INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES CON GEOGEBRA.pdf
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Se presenta ejercicios resueltos en forma manual y con GeoGebra
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LMITES
1) 3
32lim
2
3
x
xx
x
Factorando
lim3
( 3)( + 1)
3
Simplificando
lim3
+ 1
1
Evaluando
3 + 1
1= 4
En GeoGebra se procede de la siguiente forma
a) En Entrada escribir la funcin
-
b) Enter
c) En Entrada, escribir las primeras letras de lmite, se despliega algunas opciones.
-
d) Escoger la opcin
e) En Funcin, escribir f(x). En Valor numrico escribir 3
-
f) Enter
g) Clic derecho en a=4 (el cual representa el lmite de la funcin cuando x tiende a 3)
-
h) Clic en Propiedades de Objeto
i) En Nombre, escribir lmite
-
j) Clic en Cerrar ventana de Preferencias
2) xx
xxx
x 9
214lim
3
23
3
Factorando, simplificando y evaluando.
lim3
(2 + 4 21)
(2 9)= lim
3
( + 7)( 3)
( + 3)( 3)= lim
3
( + 7)
( + 3)=3 + 7
3 + 3=10
6=5
3= 1,67
-
3) 122072
128lim
234
23
2
xxxx
xxx
x
Factorando
1 -2 -7 20 -12 1 1,2,3,4,6,12
1 -1 -8 12
1 -1 -8 12 0
( 1)(3 2 8 + 12)
Remplazando valores, simplificando y evaluando.
lim2
3 2 8 + 12
( 1)(3 2 8 + 12)= lim
2
1
1=
1
2 1=1
1= 1
-
4) 1
23lim
2
1
x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim1
2 + 3 2
12 + 3 + 2
2 + 3 + 2= lim
1
2 + 3 4
( 1)(2 + 3 + 2)
Factorando
lim1
2 1
( 1)(2 + 3 + 2)= lim
1
( + 1)( 1)
( 1)(2 + 3 + 2)
Simplificando y evaluando
lim1
( + 1)
(2 + 3 + 2)=
1 + 1
12 + 3 + 2=
2
4 + 2=
2
2 + 2=2
4=1
2= 0,5
5)x
xx
x
11lim
0
Multiplicando por la conjugada
lim0
1 + 1
= lim
0
1 + 1
1 + + 1
1 + + 1
Realizando las operaciones
lim0
1 + (1 )
(1 + + 1 )= lim
0
1 + 1 +
(1 + + 1 )= lim
0
2
(1 + + 1 )
-
lim0
2
(1 + + 1 )=
2
(1 + 0 + 1 0)=
2
1 + 1=
2
1 + 1=2
2= 1
6) 741
63lim
2
x
x
x
lim2
3 6
1 4 7= lim
2
3 6
1 4 71 + 4 7
1 + 4 7= lim
2
(3 6)(1 + 4 7)
1 (4 7)
lim2
3( 2)(1 + 4 7)
1 4 + 7= lim
2
3( 2)(1 + 4 7)
8 4
lim2
3( 2)(1 + 4 7)
4( 2)= lim
2
3(1 + 4 7)
4=3(1 + 4 2 7)
4=3(1 + 1)
4
6
4=
3
2
-
7) 123
2lim
4
x
x
x
lim4
2
3 2 + 1= lim
4
2
3 2 + 12 +
2 + 3 + 2 + 1
3 + 2 + 1
lim4
(4 )(3 + 2 + 1)
(2 + )(9 2 1)= lim
4
(4 )(3 + 2 + 1)
(2 + )2(4 )= lim
4
(3 + 2 + 1)
2(2 + )
(3 + 2 4 + 1)
2(2 + )=
3 + 9
2(2 + 4)=
3 + 3
2(2 + 2)=
6
2(4)=3
4= 0,75
-
8) 11
11lim
30
x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim0
1 + 1
1 + 3
1(1 + 3
)2+ 1 +
3 1 + 12
(1 + 3
)2+ 1 +
3 1 + 12
1 + + 1
1 + + 1
lim0
(1 + 1) ((1 + 3
)2+ 1 +
3+ 1)
(1 + 1)(1 + + 1)
lim0
(1 + 3
)2+ 1 +
3+ 1
1 + + 1=(1 + 03
)2+ 1 + 0
3+ 1
1 + 0 + 1
(13
)2+ 1
3+ 1
1 + 1=1 + 1 + 1
1 + 1=3
2= 1,5
-
9) 1
3lim
34
1
x
xxx
x
Cambiando la variable
= 12
=
813 = 81
3= 2
lim121
124
+ 123
+ 122
3
12 1= lim
121
124 +
123 +
122 3
12 1
Factorando
lim121
3 + 4 + 6 3
12 1= lim
121
6 + 4 + 3 3
12 1
1 0 1 1 0 0 -3 1 1,3
1 1 2 3 3 3
1 1 2 3 3 3 0 ( 1)(5 + 4 + 23 + 32 + 3 + 3)
12 1 = (6 + 1)(6 1) = (2 + 1)(4 2 + 1)(3 + 1)(3 1) 12 1 = (2 + 1)(4 2 + 1)( + 1)(2 + 1)( 1)(2 + + 1)
Remplazando
lim121
( 1)(5 + 4 + 23 + 32 + 3 + 3)
(2 + 1)(4 2 + 1)( + 1)(2 + 1)( 1)(2 + + 1)
Simplificando
lim121
5 + 4 + 23 + 32 + 3 + 3
(2 + 1)(4 2 + 1)( + 1)(2 + 1)(2 + + 1)
Remplazando
12 = 1
1212
= 1212
= 1
15 + 14 + 2 13 + 3 12 + 3 1 + 3
(12 + 1)(14 12 + 1)(1 + 1)(12 1 + 1)(12 + 1 + 1)
=1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 3
(1 + 1)(1 1 + 1)(1 + 1)(1 1 + 1)(1 + 1 + 1)=
13
(2)(1)(2)(1)(3)=13
12= 1,08
-
10) 1
1523lim
1
x
xxx
x
Evaluando y restando la evaluacin
lim1
+ 3 2 5 1
1= lim
1
( 1) + (3 2 1) (5 1 2)
1
Distribuyendo
lim1
( 1)
1+ lim
1
(3 2 1)
1 lim
1
(5 1 2)
1
Resolviendo el primer lmite
lim1
( 1)
1= lim
1
1
1 + 1
+ 1= lim
1
1
( 1)( + 1)= lim
1
1
+ 1=
1
1 + 1
lim1
( 1)
1=1
2
Resolviendo el segundo lmite
lim1
(3 2 1)
1= lim
1
3 2 1
13 2 + 1
3 2 + 1= lim
1
3 2 1
( 1)(3 2 + 1)
-
lim1
3 3
( 1)(3 2 + 1)= lim
1
3( 1)
( 1)(3 2 + 1)= lim
1
3
3 2 + 1
3
3 1 2 + 1=
3
1 + 1=3
2
Resolviendo el tercer lmite
lim1
(5 1 2)
1= lim
1
5 1 2
15 1 + 2
5 1 + 2= lim
1
5 1 4
( 1)(5 1 + 2)
lim1
5 5
( 1)(5 1 + 2)= lim
1
5( 1)
( 1)(5 1 + 2)= lim
1
5
5 1 + 2
5
5 1 1 + 2=
5
4 + 2=5
4
Sumando las tres respuestas
lim1
( 1)
1+ lim
1
(3 2 1)
1 lim
1
(5 1 2)
1
1
2+3
25
4=2 + 6 5
4=3
4
