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INTRODUCCIÓN A LAINTRODUCCIÓN A LAINTRODUCCIÓN A LA INTRODUCCIÓN A LA INFORMACIÓN CUÁNTICA INFORMACIÓN CUÁNTICA
AVANCES RECIENTES EN FÍSICA APLICADA A LA INGENIERÍAESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROSDEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA III
11LIBRE CONFIGURACIÓN. CURSO 11/12
Semana I (Prof Alberto Casado)Semana I (Prof. Alberto Casado) I. Fundamentos de Mecánica Cuántica.
ó á í III. Comunicación Cuántica: Criptografía, Codificación densa y Teletransporte.
Semana II (Prof. José Martínez) IV. Computación Cuántica
22
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
La Mecánica Cuántica se desarrolla en La Mecánica Cuántica se desarrolla en espacios vectoriales denominados espacios vectoriales denominados espacios de Hilbert.espacios de Hilbert.pp
Para comenzar, repasaremos Para comenzar, repasaremos brevemente las ideas fundamentalesbrevemente las ideas fundamentalesbrevemente las ideas fundamentales brevemente las ideas fundamentales relativas al espacio euclídeo relativas al espacio euclídeo tridimensional tridimensional EE3.3.
33
v
OPERACIONES BÁSICAS
vOPERACIONES BÁSICAS
1) SUMA DE VECTORES
EED d
321
3231
EvvSUMAla
EvyEvDados
3, EvyRrDado 2) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
3
3,Evr
y
32211 Evrvr
• COMBINACIONES LINEALES
44
32211 Evrvr
3) PRODUCTO ESCALAR1v1v
2v
| || | cosv v v v
1 2 1 2
1 2 2 1
| || | cos( )
v v v vv v v v conmutativo
1 2 3 1 2 1 3( ) ( )v rv sv r v v s v v linealidad
2| | 0
| |
v v v
1 2 1 1 2 2| |
( )v v v v v vdesig Cauchy Schwarz
55
( . )desig Cauchy Schwarz
BASE ORTONORMAL
ijji ee
3e vijji
erererv 332211
2e ii evrsiendo
1e 332211 eaeaeaa
3
332211 ebebebb
31
332211 ii
ibababababa
66
3
1
2
iiaaa
UN BREVE REPASO DE FÍSICA CLÁSICA1 Partícula clásica: su estado1. Partícula clásica: su estado
queda determinado a partir de su posición y su cantidad de movimientocantidad de movimiento.
2. Ambas variables tienen valores precisos, bien d f d d
mdefinidos en cada instante de tiempo.
3. Siempre es posible, al r v3. Siempre es posible, al
menos en principio, medir ambos valores sin perturbar apreciablemente
F
perturbar apreciablemente el sistema.
4. Conociendo las fuerzas que actúan sobre la partícula la vmdF )( actúan sobre la partícula, la aplicación de la 2ª ley de Newton permite determinar su estado en cualquier
dtF )(
77
su estado en cualquier instante de tiempo, a partir de las condiciones iniciales.
La Mecánica CuánticaLa Mecánica Cuántica La Representación matemática de la La Representación matemática de la
Mecánica Cuántica se desarrolla en Mecánica Cuántica se desarrolla en espacios vectoriales lineales complejos espacios vectoriales lineales complejos p p jp p jdenominados espacios de Hilbert. denominados espacios de Hilbert. Los escalares son NÚMEROS COMPLEJOSLos escalares son NÚMEROS COMPLEJOS Los escalares son NÚMEROS COMPLEJOS.Los escalares son NÚMEROS COMPLEJOS.
Los elementos (vectores) de este espacio Los elementos (vectores) de este espacio ( ) p( ) pse representan mediante los “kets”:se representan mediante los “kets”:
88
I LOS POSTULADOS DE LAI LOS POSTULADOS DE LAI. LOS POSTULADOS DE LA I. LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICAMECÁNICA CUÁNTICAC C CU CC C CU C Postulado 1: La descripción del estado
á ticuántico Postulado 2: La descripción de las magnitudes
fí ifísicas Postulado 3: Resultados de las medidas. Postulado 4: Probabilidades de los resultados Postulado 5: La medida. El colapso del vector
de estado. Postulado 6: La ecuación de Schrödinger.
