Introducci on a FreeFem++ · Los archivos de ordenes se guardan con la terminaci on .edp, el nombre...

Introduccion a FreeFem++

Eliseo Chacon VeraDepartamento de Matematicas.

Facultad de Matematicas.Universidad de [email protected]

6 de septiembre de 2018

INDICE INDICE

Indice

1. Introduccion 2

2. Ejemplos basicos 62.1. Aritmetica basica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Uso de los ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Manejo de arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Curvas parametricas en 2d 7

4. Triangulaciones 2D 9

5. Funciones de base 15

6. Formulacion variacional 176.1. Opciones para plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7. Problemas de evolucion en tiempo 21

8. Caso 3d 278.1. Etiquetado de los contornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9. Ecuaciones de Navier-Stokes 369.1. Caso 2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.2. Caso 3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1 Introduccion a FreeFem++

1 INTRODUCCION

1. Introduccion

Los archivos de ordenes se guardan con la terminacion .edp, el nombreno es importante pero sı lo es la terminacion. Se debe de usar un editor detexto plano como notepad u otros, es decir, que no contenga macros; porejemplo Microsoft Word no sirve.

Normalmente, en un entorno Linux y en una terminal de texto, se ejecutanmediante la orden

FreeFem++ nombre.edp

aunque esto depende del entorno de trabajo y varıa en un entorno Windowsdonde se puede lanzar el trabajo con el raton de forma usual.

Sus caracterısticas se resumen en

Este lenguaje esta desarrollado en C++ por lo que los aspectos basicosse refieren a C++.

trabaja las EDPs en forma variacional

elementos finitos 2d/3d de varios tipos

triangulaciones 2d/3d

resolutores lineales para matrices llenas y huecas

software libre

etc...

Puede tratar problemas complejos

Bueno para investigacion y docencia


1 INTRODUCCION

Figura 1: Primera pagina del manual de FreeFem++


1 INTRODUCCION

Figura 2: Sitio web: www.freefem.org/ff++/index.htm


1 INTRODUCCION

Un poco de historia:

1985: MacFEM-PCFEM

1995: freefem+ ( F. Hecht y otros)

2000: freefem++ ( F. Hecht )

2000: freefem3D ( Del Pino y otros)

2009: freefem++3D ( F. Hecht)

http://www.freefem.org/ff++/index.htm

Ideas principales:

Sigue la matematica =⇒ formulacion variacional

uso de Elementos Finitos

Algoritmos responsabilidad del usuario

Bloques: Problemas elıpticos

Generadores de triangulaciones con adaptacion de malla

Si es elementos finitos se puede hacer con Freefem++


2 EJEMPLOS BASICOS

2. Ejemplos basicos

2.1. Aritmetica basica

Lanzar el archivo aritmetica.edp para ver distintos tipos de datos:

real x=3.14,y;

int i,j;

cout<< " x = "<< x << "\n";

x=1;y=2;x=y;i=0;j=1;

cout<< 1+3 << " " << 1./3 <<endl;

cout<< 10^10. << "\n";

cout<< 10^-10. << endl;

cout<< -10^-2.+5 << " = 4.99 \n";

cout<< 10^-2.+5 << " =5.01"<<endl;

cout<< " 8^(1/3) = "<< (8)^(1./3.) <<"\n";

cout<<"\n\n";

cout<< "--> Numeros complejos: ahora i= sqrt(-1) "<<endl;

cout<< 10-10i <<"\n";

complex c;

c=(-1+0i)^(1./3.);

cout<< " -1^(1/3) = "<< c <<"\n";

cout<<"\n\n\n";

2.2. Uso de los ciclos

Lanzar el archivo ciclos.edp para ver como funcionan:

// ejemplo con for

//

for (int i=0;i<10;i=i+1)

cout <<i <<endl;

//

// ejemplo con while

//

int j=0;

real eps=1;

while (eps+1!=eps)


2.3 Manejo de arrays 3 CURVAS PARAMETRICAS EN 2D

cout <<j <<" eps= "<<eps<<endl;

eps=eps/2;

j++;

if(abs(eps)<1e-16) break;

bool see=(eps+1==1);

string c1="Comprobamos cuando eps+1=1. ";

string c2="0-->False 1-->True. ";

string c3=" Resultado es ";

cout<<c1+c2+c3<<see<<endl;

cout<<"\n\n"<<endl;

if(see) break;

cout <<j <<" eps-->eps/2= "<<eps<<" eps+1= "<<eps+1<<endl;

2.3. Manejo de arrays

Lanzar el archivo arrays.edp para ver operaciones basicas con arrays:

int n=20;

real[int] a(20);

for (int i=0;i<n;i=i+1)

a[i]=cos(n*pi/(i+1));

cout << "a=" << a << endl;

cout << "Sum of a[i]=" << a.sum << endl;

cout << " size of a = " << a.n << endl;

cout << " minimum of a = " << a.min << endl;

cout << " ||a||_1 = "<<a.l1<<endl;

cout << " ||a||_2 = "<<a.l2<<endl;

cout << " ||a||_infty = " <<a.linfty<<endl;

3. Curvas parametricas en 2d

La generacion de curvas parametricas en 2d es la clave para poder des-cribir geometrias en el plano donde se resuelven las ecuaciones en derivadasparciales. Tambien es clave para la construccion de geometrias 3d, como ve-remos en su momento.


