Capítulo 1. Introducción a la Lógica Proposicional

I

Introducción a la lógica proposicional

Ad verum ducit1

En este capítulo inicial trataremos de transmitir al lectorla necesidad del estudio de lalógica matemática, así como lo que entendemos por, precisamente, lógica matemática.

I.1 Fundamentos¿Qué es la lógica? No es fácil dar una definición que sea aceptada por todos los es-

pecialistas en el tema. Trataremos de delimitar poco a poco nuestro objeto de estudio.Se habla de muchas lógicas o de muchos tipos de lógica: clásica, intuicionista, modal,epistémica, etc. Todas ellas tratan de inferencias o argumentos e intentan determinar,digámoslo en una primera aproximación, su corrección o qué tan razonable es aceptar-los, bajo ciertas condiciones. Un argumento o inferencia esuna secuencia de razonesque se dan para justificar o hacer plausible una tesis. Por ejemplo, alguien pretendeconvencernos de que la dieta a base de pescado es más sana que la dieta tradicionalmexicana y para ello señala que los japoneses, que comen frecuentemente pescado,tienen la tasa de enfermedades cardiacas más baja del mundo,mientras que México esel segundo país con más obesidad en el planeta. Otro intenta demostrar que Oswaldno fue el asesino de John F. Kennedy, y para ello aduce que la policía tenía que encon-trar rápidamente un asesino material y que Oswald no tenía elperfil psicológico de unasesino a sueldo, ni estaba interesado en política. Estos son ejemplos de argumentos o

1 Conduce a la verdad.

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2 I. Introducción a la lógica proposicional

inferencias. La lógica no se interesa nunca en determinar silos enunciados que cons-tituyen la inferencia son verdaderos o plausibles, o si debemos o no aceptarlos. Noentrará en la cuestión de si realmente la dieta de los japoneses es a base de pescado.Más bien evaluará qué tan racional es aceptar la tesis que se nos propone (a la quellamaremos ‘conclusión’), suponiendo que admitimos los enunciados que se ofrecenen su favor (a los que denominaremos ‘premisas’). Supongamos que las premisas sonverdaderas y determinemos si es racional aceptar la conclusión. Un punto importantees que quien ofrece un argumento da por sentado que él y su interlocutor compartencierta información que por ser tan obvia ni siquiera es dignade ser mencionada. Ennuestro primer ejemplo se da por sentado que una tasa baja de enfermedades cardiacases indicio de salud, mientras que la obesidad es signo de pocasalud. ¿Debemos con-siderar que esta información implícita forma parte del argumento? En muchos casosel que el argumento sea considerado como válido dependerá deesta decisión. ¿Quétanto debemos hacer explícito? Responderemos a ambas cuestiones en el curso de estecapítulo.

Ahora bien, hay diversos tipos de argumentos y la lógica clásica, que estudiaremosaquí, no se ocupa de todos ellos. Sin pretender ni clasificarlos, ni caracterizarlos conprecisión, diremos que hay argumentos inductivos, abductivos y deductivos, y que sólotrataremos aquí de los últimos. Demos brevemente ejemplo delos primeros dos casos.De que cada día, a las seis de la mañana, se escucha desde el minarete de la mezquitael llamado a la oración, y de que son las 5:55, concluyo que en 5minutos escucharéel llamado a la plegaria. A partir de que todas las ratas que han tomado estricnina hanmuerto, concluyo que esta sustancia es mortal para cualquier rata. Esos son ejemplode argumentos inductivos. Solía decirse que la inducción procedía de lo particular a logeneral, es decir, que partía de premisas particulares paraconcluir algo general, peroesta caracterización ni siquiera se aplica a nuestro primerejemplo. A falta de otramejor, nos quedaremos con los ejemplos. Lo mismo haremos conla abducción. De laobservación de que el ladrón muy probablemente empeñará el diamante que se robótan rápido como le sea posible, y de que el señorX empeñó un diamante una horadespués de cometido el hurto, concluimos que es muy verosímil que el señorX sea elladrón. De que el paciente tuvo fiebre concluimos que muy probablemente padezca deuna infección bacteriana. Estos son casos de razonamiento abductivo. Insistimos enque no es fácil definir claramente estos tipos de inferencia,pero esperamos que conestos ejemplos y el contraste con los argumentos deductivos, que sí serán tratados enlo que sigue, el lector pueda hacerse una idea clara sobre estas categorías.

I.1. Fundamentos 3

Veamos ahora unos ejemplos de inferencias deductivas que parecen válidas o co-rrectas. Para mayor claridad daremos por separado las premisas, en primer término, ypor último la conclusión:

Ninguno de los conocidos de Sandra vio ayer a Miguel.Juan vio ayer a Miguel.Por lo tanto, Sandra no conoce a Juan.O se les aumenta el sueldo o los empleados irán a huelga.No se les aumentará el sueldo.Por lo tanto, los empleados irán a huelga.Dos de los hermanos de Pedro son calvos.Carlos es hermano de Pedro y no es calvo.Por lo tanto, Pedro tiene más de dos hermanos.El auto de Luis es verde.Este auto es azul.Por lo tanto, este auto no pertenece a Luis.


Los estándares para determinar que es racional aceptar la conclusión, si admitimoslas premisas, es decir, para decidir que un argumento es válido o correcto, varíandependiendo de si el argumento es de un tipo o de otro. Ahora podemos agregar unaprecisión: más que ocuparnos sólo de los argumentos deductivos, consideraremos enlo que sigue cualquier argumento, pero sólo lo evaluaremos desde los estándares decorrección de los argumentos deductivos.

La lógica intentará determinar con la mayor precisión posible qué es un argumentocorrecto (o válido), es decir, tratará de dar una definición adecuada de "argumento co-rrecto" y, partiendo de ella, intentará proveer métodos para determinar si un argumentodado es correcto. Desde luego se pretende que estos métodos correspondan a nuestrasintuiciones, esto es, que si un argumento nos parece intuitivamente válido, los métodosde la lógica lo dictaminen así y viceversa. También se tratará que esos métodos seanlo más objetivos posibles, es decir, que el resultado de aplicarlos a casos particularesno dependa del humor, inteligencia, cultura, etc. de quien lo pone en práctica. Loidóneo es que fuesen algoritmos: procedimientos que puedanser aplicados por unacomputadora. Existen otras maneras de plantear la función primordial de la lógica,pero, por ahora, nos conformaremos con esta primera aproximación. Recordemos denuevo que en lo que sigue sólo nos ocuparemos de los argumentos desde un puntode vista deductivo. Empecemos dando una definición más precisa de "argumento" o"inferencia".

I.2 Corrección de argumentosUna inferencia o argumentoconsiste de un conjunto de enunciados, uno de los

cuales es llamado "conclusión" y los demás "premisas". Parauniformizar nuestra no-tación, escribiremos primeramente las premisas y por último la conclusión. En ellenguaje ordinario no cualquier conjunto de enunciados es considerado un argumento.Si digo: "Pizarro conquistó el imperio inca. Pizarro era un hombre muy ambicioso",no parezco estar argumentando. Para que se diga que estoy estableciendo un argu-mento es necesario que tenga la pretensión de que uno o variosenunciados aportenrazones para creer en otro, y esa intención suele estar señalada por expresiones como"por lo tanto", "en consecuencia", etc. Por ejemplo, si digo: "Pizarro conquistó elimperio inca. En consecuencia, Pizarro era un hombre muy ambicioso", claramenteestablezco un argumento. Sin embargo, para simplificar las cosas, en lógica consi-deraremos que cualquier conjunto de enunciados es un argumento, siempre y cuando

I.2. Corrección de argumentos 5

uno de esos enunciados sea señalado como la conclusión. Ahora bien, una inferenciaes válida cuando la conclusión se sigue (o es consecuencia lógica) de las premisas.¿Cómo definir precisamente esta noción de "consecuencia lógica"? (o "validez" o "co-rrección"). Alguien propone un argumento cuando intenta convencer a su interlocutorde una proposición que éste no cree. Para ello tiene que partir de premisas que el inter-locutor ya admite. Si alguien intentara convencernos de quees bueno, desde el puntode vista moral, el trato que damos a los animales de granja, y parte para ello de que losanimales no son sensibles al dolor en el mismo grado que los humanos, podríamos noaceptar el argumento por parecernos inadmisible esta primera premisa. Así es que unbuen argumento tendrá como premisas afirmaciones que el interlocutor acepta. Pero,como dijimos, la verdad, verosimilitud de las premisas o quétan racional es aceptarlasno es asunto de la lógica, sino que corresponde a la disciplina de cuyo tema versa lapremisa. La lógica juzgará qué tan razonable es aceptar la conclusión una vez queya damos por sentadas las premisas. Basado en ello, daremos una primera definiciónaún imprecisa e informal de argumento correcto (desde el punto de vista deductivo),que nos servirá como punto de partida: un argumento es correcto (desde el punto devista deductivo) si cuando las premisas son consideradas como verdaderas (séanlo ono en realidad), la conclusión no puede ser concebida como falsa (es decir, tiene queser aceptada como verdadera). Esta es una definición aún imprecisa que requiere unrefinamiento, pero puede servirnos como un primer criterio.Antes de ver qué otro tipode argumentos existen, examinemos algunos ejemplos de argumentos (deductivos) yde aplicación del criterio de corrección mencionado.

Veamos algunos ejemplos.

Juan fue nombrado director del hospicio del pueblo. El director del hospicio debealimentar a aquellos y sólo a aquellos que no se alimentan a símismos. Por lo tanto,Juan no podrá cumplir con sus obligaciones.Si Juan quisiera cumplir con sus obliga-ciones, ¿debería o no alimentarse a sí mismo? Si la respuestaes positiva puesto que élse alimentaría a sí mismo, las reglas de su cargo indican que él no debe alimentarse a símismo. Si no se alimenta, entonces está obligado a hacerlo por las responsabilidadesde su puesto. Se sigue que no puede cumplir éstas cabalmente yque el argumento escorrecto.

