INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

En el cálculo se desarrollan dos grandes ideas cuyo fundamento se

encuentra en el límite de las funciones. En este tema abordaremos el concepto

de derivada, asociado a la comparación de dos variables relacionadas.

El concepto derivada de una función surge de manera simultánea en el

pensamiento de dos grandes figuras de la matemática del siglo XVII: Isaac

Newton y Gottfried Nilhelm Leibnitz. Este término es generado al intentar

resolver dos problemas, en apariencia sin relación alguna. Pero que sin

embargo son resueltos con idéntica fundamentación. El primero de ellos es de

carácter físico y geométrico y lo plantearemos en forma de pregunta.

Dada una curva ¿Cómo hallar la recta tangente a ella en un punto dado?

Desde luego, es necesario comprender el significado exacto de las

palabras que forman la pregunta, para intentar contestarla. Primeramente,

¿Qué es lo que viene a tu mente con referencia a la palabra tangente?

Recordarás haberlo empleado con relación a una circunferencia, como aquella

recta que “toca” un solo punto de esta.

Tangente

Figura 1

Secante

De la misma manera, la

secante de la circunferencia

corresponde a una recta que

“corta” a ésta, compartiendo

dos puntos con ella. Figura

1.

Es necesario modificar las concepciones que se tienen para secante y

tangente, si estas corresponden a las curvas abiertas, como es el caso de

aquellas que están asociadas a las funciones.

y

l2

Figura 2 l1 l3

l4

a b c d x

y

Tangente

Secante x Figura 3

La determinación de la tangente a una curva, en un punto dado, se logra

mediante la aproximación de un caso extremo, es decir, el límite. Considere la

Figura 4. En ella se ilustra una recta secante que pasa por los puntos P y Q, de

coordenadas.

P (x0, f (x0)), Q (x0 + x, f(x0 + x))

y Q

y = f (x)

P

x

x0 x0 + x

En la Figura 2 l1, l2,

l3 y l4 corresponden a la

tangente en distintos

puntos de la curva. Sin

embargo, la tangente en

un punto puede cortar la

curva en otro, y poseer

un doble papel: tangente

en un punto y secante

para otro. Figura 3.

Se sabe que la

pendiente m de la recta que

pasa por P y Q es:

00

0

)(

)()(

xxx

xfxxfm

x

xfxxfm

)()( 0

Figura 4

y

P

Q1

Q2

Q3

x

Figura 5

Evidentemente aquella que pasa por P y Q3, ya que este último punto es

el más cercano a P siguiendo este mismo razonamiento.

“Conforme un punto Q de la curva está más próximo a P, la

pendiente de la secante que pasa por P y Q será un valor más cercano a

la pendiente de la recta tangente de la curva en P”.

Lo anterior se verifica si: “la diferencia de las abscisas entre dos puntos

tienden a cero”. Dicho de otra manera:

Definición:

Por lo tanto: El significado geométrico de la derivada es la siguiente:

“La derivada de una función f(x) para un argumento x, es

numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la curva

dada por la función en el punto (x, f(x))”.

Observa ahora la

Figura 5. ¿Cuál de las 3

secantes que se ilustran, se

asemeja más a la tangente

de la curva en P?

La pendiente m de la recta tangente a una curva dada por una función f,

en un punto de abscisa x, es:

x

xfxxfm

x

)()(lím

0

Como x

yxf

)(

, tenemos que )(xfm

(x)' f = m que tenemosy/ x, = (x) ' f Como

:es x,abscisa de puntoun en f,función unapor dada una cada curva una a tangenterecta la de m pendiente La)(

x

yxf

f ' (x) = y/x, tenemos que m = f '(x)

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.

Definición:

La razón x

xfxxf

xencambio

yencambio

x

y

)()(, se denomina tasa de

cambio o razón de cambio promedio de la función en el intervalo entre x y

x+Δx.

Derivada de una función: Sea f una función continúa y suave en un intervalo

[a, b], si x es un punto del intervalo, entonces la derivada de la función en tal

punto se representa por f '(x) y la definimos como:

x

ylím

x

xfxxflímxf

xx

00

)()()(