Introducción a la Lógica Proposicional II

II

El lenguaje de la lgica proposicional

Ad astra per aspera1

En este captulo desarrollamos con toda formalidad el clculo proposicional, mismoque ya fue introducido en el apartado previo. Empezaremos por definir lo que es unlenguaje formal y, como caso particular de ste, definimos el lenguaje proposicional.A partir de un alfabeto introducimos la sintaxis de nuestro lenguaje y la semntica.Despus de revisar brevemente las tablas de verdad, definimos tautologa, equivalen-cia y la importante nocin de consecuencia lgica. Es importante establecer algunoshechos relativos a la historia de las nociones que aqu aparecern.

1 A las estrellas por el camino difcil.

39

40 II. El lenguaje de la lgica proposicional

Podemos decir que la lnea divisoria entre la lgica clsica y la moderna se encuen-tra en 1847, cuando George Boole (1815-1864) public una obra tratando con grancantidad de esquemas de argumentos vlidos de enorme complejidad (vase [Bo47]y [Bo54]). Actualmente se conoce al clculo de Boole como clculo Proposicional.Otros estudiosos cercanos a la poca de Boole fueron Augustus De Morgan (1806-1871) y C. S. Peirce (1839-1914).

II.1. Introduccin 41

Otro grupo relevante para el origen de la lgica matemtica lo constituyen losmatemticos dedicados a la teora de la demostracin, entre quienes se cuenta a Gott-lob Frege (1848-1925), Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943),Bertrand Russell (1872-1970), Jacques Herbrand (1908-1931) y el alemn muertotrgicamente Gerhard Gentzen (1909-1945). Su objetivo fue sistematizar el razona-miento matemtico, de tal suerte que cualquier hiptesis se hiciera explcita y cadaetapa fuera rigurosamente fundamentada. Para Hilbert la meta fue hacer el razona-miento matemtico mismo parte del estudio de las matemticas, tanto para justificarel infinito en esta ciencia como para establecer un nuevo mtodo en la investigacinmatemtica.

Las tablas de verdad fueron introducidas por C. S. Peirce (vase Pe02). Fue E.Post, uno de los fundadores de la teora de lenguajes formales, quien en 1921 introdujola nocin de prueba por induccin en la construccin de una frmula. El lema deinterpolacin, publicado en 1957, se debe a Craig y mucha de la notacin y mtodosde trabajo aparecen en [HiBe34].

II.1 IntroduccinEn el captulo previo el lector encontr ejemplos de cmo traducir el lenguaje

cotidiano a un lenguaje simblico. El objeto de este proceso es eliminar ambigeda-des que suelen ocurrir en el lenguaje coloquial.

Como veremos, el lenguaje proposicional es un caso particular de un lenguajeformal. Es suficientemente poderoso para expresar muchas situaciones de la vida dia-ria, varios enunciados matemticos y representar situaciones fsicas. Sin embargo,muchas afirmaciones matemticas son inexpresables a travs de l. Es por ello quems adelante extenderemos nuestro lenguaje y consideraremos con toda generalidadlos lenguajes formales. Por ahora, es conveniente familiarizarnos con ellos medianteun lenguaje ms simple, como lo es el lenguaje proposicional.

Es ms fcil tratar y operar con l. De hecho, muchas de las propiedades rele-vantes de los lenguajes formales se reflejan en l. Pero desde su definicin quedaren evidencia que no cuenta con todos los elementos requeridos, imprescindibles, paraexpresar las posibles proposiciones que podamos encontrar.


II.2 Lenguajes formalesPara comenzar definimos lenguaje formal en toda su generalidad, aunque en el

resto del captulo trabajeremos con un caso particular, con un lenguaje formal muyespecial.Definicin II.2.1. El alfabeto de un lenguaje formal consiste en:

Una cantidad numerable de variables

v0,v1,v2, . . . ,x0,x1,x2, . . . ,y0,y1,y2, . . .

Conectivos lgicos,,,,.

Parntesis izquierdo y derecho(,)

Cuantificadores , .

Smbolos de predicadosP = {Pi : i I}.

Smbolos de constantes:

C = {c j : j J}. Smbolos de funcin

F = { fk : k K}.Antes de continuar, el lector debe estar consciente de que lo recin descrito no

es otra cosa que una coleccin de smbolos, sin ningn significado intrnseco. Porsupuesto, despus se ver, que cada smbolo se usar con un significado intuitivoobvio. Con cada smbolo de predicado Pi y cada smbolo de funcin fk est asociadoun nmero entero positivo: la cantidad de variables permitidas por f o P.

Esta es la definicin general de lenguaje formal. Restringiendo los posibles sm-bolos, se obtienen lenguajes particulares como el lenguaje de la aritmtica, de la teorade grupos o de la teora de anillos. En captulos posteriores se estudiar esto condetalle. Por lo pronto obtenemos un caso particular de lenguaje formal: el lenguajeproposicional.

II.3. El lenguaje 43

II.3 El lenguajeDefinicin II.3.1. El lenguaje del clculo proposicional es un lenguaje formal en elque no hay smbolos de predicado, tampoco de funcin o constante. Adems, carece-mos de cuantificadores.

En este lenguaje las variables se denotan generalmente con maysculas P,Q,R, . . .y se llaman variables proposicionales. En resumen, el alfabeto del clculo proposicio-nal consiste en:

Variables proposicionalesP,Q,R, . . .

Conectivos lgicos,,,,.

Parntesis(,).

II.3.1 Sintaxis del lenguaje proposicionalYa que conocemos nuestro alfabeto, definiremos cmo construir sus palabras, es decir,debemos describir la sintaxis de nuestro lenguaje. Con este alfabeto se construyenpalabras, que no son otra cosa que ciertas cadenas de smbolos del alfabeto. Pero notoda cadena puede ser admisible como palabra. Por ello describimos cules palabrasson aceptables. Las palabras aceptables se conocen como frmulas o proposiciones.Las reglas que especifican qu secuencias son admisibles constituyen la sintaxis denuestro lenguaje.

Las proposiciones ms simples son las variables proposicionales, que se llamanfrmulas primitivas o atmicas. Definamos formalmente las frmulas.

Definicin II.3.2. Una frmula atmica o primitiva es cualquier variable proposicio-nal.

Se acostumbra usar letras griegas , , , , . . . para denotar frmulas. Ya quetenemos definidas las frmulas ms simples, podemos construir frmulas ms com-plejas.


Definicin II.3.3. Si , son frmulas, tambin lo son

( ),( ),(),( ),( ).

Cmo se debe entender esta construccin? Supongamos que P,Q son variablesproposicionales, es decir, son frmulas primitivas o atmicas. Segn la definicin, lascadenas de smbolos (tomando, por ejemplo, a P como y a Q como ):

(PQ),(PQ)

son frmulas, como tambin lo son

(P Q),(P (PQ)),(PQ).

Podemos construir frmulas aun ms complicadas, que involucren ms variablesproposicionales:

(P (QR)),(Q (PR)) (T V W),W (U R).

Como tambin lo son

(R),(R),(R),(P).

y, por supuesto, otras muchas posibles cadenas.Slo aquellas expresiones que podamos obtener a partir de nuestro alfabeto me-

diante la definicin II.3.2 o II.3.3 se consideran frmulas. Ejemplos de cadenas desmbolos de nuestro alfabeto que no son frmulas:

P, PQ, RP, P.