Si una persona tiene dermatitis atópica o rinitis alérgica,alguno de sus hijos pade-cerá (al menos) una de estas enfermedades antes de los 20 años. Un hijo de Luis XVIIIpadeció rinitis alérgica. Juan tiene 21 años y no ha padecidoni rinitis alérgica ni der-matitis atópica. Por lo tanto, Juan no es descendiente de Luis XVIII.


Desconocemos qué valor de verdad tienen las premisas o la conclusión (si son ver-daderas o falsas), pero eso no importa para saber si el argumento es correcto. Es fácilver que si suponemos las premisas verdaderas, podemos concebir la conclusión comofalsa. Puede ocurrir que, por ejemplo, Juan pertenezca a unalínea de descendientes deLuis XVIII de cuyos miembros ninguno sufrió de esas enfermedades. En cambio, escorrecto si en lugar de la primera premisa, ponemos la siguiente:

Si una persona tiene dermatitis atópica o rinitis alérgica,todos sus hijos pade-cerán (al menos) una de estas enfermedades antes de los 20 años.

el nuevo argumento que ahora resulta es claramente correcto. Tomemos ahora elargumento:

Ningún obrero de la fábrica es beneficiario del IMSS. Todos los beneficiarios delIMSS cuentan con seguro médico. Por lo tanto, ningún obrero de la fábrica cuentacon seguro médico.

Imaginemos que las premisas son verdaderas, ¿la conclusióntiene que ser ver-dadera? Es fácil ver que no. Supongamos, por ejemplo, que haysólo dos obreros en lafábrica, Francisco y Miguel. Los beneficiarios del IMSS cuentan con seguro médicootorgado por esta empresa. Ni Francisco ni Miguel son beneficiarios del IMSS. Sinembargo, Miguel cuenta con un seguro médico privado. En estecaso las premisas sonverdaderas y la conclusión es falsa. Por ello, el argumento es incorrecto.

Comparemos el caso anterior con el siguiente:Todos los beneficiarios del IMSS cuentan con seguro médico. Miguel no tiene

seguro médico. Por lo tanto, Miguel no es beneficiario del IMSS.En este caso, no podemos imaginar las premisas verdaderas y la conclusión falsa.

Pues si la conclusión fuese falsa y las premisas verdaderas,Miguel sería beneficiariodel IMSS y, de acuerdo con la primera premisa, contaría con seguro médico, perola segunda premisa asegura que esto no ocurre. Es decir, que este es un argumentocorrecto.

Podrá pensarse aquí que ya contamos con una definición precisa de lo que es unargumento correcto, a saber, es aquel en el que no podemos imaginar las premisasverdaderas y la conclusión falsa. Sin embargo, esta definición es aún vaga. ¿Quésignifica poder concebir o imaginar que algo ocurra? ¿Un argumento que trate deun miriágono (un polígono regular de 1000 lados) es correctoporque yo no puedoconcebir un miriágono y, por lo tanto, no puedo imaginarme las premisas verdaderas yla concusión falsa? O consideremos el siguiente argumento:La luna es de queso. Porlo tanto,2+2= 4.


Es evidentemente incorrecto, pero alguien podría decir quede acuerdo con nuestradefinición es correcto porque es imposible concebir que la luna es de queso y que 2+2no es 4. En efecto, estas objeciones son acertadas. Requerimos de otra definición de"argumento correcto". La daremos en partes. Observemos lossiguientes ejemplos:

Olivia es esquizofrénica. Olivia es paranoica. En consecuencia, Olivia es para-noica y esquizofrénica.

Luis es soltero. Luis es rico. En consecuencia, Luis es rico ysoltero.Pablo es amigo de Sonia. Pablo es enemigo de Carlos. En consecuencia, Pablo es

enemigo de Carlos y amigo de Sonia.Se trata claramente de argumentos correctos. No sólo eso, sino que parecen serlo

por la misma razón. Se afirma que un individuo tiene una propiedad, después se diceque tiene otra propiedad y se concluye que tiene ambas propiedades. No podrían laspremisas ser verdaderas y la conclusión falsa. Podemos asegurar que no habrá unargumento construido de esta manera (con esa forma) que tenga premisas verdaderasy conclusión falsa.

Tomemos otro ejemplo:En el club X cada miembro es padrino de un miembro. El fundadorno tiene

padrinos. Nadie en el club X tiene dos padrinos. Por lo tanto,el club X tiene unainfinidad de miembros.

Para ver que es correcto llamemosα al fundador del club y para cualquier miembrox del club, llamamosx′ a su ahijado, es decir, a aquel de quienx es padrino. Por laprimera premisa, existe el ahijado deα , es decirα ′, y por la segunda premisa, no esαmismo. Debe existir tambiénα ′′. No puede serα , por la segunda premisa. No puedetampoco serα ′, porque entoncesα ′ tendría dos padrinos, a saber,α y α ′ mismo. Porlo tanto,α , α ′ y α ′′ son todos distintos. Podemos reiterar este razonamiento para verque el club no puede tener un número finito de miembros.

El anterior argumento tiene una semejanza con el siguiente:Cada bacteria de este cultivo ha engendrado una bacteria. Laprimera bacteria

no fue engendrada por ninguna bacteria del cultivo. Ningunabacteria ha sido en-gendrada por más de una bacteria. Por lo tanto, este cultivo tiene una infinidad debacterias.

Podemos ver que es correcto y además que lo es por las mismas razones que hacíanválido al argumento precedente.

Otro ejemplo:Sólo los empleados tienen la llave. Luis no es empleado. Por lotanto, Luis no tiene la llave.


Otros argumentos que parecen tener la misma forma son los siguientes:Sólo losingleses saben preparar el té. John no es inglés . Por lo tanto, John no sabe prepararel té.

Sólo tus tías saben el secreto. Luisa no es tu tía. Por lo tanto, Luisa no sabe elsecreto.

Esto sugiere una definición más precisa de argumento correcto. Llamemoscon-traejemplode un argumento a un argumento que tiene la misma forma con premi-sas verdaderas y conclusión falsa. Ahora bien un argumento es correcto si no tienecontraejemplo. Sin embargo, es necesario hacer inmediatamente ciertas aclaraciones.Dado un argumento, ¿qué significa que otro argumento tenga lamisma forma? Ob-servamos en los ejemplos anteriores que un argumento tiene la misma forma que otro,si puede ser obtenido de él por sustitución de ciertas palabras por otras de la mismacategoría gramatical. El argumento

Sólo los ingleses saben preparar el té. John no es inglés. Porlo tanto, John nosabe preparar el té.

Tiene la misma forma que:Sólo tus tías saben el secreto. Luisa no es tu tía. Por lo tanto, Luisa no sabe el

secreto.Porque puede obtenerse de él sustituyendo "los ingleses" por "tus tías", "saben

preparar el té" por "conocen el secreto" y "Luisa", por "John". A estas palabras lasllamaremosaccidentalesy a las restantesesenciales. Así, si eliminamos las palabrasaccidentales de los argumentos anteriores y marcamos su presencia por variables, ob-tenemos el siguiente esquema:Sólo los X Y, Z no Y . Por lo tanto, Z no Y .Podemos,aún informalmente, decir que esta es la forma del argumento yque éste es correctoporque si sustituimosX, Y y Z por términos de las categorías gramaticales adecuadas(por ejemplo,Z siempre debe ser sustituido por un nombre propio), ninguno de losargumentos que obtendremos tendrá premisas verdaderas y conclusión falsa. Ahorabien, nos falta agregar algo, que sólo más adelante precisaremos.

Por ejemplo, consideremos el argumento:Cualquier combinación posible de miembros del club X tiene un representante que

es un miembro del club. Se sigue que algún miembro es representante de más de unacombinación.

Será correcto sólo si las expresiones ‘cualquier’ y ‘más de una(o)’ son considera-das como esenciales. Si no, es fácil imaginar un argumento con la misma forma lógica,premisas verdaderas y conclusión falsa. Así es que todo dependerá de cuáles serán las


palabras que elijamos como esenciales. Que ciertos argumentos sean correctos depen-derá de qué elijamos como vocabulario o léxico esencial. Ahora bien, los casos queestudiaremos serán aquellos en que el vocabulario esencialelegido esté constituido depalabras "lógicas". ¿Cuáles son estas palabras? Eso es justamente lo que habremos deprecisar. De hecho, en un primer momento daremos un pequeño conjunto de palabraslógicas y esto dará lugar a una definición de ‘argumento correcto’. Más adelante am-pliaremos este vocabulario lógico y obtendremos nuevas definiciones de "argumentocorrecto" que se revelarán más útiles.

Una segunda aclaración debemos hacer. Tenemos que precisarel significado delas palabras lógicas. Por ejemplo, tomemos el argumento

Luisa estudió medicina. Luisa sabe inglés. Por lo tanto, Luisa sabe inglés y estudiómedicina.

Habíamos dicho que argumentos de esta forma eran correctos.Sin embargo, al-guien podría decir que, según nuestra definición, es incorrecto, pues el argumento:

Luisa se distrajo. Luisa chocó. Por lo tanto, Luisa chocó y sedistrajo.

Tiene premisas verdaderas y conclusión falsa. Luisa no chocó y se distrajo, sinoque se distrajo y luego, como consecuencia de ello, chocó. Larespuesta es que tododepende de qué significado atribuyamos al término "y", si simplemente es conside-rado como una conjunción o también conlleva connotaciones temporales o causales.Por ello, tendremos que precisar con mucho cuidado el significado de las palabras queconsideraremos como lógicas. Otra aclaración es necesaria. Podría pensarse que elenunciado "Luisa chocó" no es ni verdadero ni falso, o más bien, es verdadero di-cho en una ocasión particular refiriéndose a una persona determinada, y falso en otrasocasiones. Simplemente supondremos en lo sucesivo que los enunciados que con-sideraremos se refieren (tal vez implícitamente) a eventos determinados y a tiemposespecíficos, y tienen por tanto un solo valor de verdad (verdadero o falso) a todo lolargo de un argumento.