99
Postulado 1: La descripciónPostulado 1: La descripción del estado cuántico
Cada sistema cuántico tiene asociado un espacio de Hilbert Hasociado un espacio de Hilbert H.
El estado del sistema se representa por un vector de Hpor un vector de H.
Sistema S Espacio de Hilbert H
1010H Estado de S
Postulado 2: La descripción de las magnitudes físicas
Cada magnitud física del sistema está representada por una matriz hermítica
(observable) que opera en el espacio de(observable) que opera en el espacio de Hilbert que representa al sistema.
Rep o de Álgeb M t i he míti e q ell q e e ig l t p e t
Magnitud física “A” de S Matriz hermítica ARepaso de Álgebra: Matriz hermítica es aquella que es igual a su traspuesta conjugada. Sus propiedades son: 1) Sus valores propios son reales y 2) En el caso no degenerado, los vectores propios forman una base ortonormal del espacio.
ˆ ;i i i iA a a R
i j ij 1111
i j ij
Postulado 3: Los resultadosPostulado 3: Los resultados de las medidas
Cuando se mide una magnitud física de n sistema c ántico losfísica de un sistema cuántico, los
únicos valores que se pueden q pobtener son los valores propios de la matriz correspondiente a dichala matriz correspondiente a dicha
magnitud.ˆ ;i i i iA a a R
1212
naaa ...,..........,, 21Resultados posibles al medir:
Postulado 4:ProbabilidadesPostulado 4:Probabilidades de los resultados
La probabilidad de obtener el valor propio aiLa probabilidad de obtener el valor propio aide la magnitud A es igual al cuadrado del módulo del producto escalar de la funciónmódulo del producto escalar de la función propia correspondiente a dicho autovalor, por la función de onda que representa alpor la función de onda que representa al
estado del sistema.
2( ) | |i iP a 1313
Postulado 5: La medida. ElPostulado 5: La medida. El colapso del vector de estado.
El t d t d i di t tEl vector de estado inmediatamente después de la medida es el vector
propio correspondiente al valor obtenido de dicha magnitud.g
Se produce lo que se denomina “colapso del vector de estado”del vector de estado .
1414
Supongamos n=2 (espacio de Hilbert bidimensional) Estado Estado Magnitud Observable:
V l i
A
Aaya Valores propios
Vectores propios Probabilidades:
21 aya1 2y
1 1 2 2c c 2( ) | |P a c
21 1( ) | |P a c
2 2( ) | |P a c
)(
EJEMPLO GRÁFICO (no riguroso) DEL COLAPSO:
)( t2
MEDIDA
15151 1a1)( t
Vector propio 2
Aestado
De la magnitud A
Vector propio 1
De la magnitud A
Se mide la magnitud A
g
SISTEMA
Estado después de la
a
Estado después de la medida=vector propio 1
a1
Se obtiene uno de los1616
Se obtiene uno de los autovalores
Postulado 6: La ecuación de Schrödinger
La evolución temporal del vector de estado del sistema, cuando no se producen medidas, está gobernada por la ecuación de Schrödinger
d )(|ˆ)(| tHt
dtdi
es el observable asociado a la energía del sistema, y se denomina Hamiltoniano
H
sJhh 106266; 34
se denomina Hamiltoniano
sJh .10626.6;2
es la constante de Planck.1717
es la constante de Planck.
HSistema S Espacio de Hilbert H
E t d d S HEstado de S
Magnitud física “M” de Matriz hermíticaMagnitud física M de S
Matriz hermítica
M¿Q é d bt l di¿Qué podemos obtener al medir “M”?
Uno de los autovalores
¿Qué nos proporciona el vector de estado?
Las probabilidades de los autovaloresde estado? los autovalores
¿Cómo cambia el estado del l d d ?
Colapsa al autovector sistema en la medida? correspondiente al valor
obtenido¿Cómo evoluciona el estado ó d
1818cuando no se mide? Ecuación de
Schrödinger
SISTEMAS DE DOS NIVELES
• Física Clásica: Sistemas que pueden estar en dos estados.Fí i C á ti Si t b bl ti d• Física Cuántica: Sistemas cuyos observables tienen dos
autovalores y dos autovectores. El principio de Superposición permite generar superposiciones de los dos estados base.
