Introduccion al Calculo Diferencial e IntegralEjercicios: Derivadas y Aplicaciones

1. Si la grafica de f se ve ası, dibuja la grafica de f ′

2. Si la grafica de f ′ se ve como la de arriba, dibuja la grafica de f .¿Que libertad tienes al dibujar la grafica de f?

3. Repite los dos ejercicios anteriores para

4. Deriva f(x) = x3−6x2−5x+3 cuatro veces. Usa las cuatro derivadas que obtuviste para graficarla funcion original.

5. ¿Para que valores de a la funcion y = eax satisface la ecuacion

y′′ + 5y′ − 6y = 0?

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Razon de cambio

6. Si y = x3 + 2x ydx

dt= 5, halla

dy

dtcuando x = 2.

7. Sea V el volumen de una esfera de radio r. La esfera se esta inflando, ası que el radio y el volumen

cambian a traves del tiempo t. CalculadV

dten terminos de

dr

dt.

8. Se bombea aire a un globo esferico a razon de 100 cm3/s. ¿Con que rapidez aumenta el radio delglobo cual el diametro es de 50 cm?

Maximos y Mınimos locales

9. Grafica las siguientes ecuaciones y encuentra sus maximos y mınimos locales. Puedes apoyartede una graficadora o de la pagina www.wolframalpha.com.

a) 3x2 − 12x+ 5

b) 3x4 − 16x3 + 18x2

c)x

x2 + 1

d) x− 2 sen(x) para 0 ≤ x ≤ 2π

Para cada una, ¿cuales maximos y mınimos son globales?

10. Entre 0 ◦C y 30 ◦C, el volumen V (en cm3) de 1 kg de agua a una temperatura T se expresaaproximadamente mediante la formula

V = 999.87− 0.06426T + 0.0085043T 2 − 0.0000679T 3.

Encuentra la temperatura a la cual el agua tiene su densidad maxima.

11. El senor Perez tiene 80 metros de malla para cercar una region rectangular dentro de su terreno.¿Cual es el area maxima que puede tener la region dentro de la malla?

Aproximaciones lineales

Acuerdate que la aproximacion lineal de una funcion f(x) alrededor de un punto x esta dadapor

f(x+ h) ≈ f(x) + hf ′(x)

12. a) Determina la aproximacion lineal de la funcion f(x) =√x+ 3 alrededor de x = 1.

b) ¿Para que valores de x el error de la aproximacion lineal es menor a 0.5?

13. a) Determina la aproximacion lineal de f(x) = sen(x) alrededor de x = 0.

b) Usa esto para dar una justificacion del lımite:

lımx→0

sen(x)

x= 1.

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