Introducción al análisis combinatorio

Dr. Francisco Javier Tapia Moreno

Octubre 19 de 2015.

Para calcular la cantidad de elementos que tienen los

conjuntos formados con ciertas reglas, sin que sea necesario

saber enumerarlos uno a uno se utiliza el principio

fundamental del conteo. Este principio establece que:

Si un evento puede tener lugar de m maneras diferentes y,

luego de sucedido éste, un segundo evento puede suceder de

n maneras distintas, el número de formas diferentes en que

pueden realizarse los dos eventos es de

𝒎 ∗ 𝒏 maneras.

Ejemplo 1. Si en una reunión hay 3 hombres y 4 mujeres, ¿de

cuántas maneras es posible seleccionar una pareja hombre-mujer?

Respuesta. Existen 3 maneras diferentes de seleccionar a un hombre

y hay 4 maneras distintas de seleccionar a una mujer. Así que hay

𝟒 ∗ 𝟑 = 𝟏𝟐 maneras posibles.

Conteo (ejemplos)

2. El juego de placas de un automóvil consta de tres dígitos de los cuales el primero no es cero, seguidas de tres letras diferentes. ¿Cuántos juegos de placas pueden formarse? (se consideran 26 letras y 10 dígitos).

Solución. La primera letra puede elegirse de 26 maneras diferentes, lo mismo sucede para las otras dos. En el primer lugar de las cifras pueden colocarse 9 dígitos porque el cero no puede estar en el primer lugar. En el siguiente lugar pueden colocarse 10 dígitos y lo mismo sucede en el tercer lugar. Aplicando el principio de conteo la cantidad pedida será:

𝟗 ∗ 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎 ∗ 𝟐𝟔 ∗ 𝟐𝟔 ∗ 𝟐𝟔 = 𝟏𝟓, 𝟖𝟏𝟖, 𝟒𝟎𝟎 placas distintas.

3. Un restaurante oferta, en el menú del día, 5 platos de inicio, 4 de segundo y 3 de postre. ¿Cuántos menús diferentes se pueden pedir?

Solución:

5 ∗ 4 ∗ 3 = 60 menus

Factorial de un número.

Se define como factorial de un número natural n al producto

de n por todos los números que le siguen. Se denota

mediante 𝒏!.

𝒏! = 𝒏 ∗ 𝒏 − 𝟏 ∗∗∗ 𝟑 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏 ∗ 𝟎!

Por definición, el factorial de cero es uno: 𝟎! = 𝟏. Así es que:

𝒏! = 𝒏 ∗ 𝒏 − 𝟏 ∗∗∗ 𝟑 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏

El factorial de un número crece de forma muy considerable.

Ejemplos:

𝟑! = 𝟏(𝟐)(𝟑) = 𝟔

𝟓! = 𝟏(𝟐)(𝟑)(𝟒)(𝟓) = 𝟏𝟐𝟎

𝟖! = 𝟏(𝟐)(𝟑)(𝟒)(𝟓)(𝟔)(𝟕)(𝟖) = 𝟒𝟎, 𝟑𝟐𝟎

𝟏𝟒! = 𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝟑 ∗∗∗ 𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟒 = 𝟖𝟕, 𝟏𝟕𝟖, 𝟐𝟗𝟏, 𝟐𝟎𝟎

Se llama permutación simple de n elementos tomados de r en

r (𝒓 < 𝒏) a los distintos grupos formados por r elementos de

forma que:

• Los r elementos que forman el grupo son distintos (no se

repiten)

• Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento

o en el orden en que están colocados (importa el orden).

• No se utilizan todos los elementos.

El número de permutaciones se denota por 𝑷𝒏,𝒓 y se calcula

mediante la relación:

𝒏!

𝒏 − 𝒓 !

1. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en una banca si sólo hay 4 espacios disponibles?

𝑷𝟏𝟎,𝟒 =𝟏𝟎!

𝟏𝟎−𝟒 !=

𝟏𝟎!

𝟔!= 𝟓, 𝟎𝟒𝟎 maneras.

2. En una reunión de 15 personas van a distribuirse 5 regalos. Existe la condición de que una personas no puede recibir más de un regalo. Calcular de cuántas maneras pueden distribuirse dichos regalos si éstos son distintos.