Ó
Niveles electrónicos
SUPERPOSICIÓN
de átomos
PolarizaciónEjemplos de sistemas cuánticos
Polarización de fotón
EspínY
Espín de partículas espín 1/2
ZX
1919
Quantum bits Quantum bits (qubits)(qubits)(qubits)(qubits) 0
1INFORMACIÓN CLÁSICA EL “Bit”
1|0||
1CLÁSICA: EL “Bit”
INFORMACIÓN|1>
INFORMACIÓN CUÁNTICA: EL “Quantum Bit” |0>
Base computacional
22 ||)"1(";||)"0(" PP
||1>
| 1|'| 0|'|
|0>Medida del qubit
Si se obtiene el valor 1 Si bti l l 02020El conocimiento que se adquiere a partir de la medida El conocimiento que se adquiere a partir de la medida
está ligado a la pérdida de la superposición. está ligado a la pérdida de la superposición.
Si se obtiene el valor 1 Si se obtiene el valor 0
El Principio de incertidumbre de Heisenbergp g
El conmutador de dos operadores se define como:
ABBABA ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ Los operadores conmutan cuando satisfacen la relación:
ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[
Ó
|]ˆˆ[| BA
RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE
Magnitudes A y B
2|],[| BA
BA Observables ABB
Estado del sistema El producto de las desviaciones estándar asociadas a la medidas de dos observables en un estado cuántico, es mayor o igual que el módulo del valor medio del
2121
y g qconmutador de ambos observables en dicho estado, dividido por 2.
Magnitudes compatibles e incompatiblesMagnitudes A y B Operadores A
BMagnitudes Compatibles
B
Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B édespués, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincide con
el de la tercera medida.
Magnitudes Incompatibles
Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después y en tercer lugar A el resultado de la primera medida no coincidirádespués, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida no coincidirá, en general, con el de la tercera medida.
Teorema de compatibilidadTeorema de compatibilidad
Las siguientes afirmaciones son equivalentes: Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A y B son compatibles.2. Los observables asociados a dichas magnitudes
tconmutan.3. Los observables asociados a dichas magnitudes
poseen una base común de vectores propios.poseen una base común de vectores propios.
Para Magnitudes Incompatibles:1. A y B son incompatibles2. Los observables asociados a dichas magnitudes
no conmutanno conmutan. 3. Los observables asociados a dichas magnitudes
no poseen una base común de vectores propios.
MAGNITUDES COMPATIBLES
ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[ Magnitudes A y B
Observables A 1) Se mide A: hay probabilidad no nula de
Bobtener a1 y de obtener a2. Supongamos que se obtiene a2
2) Inmediatamente después se mide B: se obtiene con certeza el
111
ˆ
ˆ
aA
aA
22 mide B: se obtiene con certeza el
valor b2
3) Inmediatamente después se mide de nuevo A: se obtiene con|
| antes
222 aA
111ˆ bB
mide de nuevo A: se obtiene con certeza el valor a2
. 2 2| desp
Si l l d l it d A d d i t t bié d
222
111
ˆ
bB 11
Si el valor de la magnitud A se puede predecir con certeza, también se puede predecir con certeza el valor de la magnitud B.
Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, BSi se miden de forma consecutiva, y simultáneamente , primero A, B después, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincidirá con el de la tercera.
MAGNITUDES INCOMPATIBLES
ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[ 2) Se mide B
3) Se mide A
Se hacen tres medidas consecutivas y “simultáneas”:
1) Se mide A
22 22
3) Se mide A
'||
1) Se mide A
1|
1
11 11
Si el valor de una de las magnitudes se puede predecir con certeza, entonces no se puede predecir con certeza el valor de la otra magnitud.
Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después, y en tercer lugar A el resultado de la primera medida en general no coincidirá
p p g
en tercer lugar A, el resultado de la primera medida, en general, no coincidirá con el de la tercera medida.
CRIPTOGRAFÍACRIPTOGRAFÍA
CRIPTOLOGÍA
CRIPTOGRAFÍA CRIPTOANÁLISIS
¿?