3 CURVAS PARAMETRICAS EN 2D

Some parametric curves

Figura 3: Algunas curvas parametricas. Los ejes tambien se describen deforma parametrica

Lanzar el archivo curvas.edp para observar la geberacion de alguna deellas, incluidas los ejes cartesianos:

real b=1,a=1;

func real phix(real t)

return (a+b)*cos(t)-b*cos(t*(a+b)/b);

func real phiy(real t)

return (a+b)*sin(t)-b*sin(t*(a+b)/b);

border C(t=0,2*pi) x=phix(t); y=phiy(t);

border OX(t=-0.5,5)x=t;y=0;

border OY(t=-0.5,5)x=0;y=t;

border G(t=-2,2)x=t;y=t^2;

string text="Some parametric curves";

plot(cmm=text,OX(1),OY(1),C(30),G(10),

wait=1,ps="curves.eps");


4 TRIANGULACIONES 2D

4. Triangulaciones 2D

Archivo rectangle.edp:

border a(t=0,2)x=t;y=0;label=1;

border b(t=0,1)x=2;y=t;label=1;

border c(t=0,2)x=2-t;y=1;label=2;

border d(t=0,1)x=0;y=1-t;label=1;

int n=5;

mesh th=buildmesh(a(2*n)+b(n)+c(2*n)+d(n));

plot(th,wait=1,ps="rectangulo.eps");

Orientacion es la clave: El interior es la izquierda de la curva

Ordenes para generar y describir una geometrıa 2d :

border define y describe parametricamente cada trozo de contorno

label asigna una etiqueta a cada trozo de contorno

buildmesh genera la triangulacion a partir de contornos

mesh tipo de variable construida con buildmesh

Aquı se puede ver como la orientacion es fundamental. El interior del domi-nio siempre queda a la izquierda del sentido de recorrido del parametro en lafrontera.

Archivo elispsehuecos.edp

real pi=4*atan(1.0);

border a(t=0,2*pi)x=2*cos(t);y=sin(t);



Figura 4: La orientacion de la curva es la clave

border b(t=0,2*pi)x=.3+.3*cos(t);y=.3*sin(t);

border c(t=0,2*pi)x=-.5+.3*cos(t);y=0.3+.3*sin(t);

mesh nohole=buildmesh(a(50)+b(30)+c(20));

mesh hole=buildmesh(a(50)+b(-30)+c(-20));

plot(nohole,wait=1,ps="nohole.eps");

plot(hole,wait=1,ps="hole.eps");

La curva cardioide de la portada se describe mediante las siguientes ecuacio-nes:

x(t) = (a+ b) cos(t)− b cos(a+ b

bt),

y(t) = (a+ b) sin(t)− b sin(a+ b

bt)

Archivo cardioid.edp:

//Cardioid

real b=1.,a=1;








Figura 5: Cardioide

mesh Th = buildmesh(C(50));

plot(Th,wait=1);

Ejemplo 1 Archivo Lshape.edp


border b(t=0,0.5)x=1;y=t;label=2;

border c(t=0,0.5)x=1-t;y=0.5;label=3;

border d(t=0.5,1)x=0.5;y=t;label=4;

border e(t=0.5,1)x=1-t;y=1;

border f(t=0,1)x=0;y=1-t;

int n=5;

mesh rh=buildmesh(a(n)+b(n)+c(n)+d(n)+e(n)+f(n));

savemesh(rh,"Lshape.msh");

mesh th=readmesh("Lshape.msh");

plot(th,wait=1,ps="Lshape.eps");

Ejemplo 2 Se pueden guardar y leer los datos de una triangulacion usandosavemesh y readmesh:



//

// codigo triangle2d.edp

//


border b(t=0,1)x=1-t;y=t;label=2;

border c(t=0,1)x=0;y=1-t;label=3;

int nn=2;

mesh th=buildmesh(a(nn)+b(nn)+c(nn));

savemesh(th,"triangle2d.msh");

th=readmesh("triangle2d.msh");

plot(th,wait=1,ps="triangle2d.eps");

En la siguiente pagina se ven los datos del archivo junto con la geometrıaque se describe



Archivo triangle2d.mesh

10 9 9

0 0 3

0.323801507627 0 1

0.647603015254 0 1

1 0 2

0 0.323801507627 3

0.30928980099 0.324146353802 0

0.675445396471 0.324554603529 2

0 0.647603015254 3

0.324554603529 0.675445396471 2

0 1 3

10 8 9 0

8 5 6 0

6 9 8 0

1 6 5 0

7 9 6 0

1 2 6 0

6 2 3 0

4 7 3 0

6 3 7 0

10 8 3

8 5 3

5 1 3

4 7 2

7 9 2

9 10 2

1 2 1

2 3 1

3 4 1

nv nt neb nv= # vertices, nt= # triangles, nt= # edges on boundaryx y label...

......

n1 n2 n3 r n1, n2,n3 = numbering of vertices each triangle, r= # region...