En conclusión, la validez o corrección de un argumento (el que la conclusión sesiga de las premisas) depende de qué palabras sean consideradas como formando elvocabulario lógico, y de qué significado les atribuyamos. Por ello, debemos agregar anuestra primera definición que la lógica es una teoría de las inferencias válidas para ar-gumentos en un lenguaje cuya sintaxis ha sido determinada, en el que se han señaladociertas expresiones como lógicas y tal que la semántica de las expresiones que formanel vocabulario lógico ha sido previamente especificada. Dicho en otras palabras: quéargumentos sean correctos dependerá de un cierto análisis sintáctico y semántico del


lenguaje en que están expresados. Esta definición será aún mejorada en el siguientecapítulo, cuando demos una primera definición precisa de "argumento correcto".

Empezaremos ahora precisando el significado de ciertos términos que son clasifi-cados tradicionalmente como lógicos. Supongamos que buscamos una llave determi-nada y alguien nos dice "yo miento y tengo la llave en el bolsillo". Supongamos quedice la verdad. Entonces miente y tiene la llave en el bolsillo. Pero, eso no puede ser, simiente, no puede estar diciendo la verdad. Por tanto, nuestra suposición es incorrecta,el tipo no puede estar diciendo la verdad. Por lo tanto, miente. Eso significa que laprimera parte de la conjunción que expresó es verdadera. Si también fuera verdad quetiene la llave en el bolsillo, estaría diciendo la verdad (y ya vimos que eso no puedeser). Por lo tanto, miente y no tiene la llave en el bolsillo. De nuevo, tenemos aquíun argumento correcto en que supuestas ciertas proposiciones como verdaderas (queuna persona emitió tal enunciado y que o bien miente o bien dice la verdad, pero noambas cosas), nos vimos forzados a admitir que el individuo en cuestión miente y queno tiene la llave en el bolsillo. Aprovechemos para hablar dela conjunción"y" queaparece en este enunciado. Aunque en el lenguaje ordinario tiene muchas acepciones(una, como ya vimos, en que supone consecuencia, u orden temporal, como en "pide yserás escuchado"), en lógica, suele emplearse para unir dosenunciados ("la luna orbitala Tierra", "Tritón orbita Júpiter"), de manera tal que el enunciado resultante ("la lunaorbita la Tierra y Tritón orbita Júpiter") sea considerado como verdadero sólo si losenunciados que lo constituyen son verdaderos; y de tal manera que sea falso si uno, almenos, de los enunciados que lo constituyen es falso. Así el enunciado "México estáen América y España en Europa" es verdadero, mientras que sonfalsos los enunciados"2+1=2 y París es la capital de Francia", "2+1=3 y París es la capital de Inglaterra"y "2+1=2 y París es la capital de Inglaterra". Podemos representar esto de maneragráfica con la tabla de verdad de la "conjunción":

P Q P∧Qverdadero verdadero verdaderoverdadero falso falso

falso verdadero falsofalso falso falso

DondeP y Q representan enunciados yP∧Q el enunciado resultante de poner laconjunción "y" entre los dos enunciados en cuestión. Cada línea ilustra uncaso delos cuatro posibles que hay. Por ejemplo, la segunda línea nos informa que siP es


verdadero yQ falso el enunciado resultante será falso. AP y a Q los llamaremos losconyuntosdeP∧Q.

Calificaremos a una partícula o expresión del lenguaje comoveritativo-funcionalsi permite formar enunciados a partir de otros, de manera talque el valor de verdad delenunciado resultante dependa únicamente de los valores de verdad de los enunciadosque lo componen. Así la partícula "y" usada de acuerdo con la tabla de verdad anteriores veritativo-funcional. En cambio, la expresión ‘Naipul cree que. . .’ permite formarel enunciado ‘Naipul cree queP’ partiendo del enunciadoP, pero el valor de verdaddel enunciado compuesto no depende solamente del valor de verdad deP. Naipulpuede creer proposiciones falsas o verdaderas.

Veamos ahora otros ejemplos. Supongamos que el individuo encuestión dijo"Digo la verdad y tengo la llave en mi bolsillo". ¿Podemos saber si tiene la llave?Evidentemente no. Si dice la verdad tiene la llave. Si miente, puede o no tener la llave.Por lo tanto, un argumento que tuviese como premisas las condiciones del acertijo ycomo conclusión que tiene la llave sería incorrecto. La conclusión agregaría a las pre-misas una información que no estaba implícita en ellas. Bienpodría ocurrir que laspremisas fuesen verdaderas y la conclusión falsa.

Se ha conjeturado siempre, a partir de la etimología de su nombre, que Homero,el autor deLa Ilíada y La Odisea, era ciego. Vamos a demostrar ahora que esta su-posición es correcta. LlamemosA al enunciado:A es falso y Homero no era ciego.¿PodríaA ser verdadero? Si así fuera, cada uno de los enunciados que locomponen(‘A es falso’ y ‘Homero no era ciego’) sería verdadero. Pero no puede ser queA y‘A es falso’ sean ambos verdaderos. Por tanto, nuestra suposición inicial (queA esverdadero) está equivocada.A debe ser falso. Por lo tanto, la oración ‘A es falso yHomero no era ciego’ debe ser falsa, y su primer conyunto ‘A es falso’ es verdadero.Por lo tanto, su segundo conyunto es falso. Concluimos que ‘Homero no era ciego’ esfalso. Homero era ciego.

Supongamos ahora que un individuo dice "miento o tengo la llave". Este enun-ciado podemos entenderlo de dos maneras. Según la primera, lo que él quiere decir esque por lo menos uno de los dos enunciados en cuestión ("miento", "tengo la llave")es verdadero. De acuerdo con la segunda, él quiere decir que omiente o tiene la llave,pero no ambas cosas. Consideremos solamente el primer caso.Si mintiera, los dosenunciados mencionados serían falsos. Entonces sería falso que miente. Pero eso nopuede ser porque supusimos que está mintiendo. Por lo tanto,debe estar diciendo laverdad. Para que diga la verdad, uno (al menos) de los dos enunciados en cuestión


debe ser verdadero. El primero es falso (él no miente), por lotanto, el segundo debeser verdadero. En consecuencia, el argumento que tiene comopremisas las condi-ciones del problema y como conclusión que el tipo dice la verdad y tiene las llaves, escorrecto.

Al operador"o" que aparece en este problema le llamaremosdisyunción. Tienela característica de que forma un enunciado ("miento o tengola llave") a partir deotros dos ("miento" y "tengo la llave"), de tal manera que el enunciado resultantees verdadero cuando al menos uno de los dos enunciados es verdadero; y sólo esfalso cuando ambos enunciados son falsos, lo que podemos representar con la tabla deverdad de la disyunción:

P Q P∨Qverdadero verdadero verdaderoverdadero falso verdadero

falso verdadero verdaderofalso falso falso

Donde∨ es el símbolo para la disyunción. AP y aQ los llamaremos losdisyuntosdeP ∨ Q.

Siempre se ha cuestionado si realmente Tales de Mileto viajóa Egipto y allíadquirió parte de su sabiduría. Vamos a probar ahora que sí viajó a Egipto.

SeaA el enunciado:A es falso o Tales viajó a Egipto.Supongamos queA es falso.En ese caso, según la tabla de verdad, sus dos disyuntos son falsos. Por tanto, es falsoque ‘A sea falso’. Concluimos queA es verdadero, pero habíamos supuesto que erafalso. Entonces es verdadero y su primer disyunto es falso. Por lo tanto, su segundodisyunto tiene que ser verdadero. Concluimos que Tales sí viajó a Egipto.

Como Oswald murió poco después de ser aprehendido (y sabemosque los norte-americanos son expertos en aniquilar personas y democracias), seguramente nunca sesabrá con certeza si él fue el asesino de Kennedy. Vamos a demostrar ahora que nofue así. LlamemosA al enunciado:Si A es verdadera, entonces Oswald no mató aKennedy.

Aquí tenemos el operador "si. . . entonces. . ." que, dados dos enunciados,P yQ, nos permite formar el enunciado "siP entoncesQ". Llamemos al operador "si. . .entonces. . ." el condicionaly a P el antecedente, a Q el consecuentedel enunciado"si P entoncesQ". En el lenguaje ordinario, el condicional no es veritativo-funcional.Si alguien dijera "si Melbourne está en Australia, entonceslos primeros homínidos


aparecieron cerca del lago Tangañika", no sabríamos decir si es verdadero o falso,aunque creyéramos que tanto el antecedente como el consecuente de ese condicionalson verdaderos. Nuestra reacción sería de extrañeza: "¿quétiene que ver una cosa conotra?". Sin embargo, en algunos casos el condicional del lenguaje ordinario tiene algode veritativo-funcional. Por ejemplo, si alguien dice "si voy a Europa, entonces visi-taré la tumba de Napoleón" y, en efecto, va a Europa y visita latumba de Napoleón,entonces su enunciado es verdadero. En cambio, si va a Europay no pasa por LosInválidos, habrá mentido. El condicional que emplearemos en lógica será completa-mente veritativo-funcional. En general, siQ y P son verdaderos, ‘siP entoncesQ’parece verdadero y así lo consideraremos. En cambio, siP es verdadero yQ falso, elenunciado resultante, ‘siP entoncesQ’, será falso. Eso nos da las dos primeras líneasde la tabla de verdad del condicional:

P Q P→ Qverdadero verdadero verdaderoverdadero falso falso

falso verdadero ¿?falso falso ¿?