𝑷𝟏𝟓,𝟓 =𝟏𝟓!

𝟏𝟓−𝟓 !=

𝟏𝟓!

𝟓!= 𝟑𝟔𝟎, 𝟑𝟔𝟎 maneras.

3. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de tal modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿Cuántas maneras distintas existen, si las personas no pueden repetirse?

𝑷𝟓,𝟓*𝑷𝟒,𝟒 = 𝟓! ∗ 𝟒! = 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟐𝟒 maneras.

Se llama combinaciones de n elementos tomados de r en r

(𝒓 ≤ 𝒏) a todas las clases posibles que pueden hacerse con

los n elementos de forma que:

• Cada agrupación está formada por n elementos distintos

entre sí.

• Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un

elemento, sin tener en cuenta el orden.

Las combinaciones de n objetos tomados de r en r es indicado

por 𝒏𝒌

o por 𝑪𝒏,𝒓

𝒏!

𝒌! ∗ 𝒏 − 𝒓 !

1. Con 12 trabajadores, ¿cuántas cuadrillas se pueden formar?

𝟏𝟐𝟒

=𝟏𝟐!

𝟒!∗ 𝟏𝟐−𝟒 ! = 𝟒𝟗𝟓 cuadrillas.

2. En una clase hay 25 alumnos y se quiere hacer una comisión formada por tres alumnos. ¿De cuántas formas se puede elegir?

𝟐𝟓𝟑

=𝟐𝟓!

𝟑!∗ 𝟐𝟓−𝟑 ! = 𝟐, 𝟑𝟎𝟎 comisiones.

3. ¿De cuántas formas puede elegir un equipo de trabajo, formado por dos intendentes, tres cajeros, 2 supervisores, 2 guardias y 3 acomodadores, un Gerente que tiene 25 trabajadores disponibles, de los que 5 son intendentes; 6, cajeros; 4, supervisores; 4, guardias, y el resto, acomodadores?

𝟓𝟐

* 𝟔𝟑

* 𝟒𝟐

* 𝟒𝟐

* 𝟔𝟑

= 𝟏𝟎 ∗ 𝟐𝟎 ∗ 𝟔 ∗ 𝟔 ∗ 𝟐𝟎

= 144,000 maneras.

1. Un músico piensa escribir una escala basada sólo en cinco cuerdas:

B bemol, C, D, E y G. Sin embargo, sólo tres de las cinco cuerdas se

van a utilizar en sucesión, por ejemplo: C, B bemol y E. No se

permiten repeticiones como B bemol, B bemol y E.

a) ¿Cuántas permutaciones de las cinco cuerdas, tomadas de tres en

tres, son posibles?

b) De acuerdo con la fórmula (5-9), ¿cuántas permutaciones son

posibles?

2. Los 10 números del 0 al 9 se van a emplear en grupos de códigos de

cuatro dígitos para identificar una prenda. El código 1083 podría

identificar una blusa azul, talla mediana; el grupo de código 2031

podría identificar unos pantalones talla 18, etc. No están permitidas

las repeticiones de números. Es decir, el mismo número no se puede

utilizar dos veces (o más) en una sucesión completa. Por ejemplo,

2256, 2562 o 5559 no estarían permitidos. ¿Cuántos diferentes grupos

de códigos se pueden asignar?

3. En el ejemplo relacionado con Goody Records, concluyó que ocho

colores tomados de tres en tres darían un total de 56 diferentes

combinaciones.

a) Demuestra que esto es verdadero.

b) Como alternativa para codificar con colores las 42 diferentes líneas,

se ha sugerido que sólo dos colores se coloquen en un disco. ¿Diez

colores serían adecuados para codificar las 42 diferentes líneas? (De

nuevo, se podría utilizar una sola vez una combinación de dos colores;

es decir, si rosa y azul se utilizaron para codificar una línea, el azul y el

rosa no se pueden emplear para identificar otra línea.)

4. En un juego de lotería se seleccionan al azar tres números de una

tómbola de bolas numeradas del 1 al 50.

a) ¿Cuántas permutaciones son posibles?

b) ¿Cuántas combinaciones son posibles?