INTERVALOS DE CONFIANZA

Cuando se desea hallar cualquier estadstico, por ejemplo la media, generalmente se dispone de una muestra de tamao limitado. Se quiere saber qu tan cercano puede estar ese estimado al verdadero valor desconocido de la poblacin. En otras palabras, se quisiera conocer con una cierta certeza (probabilidad) la franja de valores entre los cuales se encontrara el verdadero valor de la poblacin. Si esa franja es grande, habr mucha incertidumbre en el valor estimado de la media, y si es pequea, habr, por el contrario, mucha confianza en ese valor estimado. Con ese fin se utilizan los llamados intervalos de confianza.

Supngase, por ejemplo, que se desea estimar la media de la poblacin, . Asmase que 1 y 2 son dos estadsticos (funciones de la muestra aleatoria) tales que: 1 < 2 y P( 1< < 2) =. Entonces [ 1 , 2] es llamado el intervalo de confianza para la media ., es llamado el nivel de confianza (nivel de probabilidad) y 1 y 2 son llamados los lmites de confianza inferior y superior, respectivamente. Esta definicin puede extenderse al intervalo de estimacin de un parmetro cualquiera o a una funcin del parmetro.Se debe tener en cuenta que los intervalos de confianza y los lmites de confianza son realmente variables aleatorias, ya que son funciones del tamao de la muestra y de estimadores a su vez, funcin de muestras aleatorias. Como los tamaos de la muestra varan, los intervalos de confianza cambian de una muestra a otra. Mientras ms estrecho es el intervalo de confianza, mejor es el procedimiento de estimacin.Para el valor estimado asociado a un perodo de retorno cualquiera, los intervalos de confianza se calculan usando el error estndar, ST, el cual es una medida de la desviacin estndar de la magnitud de un evento calculado a partir de una muestra respecto a la verdadera magnitud del evento. Se presentarn para todas las distribuciones, los intervalos de confianza para los diferentes cuantiles de la poblacin.Para la distribucin Normal, los lmites de confianza para el verdadero valor de un cuantil asociado con un periodo de retorno T son:

en donde es el nivel de probabilidad, u1- es el cuantil de la distribucin Normal estandarizada para una probabilidad acumulada de 1-y STes el error estndar.Cada distribucin tiene expresiones para hallar el error estndar, por ejemplo, el de la distribucin Normal es:

EjemploLos caudales medios anuales de un ro con media 1.5 m3/s y desviacin estndar de 0.6 m3/s se distribuyen normalmente. Cul es la probabilidad de que se produzca un caudal medio igual o menor a 1 m3/s, en cualquier ao?Solucin:Se tiene entonces que:

Reemplazando los valores:

En la tabla 5.1, se encuentra P(0.83). Considerando la simetra de la distribucin normal (ver Figura 5.6 en donde A = B), se tiene:

Intervalos de confianzaEn el campo transformado, los lmites estn dados por los de la distribucinNormal como:

en donde:

EjemploSe tiene un ro con caudales mximos anuales log-normalmente distribuidos, con x =15 m3/s y =5 m3/s; se da tambin y =2.6554 y y =0.3246. Encontrar el caudal para un perodo de retorno de 100 aos. Si se tiene un perodo de retorno de 30 aos de registro, cules son los lmites de confianza para un de 10%?

Solucin:El coeficiente de variacin se calcula como:

Para hallar KT, se procede as:

Valor de tabla

El valor de K se puede calcular usando la ecuacin (5.59) como:K= 3.028El valor asociado a un perodo de retorno de 100 aos ser:XT= 15 + 5 x 3.028 = 30.14 m3/sLos lmites de confianza se hallan as en el campo transformado:

Se calcula primero con la ecuacin (5.63) y luego ST con la ecuacin(5.60), el resultado es:

De la tabla 5.1, se lee: 1-=0.95=1.64Por lo tanto:ln (30.28) 1.64 * 0.11= 3.41 0.1875= [3.2225, 3.5975]= [e3.2225 , e3.5975] = [25.091, 36.5]