N Si denotamos con C(L ) al conjunto de todas las posibles cadenas finitas desmbolos de nuestro alfabeto L , es claro que el conjunto de frmulas es un subcon-junto propio de C(L ). Formalmente:Definicin II.3.4. El conjunto Fml de frmulas proposicionales en el alfabeto L esel subconjunto ms pequeo de C(L ) tal que Cada variable proposicional pertenece a Fml.


Si Fml, tambin pertenece a Fml.

Si , pertenecen a Fml, tambin pertenecen a Fml:

( ),( ),( ),( ).

En otras palabras, Fml es el subconjunto ms pequeo de C(L ) que contiene atodas las variables proposicionales y es cerrado respecto a las operaciones:

7( ,) 7( )( ,) 7( )( ,) 7( )( ,) 7( ).

Observe que C(L ) tiene estas propiedades, pero Fml es el menor que tambinsatisface estas propiedades.

Despus veremos que es posible simplificar la notacin y escribir, por ejemplo,

PQ

en lugar de(PQ).

Mn Aun podemos ser ms precisos en cuanto a la definicin de Fml. Una vez quedemos otra definicin de Fml, la pregunta natural ser para qu complicar ms lascosas? La respuesta es que mientras ms precisa sea una definicin, es ms fcil tra-bajar con ella o corroborar que algo la cumple. Ser ms simple describir propiedadesde frmulas si se cuenta con la siguiente definicin:

Definicin II.3.5. Por recursin en n definimos una sucesin de subconjuntos deC(L ). Empezamos con las variables proposicionales:

Fml0 = {P,Q,R, . . .}


En general

Fmln+1 =Fmln{ : Fmln}{() : , Fmln, {,,,}}.

Note queFml0 Fml1 Fmln Fmln+1

Proposicin II.3.6.Fml =

nN

Fmln

Demostracin. Sea F =

nNFmln. Debemos verificar que este conjunto cumple conlas propiedades que exigimos a Fml. Es claro que F contiene a las variables proposi-cionales, pues stas se encuentran en Fml0 F . Si , F , existen n,m N talesque Fmln, Fmlm, por lo que si n m, , Fmlm; se sigue que

( ),( ),(),( ),( )

pertenecen a Fmlm+1 F . En consecuencia, F es cerrado respecto a las operacionesmencionadas. Puesto que Fml es el subconjunto menor con tales propiedades, deduci-mos que

Fml F.Ahora debemos probar que F Fml. Para ello basta probar que Fmln Fml para

toda n N. Procedemos por induccin en n. Para n = 0, Fml0 consiste en variablesproposicionales que por definicin estn en Fml.

Supongamos que Fmln Fml. Debemos corroborar que Fmln+1 Fml. Si Fmln+1, quiere decir que:

1) Fmln, en cuyo caso Fml por hiptesis de induccin.2) Existen 1,2 Fmln tales que

(12) para {,,,}

o

(1).En ambos casos, por definicin de Fml, Fml.


Por lo tanto, Fmln Fml para toda n N, por lo que F =

nNFmln Fml yjunto con lo ya probado arroja la conclusin

F = Fml.

mEsta proposicin nos da una idea de cmo se construyen las frmulas "desde

abajo": se inicia con variables proposicionales, se vinculan stas mediante conectivosy las frmulas as construidas se vuelven a ligar mediante conectivos, etc. Por ejemplo

(PQ)aparece en Fml1, mientras que [(PQ) P] [(RS) (PQ)] aparece en Fml3.Para visualizar la construccin de una frmula, es til elaborar su rbol de formacin:tales rboles (en realidad rboles invertidos) tienen como raz una frmula dada ycomo hojas, las variables proposicionales que aparecen en . Los nodos se forman deacuerdo a cmo se construye . Un ejemplo aclara completamente la construccin delrbol:

(P Q) [(R W V ) ((P R) (V W ))]

P Q

P Q

(R W V ) ((P R) (V W ))

R W V

R W

R

R

W

W

V

V

((P R) (V W ))

P R

P R

V W

V W

N Esta observacin nos permite asociarle un rango2 a cada frmula :2 En el diccionario de M. Moliner: rango es una de las categoras en las que se dividen determinados

datos en una clasificacin.


Definicin II.3.7. El rango de una frmula, en smbolo rg(), es el menor natural ntal que Fmln.

Como ya vimos

rg(PQ) = 1rg((PQ) (RS)) = 2

rg((PQ)) = 4.

Note que, con la nocin de rango a nuestra disposicin, podemos distinguir alestrato Fmln como aquellas frmulas de rango n. Adems,

rg()rg()+1rg()max(rg(),rg())+1,

donde {,,,}.La nocin de rango tiene gran utilidad como a continuacin veremos. Suponga

que queremos verificar si cierta propiedad P est presente en cada frmula . Laforma natural de proceder es tomar una frmula arbitraria y tratar de probar quetiene la propiedad P. En raras ocasiones tendr xito este proceder, pues hay pocascaractersticas de la frmula genrica a las que podamos apelar. Pero podemos recurrira un mtodo conocido usando la nocin de rango. El lector sabe cmo probar si unapropiedad es cierta para todo nmero natural. Se procede por induccin aprovechandoel hecho de que los nmeros naturales son un conjunto bien ordenado, pero tambinde la forma tan especial en la que se construyen. De hecho, cada natural es cero o elsucesor de otro natural. Esta caracterstica es susceptible de trasladarse al dominio delas frmulas con las modificaciones apropiadas.

Suponga que P es la propiedad en cuestin y que queremos probar que cada fr-mula tiene esta propiedad, lo cual escribiremos como P(). Primero probamosP(P) para toda variable proposicional P, es decir, probamos P() para toda Fml0.Despus suponemos P() para toda frmula en Fmln. Con esta hiptesis probamosP() para toda frmula Fmln+1, y habremos verificado que toda frmula tienela propiedad P. Esto se justifica en el siguiente lema.

La nica dificultad con el procedimiento recin descrito es lo ambiguo que suenala palabra "propiedad". Formalizar qu entendemos por propiedad requiere subir unaetapa en nuestro desarrollo, y definir propiedad como algo expresable mediante una


frmula en un lenguaje formal. Aqu aparece por primera vez la pobreza de nuestrolenguaje proposicional, pues no podemos expresar propiedades generales que inclusose refieren a nuestro lenguaje. Por ello, dejamos un tanto vaga nuestra nocin depropiedad, pero el lector no tendr dificultad en discriminar, dada una propiedad, sista tiene sentido para frmulas proposicionales o no.

Lema II.3.8. Sea P una propiedad aplicable a frmulas. Suponga que Se cumple P(P) para toda variable proposicional.

Si se cumple P() para toda Fmln, entonces se cumple P() para toda Fmln+1, para todo natural n.

Entonces P() para toda frmula .Demostracin. Supongamos ciertas las condiciones y , pero que P no se cumplepara toda frmula. Puesto que cada frmula tiene asociado un rango, que es un nmeronatural, de entre las frmulas que no cumplen P podemos elegir alguna que tenga elmenor rango posible, digamos que escogemos con rango mnimo k. Esto quieredecir, entre otras cosas, que k > 0 pues P se cumple para toda variable proposicional,y que P se cumple para toda frmula en Fmll para l < k.

Puesto que k > 0, sabemos que k tiene la forma k = l +1 para alguna l N. Peroentonces P se cumple para toda frmula en Fmll , por lo que de se deduce que Pse cumple para toda frmula Fmll+1, lo que implica que se cumple para . Unacontradiccin que prueba la validez de P para toda frmula.

