Intervalos.

Definición: se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma comprendido entre dos puntos fijos llamados extremos. Ejemplo de Intervalo: , donde a es el extremo inferior del in-

tervalo y b es el extremo superior del mismo, además . OBSERVACIONES que conviene recordar:

se lee “a menor que b”, es una desigualdad estricta. se lee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta. Como puedes observar, lo mismo se puede leer de dos formas distintas,

ya que si a es menor que b entonces es que b es mayor que a, lo cual nos recuerda que toda desigualdad, a < b, al igual que toda igualdad, en matemáticas se puede leer en dos sentidos, de izquierda a derecha, “a < b, a menor que b” o de derecha a izquierda, “b > a, b mayor que a”. En cual-quier caso el vértice del ángulo siempre apunta al menor de los núme-ros.

se lee “a menor o igual que b” y si cambiamos el sentido de la lec-tura leeríamos , “b mayor o igual que a”, son desigualdades no estrictas. Como puedes observar, el vértice del ángulo sigue apuntando al menor de los números.

Si , entonces no queda más remedio que concluir que a = b.

Cuando a y b no son iguales ponemos . Propiedad transitiva, si y , entonces , dicho lo mismo de

otro modo,

. Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por

un mismo número, positivo, la desigualdad no varía

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desi-gualdad por un mismo número negativo, cambia el sentido de la desigualdad, así, si .

Si dos números, cualesquiera, cumplen una determinada desi-gualdad, sus inversos cumplen la desigualdad contraria, así,

si .

Clases de intervalos: Abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es

decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos. En otras palabras , observa que se trata de

desigualdades estrictas.

Adaptaciones nivel 3. Página.- i Intervalos.

También se expresa en ocasiones como .

Gráficamente:

Cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo. En otras palabras , observa que ahora no se

trata de desigualdades estrictas.

Gráficamente:

Semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo. Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo

superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras pala-bras , observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.

También se expresa en ocasiones como . Semiabierto por la izquierda, o semicerrado por la derecha, el extremo

inferior no forma parte del intervalo, pero el superior si, en otras pala-bras , observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.

También se expresa en ocasiones como .

Gráficamente: Semirrectas reales:

Semirrecta de los números positivos , es decir, desde cero hasta infinito.

Semirrecta de los números negativos , es decir, desde el me-nos infinito, el infinito negativo, hasta cero.

Con lo que toda la recta de los números reales sería .

Cotas: Definición: son todos los números reales que son mayores que el extremo

superior de un intervalo, o menores que el extremo inferior del mismo. Clases:

Cotas Superiores: son todos los números reales mayores o iguales que el extremo superior del intervalo.

Extremo superior o Supremo: es la menor de las cotas superio-res.

cotas superiores los números 5, 5.0001, 6, 7, 8.01, etc. ...

Adaptaciones nivel 3. Página.- ii Intervalos.

a b

a b

a b

Semiabierto por la izquierda

a b

Semiabierto por la derecha

Supremo el 5. cotas superiores 10, 11, 12, etc. .... Supremo el 10. no tiene cotas superiores, y por lo tanto, tam-

poco tiene supremo. Cotas Inferiores: son todos los números reales menores o iguales que el

extremo inferior del intervalo. Extremo inferior o Ínfimo: es la mayor de las cotas inferiores.

cotas inferiores 2, 1.999, 1, 0, -1, etc. ... Ínfimo el 2. cotas inferiores 3, 2, 1, 0, -1, -2, etc. ... Ínfimo el 3. no tiene cotas inferiores, y por lo tanto, tam-

poco tiene ínfimo. CONCLUSIÓN: la recta real no tiene cotas supe-

riores ni inferiores, no está acotada, ya que por definición es una sucesión ilimitada de puntos puestos éstos unos a continuación de los otros.

Máximos y mínimos: Máximo: si el supremo pertenece al intervalo, entonces recibe el nom-

bre de máximo. En los ejemplos anteriores:

no tiene máximo, ya que el supremo no pertenece al intervalo por ser éste abierto por la derecha.

el 10 es el máximo, por ser el supremo y perte-necer éste al intervalo.

Mínimo: si el ínfimo pertenece al intervalo, entonces recibe el nombre de mínimo.

En los ejemplos anteriores: el 2 es el mínimo, por ser el ínfimo y pertenecer

éste al intervalo. no tiene mínimo, ya que el ínfimo no pertenece

al intervalo por ser éste abierto por la izquierda.

Observación_1: un intervalo es cerrado cuando posee máximo y míni-mo.

Observación_2: un intervalo es abierto cuando no posee ni máximo ni mínimo.

Valor absoluto de un número: Definición: una definición poco acertada sería la de que es el número sin el

signo, pero si queremos ser precisos deberíamos decir que es el propio nú-mero, si éste es positivo, o el opuesto del número, si éste es negativo.

Así, tendríamos que: Otra definición alternativa sería , tomando solo el signo positivo

de la raíz.

Adaptaciones nivel 3. Página.- iii Intervalos.

Propiedades del valor absoluto: , en otras palabras, el valor absoluto de un número

siempre es mayor o igual que el propio número, ya que: , en éste caso es igual al propio número. , en éste caso es mayor que el número, ya que 5 > –5.

, en otras palabras, si el valor absoluto de un número es cero, lo es porque el propio número es cero.

, en otras palabras, el valor absoluto de la suma de dos números siempre es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos, se conoce como desigualdad triangular.

, en otras palabras, el valor absoluto del pro-

ducto de dos números siempre es igual al producto de los valores ab-solutos de los factores.