Donde (P→ Q) simboliza el enunciado "siP entoncesQ". ¿Qué hacer con lasúltimas dos líneas? Si el individuo del ejemplo anterior no viaja a Europa, ¿cómodeterminar si su promesa era verdadera o falsa? Tal vez esto tenga una respuesta muycompleja cuando se trata del lenguaje ordinario y dependa delas circunstancias delcontexto. Seguramente habrá casos en que, aun conociendo los valores de verdad deP y deQ (es decir, si son verdaderos o falsos), no queramos asignar ningún valor a "siP entoncesQ". En lógica se suele hacer una convención: "siP entoncesQ" será falsosólo siP es verdadero yQ falso; y será verdadero en todos los demás casos. Es decir,usaremos ‘siP entoncesQ’ de acuerdo con la siguiente tabla:

P Q P→Qverdadero verdadero verdaderoverdadero falso falso

falso verdadero verdaderofalso falso verdadero

Esta convención tiene sus ventajas y sus inconvenientes. Entre las primeras está lasiguiente. Una manera ordinaria de decir que todos los musulmanes respetan El Corán


es decir "para cualquier individuo si es musulmán entonces respeta El Corán". Ordi-nariamente consideramos estos enunciados como verdaderosy, por tanto, admitimosque para cualquier individuo si es musulmán, entonces respeta El Corán. Eso significaque los enunciados:

Si el Dalai Lama es musulmán, entonces respeta El Corán, y si Bush es musulmán,entonces respeta El Corán.

Son verdaderos. Y sin embargo, el primero tiene antecedentefalso y consecuenteverdadero, y el segundo tiene antecedente falso y consecuente falso.

Retengamos solamente que nuestro uso de este operador se atendrá a la estipu-lación codificada en la tabla anterior. Volvamos ahora a nuestro problema. Teníamosel enunciadoA: Si A es verdadero, entonces Oswald no mató a Kennedy. Suponga-mos que es falso, entonces su antecedente es verdadero y su consecuente falso. De loprimero se sigue queA es verdadero, lo que no puede ser. Por lo tanto,A no puede serfalso. Es verdadero y su antecedente es verdadero. En consecuencia, Oswald no matóa Kennedy.

Es importante señalar las diversas lecturas que tiene el condicional P→ Q: Si PentoncesQ, Q si P, P implica Q, Q es una consecuencia deP, Q suponiendoP, P esuna condición suficiente paraQ, Q es una condición necesaria paraP.

En relación al condicionalP→Q, Q→ P es la conversa,¬P→¬Q es la inversay ¬Q→¬P la contrapositiva.

El siguiente operador veritativo-funcional que consideraremos es la partícula ". . .si y sólo si. . .", que permite formar un enunciado,P si y sólo siQ, a partir de otrosdos,P y Q, de tal manera que el enunciado resultante es verdadero en los casos en queP y Q sean ambos verdaderos o bien ambos falsos, y es falso en cualquier otro caso.Eso podemos representarlo de la siguiente manera:

P Q P↔Qverdadero verdadero verdaderoverdadero falso falso

falso verdadero falsofalso falso verdadero

DondeP↔ Q representa al enunciado formado por insertar entre los enunciadosP y Q la expresión "si y sólo si".P↔ Q se denomina elbicondicionaldeP y deQ.

Algunos investigadores han supuesto que la causa de la misteriosa muerte deNapoleón en Santa Helena fue el envenenamiento. Vamos ahoraa demostrar que así


fue. SeaA el enunciado:Napoleón murió envenenado si y sólo si A es verdadero, ysupongamos queA es verdadero. Entonces el enunciado anterior es verdadero ysusegundo componente también lo es. Se sigue que su primer componente (‘Napoleónmurió envenenado’) es verdadero. Supongamos ahora queA es falso. Entonces tam-bién su segundo componente es falso. De acuerdo con la tabla,su primer componentetiene que ser verdadero. Por consiguiente, tanto siA es verdadero, como siA es falso,Napoleón murió envenenado.

Otra partícula importante en lógica es lanegación("no") que permite formar unenunciado ("no llueve") a partir de otro ("llueve"). Tiene la característica de que formaun enunciado verdadero a partir de uno falso y viceversa. Su tabla de verdad es: (donde¬ es el símbolo para la negación)

P ¬ Pverdadero falso

falso verdadero

Ejemplo I.2.1. Si debes donar dinero para los pobres, entonces puedes hacerlo. Nopuedes donar dinero para los pobres. Por lo tanto, no debes donar dinero a los pobres.

¿Podrán las premisas ser verdaderas y la conclusión falsa? Supongamos que asíocurriera. ‘No puedes donar dinero para los pobres’ sería verdadera y, por lo tanto,‘puedes donar dinero para los pobres’ sería falsa, mientrasque ‘no debes donar dineroa los pobres’ sería falsa y ‘debes donar dinero para los pobres’ sería verdadera. Pero,en ese caso, el enunciado ‘si debes donar dinero para los pobres, entonces puedeshacerlo’ sería falso y habíamos supuesto que era verdadero.Vemos que es imposibleque las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Por lo tanto, el argumento escorrecto.

Ejemplo I.2.2. El brindis será a las seis o no habrá tiempo para la colación. Si elbrindis es a las seis, los invitados deberán llegar a las cinco y media. Si no hay tiempopara la colación, la reunión será un fracaso. O los invitadosllegan a las cinco y mediao la reunión será un fracaso.

Podemos representar el argumento anterior de la siguiente forma:

• P∨Q.


• P→ R.

• Q→ S.

• Por lo tanto,R∨S.

Adviértase que para ello hacemos ciertos ajustes. En la segunda y tercera premi-sas suponemos implícito el vocablo ‘entonces’ en donde sóloaparece una coma. Laprimera figuración deP representa una oración en futuro, mientras que la segundasimboliza una afirmación presente. Sin embargo, consideramos que se refieren bási-camente al mismo hecho. Supongamos ahora que las premisas son verdaderas y laconclusión falsa, es decir, que:

P∨Q es verdadera (1).P→ Res verdadera (2).Q→ Ses verdadera (3).R∨Ses falsa (4).

De allí concluimos que: por (4), es decir, porqueR∨Ses falsa, tantoRcomoS tienenque ser falsas (5) (la única posibilidad para que una disyunción sea falsa es que los dosenunciados que la constituyen sean falsos). Puesto queRes falsa (por (5)) yP→Resverdadera (por (2)), se sigue queP tiene que ser falsa (6) (si fuese verdadera,P→ Rsería falsa). Similarmente, por (5) y (3),Q tiene que ser falsa (7). Ya vimos (en (6) y(7)) que entoncesP y Q tienen ambas que ser falsas. Pero, si así es,P∨Q tendría queser falsa. Pero también tenía que ser verdadera por (1). Lo que supusimos (que en elargumento las premisas eran verdaderas y la conclusión falsa) es imposible. Se sigueque el argumento es correcto.

Ejemplo I.2.3. No es cierto que el paciente morirá a menos que el médico le apliquela inyección. Por lo tanto, si el paciente muere, el médico nole habrá aplicado lainyección.

Aquí aparece un conectivo aparentemente nuevo, a saber, ‘. . . a menos que. . .’.Pero quien dice "el paciente morirá a menos que el médico le aplique esta inyección"está aseverando que si el médico no le pone la inyección al paciente, entonces éstemorirá. Es decir, "P a menos queQ" significa lo mismo que "si noQ, entoncesP".Por ello podemos parafrasear el argumento de la siguiente forma No es cierto quesi el médico no le aplica la inyección, entonces el paciente morirá. Por lo tanto,si el paciente muere, el médico no le habrá aplicado la inyección, y representarlocomo: ¬(¬P→ Q). Por lo tanto,(Q→ ¬P) ¿Podrán las premisas ser verdaderas y


la conclusión falsa? Si así fuera, el antecedente de ‘si el paciente muere, el médicono le habrá aplicado la inyección’ será verdadero y el consecuente falso. ‘El pacientemuere’ será una premisa verdadera y ‘el médico no le habrá aplicado la inyección’será falso. Es decir, el paciente muere a pesar de que el médico le aplicó la inyección.Pero, en ese caso, ‘si el médico no le aplica la inyección, entonces el paciente morirá’será verdadera y la premisa falsa. Concluimos que el argumento es correcto.

Con esta técnica, analicemos el argumento:

Ejemplo I.2.4. Si no hay resistencia civil, no habrá dificultades para aprobar la re-forma. Pero, de hecho la bolsa caerá, si hay dificultades paraaprobar la reforma. Porlo tanto, la bolsa no caerá.

Parece razonable formalizarlo de la siguiente manera:

• ¬P→¬Q.

• Q→ R.

• Por tanto,¬R.

Es fácil ver que siR es verdadero,Q verdadero yP verdadero, las premisas seríanverdaderas y la conclusión falsa. Lo que prueba que el argumento es incorrecto.Al parecer quien lo propuso suponía implícitamente que no habría resistencia civil.Agreguemos esta premisa:

• ¬P→¬Q.

• R→Q.

• ¬P.

• Por tanto,¬R.

Y supongamos de nuevo que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa:¬P→¬Q es verdadera (1).R→Q es verdadera (2).¬P es verdadera (3).¬Res falsa (4).


De allí se sigue que:Por (4),Res verdadera (5).Por (2) y (5),Q es verdadera (6).Por (3) y (1),¬Q es verdadera (7).

Pero (6) y (7) se contradicen. No puedenQ y ¬Q ser verdaderas. Lo que supusimos,a saber, que las premisas eran verdaderas y la conclusión falsa es imposible. Por lotanto, el argumento (con la premisa añadida) es correcto.