Sea l() la longitud de la frmula sin contar los parntesis, es decir, la cantidadde smbolos de nuestro alfabeto que aparecen en . Por ejemplo (PQ R)tiene longitud 5, mientras que (R) tiene longitud 2.Lema II.3.9. El rango de una frmula es estrictamente menor que su longitud. Ensmbolos rg()< l() para toda frmula .Demostracin. Recurrimos al lema II.3.8 para probar nuestra afirmacin. En corres-pondencia, debemos cerciorarnos de que se cumplen las condiciones y de aqul.

Si P una variable proposicional, rg(P) = 0 mientras que su longitud es 1.Ahora supongamos que la afirmacin se cumple para toda frmula en Fmln. Debe-

mos corroborar que tambin esto ocurre en Fmln+1. Sea Fmln+1. Por la definicin


de Fmln+1 sabemos que Fmln o se construye a partir de frmulas en Fmln. Novale la pena considerar la primera alternativa, pues ya sabemos que en tal caso nues-tra afirmacin se cumple. As que asumamos que o que 12 para ,1,2 Fmln y {,,,}.

Por hiptesis rg()< l() as como rg(1)< l(1) y rg(2)< l(2). Si ,entonces rg() = n+ 1 < l()+ 1 = l(). Si 12, entonces rg() = n+ 1,rg(i) < l(i) para i = 1,2. Adems, rg() = max(rg(1),rg(2))+ 1, por lo querg()< l(1)+ l(2)+1 = lg().

Con lo anterior hemos corroborado las hiptesis del lema II.3.8, lo que nos permiteasegurar que la afirmacin es cierta para toda frmula.

MYa que hemos descrito la sintaxis de nuestro lenguaje, el paso siguiente ser otor-

garle significado a las frmulas. Toca entonces el turno a la semntica del clculoproposicional.

En el resto del captulo, cuando hablemos de frmulas, entenderemos que se tratade frmulas proposicionales.

II.3.2 Semntica del clculo proposicional

Ya sabemos cmo construir frmulas (proposiciones), pero no sabemos qu significancada una de ellas. Procederemos a dotar de significado a nuestro lenguaje. Escogemosla forma ms simple de hacerlo: dada una proposicin debemos ser capaces de decidirsi es verdadera o falsa; ms que decidir, debemos acordar cundo la frmula es ver-dadera o falsa. La forma ms simple de proceder es mediante tablas de verdad, mismasque el lector ya encontr en el captulo previo. A continuacin damos un breve repasode las mismas.

El lenguaje de la lgica proposicional contiene smbolos para "no", "y", "o", "im-plica" y "si y slo si". Estas palabras se representan mediante los siguientes smbolos:

no o si y slo si y implica

Considere el ejemplo: Ella se enferm y ella fue al hospital, que no tiene el mismosignificado, en lenguaje cotidiano, que: Ella fue al hospital y ella se enferm.


En la lgica proposicional AB es equivalente a BA. Tambin AB es igual aBA. Adems AB significa A o B, pero tambin A o B o ambas son verdaderas.

Puesto que pretendemos que nuestras frmulas slo puedan ser verdaderas o falsas,lo mismo debe ocurrir con las variables proposicionales, por lo que si P es una variableproposicional, slo puede ser verdadera, V, o falsa, F . Con esto construimos las tablasde verdad para frmulas ms complejas, para ello slo requerimos conocer el valor deverdad de ciertas subfrmulas, es decir, cadenas de nuestro alfabeto que son segmentosde la frmula dada y por s mismas constituyen frmulas.

Definicin II.3.10. Las siguientes reglas definen las subfrmulas de una frmula:

Cualquier frmula es una subfrmula de s misma.

Cualquier subfrmula de F es una subfrmula de F. Cualquier subfrmula de F o G es una subfrmula de (F G), lo mismo para

(F G),(F G) y (F G).Ejemplo II.3.11. Sean A,B atmicas y la frmula ((AB)(P Q)).

La sucesin (AB) ( es una subcadena, pero no una subfrmula de , puesno hay manera de construir a partir de AB) (mediante las reglas dadas.

Las subfrmulas de son A,B, A, B, (AB), (PQ), P, P, Q, ((AB)(P Q)), (P Q) y .

As, si (12), donde {,,,}, slo requerimos conocer el valorde verdad de 1 y 2 para conocer el de , recurriendo a las tablas de verdad delconectivo que representa . Lo mismo ocurre si ().

Ahora las tablas de verdad de los conectivos:Empezamos con la negacin:

V FF V

Esta tabla se debe leer de la siguiente forma: si es verdadera, es falsa, y si esfalsa, es verdadera. En forma anloga se leen las tablas de los dems conectivos:


La conjuncin

V V VV F FF V FF F F

La disyuncin

V V VV F VF V VF F F

La condicional

V V VV F FF V VF F V

La condicional PQ se lee: si P entonces Q; otras posibles formas de expresarlason: P implica Q, Q si P, Q es una consecuencia de P, Q suponiendo P, P es unacondicin suficiente para Q, Q es una condicin necesaria para P.

Si P Q es la condicional, Q P es su conversa, PQ su inversa y QP su contrapositiva.

La bicondicional (si y slo si)

V V VV F FF V FF F V


En la bicondicional P Q, P es una condicin necesaria y suficiente para Q. Lomismo puede decirse de Q respecto a P.

Una vez que tenemos a nuestra disposicin estas tablas, podemos construir la tablade cualquier frmula, al menos tericamente. Si es la frmula ((PQ)(PR)),entonces la tabla de verdad de es:

P Q R Q PQ PR (PR) V V V F F V F FV V F F F F V VV F V V V V F VV F F V V F V VF V V F F F V VF V F F F F V VF F V V F F V VF F F V F F V V

En lo sucesivo quitaremos los parntesis de las negaciones, es decir, en lugar deescribir (), escribiremos simplemente .

Con seguridad el lector observ que teniendo la frmula slo tres variables pro-posicionales, la tabla contiene ocho renglones. Si involucramos n variables, la tablatendr 2n renglones. Para n grande, construir la tabla se vuelve laborioso, como loilustra el ejemplo previo.

( ) ( ) V V V F V VV F F F F FF V V F F FF F V F V V

Las ltimas dos columnas son idnticas. En este caso, decimos que las frmulas( ) ( ) y ( ) son equivalentes, que representan lo mismo. Igual-mente (A B) y (AB) son equivalentes (verificarlo!).


II.3.3 Convenciones

A continuacin establecemos reglas que simplifican la escritura de frmulas, en parti-cular, eliminan la mayor parte de los parntesis requeridos, hasta ahora, para escribiruna frmula.

La negacin es ms fuerte que cualquier otro conectivo, es decir, acta de inme-diato sobre la frmula ms prxima a la derecha, antes que cualquier otro conectivoinvolucrado. Por ejemplo, () se simplifica a .

La conjuncin y la disyuncin son ms fuertes que y . Con esta convencinpodemos eliminar parntesis en frmulas. Por ejemplo,

( ) se abrevia como .(( ) ) se reduce a .(( ) ()) es ( ) .( ) ( ) se abrevia ( ) .

II.4 Argumentos vlidosYa vimos que a cada frmula del clculo proposicional se le puede asociar una

tabla de verdad. Si la ltima columna de esta tabla consiste exclusivamente en V , lafrmula se conoce como una tautologa.

Definicin II.4.1. Una frmula del clculo proposicional es una tautologa si es ver-dadera para cualquier valor de verdad de sus variables proposicionales.

Ejemplos de tautologa los constituyen las siguientes frmulas: AA, AA(BC D), (AB)AB.

Si una frmula es falsa para todos los valores de verdad de sus variables proposi-cionales, es una contradiccin. La negacin de una tautologa es una contradiccin yviceversa. Las frmulas AA y AA son contradicciones.