, en otras palabras, el valor absoluto de la di-ferencia de dos números es indiferente del orden en que realicemos dicha resta. Ya que de la definición alternativa tendríamos que:

Distancia entre dos puntos de la recta real:

Definición: se define la distancia entre dos puntos, A y B, de la recta real, y se denota por , como el valor absoluto de la diferencia entre los va-lores de los mismos, en otras palabras,

Propiedades: siempre, como consecuencia de la definición de valor

absoluto de un número. . , es decir, da igual el sentido en el que

midamos, la distancia entre dos puntos fijos siempre es la misma. Si , es decir, la distancia entre dos

puntos se puede calcular sumando las distancias que hay entre puntos intermedios a los dados.

Entorno de un punto: Definición: se llama entorno de un punto a de radio ε al conjunto de

números reales, x, tales que , dicho de otro modo, todos los números reales comprendidos entre los puntos de corte que con la recta produce una semicircunferencia trazada con centro en a y radio ε.

Otras definiciones: Como distancia: , es decir, todos los puntos

de la recta real que se encuentren a una distancia del punto central, a, menor que el radio ε.

Como intervalo abierto:

Como desigualdad:

Adaptaciones nivel 3. Página.- iv Intervalos.

OBSERVACIÓN: el entorno de un punto es siempre un intervalo abierto.

Clases de entornos: Laterales: incluyen el punto central y todos los puntos situados a la

derecha o a la izquierda del mismo, salvo el supremo. Entorno lateral por la derecha:

Entorno lateral por la izquierda:

Reducidos: son los que contienen todos los puntos menos el centro, así,

Ejemplos y metodología: Metodología:

Transformar intervalos abiertos o cerrados en desigualdades en valor absoluto:

Se calcula el diámetro del intervalo, D, es decir, el ancho total, el cual será por definición la distancia entre los extremos del mis-mo.

Se calcula la mitad de dicho ancho, , y, una de dos:

Se le añade al extremo inferior. Se le resta al extremo superior.

En cualquier caso obtenemos el centro del intervalo, a. Con esa información, podemos poner ya que:

Si es abierto , que es la desigualdad buscada. Si es cerrado , que es la desigualdad buscada.

Transformar intervalos en entornos: Solo los intervalos abiertos se pueden transformar en entor-

nos. El proceso es, básicamente, el mismo de antes: calcular el centro y

el radio, y por último ponerlo con la notación de entorno. Transformar desigualdades en valor absoluto en desigualdades en

línea: Realizar la transformación:

Resolver ecuaciones en valor absoluto: solo es necesario tener en cuen-ta que la expresión encerrada dentro del valor absoluto puede ser positiva o negativa, con lo que habrá que tomar ésta una vez en valor positivo y una segunda vez con valor negativo, y resolver ambas por separado., así:

Ejemplos: E1.- Sea el intervalo , representarlo gráficamente, como una de-

sigualdad en línea, como una desigualdad en valor absoluto, como el en-torno de un punto, dar cotas superiores, inferiores, supremo, ínfimo, má-ximo y mínimo:

Adaptaciones nivel 3. Página.- v Intervalos.

Desigualdad en línea:

Desigualdad en valor absoluto:

Ancho:

Centro:

Entorno:

Gráficamente: Cotas superiores:

5, 6, 7, etc. ... Cotas inferiores: 2, 1, 0, etc. ... Supremo: 5 Ínfimo: 2. Es un intervalo abierto, luego no hay máximo ni mínimo.

E2.- Sea el intervalo , representarlo gráficamente, como una desigualdad en línea, como una desigualdad en valor absoluto, como el entorno de un punto, dar cotas superiores, inferiores, supremo, ínfimo, máximo y mínimo:

Desigualdad en línea: Desigualdad en valor absoluto:

Ancho: Centro:

Entorno: no se puede, ya que un entorno siempre es un intervalo abierto, y éste es cerrado.

Gráficamente: Cotas superiores: 3, 4, 5, etc. ... Cotas inferiores: -1, -2, -3, etc. ... Supremo: 3 Ínfimo: -1 Máximo: 3 Mínimo: -1

E3.- Transformar el siguiente entorno, , en un intervalo, en una desigualdad en línea, en una desigualdad en valor absoluto, dar sus cotas, el supremo y el ínfimo:

Intervalo: Desigualdad en línea: Desigualdad en valor absoluto: Cotas superiores: 5, 6, 7, etc. ... Cotas inferiores: 2, 1, 0, etc. ... Supremo: 5 Ínfimo: 2

E4.- Resolver la siguiente ecuación en valor absoluto:

Por definición de valor absoluto: debemos resolver cada una por separado, la solución será el con-junto de valores reales que satisface la ecuación inicial.

De la primera: De la segunda: no tiene soluciones reales. Luego las únicas soluciones reales que cumplen las condiciones

iniciales son las dadas.

Adaptaciones nivel 3. Página.- vi Intervalos.

2 5

-1 3

Transformar la siguiente desigualdad en valor absoluto en una desigual-dad en línea y en un intervalo:

.

Actividades de aplicación.

P1.- Resolver las siguientes ecuaciones en valor absoluto:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

P2.- Escribir las siguientes desigualdades mediante intervalos abiertos, cerrados o semiabiertos, indicando el diámetro o la anchura del mismo en cada caso:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n)

P3.- Expresa, mediante intervalos abiertos, los entornos de a de radio r que se indican a continuación:

a) b) c)

d) e) f)

Adaptaciones nivel 3. Página.- vii Intervalos.

g) h) i)

j) k) l)

P4.- Escribe el signo ∈, pertenece, o ∉, no pertenece, según corresponda en cada caso:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n)

P5.- Escribir como una desigualdad en valor absoluto los siguientes intervalos:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

P6.- Escribir en forma de entorno las desigualdades siguientes:

a) b) c)

d)

Adaptaciones nivel 3. Página.- viii Intervalos.