Muy frecuentemente en el lenguaje ordinario se consideran correctos argumen-tos que nosotros consideraremos incorrectos, porque quienlos propone parte de unconocimiento que supone y que él y su interlocutor comparteny que, por tanto, no esnecesario hacerlo explícito. Como dijimos antes, el que consideremos esta informa-ción implícita como premisa del argumento es decisivo para determinar su corrección.

Ejemplo I.2.5. Si el deportista entrena correctamente y tiene el apoyo de sufedera-ción, entonces obtiene buenos resultados, pero si esto no ocurre es claramente porquela federación no lo está apoyando.

Desde luego, damos por sentado que la conjunción une dos oraciones y que, portanto, ‘tiene el apoyo de su federación’ significa lo mismo que ‘el deportista tieneel apoyo de su federación’. Aquí podríamos considerar que laconclusión es lo quesigue a la palabra ‘pero’, o bien, que este término introducela última premisa y que laconclusión viene después de ‘porque’. En el primer caso podríamos esquematizar elargumento como:

(P∧Q)→ R.Por lo tanto,(¬R→¬Q).

Mientras que en el segundo caso puede representarse como:(P∧Q)→ R.¬R.Por lo tanto,¬Q.

Es fácil ver que ambas opciones conducen a la misma evaluación del argumento. Con-centrémonos ahora en la segunda posibilidad. Es fácil ver que si R es falsa,Q ver-dadera yP falsa, las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. Probablementequien propuso el argumento estaba suponiendo de manera implícita (tal vez porquesea una creencia compartida por su interlocutor) queP es verdadera (o sea que el de-portista entrena correctamente). Agreguemos esta premisay analicemos el argumentoresultante:


(P∧Q)→ R.¬R.P.Por lo tanto,¬Q.

Suponer las últimas dos premisas verdaderas y la conclusiónfalsa nos obliga a atribuira P y a Q el valor verdadero y aR el valor falso. Sin embargo, con estos valores, laprimera premisa resulta falsa. De nuevo, tenemos un argumento correcto.

Vemos aquí la importancia de utilizar paréntesis en la representación esquemáticade los argumentos. Es claro que enunciados que tengan respectivamente las formas(P∧Q)→ Ry (P∧ (Q→ R)) no tienen las mismas condiciones de verdad. Por ejem-plo, siP es falsa, el primero es verdadero, mientras que el segundo esfalso. De allí queserá conveniente utilizar paréntesis cada vez que utilicemos un conectivo binario (esdecir, una conjunción, una disyunción, un condicional o un bicondicional), abarcandocada uno de los dos enunciados que lo componen.

Consideremos ahora el argumento:

Ejemplo I.2.6. La tregua llega a su fin e Irán no usará armas atómicas, sólo si laUnión Europea debe enviar un ejército de pacificación. O la situación es de máximaalerta o la Unión Europea no enviará un ejército de pacificación. En conclusión, si lasituación no es de alerta máxima y la tregua llega a su fin entonces Irán usará armasatómicas.

Quien diceP sólo siQ está afirmando que si no ocurreQ entonces no sucedeP.Por ello, podemos esquematizar el argumento anterior como¬R→¬(P∧¬Q).S∨¬R.En conclusión,(¬S∧P)→Q.

Supongamos que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. De esto últimoinferimos queS es falsa,P verdadera yQ falsa. De allí que¬(P∧¬Q) sea falsa ycomo la primera premisa es (supuestamente) verdadera, su antecedente debe ser falsoy, por ende,Rdebe ser verdadera. Pero, con esos valores, la segunda premisa es falsa,contrariamente a lo que habíamos supuesto. Se sigue que la conclusión no puede serfalsa, si las premisas son verdaderas y que, en consecuencia, el argumento es correcto.

En lo que sigue tomaremos como términos lógicos de nuestro lenguaje sólo laspartículas ‘y’, ‘o’, ‘no’, ‘si. . . entonces’ y ‘si y sólo si’. Al analizar un argumentosólo ellas serán esenciales. Con ello obtendremos una definición ya más precisa de


‘argumento correcto’, aunque más tarde la reemplazaremos por una más útil, cuandootras expresiones de nuestro lenguaje entren a formar partedel vocabulario lógico. Notrabajaremos ahora con argumentos del lenguaje ordinario,sino directamente con susrepresentaciones simbólicas.

Como hasta aquí hemos hecho, a las oraciones que no deseamos analizar las de-signamos simplemente con letras mayúsculas (que llamaremos letras proposicionales).Con ellas y utilizando reiteradamente los conectivos formaremos las representacionesde enunciados compuestos. Así partiendo de las letrasP y Q y del conectivo∧, for-maremos(P∧Q). Cada vez que empleemos un conectivo (exceptuada la negación),encerraremos la expresión resultante entre paréntesis para evitar problemas de am-bigüedad. Ahora ya habiendo obtenido(P∧Q) y a partir deR y ∨, podemos formar((P∨Q)∨R), lo que, a su vez, puede ser negado:¬((P∧Q)∨R) etc. A los resultadosde aplicar este procedimiento (incluidas las letras proposicionales) los llamaremosfór-mulas o esquemas. Si al construir una fórmula, usando este procedimiento, enalgúnmomento obtenemos otra fórmula, diremos que ésta essubfórmulade la anterior. Así(P∧Q) es una subfórmula de¬((P∧Q)∨R). También diremos que una fórmula essubfórmula de sí misma. Así las siguientes son las subfórmulas de¬((P∧Q)∨R):¬((P∧Q)∨R).P.Q.(P∧Q).R.((P∧Q)∨R).¬((P∧Q)∨R).

Si (α ∧β ), (α ∨β ), (α → β ), (α ↔ β ), ¬α son fórmulas, serán respectivamente lla-madas laconjunción deα y β , la disyunción deα y β , el condicional con antecedenteα y consecuenteβ , el bicondicionaldeα y β , y la negación deα .

Ejemplo I.2.7.((¬(¬¬P∧Q)∨R)↔ S)

(P→ (Q→ (P1∧¬S)))

((R∧ (S∨P))↔ (Q→ R)),

son fórmulas, mientras que no lo son:


(¬(¬(¬P)∧Q)∨R)→ S

(P→Q→ (P1∧¬S))

((R∧S∨P)↔ (Q→ R))

.

Como simple licencia al escribir, a) omitiremos muchas veces los paréntesis exte-riores; b) Cuando una fórmula (o una parte de la misma) esté formada por la iteraciónde un mismo conectivo sobre varios enunciados supondremos que los paréntesis debenrestituirse de izquierda a derecha. Así, por ejemplo:

P∧Q∧R∧S

abreviará

(((P∧Q)∧R)∧S).

Estas abreviaturas son opcionales.Ahora bien, todas las fórmulas que obtenemos tendrán un valor de verdad una vez

que a cada una de sus letras haya sido asignado un valor de verdad. Así, si aP, Q y Rasignamos respectivamente los valores verdadero, falso y verdadero, la fórmula

¬((P↔Q)→¬R)

será falsa. A la inversa, podemos fácilmente deducir que si

¬((P↔Q)→¬R)

es verdadera, entonces es porqueP, Q y R son verdaderas o bien porqueP y Q sonfalsas yRverdadera. Esto podemos visualizarlo con facilidad haciendo una cuadrícula(que llamaremostabla de verdad de la fórmula¬((P↔ Q)→ R)), en la cual repre-sentaremos en renglones cada una de las posibles asignaciones de valores de verdad alas letras proposicionales que aparecen en la fórmula. Comenzaremos entonces por:


P Q RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Desde luego tenemos ocho renglones porque ese es el número deposibles asig-naciones de valores de verdad a tres letras. Si la fórmula contuviera cuatro letrasproposicionales requeriríamos 16 renglones y, en general,si en una fórmula apare-cen exactamenten letras, su tabla de verdad contendrá 2n renglones. El orden enque aparezcan estas posibilidades no es relevante (pudimoshaber colocado el últimorenglón de la tabla anterior en el primer sitio, etc.) Lo importante es que se represententodas las posibilidades. Enseguida agregaremos un renglónpor cada subfórmula de lafórmula en cuestión y el valor de verdad que le corresponde enese caso:

P Q R P↔Q ¬R ((P↔Q)→¬R) ¬((P↔Q)→¬R)V V V V F F VV V F V V V FV F V F F V FV F F F V V FF V V F F V FF V F F V V FF F V V F F VF F F V V V F

Una forma más compacta de presentar la misma información es la siguiente tabla,donde se utiliza cierta simbología que nos permite reducir la tabla sin perder informa-ción relevante:

I.3. Conceptos básicos 23

¬ ((P ↔ Q) → ¬ R)V V V V F F VF V V V V V FF V F F V F VF V F F V V FF F F V V F VF F F V V V FV F V F F F VF F V F V V F

I.3 Conceptos básicosVolvamos al argumento sobre los invitados que tienen que llegar a las cinco y cuya

representación simbólica era:P∨QP→ RQ→ S.Por lo tanto,R∨S.Vimos que cualquier argumento con esta forma es correcto o válido. Quien admita

las premisas tendrá forzosamente que aceptar la conclusión. ¿Qué diríamos de alguienque afirmara las premisas, pero negara la conclusión? Analizamos ese caso y vimosque conducía a una contradicción. Si alguien hace las siguientes cuatro afirmaciones:

O se toman medidas drásticas o la capa de ozono continuará disminuyendo. Si setoman medidas drásticas, entonces habrá una recesión mundial. Si la capa de ozonocontinúa disminuyendo, cada vez habrá más desastres naturales. No es cierto quehabrá una recesión mundial o cada vez habrá más desastres naturales.