Si y son frmulas tales que es una tautologa, decimos que implicatautolgicamente a , en smbolos .

Si es una tautologa, decimos que es tautolgicamente equivalente a ,en smbolos .

Por ejemplo, A AA y A AB.Si 1, . . . ,n y son frmulas, decimos que 1, . . . ,n implican tautolgicamente

a , si 123 . . .n es una tautologa, en smbolos 1 n .

II.4. Argumentos vlidos 55

Teorema II.4.2. 1, . . . ,n implican tautolgicamente a si y slo si siem-pre que 1, . . . ,n son verdaderas tambin lo es .Demostracin. Supongamos que 1, . . . ,n implican tautolgicamente a . Entonces123 . . .n es una tautologa. Si 1, . . . ,n son verdaderas, tambintiene que ser verdadera.

Recprocamente, supngase que es verdadera siempre que 1, . . . ,n lo son.La nica forma en que 123 . . .n sea falsa es cuando 1, ,n

son verdaderas y es falsa, lo cual no puede pasar por nuestra hiptesis, as que123 n , es una tautologa.

Con este teorema se reduce un poco nuestro trabajo para determinar si una frmulacondicional es una tautologa, pues slo debemos cerciorarnos que en la tabla de ver-dad, en la ltima columna, slo aparezca V en aquellos renglones donde el antecedentees verdadero.

Ejemplo II.4.3. Considere las frmulas P1 A B, P2 A C, P3 C B,Q B.

Para discernir si P1P2P3 Q, construimos la tabla de verdad correspondiente:

A B C A B AC C B BV V V V V V VV V F V V V VV F V FV F F FF V V V V V VF V F V FF F V V V FF F F V F

No tenemos que llenar toda la tabla, sino slo aquellos renglones en los que laspremisas son todas verdaderas simultneamente.

Puesto que siempre que las premisas son simultneamente verdaderas, la con-clusin tambin es verdadera, se concluye que P1,P2,P3 implican tautolgicamentea Q: P1P2P3 Q.


Ahora suponga que tenemos:

P1 A B. P2 C A. P3 C B. Q B.

De alguna manera sabemos que P1,P2,P3 no implican tautolgicamente a Q.Tratamos de buscar un caso en que las premisas sean verdaderas, pero que la con-

clusin sea falsa.Comenzamos suponiendo Q falsa, es decir, B es F. Tratemos de encontrar valores

de verdad para las variables proposicionales de P1,P2,P3 que hagan a estas frmulasverdaderas simultneamente, suponiendo que B es falsa.

En tal caso, de P1 sabemos que A debe ser F. De P3, C debe ser F.Llegamos a :

A B C A B C A C B BF F F V V V F

Logramos, entonces, exhibir un rengln de la tabla en el que las premisas sonsimultneamente verdaderas y la conclusin es F, por lo que P1,P2,P3 no implicantautolgicamente a Q.Definicin II.4.4. Un argumento es un conjunto de premisas 1,2, . . .n y una con-clusin .

El argumento es vlido si

1 . . .n

Ejemplo II.4.5. Determine la validez del siguiente argumento: Si el perro ladra, en-tonces el perro no est en la casa. Si el perro est en la casa, entonces alguien est enla puerta si el perro ladra. Una condicin necesaria para que el perro est en la casa esque el perro ladre. Por lo tanto, si el perro no ladra, nadie est en la puerta.

B el perro ladra.

II.4. Argumentos vlidos 57

H el perro est en la casa.

D alguien est en la puerta.

Premisas: BH , H (B D), H B.Conclusin: BD (o DB).Tratemos de probar que el argumento no es vlido. De no lograrlo, trataremos de

probar que el argumento es vlido. Pero por supuesto, no puede ser ambas cosas a lavez.

Hacemos falsa la conclusin y tratamos de hacer verdaderas a las premisas:

B D H BH H (B D) H B BDF V F V V V F

As que el argumento es invlido.

Ejemplo II.4.6. Si el perro ladra, entonces el perro est en la casa. Si el perro est enla casa, y si el perro ladra, alguien est en la puerta. En efecto, el perro ladra. Por lotanto, alguien est en la puerta.

Premisas: B H , H (B D), B.Conclusin: D.En este caso "intuimos" que el argumento es vlido, por lo que construimos la

tabla de verdad asociada:

B D H B H H (B D) B DV V V V V V VV V F FV F V V FV F F FF V V V V FF V F V V FF F V V V FF F F V F F

As, el argumento es vlido.


Es muy importante observar que la validez de un argumento depende slo de suestructura y no de la interpretacin o certeza de las premisas en la "vida real".

Tambin note que si un argumento involucra muchas variables proposicionales, latabla de verdad crece exponencialmente y se vuelve intratable en la prctica. Por ellorequerimos desarrollar un mtodo alternativo para verificar la validez de un argumento.Este mtodo ser el de prueba formal.

Para hacer ms asequible la nocin de prueba formal y su relacin con la validezde argumentos, requerimos aislar ciertas nociones importantes que ya aparecieron ennuestro tratamiento de tablas de verdad.

II.5 Validez, satisfacibilidad y contradiccinSea S = {A1, . . . ,An} un conjunto de frmulas atmicas. Sea F (S) el conjunto de

todas las frmulas que se pueden construir con las frmulas de S.

Definicin II.5.1. Una asignacin en S es una funcin A : S {V,F}.Esto es, una asignacin A en S asocia valores de verdad a cada frmula atmica

(variable proposicional) de S. Una asignacin A en S se extiende de manera natural aF (S).

Definicin II.5.2. Dada una frmula en F (S) y una asignacin A en S, podemosobtener el valor de A (), es decir, extendemos A simplemente calculando el renglnde la tabla de verdad de correspondiente a la asignacin A . Si bien obtenemos unanueva funcin A cuyo dominio es ms grande que el de A (pues el dominio de A esel conjunto de todas las frmulas), preferimos llamar A a la nueva funcin A .

Esta definicin que puede parecer complicada, en realidad es muy sencilla: si te-nemos podemos construir su tabla de verdad T . Resta notar que cada rengln deT representa una asignacin A , nos referimos a aquellas columnas que involucranslo variables proposicionales. Puesto que ya tenemos la asignacin A , la extensinA est representada por el resto de las columnas y el valor A () es precisamente laltima columna. Dado que el valor de la ltima columna est completamente determi-nado por los valores de verdad de las variables proposicionales en , es decir, por A ,podemos abusar de la notacin y hacer lo ya mencionado: llamar A a A .

Por supuesto, si tenemos el valor de verdad de cada variable proposicional involu-crada en , no necesitamos construir toda la tabla de verdad de para determinar

II.5. Validez, satisfacibilidad y contradiccin 59

A (). Basta construir el rengln correspondiente, usando la definicin de los conec-tivos que aparecen en .

En ciertos casos una asignacin A en S tambin se puede extender a frmulasque no estn en F (S). Suponga que 0 /F (S). Sea S0 el conjunto de subfrmulasatmicas de 0. Si toda extensin de A a SS0 toma el mismo valor para 0, entoncesdefinimos A (0) como ese valor.

Ejemplo II.5.3. Sean A y B frmulas atmicas. Sean A la asignacin en {A,B}definida como A (A) =V y A (B) = F . Entonces:

A (AB) = F A (AB) =VA (A (CC)) =V A (B (CC)) = F

La razn de que A (A (CC)) =V , es porque A (A) =V y que no importa elvalor de verdad de C, (CC) siempre toma el valor de verdad V.