ÍEVA= ESPÍA
BLAS RECEPTOR2626
ALICIA= EMISOR BLAS= RECEPTOR
MÉTODOS EN CRIPTOGRAFÍA CLÁSICAMÉTODOS EN CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA
Las letras del mensaje se reorganizan mediante una permutación especial.
• TRANSPOSICIÓN: p p
INGENIEROS NIEGINRESO
Las letras del mensaje se reemplazan por otras letras números o símbolos arbitrarios
• SUSTITUCIÓN:por otras letras, números o símbolos arbitrarios.
A DB EB EC F, etc
2727INGENIEROS LQJHQLHURV
PROBLEMAS DE LA CRIPTOGRAFÍA CLÁSICAPROBLEMAS DE LA CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA
SEGURIDAD: Los métodos de transposición y sustitución NO son seguros. La frecuencia con la que aparece una determinadaLa frecuencia con la que aparece una determinada
letra en un texto inteligible es aproximadamente constante.
75100 Número de veces
(frecuencia) que
0
5025
aparece cada letraen el abecedarioinglés (tanto por mil).
a b c d e f g h i j k l m n op q r s t u v w x z
EL DESARROLLO DEL CRIPTOANÁLISIS ESTÁ LIGADO AL DE LA COMPUTACIÓN
2828
Claves secretas EVA
CLAVE
CRIPTOGRAMA
ALICIA BLAS
MENSAJECRIPTOGRAMA
CRIPTOGRAMAMENSAJE
CLAVECRIPTOGRAMA
CLAVE
MENSAJE
1 L l it d i t ió d if i t d i i t1. Los algoritmos de encriptación y desciframiento son de conocimiento público.
2. El criptograma puede ser susceptible de ser interceptado (no p g p p p (problema).
3. La seguridad depende del secreto de la clave, que debe generarse entre Alicia y Blas antes de enviar el mensaje
2929
entre Alicia y Blas antes de enviar el mensaje.
4. ¡Atención! “Siempre es posible, en principio, espiar el sistema de distribución de clave sin que emisor y receptor se enteren.
CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PÚBLICA
Blas, quiero mandarte l
Vale Alicia, espera que te
CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PÚBLICA
algo. mando la clave para encriptar
MENSAJE
ALICIA BLAS
Clave públicaMENSAJE p
Clave privada
CRIPTOGRAMA
3030
1. No necesitan estar de acuerdo en la clave antes de enviar el mensaje.
2. Dos claves: Una pública, para encriptar el mensaje, y otra privada, para descifrarlo.p
3. Es posible obtener la clave privada a partir de la clave pública, pero es muy difícil.
4. SE BASAN EN EL DIFERENTE GRADO DE DIFICULTAD DE4. SE BASAN EN EL DIFERENTE GRADO DE DIFICULTAD DE CIERTAS OPERACIONES MATEMÁTICAS, SEGÚN LA DIRECCIÓN EN QUE SE REALICEN (FACTORIZACIÓN DE GRANDES ENTEROS)GRANDES ENTEROS).
5. Para factorizar un número entero de N dígitos decimales, el número de operaciones que debe hacer un ordenador lá i i l t Nclásico crece exponencialmente con N.
6. ¡¡¡SON VULNERABLES A ALGORITMOS DE COMPUTACIÓN CUÁNTICA!!! LA CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA RESUELVE EL
ÁPROBLEMA, AUNQUE EXISTIESEN ORDENADORES CUÁNTICOS.
3131
CRIPTOGRAFIA CUÁNTICACRIPTOGRAFIA CUÁNTICAAlicia y Blas tienen que compartir una CLAVE SECRETA, pero ¿quién nos asegura
que mientras se estaban comunicando dicha clave, un espía no estaba “ i h d ” l i ió ?“pinchando” la comunicación?
AliciaCRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA
(Espía)MEDIR ES PERTURBAR
(Emisor)Eva
Esta perturbación puede ser detec-
Blas
tada por Alicia y Blas, percatándo-se de la existencia de un espía y cortando la comunicación.
3232(Receptor)
Implementación física de los qubits con fotones
Física clásica: la luz es una onda Física clásica: la luz es una onda electromagnética.electromagnética.
Xelectromagnética.electromagnética.