Esa persona se está contradiciendo. Lo mismo ocurre si afirmala conjunción deesos enunciados. Independientemente de la verdad de los enunciados atómicos queconstituyen el argumento original, no puede estar diciendola verdad. Es decir, nohay ninguna asignación de valores de verdad aP, Q, R, S tal que los enunciados queforman el conjunto{(P∨Q),(P→ R),(Q→ S),¬(R∨S)} sean todos verdaderos, niningún renglón en la tabla de verdad de la conjunción((P∨Q)∧ (P→ R)∧ (Q→S)∧¬(R∨S)) que tenga ‘verdadero’ en su columna final. A un conjunto de fórmulastales que sus miembros no pueden ser todos simultáneamente verdaderos lo llamare-


mosinconsistente. Y en forma más precisa, a un conjunto de fórmulas tales que paraninguna asignación de valores de verdad a las letras proposicionales que aparecen ensus miembros todos resultan verdaderos lo llamaremosinconsistente. Y a una fórmulaque en la última columna de su tabla de verdad sólo contiene ‘falso’ la llamaremoscontradictoria.

Ejemplo I.3.1. Son conjuntos inconsistentes:

{(P∧¬Q),(R∨Q),(R→¬P)};

{(P∧Q),((P∧Q)→¬R),R};

{(P→ (Q→ (R↔¬S))),¬(¬P∨R),¬(Q→ S)}.

Desde luego, si un conjunto de fórmulas es finito e inconsistente, la conjunción desus miembros es contradictoria. Así, tomando los ejemplos anteriores, sabemos que

Ejemplo I.3.2.(P∧¬Q)∧ (R∨Q)∧ (R→¬P),

(P∧Q)∧ ((P∧Q)∧R)∧R,

(P→ (Q→ (R↔¬S)))∧¬(¬P∨R)∧¬(Q→ S),

son fórmulas contradictorias.

Como vimos, si tenemos un argumento correcto, entonces el conjunto cuyos miem-bros son las premisas y la negación de la conclusión, es inconsistente y, por lo tanto,la conjunción de sus premisas y la negación de la conclusión es una fórmula contra-dictoria. Así de que el argumento:

(P∧Q)→ R¬RPPor lo tanto,¬Q,

I.3. Conceptos básicos 25

es correcto podemos concluir que((P∧Q)→ R)∧¬R∧P∧Q es una fórmula con-tradictoria. Adviértase que en lugar de¬¬Q hemos tomadoQ porque son fórmulasverdaderas en exactamente las mismas circunstancias.

Viceversa, si tenemos un conjunto inconsistente de fórmulas, entonces es correctoel argumento que se obtiene tomando, como premisas, todas las fórmulas excepto unay, como conclusión, la negación de esta fórmula restante. Por ejemplo,{(P∧¬Q),(R∨Q), (R→¬P)} es un conjunto inconsistente. Consideremos el argumento:(R∨Q), (R→ ¬P), por lo tanto,¬(P∧¬Q) es correcto porque en cualquier asignaciónde valores de verdad aP,Q y R, si (P∧¬Q), (R∨Q) son verdaderas(R→ ¬P) esfalsa (pues no pueden ser verdaderas las tres "al mismo tiempo"); por consiguiente, si(P∧¬Q), (R∨Q) son verdaderas¬(R→¬P) tiene que ser verdadera.

De igual manera, puesto que{(P∧Q),((P∧Q)→¬R),R} es inconsistente, sabe-mos que el argumento:(P↔Q), R, por lo tanto,¬((P∧Q)→¬R) es correcto.

Otra forma de afirmar que un argumento es correcto es decir quesu conclusión esconsecuencia lógica de sus premisas o del conjunto de sus premisas. En el ejemploanterior pudimos decir que¬((P∧Q)→ ¬R) es consecuencia lógica del conjunto{(P∧Q),R}.

Tomemos de nuevo el argumento

P∨Q

P→ R

Q→ S.

Por lo tanto,R∨S.

Sabemos que si sus premisas son verdaderas (es decir, si la conjunción de suspremisas es verdadera) entonces su conclusión tiene que serverdadera. ¿Qué ocurrirá,entonces, con el condicional que tiene como antecedente la conjunción de las premisasy como consecuente la conclusión? Que siempre será verdadero. Más precisamente,no habrá una asignación de valores de verdad que haga verdadero a (P∨Q)∧ (P→R)∧(Q→S) y falso a(R∨S), pues si lo hubiera, ése sería un caso en que las premisasfuesen verdaderas y la conclusión falsa, situación que no ocurre porque el argumentoes correcto. Concluimos que la fórmula((P∨Q)∧ (P→ R)∧ (Q→ S))→ (R∨S), ala que llamaremosel condicional asociado al argumento, será verdadera en todos losrenglones de la última columna de su tabla de verdad. A las fórmulas que tienen estacaracterística las llamaremostautologías. Concluimos que el condicional asociado aun argumento correcto es una tautología.


También podemos ver fácilmente que el condicional asociadoa un argumento in-correcto no es una tautología. Vimos antes que el ejemplo:(P∧Q)→R, ¬R, P. Por lotanto,¬Q, es correcto.

Sabemos entonces que((((P∧Q)→ R)∧¬R∧P)→¬Q) es una tautología.

Ejemplo I.3.3. Como ejemplos de tautologías señalamos las siguientes:

(P∨¬P),

¬(P∧¬P),

(P∧Q)→ P,

P→ (P∨Q),

(¬¬P↔ P),

((P→Q)∧ (Q→ R))→ (P→ R).

Como vemos hay una estrecha interrelación entre los conceptos de "consecuencialógica" (o "argumento correcto"), "ser tautología" y "consistencia lógica", de tal ma-nera que estudiando cualquiera de ellos, estudiamos los otros dos. Por ello, podríamosconcentrarnos únicamente en uno sólo de esos temas.

I.4 Otros conectivosAhora bien, el lector debe tener la impresión de que la definición dada de ‘conse-

cuencia lógica’ es estrecha desde, al menos, tres puntos de vista. De acuerdo con elprimero, no podemos determinar con nuestros métodos que sonválidos, argumentoscuya corrección depende de la estructura interna de algunosenunciados. Por ejem-plo, la validez del argumento que vimos anteriormente sobrelas bacterias dependía deque tomásemos como esencial la palabra ‘cada’, mientras quecon nuestros presentesrecursos toda la primera premisa sólo puede ser representada con una letra proposicio-nal. Esta deficiencia, como dijimos, será subsanada en lo sucesivo por una ampliación

I.4. Otros conectivos 27

del vocabulario lógico. En segundo lugar, nuestros análisis no contemplan más queconstrucciones veritativo-funcionales. Sin embargo, hayconstrucciones que no sonde este tipo y que pueden entrar en el ámbito de la lógica. Cuando expongamos unaintroducción a la lógica modal, veremos cómo avanzar en estadirección. Por último,el lector puede preguntarse por qué no consideramos otras formas de componer enun-ciados que sí son veritativo-funcionales. El haber elegidosolamente nuestros cincoconectivos parece arbitrario. Veremos en lo que resta de este capítulo que ésta es unafalsa impresión y que, de hecho, estamos considerando como esenciales a todas lasformas de construcción de enunciados veritativo-funcionales. Por ejemplo, tomemosla disyunción exclusiva de la que ya hablamos antes. ¿Por quéno la incluimos entrenuestros conectivos lógicos? Quien dice "Juan vino a tiempoo llegó antes de la horade la cita" asevera que uno de esos eventos ocurrió, pero no ambos. Es decir, afirmaque Juan no vino a tiempo si y sólo si llegó antes de la hora de lacita. Es algo quepodemos expresarlo con los conectivos que elegimos. Si "∗" representa la disyunciónexclusiva, otra forma de decirP∗Q es afirmar(¬P↔ Q). Así es que, por un lado,agregar la disyunción exclusiva no incrementa el poder expresivo de nuestro lenguaje;por otra parte, en el fondo sí estamos considerando a la formade composición deenunciados representada porP∗Q como veritativo funcional. Pero supongamos quetenemos una forma de composición de enunciados que es veritativo-funcional y paralo cual no tenemos, para expresarla en español, una simple palabra. Pongamos porcaso que en chino existe el conectivo ternario+, cuya tabla de verdad es:

P Q R +PQRV V V FV V F FV F V VV F F FF V V FF V F FF F V FF F F F

¿Cómo podemos expresar+PQRutilizando nuestros conectivos usuales? Bueno,quien afirma+PQR asevera que sólo ocurre una posibilidad de combinaciones deasignación de valores de verdad aP, Q y R, a saber, queP es verdadera,Q falsa yR


verdadera. Eso podemos expresarlo como(P∧¬Q∧R). Así es que el conectivo chino,por un lado, es superfluo en nuestro lenguaje y, por otro, sí esuna partícula lógica.

Supongamos ahora que tenemos el conectivo $ cuya tabla de verdad es:

P Q R $PQRV V V FV V F FV F V VV F F FF V V VF V F FF F V FF F F F

¿Cómo podemos expresar $PQRutilizando nuestros conectivos usuales? Quiendice $PQRafirma queP es verdadera,Q falsa yRverdadera, o bien, queP es falsa,Qverdadera yRverdadera. Eso podemos expresarlo como(P∧¬Q∧R)∨ (¬P∧Q∧R).

En general, si tenemos un conectivo de cualquier aridad (es decir, unario, binario,ternario, etc.) veritativo-funcional, podemos expresar los enunciados formados con élutilizando únicamente nuestros conectivos∨,∧ y ¬. Todo lo que tenemos que hacer esobservar su tabla de verdad y por cada renglón que en su últimacolumna tenga el valorverdadero, formamos una conjunción cuyos conyuntos son lasletras proposicionalesque en ese renglón tengan el valor verdadero y la negación de cada una de las letrasque en ese reglón tenga valor falso. Al final hacemos la disyunción de los resultadosasí obtenidos. Eso significa que para construir fórmulas noshubieran bastado los tresconectivos mencionados.