Igualmente A (B (CC)) = F , pues A B = F y (CC) toma el valor F, sinimportar qu valor adopte C.

En lo sucesivo, asignacin es una funcin cuyo dominio es el conjunto de frmulasFml y tiene como contradominio el conjunto {V,F}, es decir, nuestras asignacionesestn definidas en toda frmula, de tal forma que A () 6= A ().

Por lo anterior, las asignaciones se definen exclusivamente en todas las variables yse extienden, necesariamente en forma nica, a toda frmula.

Sean A una asignacin y una frmula. Si A () =V , decimos que se cumplerespecto a A . En forma equivalente, decimos que A es un modelo de . Para estoescribimos:

A

Definicin II.5.4. Una frmula es vlida si se cumple respecto a toda asignacin.Usamos para decir esto. Una frmula vlida es una tautologa.

Ejemplo II.5.5. La frmula (CC) es una tautologa. Otros ejemplos de tautologasson A A y B B.

Definicin II.5.6. Una frmula es satisfacible si se cumple para alguna asignacin.


Las frmulas A B y AB son satisfacibles: la primera mediante la asignacinA (A) = F,A (B) = F (hay otras que tambin la satisfacen), y la segunda mediante laasignacin A (A) =V,A (B) = F .

Definicin II.5.7. Una frmula no es satisfacible cuando no se cumple respecto aninguna asignacin. Ya vimos que tales frmulas se conocen como contradicciones.

Ejemplo II.5.8. La frmula (CC) es una contradiccin, lo mismo que la frmulaAA.

Suponga que queremos determinar si una frmula dada es vlida o no. Este es unejemplo de un problema de decisin. Un problema de decisin es cualquier problemaque, dada cierta entrada, plantea una pregunta que se debe responder con s o no.

Dada una frmula como entrada, la pregunta es

es vlida?

Nos referimos a esto como el problema de validez. Igualmente, podemos preguntar

es satisfacible?

y referirnos a esto como el problema de satisfacibilidad.Para la lgica proposicional, las tablas de verdad proporcionan una posibilidad de

resolver tales problemas.Si todos los valores de verdad de son V, entonces es vlida; si algn valor es

V, es satisfacible. En caso contrario, cuando ningn valor es V, no es satisfacible, esuna contradiccin.

Ejemplo II.5.9. Considere la frmula (A (A B)) B. Para determinar si estafrmula es satisfacible, elaboramos su tabla de verdad.

A B A B A (A B) (A (A B) B)F F V F VF V V F VV F F F VV V V V V

La frmula es satisfacible, ms aun, es vlida.

II.6. Consecuencia y equivalencia 61

Ejemplo II.5.10. Considere la frmula ((A B) A)A. Suponga que queremosdeterminar si esta frmula es satisfacible o no. Hacemos la tabla:

A B A B (A B) A A ((A B) A)AF F V F V FF V V F V FV F F V F FV V V V F F

La frmula no es satisfacible, es una contradiccin.

Tericamente, podemos determinar si cualquier frmula es vlida, satisfacible ono satisfacible, construyendo su tabla de verdad; sin embargo, como ya se evidencien varias oportunidades, el mtodo no es eficiente. Si contiene n frmulas atmicas,entonces tenemos 2n renglones en la tabla de verdad de .

Recuerde que nuestro objetivo es encontrar mtodos alternativos para determinarla validez y satisfacibilidad sin usar tablas de verdad. En forma ms general, queremosdeterminar si una frmula dada es una consecuencia de un cierto conjunto de frmulas,nocin que a continuacin definimos.

II.6 Consecuencia y equivalenciaDefinicin II.6.1. Una frmula es una consecuencia lgica3 de una frmula sipara toda asignacin A , tal que A , se cumple A . Denotaremos esto por: .

Note que el smbolo se usa en tres formas. Siempre hay una frmula o unconjunto de ellas a la derecha del smbolo. Cuando escribimos:

la interpretacin de depende de lo que haya a la izquierda. Puede estar una asig-nacin A , una frmula , un conjunto de frmulas o vaco.

3 En ocasiones escribiremos simplemente consecuencia.


Esto da lugar a lo siguiente:

A significa A () =V ; A modela , A es un modelo de .

significa que todo modelo de , tambin lo es de ; es una consecuen-cia lgica de .

significa que toda asignacin modela a : es una tautologa.

A |= , que implica que cada frmula se satisface por A (como sedefinir en breve).

As que, aunque tenga muchas interpretaciones, el contexto elimina la am-bigedad.

Proposicin II.6.2. Para cualesquiera frmulas, y , es una consecuencia lgicade si y slo si es una tautologa.Demostracin. Supongamos que |= . Sea A una asignacin. Debemos verificarque A ( ) =V . La nica posibilidad para que esto no ocurra es que A () =Vy A () = F . Pero si A () =V , A () =V por hiptesis.

Para la otra direccin considere una asignacin A tal que A () =V . Puesto que es una tautologa, se debe cumplir que A ( ) =V y por el valor de A en que conocemos, slo es posible que A () =V , lo que demuestra |= .

El nclito lector not que ahorrarnos esta demostracin es slo cuestin de unasencilla reflexin:

|= si y slo si .Realizado lo anterior, resta slo recurrir al teorema II.4.2. Aun admitiendo esta

prueba ms simple, vali la pena presentar una demostracin usando asignaciones.Suponga que queremos determinar si cierta frmula es consecuencia lgica de

una frmula . Este es el problema de la consecuencia lgica, que en el fondo sereduce al problema de validez, ya que es consecuencia de si y slo si es vlida. Tal problema se resuelve elaborando la tabla de verdad. Si los valores de son todos V, es consecuencia de . En otro caso, no lo es.

En particular, si es una contradiccin, entonces es una consecuencia de sinimportar qu es .


Ejemplo II.6.3. Sean , frmulas. Se verifica fcilmente mediante tablas de verdadque:

Definicin II.6.4. Si es consecuencia de y es consecuencia de , decimos que y son equivalentes. Denotamos esto con:

o tambin con .

Se sigue que dos frmulas y son equivalentes si y slo si es unatautologa. Podemos determinar si dos frmulas son equivalentes por medio de latabla de verdad.

Ejemplo II.6.5. Para cualesquiera frmulas , : .

Ejemplo II.6.6. Para cualquier frmula y cualquier tautologa , .

Ejemplo II.6.7. Para cualquier frmula y cualquier contradiccin , .

Ejemplo II.6.8. (Leyes distributivas) Las dos siguientes equivalencias exhiben lasleyes distributivas para y . Para cualesquiera frmulas , y :

( ( )) (( ) ( )) y( ( )) (( ) ( )).

Ejemplo II.6.9. (Leyes de De Morgan) Para cualesquiera frmulas y ,

( ) ( )( ) ( )

Ejemplo II.6.10. Si usamos las equivalencias recin descritas, podemos mostrar que((( )) (( ) ) ( )) ( ) ( )


Sea la frmula a la izquierda. Note que es una tautologa, as que esequivalente a (( )) (( ) ). Por la distributividad, esto es equivalentea ( ) ( ) que es equivalente a ( ) ( ).

Si lo hubiramos demostrado por tablas, hubiramos requerido 25 = 32 renglones.

Otro mtodo para probar que una frmula es consecuencia de otra, es el de pruebaformal, que ya pronto describiremos.

Definicin II.6.11. Sea = {1,2,3, . . .} un conjunto de frmulas. Para toda asig-nacin A , decimos que A modela o que A es un modelo de , lo que denotamospor A , si A i para cada frmula i en , en este caso tambin escribimosA () =V .

