacion de una rectaque pasa por el origen es de la forma M = KV en donde K es la pen-diente de la recta y, por lo mismo, es la constante de proporcionalidadentre M y V .

Para el calculo de la pendiente de la recta que en este caso es K, setoman dos puntos de la recta trazada, uno de los cuales puede ser elpunto (0, 0) y otro el punto Q, (9, 70). Con estos puntos,

K =70 g

9 cm3de donde K = 7.8

g

cm3.

Como se ve, la pendiente constante K tiene como unidades g/cm3 locual permite interpretarla fsicamente. La densidad de una substanciase define como:

=masa

volumen

y por lo tanto, sus unidades son: unidad de masa sobre unidad devolumen que son precisamente las unidades deK. De donde se concluyeque la pendiente de la recta representa a la densidad de las muestrasde hierro del experimento.

Finalmente la ecuacion obtenida para la recta puede expresarsecomo:

M =(7.8

g

cm3

)V.

35

analisis 2008/2/12 20:31 page 36 #52


(M 0.5) g

(V 0.5) cm3-

6

Q

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Figura 3.3. Recta ajustada a traves de los puntos experimentales obtenidosen la tabla 3.2.

Ejemplo 3.3.2. A un resorte fijo, suspendido verticalmente, se le cuelganpesas iguales y se hacen lecturas de los alargamientos (con una regla encm), conforme se va aumentando el numero de pesas. En la tabla 3.3se consignan los resultados.

Los puntos experimentales, con sus incertidumbres, estan represen-tados en la figura 3.4.

A traves de los puntos con sus barras respectivas se puede ajustaruna curva,* pero sin que sea necesario hacerlo, es facil notar que en lamayor parte de su extension, la curva es practicamente recta. Comose ha visto antes, la recta conduce a la descripcion mas simple y, enconsecuencia se tratara de adaptar una recta de tal manera que incluya

*Se le llama curva a la grafica de una serie de puntos experimentales, aunqueesta sea una recta.

36

analisis 2008/2/12 20:31 page 37 #53

Relaciones lineales

Tabla 3.3.

Carga Longitud 0.5(pesas) (cm)

1 72 93 114 135 156 187 22

el mayor numero posible de puntos experimentales aplicando el criterioesbozado anteriormente.

En la figura 3.4 se ve que se ha trazado la recta mas probable ola mejor recta, siguiendo las indicaciones dadas en:

i) Pasa por los seis primeros intervalos de incertidumbre.

ii) Los centros de los intervalos quedan equidistantemente distribui-dos a ambos lados de la recta.(Ver los puntos 1 y 4; los puntos 2y 3; y los puntos 5 y 6).

iii) Aunque los puntos centrales no son puntos de la recta.

iv) Para el calculo de la pendiente, los puntos a escoger deben sernecesariamente puntos de la recta, puesto que la pendiente es dela recta.

En consecuencia, se pueden escoger los puntos: (0, 4.5), (2.5, 10),(5.25, 16), (5, 15.5) u (8, 22), que pueden ser ledos facilmente en lafigura 3.4.

Tomando los puntos P1(2.5, 10) y P2(5, 15.5) se tiene:

m =(15.5 10) cm(5 2.5) pesa =

5.5 cm

2.5 pesa= 2.2

cm

pesa.

La ordenada al origen es el punto 4.5 cm que es lo que se lee en lagrafica y por lo tanto la ecuacion encontrada es:

L = 2.2cm

pesaC + 4.5 cm.

37

analisis 2008/2/12 20:31 page 38 #54


L0.5(cm)

C(pesas)-

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Figura 3.4. En donde L representa a la longitud del resorte y C a la carga.

La relacion encontrada cobra nuevo significado cuando se le da unainterpretacion fsica, tanto a la pendiente, como a la ordenada al ori-gen de la recta. Es inmediato, en este caso, que la ordenada al origenrepresenta la longitud inicial del resorte ya que representa la longitud

38

analisis 2008/2/12 20:31 page 39 #55

Relaciones lineales

con cero cargas. La pendiente de la recta, representa la constante Kdel resorte.

En cuanto al caso como el del septimo punto que no se pudo alinearaunque se repitio la medicion para verificar este comportamiento, esun caso que se interpreta fsicamente en la siguiente seccion 3.3.1.

3.3.1. Intervalo de validez

Se observa en la figura 3.4 que el ultimo punto con su barra deincertidumbre, no toca a la recta mas probable. En estas condiciones,la ecuacion de la recta que describe el comportamiento del fenomeno,no incluye el ultimo punto y, en consecuencia, solo es valida en ciertaregion llamada intervalo de validez de la relacion emprica obtenida.

En otras palabras, que para el resorte utilizado puede afirmarse que:los alargamientos son proporcionales a las cargas, siempre que el resorteno se estire mas alla de 18cm, o lo que es equivalente, mientras no sele cuelguen mas de seis de las pesas utilizadas.

En general, todas las leyes fsicas describen adecuadamente el com-portamiento de los fenomenos naturales solo dentro de ciertos lmites.