POLARIZACIÓN: Propiedad de la luz POLARIZACIÓN: Propiedad de la luz asociada al plano donde vibra el asociada al plano donde vibra el campo eléctricocampo eléctrico
cE
campo eléctrico. campo eléctrico. POLARIZADOR: Aparato que sirve POLARIZADOR: Aparato que sirve
para cambiar la polarización de la para cambiar la polarización de la luz La intensidad de la luz al pasarluz La intensidad de la luz al pasar
ZY
B
luz. La intensidad de la luz al pasar luz. La intensidad de la luz al pasar por el polarizador es (ley de Malus)por el polarizador es (ley de Malus)
20 cosII
Y
Mecánica cuántica: la cuantización Mecánica cuántica: la cuantización del campo electromagnético lleva al del campo electromagnético lleva al
dd f óf ó d ld l
0 cosII
concepto de concepto de fotónfotón, o cuanto de luz, , o cuanto de luz, que conjuga la dualidad ondaque conjuga la dualidad onda--partícula en el caso de la luz.partícula en el caso de la luz. Eje del polarizador
3333
ESTADOS DE POLARIZACIÓN DEL FOTÓN
Magnitud: Polarización en la dirección OXX
YESTADOS DE POLARIZACIÓN DEL FOTÓN
XZVectores propios
|V>Yp p
|H>X |
1001
PObservable correspondiente en la base0
01
101
1001ˆ HP
0
)1(001ˆ
0010
VP3434
1)1(
110VP
MEDIDA DE LA POLARIZACIÓN EN LA BASE {|H>, |V>}
DH
Detector
Detector
Fotones polarizados horizontal o verticalmente
DV
SEPARADOR DE POLARIZACIÓN (H, V)
o verticalmente
0)(;1)(|| DVPDHPH
FUENTE
0)(;1)(|| DVPDHPH
1)(;0)(|| DVPDHPV
|V>}|,{| VH|H’>
|V’> ¿Se puede medir
|H
|}'|,'{| VH
¿Se puede medir simultáneamente la
polarización en ambas 3535
|H> bases?
DH
Detector
Detector
Consideremos º45
DV¿?SEPARADOR DE POLARIZACIÓN (H, V)
Fotón polarizado a 45 grados
FUENTE
11121)()(|
21|
21'|| DVPDHPVHH
Las polarizaciones en sendas direcciones no pueden tomar valores con certeza simultáneamentevalores con certeza simultáneamente.
ˆˆ36360],[ PP
Los observables asociados a la polarización en dos direcciones que forman entre sí 45º no conmutan entre sí.
Es imposible tener, de forma simultánea, valores p , ,definidos de la polarización en la base rectilínea y en la base diagonal.
C l i i t t d di l l i ió bCualquier intento de medir la polarización en una base, produce una perturbación en la polarización asociada a la otra basela otra base.
3737
PROTOCOLO BB84 de Criptografía Cuántica
}|,{| VH }'|,'{| VH
(1) Alicia PREPARA, de forma aleatoria, fotones en las bases
y , y los ENVÍA a Blas.y , y
|V>|H’>|V’>
0
10 |
|H> 1
(2) Para cada fotón que recibe, Blas MIDE su polarización, l i l b l b Ali i (Bl )aleatoriamente en la base o en la base . Alicia (Blas) anota
la secuencia de bits que envía (recibe) y las bases utilizadas.
1
1
3838ALICIABLAS
1
0
0
0
ALICIABLAS
0
50% de probabilidad de obtener “0”0
50% de probabilidad de obtener 0
50% de probabilidad de obtener “1”
MEDIDA
(3) Blas ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para cada(3) Blas ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para cada medir cada fotón. NO DICE EL RESULTADO OBTENIDO.
(4) Alicia ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para(4) Alicia ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para preparar cada fotón.
LOS RESULTADOS ESTARÁN PERFECTAMENTE CORRELACIONADOS
3939
CUANDO USARON LA MISMA BASE, Y PERFECTAMENTE DESCORRELACIONADOS CUANDO USARON BASES DISTINTAS.
(5) Ali i Bl d l t l bit(5) Alicia y Blas se quedan solamente con los bits correspondientes al uso de la misma base.