Decimos que una frmula es una consecuencia de y lo denotamos por ,si A implica A para toda asignacin A .

Suponga que queremos determinar si una frmula es una consecuencia de unconjunto de frmulas . Si es finito, obviamente podemos considerar la conjuncin de todas las frmulas en (es decir, si = {1, . . . ,l}, es 12 l)y calcular la tabla de verdad de . Sin embargo, si el conjunto es grande, elclculo de dicha tabla no es prctico. Si el conjunto es infinito, el mtodo ni siquieraes aplicable.

Como otra posibilidad de deducir a partir de , considere el siguiente ejemplo:Ejemplo II.6.12. Sea el siguiente conjunto de frmulas:

{A,A B,BC,C D,D E,E F,F G}.Suponga que cada una de las frmulas en es verdadera. Entonces, en particular,

A y A B son verdaderas, se sigue que B debe ser verdadera. Similarmente, como By BC son verdaderas, C debe ser verdadera, etctera.

Si cada frmula en es verdadera, entonces A,B,C,D,E,F y G son verdaderas.Cada una de estas frmulas es consecuencia de . No necesitamos una tabla de verdadpara probar esto.

Sea

la conjuncin de las frmulas en . Esto es, = AA BBCC DD E E F F G.

La tabla de verdad para G contiene 128 renglones. Sin calcular un solorengln, podemos deducir que cada uno de ellos tiene valor de verdad V. La frmula G es una tautologa, por lo que G es una consecuencia de .


En este ejemplo usamos repetidamente el hecho de que si y son ver-daderas, entonces tambin es verdadera, es decir, usamos el hecho de que es unaconsecuencia de ( ).

Recuerde que:

1. Una proposicin es una tautologa si y slo si su negacin es una contradiccin.

2. Una proposicin es satisfacible si y slo si su negacin no es una tautologa.

3. Una proposicin que es una tautologa es satisfacible, mientras que una propo-sicin satisfacible no es necesariamente una tautologa.

4. Hay ciertas tautologas "bsicas" de uso frecuente:

(a) (AB) (AB) (Ley de De Morgan l).(b) (AB) (AB) (Ley de De Morgan ll).(c) (A) A (Ley de la doble negacin).(d) (A B) (BA) (Contrapositiva).(e) (BC) ((A B) (AC)) (Primer silogismo).(f) (A B) ((BC) (AC)) (Segundo silogismo).(g) (A (BC)) ((AB)C) (Transposicin).(h) AA (Ley del tercero excluido).

En cualquiera de estas frmulas, en general en cualquier tautologa, se puedensustituir en una o ms de las variables proposicionales una frmula arbitraria , y lafrmula resultante sigue siendo una tautologa. Esto es cierto siempre y cuando sesustituya toda aparicin de la variable proposicional por la misma frmula , algo quea continuacin demostramos.

NDemostremos entonces la afirmacin final en el ejemplo previo. Aqu [A/ ]

significa que en sustituimos cada aparicin de A por .

Lema II.6.13. Supongamos que la frmula es una tautologa (contradiccin). Sisustituimos la frmula por una variable A de en cada una de las apariciones deA en , la frmula resultante sigue siendo una tautologa (contradiccin).


Demostracin. Procedemos por induccin en la construccin de . Trataremos si-multneamente los casos tautologa y contradiccin.

Si fuese atmica, no podra ser tautologa o contradiccin, por lo que este casono ocurre.

Supongamos cierta la afirmacin para y que es una tautologa (con-tradiccin). Se sigue que es una contradiccin (tautologa). Por hiptesis de induc-cin, al sustituir por cada aparicin de A en , la frmula resultante sigue siendouna contradiccin (tautologa), de donde se deduce que [A/ ] es una tautologa (con-tradiccin).

Considere ahora y que la afirmacin se cumple para y . Al sustituirA por en y , se sigue de la hiptesis de induccin que [A/ ] [A/ ] es unatautologa (contradiccin), por lo que [A/ ] es una tautologa (contradiccin).

MRegresemos a la nocin de consecuencia. Si es un conjunto de frmulas, M()

denota al conjunto de todas las asignaciones que modelan a , es decir, de todos losmodelos de ; Cn() representa al conjunto de consecuencias de y Tau al conjuntode tautologas. Esto es, A M() si y slo si A |= ; Cn() si |= y Tausi |= .

Teorema II.6.14. Sean , 1, 2 conjuntos de proposiciones. Se cumplenlas siguientes afirmaciones:

1 2 Cn(1)Cn(2).

Cn().

TauCn() para cualquier .

Cn() =Cn(Cn()).

1 2 M(2)M(1).

Cn() = { |A () =V para todo A M()}

Cn({1, . . . ,n}) 1 (2 . . . (n )) Tau.


Demostracin. Supongamos que 1 2, lo que se tiene que demostrar es queCn(1) Cn(2). Sea Cn(1), es decir, 1 , lo que es lo mismo que,si A es una valuacin con A (1) =V , entonces A () =V . Debemos probarque Cn(2), es decir, que dada cualquier valuacin A tal que A (2) =V ,

A () = V . As que tomamos A con A |= 2. Por hiptesis 1 2. Enconsecuencia, A (1) =V , por lo que de la hiptesis deducimos A () =V .

Sea , debemos probar que Cn(). Sea A una asignacin tal queA () = V , pero en particular A () = V pues , de donde se sigue que |= .

Sea Tau, es decir, es una tautologa. En consecuencia A () = V paratoda asignacin, en particular si A () =V ; as que y Cn().

Queremos probar que Cn() =Cn(Cn()). De los incisos (2) y (1) se sigue queCn()Cn(Cn()); resta probar que Cn(Cn())Cn(). Sea Cn(Cn()),por demostrar que Cn(). Sea A una valuacin tal que A () =V , quere-mos probar que A () =V . Puesto que Cn(Cn()), si A es una asignacintal que A (Cn()) = V , entonces A () = V ; por hiptesis A () = V , as queA (Cn()) = V , ya que si Cn() y A () = V , entonces A () = V . Enconsecuencia A (Cn()) =V A () =V , lo que se quera demostrar.

Supongamos que 1 2. Debemos mostrar que M(2) M(1). Sea A M(2), es decir, A (2) =V . Puesto que 1 2 se sigue inmediatamente queA (1) =V A M(1).

Debemos mostrar que

Cn() = { |A () =V para todo A M()}. ()

Sea Cn(), queremos probar que est en el conjunto del lado derechode (), as que A M(), pero esto significa A () = V , y como Cn(),se sigue que A () = V ; ahora sea en el conjunto del lado derecho de (),entonces A () =V implica A () =V , por lo que Cn().


Sea Cn({1, . . . ,n}), entonces si A ({1, . . . ,n}) = V se concluye queA () = V . Queremos probar que 1 (2 . . . (n )) es una tau-tologa; para que esto no se cumpliera se requiere que 1 sea V y el resto seaF . Esto significa que 2 es V y el resto es F , continuamos as y llegamos a quecada i es V y es F , pero esto es imposible por hiptesis.Recprocamente supngamos 1 (2 . . . (n )) Tau, entoncesrazonando como antes si 1 . . .n son V , tambin lo debe ser, por lo que Cn({1, . . . ,n}).

En nuestra notacin anterior: un argumento con premisas 1, . . . ,n y conclusin es vlido si y slo si

{1, . . . ,n}

Ejemplo II.6.15. Sea = {AB,BC}. Entonces C: supongamos que A () =V , es decir,

A (AB) =V (1)A (BC) =V. (2)

De (1) se sigue que A (A) = V = A (B), de (2) se sigue que A (C) = F implicaA (B) = F , lo cual no ocurre, por lo tanto A (C) =V y C.