......

ne1 ne2 label ne1, ne2 = # numbering of vertices each bundary edge...

......



Ejemplo 3 En este ejemplo se describen dos geometrıas anexas que se pue-den usar para resolver problemas sobre materiales con caracterısticas fısicasdistintas.

//

// codigo tworectangletests.edp

//

int n = 10,m=1,lower = 1,upper = 2, inner = 3;

real cOX=-0.5,cOY=-1.25;

border OX(t=-.1,1)x = cOX+t; y =cOY;

border OY(t=-.1,1)x = cOX; y =cOY+t;

border C01(t=0,1)x = 0; y = -t;label = lower;

border C02(t=0,1)x = 1.5*t; y=-1;label = lower;

...

border C13(t=0,1)x = 1;y = -0.5+0.5*t; label = inner;

plot(C01(n),OX(m),OY(m),wait=true);

plot(C01(n),C02(n),OX(m),OY(m),wait=true);

...

mesh Th = buildmesh(C01(n)+C02(n)+C03(n)+

C04(n)+C05(n)+C06(n)+ C11(-n)+C12(-n)+C13(-n));

plot(Th, OX(m),OY(m),cmm="Triangulation + Axis ");

Triangulation + Axis


5 FUNCIONES DE BASE

5. Funciones de base

Una vez que se tiene una triangulacion Th (el nombre Th es irrelevante),se puede construir (colgando de ella) sobre este objeto Th otro que es elespacio de elementos finitos. Basicamente, es una estructura de datos querespeta las reglas basicas que se deben de cumplir sobre los nodos para poderser considerado como espacio de elementos finitos.

Dado un objeto (espacio de elementos finitos) Vh (el nombre Vh tambienes irrelevante), definido mediante fespace Vh(Th,P1); y dado una funcion(objeto) de esta clase, u entonce sobre u se tienen varias opciones:

asignar valor directamente a u, por ejemplo u = x+y∗sin(x∗y) o bienu=1*(x^2+y^2<1) usando que una asignacion logica numericamentevale 1 si es cierta y 0 si es falsa

• (bool = true) ≡ 1,

• (bool = false) ≡ 0

usar u[] para acceder a u como un array y a cada uno de sus grados delibertad usando u[][i].

podemos saber su longitud usando u.n

etc...ver manual

El archivo VerPoligonal.edp permite ver una funcion poligonal a trozosdefinida sobre cada nodo de una triangulacion

mesh Th=square(2,2);

fespace Vh(Th,P1);

Vh u;

int i,n=u.n;

cout<<u.n<<endl;// Numero de nodos

u[][0]=2;

u[][1]=0;

u[][2]=3;

u[][3]=2;

u[][4]=10;

u[][5]=7;

u[][6]=6;


5 FUNCIONES DE BASE

Figura 6: Funcion poligonal

u[][7]=4;

u[][8]=2;

plot(Th,u,wait=1,value=1,nbiso=50,dim=3);

El archivo Verbase.edp permite ver las funciones de base ası como susoporte en dos geometrias distintas. Observar como al redefinir el objetoTh cambian los objeto que cuelgan de Th, a saber, cambian Vh y u sinnecesidad de indicarlo:


fespace Vh(Th,P1);

Vh u;

int i,n=u.n;

u=0;

for (i=0;i<n;i++) // all degree of freedom

u[][i]=1; // funcion de base i-esima


u[][i]=0; // reset

// Nueva triangulacion

real b=1,a=1;





6 FORMULACION VARIACIONAL



Th = buildmesh(C(50));

fespace Vh(Th,P1);

u=0;

for (i=0;i<u.n;i++) // all degree of freedom

u[][i]=1; // funcion de base i-esima


u[][i]=0; // reset

Funciones de base en dos geometrıas y triangulaciones distintas

6. Formulacion variacional

Para resolver este problema

−∆u(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ Ω

u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω

usamos la formulacion variacional y buscamos u ∈ Vh tal que∫Ω

∇u · ∇v =

∫Ω

f v, ∀v ∈ Vh

donde tomamos Ω = ∪T una union de triangulos y, si uT es la restriccion deu a T, entonces

Vh = u ∈ C0(Ω); uT ∈ P1; .



Estamos tomando funciones continuas que sobre cada triangulo T son poli-nomios de grado 1 en las variables (x, y), esto es, funciones continuas y P1

a trozos. Si tomamos la parte bilineal a(u, v) y el termino lineal l(v) dadoscomo

a(u, v) =

∫Ω

∇u · ∇v,

l(v) =

∫Ω

fv

entonces el problema debemos de escribirlo en la forma:

problem nombre(u,v) = a(u,v) - l(v)

+ (boundary condition);

Por ejemplo, el problema variacional anterior se escribe en la forma:

problem laplace(u,v) =

int2d(Th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)) //bilinear part

-int2d(Th)(f*v) // right hand side

+on(a,u=0); // Dirichlet BC

Ejemplo 4 Problema de Laplace en una elipse con Poisson-ellipse.edp

border a(t=0,2*pi)x=2*cos(t);y=sin(t);

mesh Th= buildmesh (a(150));

plot(Th);

fespace Vh(Th,P1);