(6) AUTENTIFICACIÓN: Alicia y Blas anuncian públicamente
p te ( le to i ) de lo e lt do g d do SI SON TODOSparte (aleatoria) de los resultados guardados. SI SON TODOS IGUALES, entonces no ha habido intercepción por parte de un espíaespía.
(7) En tal caso ya tienen una clave secreta, a partir del resto d l l d d dde los resultados guardados.
(8) Pero si los resultados que anuncian no coinciden en su(8) Pero si los resultados que anuncian no coinciden en su totalidad, entonces ALGUIEN HA INTERCEPTADO LOS QUBITS EMITIDOS POR ALICE, ES DECIR, LOS HA MEDIDO
4040
, ,“DESTRUIDO”.
ALICIA BLAS CLAVE
1 | V > 0
Qubit eviado por Alicia
Valor delbit
Base usada por Alicia
0
Base usada por Blas
Resultado obtenido por Blas
NO
Discusiónpública
Autenti-ficación
SECRETA
12
| V >| H>
01
01
NOOK 1
34
| H’>| V >
10
10
NOOK (0,0) SI
56
| V’ >| H >
01
01
OKNO
0
78
|V >| V’>
00
00
OKOK (0,0) SI
(0,0) SI
910
||H > 1
0| V >00
NOOK
( )
0
4141
0 0| V 0 O 0
Qubit eviado por Alicia
Valor delbit
Base usada por Alicia
ALICIABase usada por Blas
Resultado obtenido
BLASDiscusiónpública
Autenti-ficación
12
| V >| H>
01
por Alicia bit por Alicia
00
por Blas obtenido por Blas
NOOK
pública ficación
(1 0) NO2
3| H>| H’>
11
01
OKNO
(1,0) NO
45
| V >| V’ >
00
01
OKOK
(0,0) SI
(0,1) NO
67
| H >|V >
10
10
NOOK (0,0) SI
89
| V’>|H >
01
00 NO
OK (0,0) SI
10 0| V > 0 OK
4242Como consecuencia de la intercepción del espía, se aborta el
proceso de distribución cuántica de clave.
Estados separables o no entrelazados
SISTEMAS COMPUESTOS EN MECÁNICA CUÁNTICA: ENTRELAZAMIENTO
Estados separables o no entrelazados“el estado de cada parte está definido”
|1>1 24232 1|0|| cc
|0>
12111 1|0|| cc
|0>1
SISTEMA 1 SISTEMA 2 2121 |||
Entrelazamiento (entanglement)
2121 |||
“el estado de cada parte NO está definido”
4343
Qubits múltiplesInformación clásica
Sistema compuesto por dos bits clásicos
0SISTEMA 2
0SISTEMA 1
Sistema compuesto por dos bits clásicos
1
0
1
0
00, 01, 10, 11El sistema formado por los dos bits clásicos puede estar en 4 posibles estadospuede estar en 4 posibles estados
000, 001, 010, 011 100 101
El sistema formado por los tres bits clásicos p ede e t en 8 po ible e t do
Para un sistema de n bits clásicos, existen 2n estados posibles.
011, 100, 101, 110, 111
puede estar en 8 posibles estados
Para un sistema de n bits clásicos, existen 2 estados posibles.
4444
Información cuántica
|1>1SISTEMA 1 SISTEMA 2 SISTEMA 1+2
}11|,10|,01|,00{|
|0>Base Computacional
|0>1
11|10|01|00|| Para un sistema de n qubits:
• El espacio de Hilbert del sistema tiene 2n dimensiones.p
• 2n es el número de estados de la base computacional.
• El estado del sistema se especifica con 2n amplitudes complejas.
• Ejemplo: Para n=500, 2n es mayor que el número estimado de átomos en el universo. Es inconcebible que un ordenador clásico pueda almacenar tal cantidad de datoscantidad de datos.
4545
LA PARADOJA E.P.R. (1935)LA PARADOJA E.P.R. (1935)Einstein, A.; Podolsky, B.; Rosen, N. (1935). «Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered C l t ? Ph i l R i 47 777 780
Si la Mecánica Cuántica es una teoría completa, entonces está en Si la Mecánica Cuántica es una teoría completa, entonces está en contradicción con el Realismo Local.contradicción con el Realismo Local.