Como se vio en los ejemplos 3.3.1 y 3.3.2, la interpretacion fsica delas ecuaciones encontradas, esto es, la magnitud de la densidad y de laconstante K del resorte respectivamente dependen del calculo precisode la pendiente y de la ordenada al origen que, por el metodo a ojodado en el presente captulo, significa el buen tanteo del ajuste de lamejor recta a traves de los intervalos de incertidumbre. Un metodoestadstico de mas precision se da en el apendice D al final de estemanual.

3.3.2. Interpolacion y extrapolacion

En muchos casos, como ya se dijo, el objetivo de la experimentaciones el de obtener un modelo matematico que describa algun fenomenoen cuestion. Esto es, que se busca una ecuacion emprica que sirvapara poder predecir las magnitudes que tomara una de las variablesen juego al asignarle valores a la otra.

Al interpolar o extrapolar se predicen los valores de respuesta dela variable dependiente Y , ante valores de X que no fueron conside-rados experimentalmente o a la inversa, se predicen valores de X quecorresponderan a magnitudes arbitrarias de Y .

En la tabla 3.2 del ejemplo 3.3.1 se ve que no se consideraron volume-nes de 2, 4, 6, 7 y 9 cm3, sin embargo, al trazar la recta que pasa por los

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intervalos de incertidumbre de los puntos de la tabla, (ver figura 3.3),se esta suponiendo que la recta tambien pasa por estos puntos no me-didos o sea que se supone que tambien se comportan linealmente. Bajoesta suposicion, se ve que es posible determinar los valores de masaque les corresponden a los volumenes no considerados, simplementeleyendo los puntos (Vi,Mi) de la recta que pasa por estos valores devolumen. Asimismo, se podran determinar los valores de volumen queles corresponden a cualquier valor de masa que este dentro de la rectatrazada.

Determinar el valor de la ordenada Yi que le corresponde a la abscisaXi o viceversa, dentro del intervalo de valores medidos experimental-mente y graficados es, en una palabra, interpolar.

Por supuesto, tambien se puede interpolar usando la ecuacion en-contrada que para el ejemplo dado es:

M =(7.8

g

cm3

)V.

Esto es, calcular (M) dandole un valor a (V ) con 1 cm3 < V < 10 cm3

o calcular V con 11 g < M < 75 g.Por lo explicado en la seccion 3.3.1, parece innecesario decir que

solamente se puede interpolar dentro del intervalo de validez de laecuacion encontrada. Ademas, que si no existe intervalo de validez de-finido, como en el ejemplo que se esta tratando, se podra suponer quepara cualquier volumen mayor que el mayor de los volumenes graficados(10 cm3) y menor que el menor de los volumenes considerados (1 cm3),la recta se seguira prolongando con la misma pendiente, continua eindefinidamente.

Suponiendolo as, a traves de la ecuacion se puede calcular la masaque tendra cualquier volumen aun mucho mayor que 100 cm3 y a lainversa, tambien se puede calcular el volumen para cualquier masadada.

En efecto, para M = 500.0 g:

V =500.0 g

7.8 g/cm3= 64.1 cm3.

El suponer que un fenomeno dado se seguira comportando ininte-rrumpidamente al igual que los datos medidos experimentalmente yutilizar la ecuacion encontrada para calcular valores fuera del intervalode datos graficados es lo que se llama extrapolar.

Si se quiere utilizar la ecuacion encontrada en una extrapolacion,es conveniente interpolar primero con la ecuacion y verificar despues

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Relaciones lineales

en la grafica si el valor calculado es punto de la curva. Con este pasosimplemente se verifica que la pendiente de la recta y la ordenadaal origen esten bien calculadas. Una vez seguros, se puede extrapolarusando la ecuacion encontrada, para cualquier valor de las variables sies que no hay intervalo de validez definido.

3.3.3. Incertidumbre en la pendiente y en la ordenada al origen

(Tema opcional para algunos casos)

En la grafica de la figura 3.4, se ve que de acuerdo a los criteriosestablecidos (pagina 38), la unica recta que se podra trazar es la queah aparece ya que ninguna otra pasara por todos los intervalos de in-certidumbre. Este es un caso excepcional en el que no hay duda de quees la unica recta que puede pasar por esos intervalos. Sin embargo, enla mayora de los casos, se encuentra que la incertidumbre de los puntosexperimentales conduce a una incerteza en la eleccion de la recta masprobable o la que mejor se adapta a tales puntos. Esta imprecisionse da, en algunos casos, aun siguiendo los criterios establecidos y natu-ralmente estara dada por una incertidumbre en la pendiente como severa en el siguiente ejemplo.

Tomando el anterior ejemplo 3.3.2 y la tabla 3.3, suponemos quese trazo la figura 3.5, en donde se ve que la recta mas probable o lamejor recta podra ser la lnea continua, A, que pasa por los primeroscinco intervalos de incertidumbre, dejando fuera los ultimos dos. Peroall tambien se ve que por los mismos cinco intervalos podran pasarotras tantas rectas con diferentes pendientes que haran variar tambienla ordenada

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