Vh u, v;

func f=sin(x*y);

problem laplace(u,v) =

int2d(Th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)) //bilinear part

-int2d(Th)(f*v) // right hand side

+on(a,u=0); // Dirichlet BC

laplace; //solve the pde

plot(u); //visualizacion

int2d(th)(...) y similares, se usan



Figura 7: Malla y solucion, vista 2d y 3d para el problema sobre la elipse

con producto de incognitas y funciones tests

solo con funciones test y datos

NO CON AMBAS A LA VEZ

NO es correcto

int2d(th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)-f*v)

+on(1,u=0)

SI es correcto

int2d(th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)) // bilinear part

+int2d(th)(-f*v) // right hand side

+on(1,u=0)

Ejemplo 5 Para ν > 0 constante podemos resolver el problema de transportedifusion

−ν∆u(x, y) +~b · ~∇u = f(x, y), (x, y) ∈ Ω

u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω

de la misma forma usando la formulacion variacional. Entonces buscamosu ∈ Vh tal que

ν

∫Ω

∇u · ∇v +

∫Ω

(~b · ~∇u)v =

∫Ω

f v, ∀v ∈ Vh

Se puede experimentar la importancia del numero de Peclet Pe =|b|ν

con

respecto a la talla de la particion y la aparicion o no de inestabilidades en elcalculo. Lanzar el siguiente codigo ConveccionDifusionElipse.edp


6.1 Opciones para plot 6 FORMULACION VARIACIONAL

border elipse(t=0,2*pi)x=2*cos(t);y=sin(t);label=1;

mesh Th=buildmesh(elipse(100));

plot(Th,wait=1);

fespace Vh(Th,P1);

Vh u,v;

real b1=1.0,b2=1.0,nu=0.1;

problem nombre(u,v)=int2d(Th2)(

nu*(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v))

)

+int2d(Th2)(

(b1*dx(u)+b2*dy(u))*v

)

-int2d(Th2)(1*v)+on(1,u=0);

for (int i=0;i<100;i++)

b1=sin(i*pi/2);

b2=cos(i*pi/2);

nombre;

plot(u,dim=3,fill=1,cmm="nu = "+nu);

6.1. Opciones para plot

Existen varias opciones una vez que se tiene una grafica en pantalla. Conla tecla ? se obtiene un menu de informacion con las distintas opciones cuandose tiene la malla

f o click del raton avanza el proceso

V muestra todos los vertices

+,- hace un zoom + ‘o -

= restaura el zoom

g muestra la geometrıa

m muestra la triangulacion

3 da una visualizacion 3D


7 PROBLEMAS DE EVOLUCION EN TIEMPO

b muestra los numeros de referencia de los lados de los triangulos

Cuando se tiene el dibujo

ac y AC aumenta o disminuye el coeficiente de las flechas

b y g cambia el color de la grafica

f rellena color entre lıneas de mismo valor

v muestra los valores numericos en las lıneas de mismo valor

7. Problemas de evolucion en tiempo

Podemos resolver la ecuacion del calor

∂tu(t, x, y)− ν∆u(t, x, y) = f(t, x, y), (t, x, y) ∈ (0, T )× Ω,

u(t, x, y) = 0, (t, x, y) ∈ (0, T )× ∂Ω,

u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ Ω,

siendo ∂Ω la frontera de Ω. Usamos elementos finitos en espacio y diferenciasfinitas en tiempo. La idea es resolver cada nivel de tiempo apoyandose enel anterior de forma explıcita con Euler explıcito o de forma implıcita conEuler implıcito. Siempre es aconsejable hacerlo con Euler implıcito debido alas mejores propiedades de estabilidad del esquema.

La evolucion temporal se simula con un ciclo for o while.

Euler explıcito: Ponemos u0 = u0 y para n ≥ 1 resolvemos

un+1 − un

∆t− ν∆un = fn, Ω

un = 0, ∂Ω

u0 = u0, Ω.

La formulacion variacional queda como:Dado un, calcular un+1 ∈ Vh tal que

1

∆t

∫Ω

un+1v = ν

∫Ω

∇un · ∇v +

∫Ω

fn v +1

∆t

∫Ω

unv ∀v ∈ Vh

y aquı todo el calculo es explıcito pero menos estable, es decir, los pasosde tiempo deben ser mas pequenos.



Euler implıcito: Ponemos u0 = u0 y para n ≥ 1 resolvemos

un+1 − un

∆t− ν∆un+1 = fn+1, Ω,

un = 0, ∂Ω

u0 = u, Ω.

con formulacion variacional:

Calcular un+1 ∈ Vh tal que

1

∆t

∫Ω

un+1v − ν∫

Ω

∇un+1 · ∇v =

∫Ω

fn+1 v +1

∆t

∫Ω

unv ∀v ∈ Vh

que es mas recomendable por ser mas estable, es decir, permite pasosde tiempo mas grandes.