Complete?». Physical Review 47: pp. 777-780.
PRINCIPIO DE REALIDAD: Si, sin perturbar a un sistema físico, se puede predecir con certeza el valor de una magnitud física, entonces existe un elemento de realidad g ,asociado a esta magnitud física.
PRINCIPIO DE LOCALIDAD: Si dos sistemas están causalmente desconectados, el resultado de una medida realizada sobre un sistema no puede tener influencia sobre el resultado de otra medida realizada en el otro sistema.
11 , tx 22 , tx X|||| tcx
4646
1 21 2
11 , tx 22 , txX
|||| tcx
Fuente de qubits entrelazados (conversor paramétrico a la baja)RESULTADO DE LA
RESULTADO DE LA MEDIDA
21212
1 HVVH
RESULTADO DE LA MEDIDA
Colapso del vector de estado al medir la partícula 1
21' HV
4747
1. El resultado de la medida sobre la partícula 2 se sabe con certeza antes de medir.
2. Como las dos medidas están causalmente desconectadas (principio de localidad), entonces existe un elemento de realidad asociado a la polarización de la partícula 2 en la base rectilínea (principio de realidad). Este elemento de realidad existía antes de medir la partícula 1.
3. La invariancia rotacional del estado entrelazado implica que existe un elemento de realidad asociado a la polarización de la partícula 2 en cualquier base.
4. Pero estos elementos de realidad no tienen contrapartida en la Teoría Cuántica, porque:
• La descripción a través del estado entrelazado no permite tal asignación del elemento de realidad.
• Los operadores asociados a la polarización en la base rectilínea y diagonal no conmutan• Los operadores asociados a la polarización en la base rectilínea y diagonal no conmutan, luego la Teoría cuántica no permite la asignación de valores definidos, de forma simultánea, de la polarización en cualquier dirección.
LA MECÁNICA CUÁNTICA ES INCOMPATIBLE CON EL REALISMO LOCAL
La Mecánica Cuántica es incompleta (conclusión EPR)Dos posibles conclusiones enfrentadas:
La Mecánica Cuántica es completa, pero el realismo local no se cumple. 4848
Codificación densaEs una forma de transmitir dos bits de información a través de la manipulación de sólo una de dos partículas entrelazadas, cada una de las cuales lleva individualmente un bit de p ,información.
Clásicamente, un sistema compuesto por dos subsistemas de dos niveles sólo puede almacenar 4 elementos de información clásica: 00, 01, 10 y 11.
La codificación de dos bits de información requiere la manipulación de los dos sistemas (ej. Partículas).
La Mecánica Cuántica permite codificar dos bits de información manipulando sólo una
1
partícula, lo que se consigue gracias a la superposición de combinaciones clásicas de estados de dos o más partículas (estados entrelazados). Se usan los estados de la base de Bell:
01101
01102
1
00111
01102
00112
1
00112
2
4949
TeletransporteAlice tiene una partícula en un estado, y quiere transferir este estado
Alice
111 1|0||
Alice tiene una partícula en un estado, y quiere transferir este estado cuántico a Bob, pero no le puede enviar la partícula.
11 Para hacerlo, Alice y Bob usan un sistema auxiliar formado por un par de partículas entrelazadas. Alice dispone de un aparato para medir los estados de la base de Bell.
La partícula 2 se envía a Alice y la partícula 3 a Bob
BSM
La partícula 2 se envía a Alice, y la partícula 3 a Bob.
Alice mide el estado de Bell de las partículas 1 y 2, e INFORMA Bob a través de un canal clásico (le manda dos bits de información clásica), con objeto de que Bob haga una transformación unitaria sobre su partícula que le permita
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Bob haga una transformación unitaria sobre su partícula que le permita reproducir el estado inicial de la partícula 1.
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Bob 5050
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T1: Experimentos recientes de criptografía cuántica con T1: Experimentos recientes de criptografía cuántica con fotones.fotones.fotones.fotones.
T2: Ataques a sistemas criptográficos cuánticos.T2: Ataques a sistemas criptográficos cuánticos. T3: Experimentos recientes de comunicación cuántica con T3: Experimentos recientes de comunicación cuántica con
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