Interval Los
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7/23/2019 Interval Los http://slidepdf.com/reader/full/interval-los 1/6 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de d esigualdad no estricta (≤ y ≥). Transitividad Para números reales arbitrarios a,b y c: Si a > b y b > c entonces a > c. Si a < b y b < c entonces a < c. Si a > b y b = c entonces a > c. Si a < b y b = c entonces a < c. Adición y sustracción Para números reales arbitrarios a,b y c: Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c. Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c. Multiplicación y división Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero: Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c. Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c. Opuesto Para números reales arbitrarios a y b: Si a < b entonces −a > −b. Si a > b entonces −a < −b. Recíproco Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez: Si a < b entonces 1/a > 1/b. Si a > b entonces 1/a < 1/b. Si a y b son de distinto signo:
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7/23/2019 Interval Los
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PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las
propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también
se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus
correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Transitividad
Para números reales arbitrarios a,b y c:
Si a > b y b > c entonces a > c.
Si a < b y b < c entonces a < c.
Si a > b y b = c entonces a > c.
Si a < b y b = c entonces a < c.
Adición y sustracción
Para números reales arbitrarios a,b y c:
Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
Multiplicación y división
Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
Opuesto
Para números reales arbitrarios a y b:
Si a < b entonces −a > −b.
Si a > b entonces −a < −b.
Recíproco
Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
Si a < b entonces 1/a > 1/b.
Si a > b entonces 1/a < 1/b.
Si a y b son de distinto signo:
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Si a < b entonces 1/a < 1/b.
Si a > b entonces 1/a > 1/b.
Función monótona
Al aplicar una función monótona creciente a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si se
aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.
Ejemplo
a < b e^a < e^b
Al aplicar la función exponencial a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.
Valor absoluto
Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades:
|a| ≤ b -b ≤ a ≤ b
|a| ≥ b -b ≥ a ≥ a ≥ b
TIPOS DE INTERVALOS
Intervalo abierto
No incluye los extremos.
o bien
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:
En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo
abierto que contiene al punto de acumulación.
En la topología usual de la recta (o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto
abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto
abierto. El intervalo abierto <a, b> es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su
clausura es el intervalo cerrado [a, b].3 No tiene puntos aislados, mientras que todos su puntos
son puntos de acumulación del mismo intervalo, de suma importancia en asuntos de límites de
funciones.4
Intervalo cerrado
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Sí incluye los extremos.
Que se indica:
En notación conjuntista:
Si incluye únicamente uno de los extremos.
Con la notación o bien indicamos.
En notación conjuntista:
Y con la notación o bien ,
En notación conjuntista:
Intervalo infinito
Incluye un extremo e infinito por la derecha.
Con la notación indicamos.
En notación conjuntista:
Sin incluir el extremo:
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Y con la notación ,
Incluye un extremo e infinito por la izquierda.
Con la notación indicamos.
En notación conjuntista:
Sin incluir el extremo:
Y con la notación ,
En notación conjuntista:
Para todo valor real:
Y con la notación ,
En notación conjuntista:
OPERACIONES CON INTERVALOS
En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:
Esto se lee: A es el conjunto de todos los números reales x tal que x es menor que cuatro.
Y el conjunto B:
B es el conjunto de todos los números reales x, tal que 9 es menor que cualquier x .
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El conjunto unión de A y B sería:
O también se puede anotar:
Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos s.s.s. está por lo menos en uno de ellos.
El conjunto intersección de A y B no existe 8 :
porque A y B no tienen puntos en común.
Definido el conjunto C:
Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.
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El conjunto intersección de A y C es:
El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común
entre todos los conjuntos incluidos.
Entorno simétrico
Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:
Con la notación indicamos.
Entorno reducido
Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:
Con la notación indicamos.
Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos { p}. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) =
{y : −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1)
− {0} es un entorno reducido de 0.