Otra forma de alcanzar la misma conclusión es la siguiente: Supongamos ahoraque tenemos un conectivo veritativo funcional ternario∗, tal que∗PQRsólo es falsocuando P es verdadera, Q falsa y R falsa. Ahora queremos encontrar una fórmulaescrita con nuestros conectivos ordinarios y que sea falsa solamente en ese caso. Ladisyunción es falsa en un solo caso. Por ejemplo(α ∨β ∨ γ) sólo es falsa si sus tresconyuntos son falsos. Esto sugiere tomar(¬P∨Q∨R) que, evidentemente, tiene lascaracterísticas deseadas. Supongamos ahora que tenemos elconectivo ternario verita-tivo funcional %PQR que es falso en dos casos: cuando P es verdadera, Q falsa y Rfalsa, o cuando P y Q son verdaderas y R falsa. En analogía con la solución de arriba


tomemos primeramente(¬P∨Q∨R) por el primer caso y(¬P∨¬Q∨R), y coloque-mos en medio una conjunción para obtener(¬P∨Q∨R)∧ (¬P¬Q∨R). A pesar deser una conjunción sólo es falsa en dos casos, pues la falsedad del primer conyuntoexcluye la del segundo y viceversa. Es claro que este procedimiento lo podríamosextender a cualquier conectivo que represente una forma de construcción de enuncia-dos veritativo funcional. Consideremos por ejemplo la disyunción ternaria exclusiva(que representaremos con #) que sólo es verdadera cuando exactamente uno de sustres conyuntos es verdadero. Aplicando el primer método, podemos expresar #PQRcomo(P∧¬Q∧¬R)∨(¬P∧Q∧¬R)∨(¬P∧¬Q∧R). Aplicando el segundo método,obtenemos(¬P∨¬Q∨¬R)∧ (¬P∨¬Q∨R)∧ (¬P∨Q∨¬R)∧ (P∨¬Q∨¬R)∧ (P∨Q∨R).

De hecho, nos bastarían la disyunción y la negación o la disyunción y el condi-cional, pues afirmar(P∧Q) es lo mismo que aseverar¬(¬P∨¬Q), ya que la con-junción es verdadera cuando no ocurre que alguno de sus conyuntos es falso. Porotro lado, afirmar(P∧Q) es equivalente a aseverar¬(P→¬Q), pues la negación de(P→¬Q) es verdadera únicamente cuandoP es verdadera y la negación deQ es falsa,es decir, sólo cuandoP y Q son ambas verdaderas. También nos hubieran bastado losconectivos∧ y ¬, pues(P∨Q) puede expresarse como¬(¬P∧¬Q).

Por ejemplo, vimos que afirmar $PQRes lo mismo que decir(P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧R). Ahora bien, observemos que(P∧¬Q∧R) es verdadero si y sólo siP esverdadero,Q falso yR verdadero, es decir, si y sólo si no ocurre queP sea falso oQverdadero oRfalso. Entonces(P∧¬Q∧R) es verdadero en los mismos casos en que loes¬(¬P∨Q∨¬R). De allí que(P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧R) y, por tanto, también $PQRpueden expresarse como¬(¬P∨Q∨¬R)∨¬(P∨¬Q∨¬R). También ya vimos cómoexpresar una disyunción utilizando una conjunción. Afirmar(P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧R) es equivalente a aseverar¬(¬(P∧¬Q∧R)∧¬(¬P∧Q∧R)). ¿Podríamos expresarcualquier forma de composición de enunciados que sea veritativo funcional utilizandoun solo conectivo? Todo lo que requerimos es expresarP∧Q y ¬P utilizando ese sóloconectivo. Evidentemente necesitamos un conectivo al menos binario. ¿Cuál podríaser su tabla de verdad?

P Q P¿?QV VV FF VF F


Si en el primer renglón pusiéramos ‘V’ o en el último ‘F’, no tendríamos manerade negar un enunciado pues la negación invierte los valores de verdad. Por lo tanto,en el primer renglón debemos colocar ‘F’ y en el último ‘V’. Nos restan posibilidades.Si en el segundo y tercer renglón ponemos respectivamente ‘V’ y ‘F’, entonces ten-dríamos los mismos valores que tiene¬Q en cada renglón y el resultado no dependeríapara nada deP. Si, por el contrario, en el segundo y tercer renglón ponemosrespec-tivamente ‘F’ y ‘V’, entonces tendríamos los mismos valoresque tiene¬P en cadarenglón y el resultado no dependería para nada de Q. Las únicas posibilidades quequedan son poner ‘F’ y ‘F’ o bien ‘V’ y ‘V’ en lo renglones restantes. El primer casodefine el conectivo↓ y el segundo el conectivo|. Es decir:

P Q P↓QV V FV F FF V FF F V

P Q P|QV V FV F VF V VF F V

Utilizando nuestro método, sabemos queP ↓ Q puede expresarse como ‘(¬P∧¬Q)’ o bien ‘ni P ni Q’. Claramente decir ‘niP ni P’ es lo mismo que decir ‘noP’.Sabemos además que ‘¬(¬P∧¬Q)’ es verdadera, siP es verdadera oQ es verdaderao ambas lo son. O que¬(¬P∧¬Q) dice lo mismo que(P∨Q). Por tanto, podemosdecirP o Q negando "niP ni Q", cosa que ya podemos hacer utilizando únicamente elconectivo↓. Concluimos que↓ nos hubiera bastado para expresar todo lo que podemosdecir utilizando nuestros conectivos ordinarios. Un resultado análogo se sigue para|,pero dejamos la justificación al lector en un ejercicio posterior.

Una manera más precisa de decir que dos fórmulas expresan lo mismo, es decirque son verdaderas en exactamente las mismas situaciones, esto es, bajo las mismas


asignaciones de valores de verdad a las letras proposicionales. Diremos que dos fór-mulasα y β son lógicamente equivalentes(lo que denotaremos conα ≡ β ), si α esconsecuencia lógica deβ y viceversa o, siα ↔ β es una tautología.

Las siguientes son equivalencias a las que utilizaremos en las páginas siguien-tes, en algunos casos, haciendo referencia a ellas por los nombres que aparecen a suizquierda.α y β representan fórmulas cualesquiera.

Conmutatividad de la conjunciónα ∧β ≡ β ∧α .Idempotencia de la conjunciónα ∧α ≡ α .Conmutatividad de la disyunciónα ∨β ≡ β ∨α .Idempotencia de la disyunciónα ∨α ≡ α .Asociatividad de la conjunción(α ∧β )∧ γ ≡ α ∧ (β ∧ γ).Asociatividad de la disyunción(α ∨β )∨ γ ≡ α ∨ (β ∨ γ).Distributividad de la disyunción sobre la conjunción

(α ∧β )∨ γ ≡ (α ∨ γ)∧ (β ∨ γ).

Distributividad de la conjunción sobre la disyunción

(α ∨β )∧ γ ≡ (α ∧ γ)∨ (β ∧ γ).

Leyes de De Morgan¬(α ∧β )≡ ¬α ∨¬β , ¬(α ∨β )≡ (¬α ∧¬β ).(α ∧β )∨β ≡ β . (α ∨β )∧β ≡ β .α ≡ (α ∧β )∨ (α ∧¬β ). α ≡ (α ∨β )∧ (α ∨¬β ).(α → β )≡ (¬α ∨β ). ¬(α → β )≡ (α ∧¬β ).(α ↔ β )≡ (α ∧β )∨ (¬α∧¬β ). ¬(α ↔ β )≡ (¬α ↔ β ).¬¬α ≡ α .

Veremos a continuación un algoritmo que aparece en el libro [Qui82] de Quinepara establecer si un enunciado es tautológico o consistente. Introduzcamos los signos⊤ y ⊥ para representar respectivamente una tautología y una contradicción fijas. Elmétodo se basa en las siguientes equivalencias:

α∧ ⊥≡⊥ α ∧⊤≡ αα∨ ⊥≡ α α ∨⊤≡⊤α →⊥≡¬α α →⊤≡⊤⊥→ α ≡⊤ ⊤→ α ≡ αα ↔⊥≡¬α α ↔⊤≡ α¬ ⊥≡⊤ ¬ ⊥≡⊤.


Es decir,α ∧⊤ (por ejemplo) es verdadero en cualquier interpretación en queα esverdadero, y es falso en cualquier interpretación en queα es falso. Por lo tanto,α ∧⊤es equivalente aα . De manera similar podemos verificar las demás equivalencias.El método se basa asimismo en el hecho de que si en una fórmula sustituimos unasubfórmula por otra equivalente, obtenemos una fórmula equivalente a la original.

Por ejemplo,(p→ q)↔ r ≡ (¬p∨ q) ↔ r, pues el segundo enunciado se ob-tiene al sustituir del primero(p→ q) por el enunciado equivalente(¬p∨ q). En laaplicación del algoritmo sustituiremos reiteradamente subenunciados por enunciadosequivalentes, de tal manera que el enunciado resultante seacada vez más corto.

Describamos el método a través de algunos ejemplos.