Similarmente se puede usar Crank-Nicolson

Permitiendo transporte, ademas de difusion, podemos resolver el problema

∂tu− ν∆u+~b · ~∇u = f, (0, T )× Ω

u = 0, (0, T )× ∂Ω

u(0, x, y) = u0, Ω

donde b = (b1, b2) es la direccion del transporte. La forma mas convenientede resolver este problema es usando Euler implıcito:

Ponemos u0 = u0 y para n ≥ 1 resolvemos

un+1 − un

∆t− ν∆un+1 +~b · ~∇un+1 = fn+1, Ω

un = 0, ∂Ω

u0 = u0, Ω.

con formulacion variacional:Dado un calcular un+1 ∈ Vh tal que para todo v ∈ Vh

1

∆t

∫Ω

un+1v − ν∫

Ω

∇un+1 · ∇v +

∫Ω

~b · ~∇un+1 v =

∫Ω

fn+1 v +1

∆t

∫Ω

unv



Figura 8: Vista 3D del valor final para difusion 2d. Observar que los valoresson pequenos, la solucion se desvanece.

Ejemplo 6 Aplicamos la ecuacion de difusion a una fuente de calor en undisco centrado en el rectangulo (0, 1)2 del plano.

Dato inicial para difusion 2d

Valor final para difusion 2d

Archivo Ecuacion_Calor2D_Euler_Implicito.edp



//

// Resolvemos

// u_t-nu*Lap(u)=0 en el dominio

// u(0,x,y)=0 en la frontera

// u(t=0,x,y)=1 si ((x-0.5)^2+(y-0.5)^2<0.05) como dato inicial


//


fespace Vh(Th,P1); // P1 FE space

Vh uh0,uh1,vh; // unkown and test function.

real dt=0.1;

real alpha=1.0/dt;

real nu=1;

real t=0;// tiempo inicial

// dato inicial

uh0=1*((x-0.5)^2+(y-0.5)^2<0.05);

plot(Th,uh0,dim=3,fill=1,value=1,cmm="Valor inicial",wait=1);

//

// Esquema es (1/Dt)u^n+1-nu*Lap(u^n+1)=(1/Dt)u^n

//

// o bien, en formulacion variacional

//

// (1/Dt)(u^n+1,v)+nu*(Grad(u^n+1),Grad(v))

// -(1/Dt)(u^n,v)=0

//

problem EulerIm(uh1,vh) = // definion of the problem

int2d(Th)(alpha*uh1*vh) //(1/Dt)(u^n+1,v)

//+nu*(Grad(u^n),Grad(v))

+int2d(Th)( nu*(dx(uh1)*dx(vh) + dy(uh1)*dy(vh)) )

-int2d(Th)(alpha*uh0*vh)//-(1/Dt)(u^n+1,v)

+ on(1,2,3,4,uh1=0); // boundary condition form

for(int j=1;j<11;j++)

EulerIm; // solve the problem

t=t+dt;

// to see the result



Figura 9: Valor final para difusion y transporte 2d

Figura 10: Vista 3D del valor final para difusion y transporte 2d

plot(Th,uh1,fill=1,value=1,dim=3,

cmm="Euler implicito para la ecuacion del calor.

Difusion "+nu+" tiempo total "+t,wait=1);

uh0=uh1;// actualizar

La modificacion a realizar si queremos tener transporte es muy facil:Archivo Difusion_Transporte_Euler_Implicito.edp

//

// Resolvemos

// u_t-nu*Lap(u)+b*Grad(u)=0 en el dominio

// u(0,x,y)=0 en la frontera





//


fespace Vh(Th,P1); // P1 FE space

Vh uh0,uh1,vh; // unkown and test function.

real dt=0.1;

real alpha=1.0/dt;

real nu=0.05;

real t=0;// tiempo inicial

// dato inicial

uh0=1*((x-0.5)^2+(y-0.5)^2<0.05);

plot(Th,uh0,fill=1,value=1,cmm="valor inicial",wait=1);

//

// Esquema es (1/Dt)u^n+1-nu*Lap(u^n+1)

// +b*Grad(u^n+1)*v-(1/Dt)u^n=0

//

// o bien, en formulacion variacional

//

// (1/Dt)(u^n+1,v)+nu*(Grad(u^n+1),Grad(v))

// +b*Grad(u^n+1)*v-(1/Dt)(u^n,v)=0

//

real b1=1.0,b2=1.0;

problem EulerIm(uh1,vh) = // definion of the problem

int2d(Th)(alpha*uh1*vh) //(1/Dt)(u^n+1,v)

//+nu*(Grad(u^n),Grad(v))

+int2d(Th)( nu*(dx(uh1)*dx(vh) + dy(uh1)*dy(vh)) )

+int2d(Th)( (b1*dx(uh1) + b2*dy(uh1))*vh)

-int2d(Th)(alpha*uh0*vh)//-(1/Dt)(u^n+1,v)

+ on(1,2,3,4,uh1=0); // boundary condition form

for(int j=1;j<=10;j++)

EulerIm; // solve the problem

t=t+dt;

// to see the result

plot(Th,uh1,dim=2,fill=1,value=1,

cmm="Difusion y transporte. tiempo total "+t,wait=1);

uh0=uh1;// actualizar


8 CASO 3D

Figura 11: Construccion de geometrıa 3d con capas

8. Caso 3d

La construccion clave es la de las capas de tetraedros desde una trian-gulacion 2D y el visualizador mas conveniente es medit: La geometrıa massencilla se puede describir como

Ω3D = Ω2D × [zmin, zmax]

con funciones zmin < zmax : Ω2D 7→ R, ver Figura 11. La funcion basica esbuildlayers.