Ejemplo II.6.16. Sea = {AB,AC} y = BC, entonces : supongamosque A () =V , es decir,

A (AB) =V (1)A (AC) =V. (2)

Si A (B) = F , entonces A (A) =V por (1), as que A (C) =V por (2) y A (BC) =V .Si A (B) =V , directamente se sigue que A (BC) =V , en ambos casos, A (BC) =V por lo que .

Proposicin II.6.17. Cn( /0) = Tau, donde /0 es el conjunto vaco.

II.7. Formas normales 69

Demostracin. Del teorema II.6.14(3) se sigue que TauCn() para toda , en par-ticular para = /0.

Sea Cn( /0), quiere decir que para toda asignacin A tal que A ( /0) = V , secumple A () =V , pero A ( /0) =V es cierto para cualquier asignacin A , pues si nofuera as, existira /0 tal que A () = F , pero no hay tal en el vaco. Se sigueque A ( /0) =V para toda asignacin A , por lo que A () =V para toda asignacin y Tau.

Definicin II.6.18. Un conjunto de proposiciones es consistente si tiene un modelo,es decir, si existe una asignacin A tal que A () =V . Tambin se dice que tal esverificable o satisfacible.

Un conjunto de proposiciones es inconsistente o no verificable o no satisfaci-ble cuando no tiene modelo, es decir, para toda asignacin A , existe tal queA () = F .

II.7 Formas normalesHemos visto que toda frmula se construye a partir de variables proposicionales

y conectivos, y que cada frmula da lugar a una tabla de verdad. Ser cierto elrecproco?, es decir, cada tabla de verdad representa a alguna frmula?


Ejemplo II.7.1. Considere la siguiente tabla

P Q V V VV F VF V VF F V

Qu puede ser ?Esta pregunta es trivial, podemos representar a como PP.

Ejemplo II.7.2. Tenga en cuenta la siguiente tabla de verdad.

P Q V V FV F FF V FF F F

En estas condiciones podemos proponer que sea PP.

Ejemplo II.7.3. Una tabla distinta a las anteriores:

P Q V V VV F VF V FF F V

En este caso la frmula que afoanosamente buscamos no es otra que (PQ)(PQ) (PQ).

Ejemplo II.7.4. finalmente considere la siguiente tabla:


P Q R V V V VV V F FV F V FV F F FF V V VF V F FF F V VF F F F

(PQR) (PQR) (PQR).El hecho de que fusemos capaces de encontrar una frmula que corresponda a la

tabla de verdad dada (en cada uno de los ejemplos) no es, de ninguna manera, fortuito.Teorema II.7.5. Dada una tabla de verdad, existe una frmula en elclculo proposicional cuya tabla de verdad es precisamente T .

Demostracin. La demostracin de este teorema se presenta al final de esta seccin.

Observe que las frmulas obtenidas en los ejemplos son disyunciones de conjun-ciones.

Definicin II.7.6. Una literal es una frmula atmica o la negacin de una frmulaatmica. La literal es positiva si es una frmula atmica, de lo contrario es negativa.

Ejemplo II.7.7. A, B, C son literales positivas, mientras que D, E , A, son literalesnegativas.

Medianten

i=1 i se denota la frmula 1 n. La conjuncin correspon-diente se denota

ni=1 i.

Definicin II.7.8. Una frmula est en Forma Normal Disyuntiva (FND) si es unadisyuncin de conjunciones de literales, es decir:

n

i=1

mj=1

Li j

(L11 L1m) (Ln1 Lnm),


donde las Li j son literales. Observe que n o m pueden ser 1.

Definicin II.7.9. Una frmula est en Forma Normal Conjuntiva (FNC) si es unaconjuncin de disyunciones de literales, es decir:

n

i=1

mj=1

Li j

(L11 L1m) (Ln1 Lnm),

donde las Li j son literales.

Ejemplo II.7.10. (AB) (CD) (ABD) est en FNC.

(AB)C (BCD) est en FND.

(AB) ((AC) (BD)) no est en ninguna de estas formas.

Teorema II.7.11. Toda frmula del clculo proposicional es tautolgica-mente equivalente a una frmula en FND.

Demostracin. Dada una frmula , construya su tabla de verdad. Si es una con-tradiccin, la frmula equivalente es PP que est en FND; en otro caso debe teneral menos una V en la ltima columna. Usamos el procedimiento descrito en el teo-rema II.7.5 para encontrar su FND: suponga que las variables proposicionales en son P1, . . . ,Pn. Para cada rengln en el que aparezca V en la ltima columna, escribi-mos la conjuncin X1 Xn, donde Xi es Pi si Pi es V en el rengln; en otro caso, siPi es falsa, Xi se toma como Pi. La frmula que buscamos es la disyuncin de estasconjunciones, una para cada rengln en el que al final aparezca V .

Ejemplo II.7.12. Encontrar la FND de ((PQ) R) (QR)Hacemos la tabla de verdad


P Q R (PQ) R QR V V V V F FV V F F V FV F V V F FV F F F F VF V V V F FF V F V V VF F V V F FF F F F F V

Siguiendo el procedimiento descrito, slo cuentan los renglones 4, 6 y 8:

(PQR) (PQR) (PQR).Lema II.7.13. Sean una frmula en FNC y una frmula en FND. Entonces es equivalente a una frmula en FND y a una en FNC.Demostracin. Si est en FNC, entonces tiene la forma:

n

i=1

mj=1

Li j.

donde las Li j son literales.La negacin de esta frmula

n

i=1

mj=1

Li j,

n

i=1

mj=1

Li j,

n

i=1

mj=1Li j,

que es una frmula en FND equivalente a .En forma similar se prueba la afirmacin para .


Ya probamos que toda frmula se puede transformar en otra frmula, equiva-lente, en FNC. El mtodo de demostracin del siguiente teorema puede ser de utilidadcuando recurrir a tablas de verdad sea poco prctico.

Teorema II.7.14. Toda frmula es equivalente a una frmula 1 en FNCy a una frmula 2 en FND.

N

Demostracin. Procederemos por induccin en la construccin de . Primero su-pongamos que es atmica. Entonces ya est en FNC y FND, as que tenemos1 = 2 = .

Supongamos que y que para se cumple el teorema, es decir, 1 2, donde 1 est en FNC y 2 en FND. Entonces 1 est en FND y 2 en FNC,de acuerdo con el lema II.7.13, y por supuesto 1 2.

Ahora asumimos que , donde para , se cumple el teorema, por lo queexisten frmulas 1,1 en FNC, y 2,2 en FND tales que

1 2 1 2.Note que 11 que est en FNC. Resta probar que es equivalente auna frmula en FND. Sabemos que 2 y 2 estn en FND, por lo que podemos suponerque tienen la forma

2

ii 2

j

j,

donde i, j son conjunciones de literales. Entonces

22

ii

j

j

i

j

i j,

que est en FND.


MEste teorema garantiza la existencia de la FND y FNC de una frmula . Suponga

que queremos encontrar estas formas normales para una frmula dada. Tenemos elsiguiente algoritmo, basado en el teorema II.7.14:

Algoritmo para obtener la FNC de una frmula

Etapa 1. Remplace todas las subfrmulas de la forma por , y todas lassubfrmulas de la forma por ( ) ( ).

Etapa 2. Elimine dobles negaciones y aplique reglas de De Morgan cuando sea posi-ble, es decir, remplace las subfrmulas de la forma:

por , ( ) por ( ), y ( ) por ( ).Etapa 3. Aplique la regla distributiva para cuando sea posible, es decir, sustituya

las subfrmulas de la forma:

( ( )) o (( )) por (( ) ( )).Al final obtendr una frmula en FNC.