Ejemplo I.4.1. Para determinar que(p∧q)→ p es una tautología, exploremos prime-ramente el caso en quep es verdadero. Mientras estemos en este caso, da lo mismotenerp que tener una tautología. Por ello, sustituyamos en el enunciado p por⊤, paraobtener(⊤∧q)→ ⊤. En ese enunciado sustituimos ahora (⊤∧q) por el enunciadoequivalenteq, teniendo como resultadoq→⊤. Éste a su vez es equivalente a⊤. Deello se infiere que el enunciado(p∧q)→ p es verdadero, en cualquier interpretaciónen quep sea verdadero. Hagamos ahora el mismo procedimiento suponiendo quep esfalso, es decir, comenzando con(⊥ ∧q)→⊥ para obtener los enunciados:⊥→⊥, el cual evidentemente es equivalente a⊤. Concluimos que el enunciado

(p∧ q)→ p es verdadero, en cualquier interpretación en quep sea falso y que, enconclusión, es una tautología. Cuando se trate de enunciados más complejos puedeocurrir que al sustituir una letra (en todas sus ocurrencias) por⊤ o por⊥, y realizarlas reducciones correspondientes, no lleguemos ni a⊤ ni a⊥, sino a otro enunciado.Entonces debemos seleccionar otra letra y sustituirla sucesivamente por⊤ y por⊥ yrepetir el proceso. Si en uno de estos pasos obtenemos⊥, entonces sabremos que elenunciado no es una tautología. Determinemos ahora si(p→ (q→ r)) ≡ ((p∧q)→r), es decir, si(p→ (q→ r))↔ ((p∧q)→ r) es una tautología.

Supongamos primero quep es verdadera. Obtendremos sucesivamente:(⊤→ (q→ r))↔ ((⊤∧q)→ r)(q→ r)↔ (q→ r) (*)Desde luego sabemos que (*) es una tautología, pero continuemos aplicando el

algoritmo a modo de ilustración. Supongamosq verdadera:(⊤→ r)↔ (⊤→ r)r ↔ r.


Si r es verdadera⊤↔⊤y si r es falsa:⊥↔⊥,las cuales son ambas equivalentes a⊤.Retomemos (*) y supongamos ahoraq falsa:(⊥→ r)↔ (⊥→ r)⊤→⊤.Y obtenemos⊤.Ahora exploremos qué ocurre sip es falsa:(⊥→ (q→ r))↔ ((⊥ ∧q)→ r)⊤↔ (⊥→ r)⊤↔⊤.La cual es equivalente a⊤.Consideremos ahora un caso en que el enunciado no es una tautología, por ejem-

plo, (p→ q)→ q.Apliquemos el método, comenzando ahora por el casoq verdadera(p→⊤)→⊤⊤→⊤⊤.Y el caso "q falsa"(p→⊥)→⊥¬p→⊥¬¬p.Esto significa que en las interpretaciones en queq es falsa, el enunciado tiene el

mismo valor que¬¬p (es decir, quep). Por lo tanto, en las interpretaciones en quepy q son falsas, el enunciado original es falso. Vemos así que el algoritmo nos permiteencontrar las interpretaciones en que el enunciado original es falso.

Veamos ahora otra forma de verificar que una fórmula es una tautología empleandolas equivalencias vistas anteriormente.

Ejemplo I.4.2. Consideremos por ejemplo que((P→ (Q→R))→ ((P→Q)→ (P→R)) es una tautología, si y sólo si su negación(((P→ (Q→R))→ ((P→Q)→ (P→R))) es una contradicción.Esto es lo que buscaremos probar. Empleando la equiva-lencia¬(α → β ) ≡ (α ∧¬β ), encontramos sucesivamente las siguientes fórmulasequivalentes a:


(((P→ (Q→ R))→ ((P→Q)→ (P→ R)))((P→ (Q→ R))∧¬((P→Q)→ (P→ R))((P→ (Q→ R))∧ (P→Q)∧¬(P→ R))((P→ (Q→ R))∧ (P→Q)∧P∧¬R.Ahora empleamos(α → β )≡ (¬α ∨β ) para obtener((¬P∨ (Q→ R))∧ (P→Q)∧P∧¬R((¬P∨ (¬Q∨R))∧ (P→Q)∧P∧¬R((¬P∨ (¬Q∨R))∧ (¬P∨Q)∧P∧¬R.Usando la distributividad de la conjunción sobre la disyunción, tenemos((¬P∨ (¬Q∨R))∧ ((¬P∧P∧¬R)∨ (Q∧P∧¬R)).Pero¬P∧P es equivalente a⊥ y α∧ ⊥≡⊥.Por tanto, la fórmula anterior es equivalente a:((¬P∨ (¬Q∨R))∧ (⊥∨(Q∧P∧¬R)),y también es equivalente a((¬P∨ (¬Q∨R))∧ (Q∧P∧¬R)) (puesα∨⊥≡ α).De nuevo, distribuyendo obtenemos:((¬P∧Q∧P∧¬R)∨ (¬Q∧Q∧P∧¬R)∨ (R∧Q∧P∧¬R))Lo que se reduce a⊥ ∨ ⊥ ∨⊥ y a⊥.

I.5. Ejercicios 35

I.5 Ejercicios

1. A: A y B son falsos.

B: Este enunciado es verdadero.

¿Cuáles son los valores de verdad de A y de B?

2. A: B es falsa.

B: A si y sólo si C.

C: hay vida en otros planetas.

¿Hay vida en otros planetas?

3. A: A es verdadero y 5+1=6.

¿Es A verdadero, falso o no puede saberse?

4. A: O A es falso o B es falso.

B: Habrá una guerra naval mañana.

¿Habrá una guerra naval mañana?

5. A: B o C son verdaderas.

B: A es falsa.

C: Oswald no mató a Kennedy.

¿Mató Oswald a Kennedy?


6. A: Si B es verdadera, entonces C es falsa.

B: Si C es verdadera, entonces A es verdadera.

C: Shakespeare no escribió las obras que se le atribuyen.

¿Escribió Shakespeare las obras que se le atribuyen?

7. A: Los españoles mataron a Moctezuma.

B: A es verdadero si y sólo si A es falsa.

C: B es verdadero.

¿Mataron los españoles a Moctezuma?

8. A: A es falso o B es verdadero o C es verdadero.

B: B es falso o C es falso.

C: Si hay antimateria, entonces Aquiles sí existió.

¿Es P verdadero? ¿hay antimateria? ¿existió Aquiles?

9. A: B es verdadero y C es verdadero.

B: A es verdadero si y sólo si C es falso.

C: Las crisis financieras serán recurrentes en el capitalismo.

¿Cómo son A, B y C?

10. A: A, B y C son falsas.

B: A o B o C es verdadera.

C: C es verdadera.

Supón que la disyunción de 2 es exclusiva ternaria, ¿cuáles son los valores deverdad de A, B y C?

11. ¿En qué renglones de su tabla de verdad son verdaderas cada una de las siguien-tes fórmulas?

(a) (P↔Q)∧ (Q↔ R)∧ (R↔ S)∧ (S↔ T)∧ (T↔U)

(b) ¬((P∧Q∧R∧S∧T)→ (P∨Q∨R∨S∨T))

(c) ¬(P→ (Q→ (R→ (S→ (T →U)))))

I.5. Ejercicios 37

(d) (P↔Q)∧ (R↔ S)∧ (S∨Q)∧ (R→¬P)∧ (R→Q)

(e) ((P↔Q)↔ R)∧ (¬(R→Q))

12. Utilice el método de Quine para expresar lo que las fórmulas anteriores dicenusando únicamente∧, ¬ y ∨.

13. ¿Puede expresarse la disyunción exclusiva ternaria utilizando únicamente ladisyunción exclusiva binaria?

14. Demuestre que| nos hubiera bastado para expresar todo lo que podemos decirutilizando nuestros conectivos ordinarios.

15. ¿Son cada uno de los siguientes conjuntos de conectivos suficientes para expre-sar toda forma de composición de enunciados veritativo-funcional?

(a) {¬,→}(b) {⊥,→}(c) {→,∨}(d) {∧,∨,↔}

16. Exprese(P |Q) utilizando únicamente el conectivo↓.

17. Demuestre queΣ es inconsistente si y sólo si cualquier fórmula es consecuencialógica deΣ.

18. Suponga una fórmulaα que sólo contiene los conectivos∨, ∧ y ¬. Sustituya enella∨ por∧ y viceversa, y llame al resultado el Dual deα . Demuestre que:

a) si enα negamos todas las letras proposicionales y también la fórmula com-pleta, obtenemos una fórmula equivalente al Dual deα .

b) Si β es consecuencia lógica deα , entonces el Dual deα es consecuencialógica del Dual deβ .

19. ¿Cuáles de las siguientes aseveraciones son verdaderasy cuáles falsas?

(a) Si alguien produce un argumento inválido, sus premisas yconclusión de-ben conformar un conjunto inconsistente.


(b) Si un argumento tiene premisas falsas y conclusión verdadera, entoncesla certeza de la conclusión no se puede atribuir a las premisas; así que elargumento no puede ser válido.

(c) Si la conclusión de un argumento es falsa y sus premisas son verdaderas,entonces el argumento no puede ser válido.

(d) Si un conjunto de fórmulas es inconsistente, una de as cuales esα , pode-mos decir queα es falsa suponiendo las otras verdaderas.

20. Algunos de los siguientes argumentos son inválidos. ¿Cuáles? Dé un contrae-jemplo.

(a) Muchas personas comunes son corruptas; los políticos son gente común.En consecuencia, algunos políticos son corruptos.

(b) Numerosos grandes pianistas admiran a Glenn Gould. Si hay alguna per-sona no músico, ésta admira a Glenn Gould. Por consiguiente,si hay algúngran pianista no es músico.

(c) Cualquiera que admire a Bach gusta de las variaciones Goldberg; alguienque admira a Chopin, no gusta de las variaciones Goldberg. Por lo tanto,alguien que admira a Chopin no admira a Bach.

(d) La mayoría de los lógicos son filósofos; pocos filósofosno son sabios; enconsecuencia, algunos lógicos son sabios.

(e) Pocos italianos aprueban el aborto; muchos ateos aprueban el aborto; sesigue que algunos ateos son italianos.

(f) Todos los lógicos son racionales; ningún existencialista es lógico. Porconsiguiente, si Sartre es existencialista, no es racional.

Capítulo 1. Introducción a la Lógica Proposicional

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