CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 1

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

A continuación se obtiene la interpretación geométrica del concepto de derivada de una función en

un punto, '( )of x = ( ) - ( )

limo

o

x x o

f x f xx x→ −

.

Si dibujamos la gráfica de ( )y f x= podemos observar en la siguiente figura que el cociente

incremental ( ) - ( )o

o

f x f xx x−

es la pendiente de la recta secante PQ a la curva ( )y f x= , que pasa por

los puntos P = ( ox , f( ox )) y Q = (x, f(x)), es decir, ( ) ( )o

PQo

f x f xm

x x−

=−

.

Repitiendo este proceso con sucesivos puntos 1 2, , ..., , ...iQ Q Q cada vez más próximos al punto P=( ox , f( ox )) se deduce que:

- la recta tangente a la curva en el punto P es la recta límite de una series de rectas secantes a dicha curva que pasan por el punto P y otros puntos 1 2 3, , ...Q Q Q que van aproximándose a P.

- la pendiente de la recta tangente será el límite, si existe, de las pendientes de las rectas secantes a la curva que pasan por los puntos 1PQ , 2PQ ,…, cuando iQ está cada vez más próximo

a P.

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 2

Cuando ox x→ , es decir, iQ P→ , si existe ( ) ( )

lim limi

i o

oPQQ P x x o

f x f xm

x x→ →

−=

− nos da la pendiente de la

recta tangente a la curva ( )y f x= en P.

Por tanto, teniendo en cuenta que '( )of x =( ) - ( )

limo

o

x x o

f x f xx x→ −

, se concluye que la derivada de f en el

punto ox es la pendiente a la recta tangente a la curva ( )y f x= en P.

La ecuación de la recta tangente a la curva ( )y f x= en el punto ox , conocida su pendiente, se

puede escribir de la forma:

( ) '( )( )o o oy f x f x x x− = −

Ejemplo 5: Hallar la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 2( ) 1f x x= − en el punto x = 2.

La pendiente es '(2)f =2 2

2 2 2 2

( ) (2) 1 3 4 ( 2)( 2)lim lim lim lim

2 2 2 2x x x x

f x f x x x xx x x x→ → → →

− − − − − += = =

− − − −=

2lim( 2) 4x

x→

+ =

La ecuación de la recta tangente es (2) '(2)( 2)− = −y f f x , es decir, 3 4( 2)y x− = − , y operando queda 4 5y x= − .