Si en la etapa 3 usamos distributividad de obtenemos una frmula en FND.Ejemplo II.7.15. Transforme la siguiente frmula mediante el algoritmo recin des-crito.

= (AB) (BA) (AB) (BA) (AB) (BA)

que est en FND.Por distributividad

((AB)B) ((AB)A), es decir, (AB) (BB) (AA) (BA)

que est en FNC.


Para facilitar el uso de este mtodo que ser indispensable en resolucin4 , vale lapena recordar las siguientes equivalencias:

(i) Las Leyes de De Morgan(AB)AB(AB)AB

(ii) la propiedad asociativa de y (AB)C A (BC)(AB)C A (BC)

(iii) ConmutatividadAB BAAB BA

(iv) DistributividadA (BC)) (AB) (AC)A (BC)) (AB) (AC)

(v) Las proposiciones:AA A AA A

A (BB) A A A

Ejemplo II.7.16. Sea ((AB) (AB))C. Encuentre su FND y su FNC.1. Introducimos la negacin

((AB)(AB))C ((AB) (AB))C, (ABC) (ABC)

que est en FND.4 Un mtodo de demostracin que veremos posteriormente.


2. Usamos conmutatividad y asociatividad para juntar las literales del mismo to-mo. Simplificamos dobles negaciones, trminos de la forma A A, A A ytrminos superfluos como BB o BB

[(AB) (AB)]C

3. ((AB)A) ((AB)B)C

4. (AA) (BA) (AB) (BB)C

5. (BA) (AB)C

Que es la FNC.

n Ahora damos una demostracin del teorema II.7.5. La tabla debe involucrarslo una cantidad finita de variables V = {A1, . . . ,An}. Sin prdida de la generalidad,podemos suponer que cada frmula involucra a todas las variables y escribimos = [A1, . . . ,An].

Si (m1, . . . ,mn) {V,F}n (es decir, cada mi es V o F), mediante Am1,...,mn denota-mos la asignacin A tal que

Am1,...,mn(Ai) = mi,

para toda i {1,2, . . . ,n}.Para cada variable A y cada elemento m {V,F} sea mA la frmula

mA =

{A, si m =V ;A, si m = F.

Si es una frmula, recuerde que M() es la coleccin de todos los modelos de , es decir,

M() = {A {V,F}n : A () =V}.Para cada frmula definimos una funcin f de {V,F}n en {V,F} (es decir, f

recibe una n-ada conformada por V y F y regresa V o F) mediante:f(m1, . . . ,mn) = Am1,...,mn().


As que f no es otra cosa que la tabla de verdad de . Note que y sonlgicamente equivalentes si y slo si f = f . Tenemos entonces una aplicacin

i : Fml {V,F}({V,F}n),

dada por i() = f y f : {V,F}n {V,F}, donde el conjunto A = {V,F}({V,F}n)son todas las posibles asignaciones. Notemos que i es compatible con , es decir, si , entonces i() = f = f = i(). Por lo tanto, esta funcin no es inyectiva,pues si tenemos las frmulas distintas QQ y PP, dan lugar a la misma imagenrespecto a i.

En el conjunto Fml consideramos las clases generadas por la relacin de equiva-lencia , esto es, consideramos el cociente

Fml/ = Fml = {[ ] : Fml},

donde [ ] es la clase de equivalencia de la frmula respecto a la relacin . As [ ] si y slo si .

Definimos la aplicacin i : Fml A en forma natural: i([ ]) = i(), y es claroque no depende de la eleccin del representante de la clase de equivalencia. Adems,por definicin es inyectiva. La cantidad de clases de equivalencia de Fml es a lo sumola cantidad de elementos de A que es 22n .

La pregunta natural es hay exactamente 22n clases de equivalencia o menos?, esdecir, es i sobre? corresponde cada tabla de verdad a una frmula?

La respuesta a todas estas preguntas es s.

Lema II.7.17. Para cualquier n-ada (m1, . . . ,mn) {V,F}n la frmula

1knmkAk

tiene como nico modelo a Am1,...,mn .

En nuestra notacin:

M

( 1kn

mkAk

)= {Am1,...,mn}.


Demostracin. Primero probamos que Am1,...,mn es un modelo de . Con este fin enmente, nos cercioramos de que Am1,...,mn(mkAk) =V , para k = 1, . . . ,n. Sin embargo,la aplicacin Am1,...,mn(mkAk) asigna mk a la variable Ak y

mkAk =

{Ak, si mk =VAk, si mk = F.

As que si mk =V , Am1,...,mn(mkAk) = Am1,...,mn(Ak) =V . Si m = F ,

Am1,...,mn(mkAk) = Am1,...,mn(Ak) =V,por lo que Am1,...,mn(Ak) = F . Se sigue que Am1,...,mn es un modelo de .

Ahora probamos que este modelo es nico. Suponga que W es un modelo de . Debemos probar que Am1,...,mn = W . Recuerde que estamos suponiendo que eldominio de estas asignaciones es el conjunto finito V . Ahora, Am1,...,mn(Ai) = mi, asque hemos de probar que W (Ai)=mi para i= 1, . . . ,n. Lo nico que sabemos sobre Wes que es un modelo de . Tomemos i arbitraria en {1, . . . ,n}. Si Am1,...,mn(Ai) = mi,se sigue que mi =V , por lo que Am1,...,mn(miAi) =V . En consecuencia W (miAi) =Vy por definicin de miAi, W (miAi) = W (Ai) =V .

En forma similar se trata el caso mi = F .Hemos demostrado que W = Am1,...,mn .

Lema II.7.18. Sea X un subconjunto no vaco de {V,F}n y X la frmula

(m1,...,mn)X

( 1kn

miAi

).

Entonces la frmula X tiene como nicos modelos a Am1,...,mn para (m1, . . . ,mn) X.Es decir,

M

(m1,...,mn)X

( 1kn

miAi

)= {Am1,...,mn : (m1, . . . ,mn) X}.Demostracin. Para cualquier asignacin A se cumple A (X) =V si y slo si existeuna n-ada (m1, . . . ,mn) X tal que

A

( 1kn

miAi

)=V,


que de acuerdo al lema II.7.17 es equivalente a que exista una n-ada (m1, . . . ,mn) Xcon

A = Am1,...,mn ,

o, lo que es lo mismo, a

A {Am1,...,mn : (m1, . . . ,mn) X}.

Teorema II.7.19. Para cualquier funcin f : {V,F}n {V,F} existe al menosuna frmula tal que f = f . En otras palabras, toda aplicacin de{V,F}n en {V,F} es una tabla de verdad de alguna frmula.

Demostracin. fijamos una aplicacin f : {V,F}n {V,F}. Si f toma slo valoresF , hacemos A1A1.

En otro caso, el conjunto

X = f1({V}) = {(m1, . . . ,mn) {V,F}n : f (m1, . . . ,mn) =V}

no es vaco, y por el lema II.7.18, la frmula

X =

(m1,...,mn)X

( 1in

miAi

)

tiene como nicos modelos las asignaciones Am1,...,mn para las cuales f (m1, . . ., mn) =V . Esto es, para cualquier n-ada (m1, . . . ,mn) {V,F}n tenemos

Am1,...,mn() =V

si y slo si f (m1, . . . ,mn) = V , lo cual significa que f es la funcin fX , la tabla deverdad de .

m

Introducción a la Lógica Proposicional II

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