Ejemplo 7 Lanzar el codigo triangulo3d.edp:

load "msh3";

load "medit";

border a(t=0,1)x=t;y=0;;

border b(t=0,1)x=1-t;y=t;;

border c(t=0,1)x=0;y=1-t;;

int nn=1;

mesh Th2=buildmesh(a(nn)+b(nn)+c(nn));

int ncapas=1;

real zmin=0,zmax=2;

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nlayers,zbound=[zmin,zmax]);

medit(" Triangle1capa ", Th);

savemesh(Th,"Th3d.mesh");


8 CASO 3D

Figura 12: Sobre un triangulo se construyen tres tetraedros basicos, y seforma una capa. Generado con triangulo3d.edp

El archivo Th3d.mesh tiene toda la informacion relativa a la particion. Losdatos que aparecen son

MeshVersionFormatted 1

Dimension 3

Vertices

6

0 1 0 3

0 1 1 3

0 0 0 3

0 0 1 3

1 0 0 2

1 0 1 2

Tetrahedra

3

1 6 3 5 0

1 4 3 6 0

1 6 2 4 0

Triangles

8

2 4 6 0

5 3 1 1

1 3 4 2

4 2 1 2

5 1 6 3


8 CASO 3D

Figura 13: Otra vista de los 3 tetraedros generados con triangulo3d.edpy se ven aquı los numeros que identifican las caras. Tambien se muestra elresultado de dos capas, ncapas=2

2 6 1 3

3 5 6 4

6 4 3 4

End

Ejemplo 8 Podemos generar un rectangulo 2d y sobre el construir un cuboa base de tetraedros. Lanzar el codigo cubo.edp

load "msh3"

load "medit"

int nn=1;

mesh Th2=square(nn,nn);

int nlayers=1;

real zmin=0,zmax=2;

mesh3 Th=buildlayers(Th2,ncapas,zbound=[zmin,zmax]);

medit(" Sol ", Th);

Las cotas mınimas y maximas en la generacion de capas zmin y zmax puedenser funciones.

Ejemplo 9 Lanzar el archivo buildlayermesh.edp:

//

// codigo buildlayermesh.edp


8 CASO 3D

Figura 14: Triangulacion basica de un cubo y varias capa. Realizado concubo.edp .

Figura 15: Triangulacion 3D generada con buildlayermesh.edp

//

load "msh3"

load "medit"

border C0(t=0,2*pi) x=7*cos(t); y=10*sin(t);;

border C1(t=0,2*pi) x=3+2*cos(t); y=0.5*sin(t);;

mesh Th=buildmesh(C0(100)+C1(-20));

func zmin=-1+sin(x*y)/3;

func zmax=2;

int MaxLayer=10;

mesh3 Th3=buildlayers(Th, MaxLayer,zbound=[zmin,zmax]);

savemesh(Th3,"region1hole.mesh");

medit("regionwithhole",Th3);


8.1 Etiquetado de los contornos 8 CASO 3D

Ejemplo 10 Se ve una geometrıa un poco mas elaborada en figura3d.edp

//

// codigo figura3d.edp

//

load "msh3"

load "medit"

real L=15;

real H=6;

border aa(t=0,L)x=t; y=0 ;label=1;

border bb(t=0,H)x=L; y= t ;label=2;

border cc(t=0,L)x=L-t; y=H ;label=3;

border dd(t=0,H)x= 0 ; y = H-t;label=4;

border C1(t=0,2*pi) x=3+0.5*cos(t); y=3+0.5*sin(t);label=5;

int n=6;

mesh Th2d=buildmesh(aa(9*n)+bb(4*n)+cc(9*n)+dd(4*n)+C1(-4*n));

plot(Th2d,wait=1,ps="superficie.eps");

func zmin=-1.5*(x<3)+(+1.5-x)*(x>3)*(x<7)-5.5*(x>7);

func zmax=1;

int[int] rup=[0,200], rdown=[0,100],rmid(10);

rmid=[1,11,2,22,3,33,4,44,5,55];

int MaxLayer=10;

mesh3 Th3=buildlayers(Th2d, MaxLayer,zbound=[zmin,zmax],

reffacemid=rmid,

reffaceup = rup,

reffacelow = rdown);

savemesh(Th3,"region1hole.mesh");

medit("regionconbujero",Th3);

8.1. Etiquetado de los contornos

Se usan variables enteras para modificar las etiquetas del contorno de lageometria 3D. Por defecto la superficie del fondo se etiqueta con 0 y laslaterales se heredan de las etiquetas 2d.

Se pueden cambiar las etiquetas de las superficies

labelup=[0,2] asigna 2 superficie superior.

labeldown=[0,1] asigna 1 superficie inferior.



Figura 16: Triangulacion con figura3d.edp

labelmid=[1,1,2,1,3,1,4,1,5,1] asigna 1 a todas las caras sobrelados 1, 2, 3,4,5.

La superficie 2D a partir de la que se generan las capas se etiqueta como0 y en el contorno de la geometrıa 3D la tapa superior se identifica con200 (arbitrario el 200) usando rup=[0,200],

luego la parte inferior se identifica con 100 usando rdown=[0,100] y

finalmente, cada etiqueta de cada borde de la superficie 2D se puedemodificar de acuerdo a rmid=[1,11,2,22,3,33,4,44,5,55]. Aquı, porejemplo, se usa el 11 para la cara que se asienta sobre el borde 1, el 22para la que se asienta sobre el 2, etc...

Las ordenes correspondientes son

int[int] rup=[0,200], rdown=[0,100],rmid(10);

rmid=[1,11,2,22,3,33,4,44,5,55];

Ejemplo 11 Se puede conseguir el efecto de una profundidad variable y deuna orilla:



Figura 17: Vistas diferentes con grosores distintos

load "msh3"

load "medit"

real eps=0.01;// grosor de la orilla

int nn=10;

border cc(t=0,2*pi)x=cos(t);y=sin(t);;

mesh Th2= buildmesh(cc(100));

func zmin= 2-sqrt(4-(x*x+y*y));// bottom

func zmax= eps+ 2-sqrt(3.);//surface

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nn,

coef= max((zmax-zmin)/zmax,1./(nn*2)),

zbound=[zmin,zmax]);

medit("costa",Th);

Ejemplo 12 La resolucion de un problema de Laplace en dimension 3 espoco diferente del caso 2d. Lo unico es identificar las caras de la geometrıa3d donde plantear las condiciones de contorno:

//



Figura 18: −∆u = 1 con u = 0 en paredes verticales y ∂nu = 0 en base ytope.

// codigo Laplaciano3d.edp

//

load "msh3"

load "medit"

int nn=8;

mesh Th2=square(nn,nn);// 2D mesh

real zmin=0,zmax=2;

int[int] rup=[0,200],rdown=[0,100];

int[int] rmid=[1,1,2,1,3,1,4,1];

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nn, zbound=[zmin,zmax],

labelup=rup, labeldown=rdown, labelmid=rmid);

func f=1. ;

fespace Vh(Th,P13d);

Vh u,v;

macro Grad3(u) [dx(u),dy(u),dz(u)] // EOM

problem Lap3d(u,v,solver=CG) =

int3d(Th)(Grad3(v)’ *Grad3(u))

- int3d(Th)(f*v)+ on(1,u=0);

Lap3d;

medit(" Laplacian3D ", Th, u );

Ejemplo 13 Se plantea el mismo problema en una geometrıa distinta:

//

// codigo discoLaplace3d.edp



//

load "msh3"

load "medit"

real eps=.015;// shore thickness

int nn=20;

border cc(t=0,2*pi)x=cos(t);y=sin(t);label=1;;

mesh Th2= buildmesh(cc(100));

func zmin= 2-sqrt(4-(x*x+y*y));// bottom

func zmax= eps+ 2-sqrt(3.);//surface


int[int] rmid=[1,1];

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nn,

coef= max((zmax-zmin)/zmax,1./(nn*2)),

zbound=[zmin,zmax],

labelup=rup,

labeldown=rdown,

labelmid=rmid);

func f=1. ;

fespace Vh(Th,P13d);

Vh u,v;

//

macro Grad3(u) [dx(u),dy(u),dz(u)] // EOM

//

problem Lap3d(u,v,solver=CG) =

int3d(Th)(Grad3(u)’ *Grad3(v))

- int3d(Th)(f*v)

+ on(1,100, u=0);

Lap3d;

medit("myshore",Th,u);


9 ECUACIONES DE NAVIER-STOKES

9. Ecuaciones de Navier-Stokes

9.1. Caso 2d

Las ecuaciones de Stokes en un dominio Ω ⊂ R2 consisten en:Buscamos ~u ∈ H1(Ω)2 y p ∈ L2(Ω) tal que

−∆~u+∇p = f en Ωdiv(~u) = 0 en Ω+C.C.

o bien,(∇~u,∇~v)Ω − (p, div(u))Ω = (f, v) en Ω

−(q, div(~u))Ω = 0 en Ω+C.C.

En el test de la cavidad se toma [0, 1] × [0, 1] con el par P2-P1 y el codigocon el que se calcula la aproximacion es el siguiente:

//

//Stokes2dCavity.edp

//


fespace Xh(Th,P2);

fespace Mh(Th,P1);

Xh u1,v1,u2,v2;

Mh p,q;

solve Stokes (u1,u2,p,v1,v2,q) =

int2d(Th)( dx(u1)*dx(v1)+dy(u1)*dy(v1)

+dx(u2)*dx(v2)+dy(u2)*dy(v2)

-p*dx(v1)-p*dy(v2)

-q*dx(u1)-q*dy(u2)

)

+on(1,2,4,u1=0,u2=0)

+on(3,u1=1,u2=0); // C.C. en borde superior

plot(cmm=" Velocidad [u1,u2] ",[u1,u2]);

plot(cmm=" Presion ",p);

plot(cmm=" Velocidad y Presion ",[u1,u2],p);

Si ahora nos fijamos en las ecuacione de Navier-Stokes evolutivas:


9.1 Caso 2d 9 ECUACIONES DE NAVIER-STOKES

Vec Value00.05263430.1052690.1579030.2105370.2631720.3158060.368440.4210750.4737090.5263430.5789780.6316120.6842470.7368810.7895150.842150.8947840.9474181.00005

Velocidad [u1,u2] IsoValue-49.7096-44.6966-39.6837-34.6708-29.6578-24.6449-19.632-14.619-9.6061-4.593170.4197625.4326910.445615.458620.471525.484430.497435.510340.523245.5362

Presion IsoValue-49.71-44.697-39.6841-34.6711-29.6581-24.6452-19.6322-14.6192-9.60627-4.59330.419675.4326410.445615.458620.471525.484530.497535.510440.523445.5364

Vec Value00.05263430.1052690.1579030.2105370.2631720.3158060.368440.4210750.4737090.5263430.5789780.6316120.6842470.7368810.7895150.842150.8947840.9474181.00005

Figura 19: Velocidad y presion Stokes2dCavity.edp

Buscamos u(t) ∈ H1(Ω)2 y p(t) ∈ L2(Ω) tal que

∂tu+ (u · ∇)u−∆u+∇p = f en Ωdiv(u) = 0 en Ω+C.C.

o bien,

( DDtu, v) + (∇u,∇v)Ω − (p, div(u))Ω = (f, v) en Ω

−(q, div(u))Ω = 0 en Ω+C.C.

Nonlinealidad tratada con convect que resuelve:

∂tφ+ u∇φ = 0,

φ(0, x) = φ0(x).

El codigo es el siguiente:

//

// codigo NS2d.edp

//


fespace Xh(Th,P2);

fespace Mh(Th,P1);

Xh u2,v2, u1,v1,up1=0,up2=0;

Mh p,q;

real Re=5000,nu=1/Re;

real dt=0.1;

problem NS(u1,u2,p,v1,v2,q,solver=UMFPACK) =



Velocidad [u1,u2] Presion

velocidad y presion obtenidos con Cavity.edp

int2d(Th)( (1/dt)*(u1*v1+u2*v2)

+nu*(dx(u1)*dx(v1)+dy(u1)*dy(v1)

+dx(u2)*dx(v2)+dy(u2)*dy(v2) )

-p*dx(v1)- p*dy(v2)

+dx(u1)*q+ dy(u2)*q)

+int2d(Th)(

-(1/dt)*convect([up1,up2],-dt,up1)*v1

-(1/dt)*convect([up1,up2],-dt,up2)*v2

)

+on(1,2,4,u1=0,u2=0)+on(3,u1=1,u2=0);

for (i=0;i<=400;i++)

NS;

up1=u1;

up2=u2;

plot(coef=.5,cmm=" Velocidad ",[u1,u2]);

;

plot(cmm=" Pressure ",p);

9.2. Caso 3d

El paso del caso 2d al 3d se resuelve considerando la triangulacion 3d yanadiendo la tercera componente a la formulacion variacional:

Ejemplo 14 Vemos primero el caso de la cavidad 3d



//

// codigo Stokes3dcavity.edp

//

load "msh3";

load "medit";

int nn=15;

mesh Th2=square(nn,nn);// 2D mesh

fespace Vh2(Th2,P2);// cross-section space

Vh2 ux,uz,p2;

real zmin=0,zmax=1,yy;


int[int] rmid=[1,1,2,1,3,1,4,1];

mesh3 Th=buildlayers(Th2,nn, zbound=[zmin,zmax],

labelup=rup, labeldown=rdown, labelmid=rmid);// 3D mesh

fespace VVh(Th,[P23d,P23d,P23d,P13d]);

VVh [u1,u2,u3,p];

VVh [v1,v2,v3,q];

macro Grad(u) [dx(u),dy(u),dz(u)]// EOM

macro div(u1,u2,u3) (dx(u1)+dy(u2)+dz(u3)) //EOM

varf vStokes([u1,u2,u3,p],[v1,v2,v3,q]) =

int3d(Th)(Grad(u1)’*Grad(v1) +Grad(u2)’*Grad(v2)

+Grad(u3)’*Grad(v3)

- div(u1,u2,u3)*q - div(v1,v2,v3)*p

)

+on(1,100,u1=0,u2=0,u3=0)+ on(200,u1=1.,u2=0,u3=0) ;

matrix A=vStokes(VVh,VVh);

set(A,solver=GMRES);

real[int] b= vStokes(0,VVh);

p[]= A^-1 * b;

for(int i=1;i<10;i++)

yy=i/10.;

ux= u1(x,yy,y);

uz= u3(x,yy,y);

p2= p(x,yy,y);

plot([ux,uz],p2,cmm=" cut y = "+yy,wait= 1);

if (i==5)

plot([ux,uz],p2,cmm=" cut y = "+yy,wait= 1);;



cut y = 0.5

Figura 20: Problema de Stokes en el test de la cavidad.

Figura 21: Se pueden usar geometrias realisticas como esta del Puerto deCartagena.

;

medit("cavity3d",Th,p);

medit("cavity3d",Th,u3);



Ejemplo 15 Aplicacion de las ecuaciones de Stokes en el puerto de Carta-gena nos generan los resultados que se ven en la Figura 21


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