INTERPRETACIN

ECONMICA DEL

PROBLEMA DUAL

Optimizacin en Ingeniera I

Ing. Laura Bazn Daz

Representan el valor porunidad de los recursos deprogramacin lineal.

El incremento en laganancia marginal o eldecremento en el costopor unidad de recursos.

PRECIOS

DUALES

COSTOS

REDUCIDOS

1. Proporcionan un entendimientofundamental del modelo deprogramacin lineal como unsistema econmico de entrada ysalida.

2. Permiten una implementacineficiente del anlisis de sensibilidadpos ptimo.

La interpretacin econmica ilustra elsignificado exacto econmico de losprecios duales y de los costosreducidos.

INTERPRETACIN

(ASPECTOS

IMPORTANTES)

Mx Z= =1

S.a. =1 = ( = 1,2,3, )

Xj0

Mn W= =1

S.a. =1 1 ( = 1,2,3, )

Yi irrestricta

PRIMAL

DUAL

El coeficiente Cj representa laganancia marginal de lasactividades j, cuyo nivel es igual aXj unidades.

La funcin objetivo Z= =1

representa la ganancia total detodas las actividades, donde elmodelo tiene n recursos.

INTERPRETACIN

El recurso i tiene un nivel bi que seasigna a una tasa aij unidades porunidad de la actividad j.

El primer miembro respecto a larestriccin =1

representa

el uso del recurso i por todas lasactividades.

INTERPRETACIN

Z=W o bien =1 = =1

$(rendimiento)= =1 ( $ )

Las variables duales Yi representan el valor por unidad del recurso i (precios duales).

PRECIOS DUALES

Para las soluciones primal y dual factibles noptimas se obtiene: Z

Por cada incremento unitariodel recurso i, el valor de laganancia Z se incrementa en Yi.

No conviene incrementar elrecurso i cuando posee un valornegativo (Yi).

INTERPRETACIN

Zj-Cj=CB B-1 (Pj-Cj)

Donde:

Los valores duales Y=CB B-1

Podemos decir que:

Zj-Cj = Y(Pj-Cj) = =1

COSTOS REDUCIDOS

Se establece que el coeficiente en lafuncin objetivo Zj-Cj de la variable Xj enla tabla del primal es igual a la diferenciaentre el primer y segundo miembro de laj-sima restriccin dual.

COSTOS REDUCIDOS

Precios duales

Costos reducidos

Se aplica para mejorar la situacineconmica (incrementa su nivel decero a un nivel positivo).

1. Incrementando el rendimientomarginal de la actividad Cj.

2. Disminuyendo el consumo poractividad de recursos limitados( =1

)

EL PROBLEMA

DUAL

Ejemplo:

Un proceso de 3 productos consta de 3operaciones distintas. Los lmites deimpuesto sobre el tiempo disponible pararealizar las 3 operaciones son 430, 460 y 420minutos diarios y las ganancias por unidad delos 3 productos son $3, $2 y $5. Los tiemposen minutos por unidad en las 3 operacionesestn dados como sigue:

EL PROBLEMA

DUAL

Producto

Operacin 1 2 3

1 1 2 1

2 3 0 2

3 1 4 0

EFECTUAR UN

ANLISIS DEL

COSTO

REDUCIDO

Max Z= 3X1+2X2+5X3

s.a.

X1+2X2+X3 430

3X1+2X3 460

X1+4X2 420

X1,X2,X30

FORMULACIN

LINEAL

Recursos disponibilidadDe tiempo

Max Z= 3X1+2X2+5X3+0x4+0x5+0x6

s.a.

X1+2X2+X3+x4 =430

3X1+2X3 +x5 =460

X1+4X2 +x6 =420

X1,X2,X3, x4, x5, x60

FORMA

ESTNDAR

Mn W= 430Y1+460Y2+420Y3

s.a.

Y1+3Y2+Y3 3

2Y1+4Y3 2

Y1+2Y2 5

Y1 0

Y20

Y30

FORMULACIN

DUAL

Cj 3 2 5 0 0 0

CB VB X1 X2 X3 X4 X5 X6 XB

0 X4 1 2 1 1 0 0 430

0 X5 3 0 2 0 1 0 460

0 X6 1 4 0 0 0 1 420

Zj-Cj -3 -2 -5 0 0 0 0

SIMPLEX

ITERACIN 0

Cj 3 2 5 0 0 0

CB VB X1 X2 X3 X4 X5 X6 XB

0 X4 -1/2 2 0 1 -1/2 0 200

5 X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230

0 X6 1 4 0 0 0 1 420

Zj-Cj -3/2 -2 0 0 5/2 0 1150

SIMPLEX

ITERACIN 1

Cj 3 2 5 0 0 0

CB VB X1 X2 X3 X4 X5 X6 XB

2 X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100

5 X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230

0 X6 2 0 0 -2 1 1 20

Zj-Cj 4 0 0 1 2 0 1350

X2*=100, X3*=230, X6*=20, Z*=1350 X1*=0, X4*=0, X5*=0

SIMPLEX

ITERACIN 2

CB=(X2, X3, X6)= (2,5, 0)

B1=1/2 1/4 00 1/2 02 1 1

Y=(2,5, 0)1/2 1/4 00 1/2 02 1 1

Y=1, 4/2, 0

Y1*=1

Y2*=2

Y3*=0

Y=CB

B-1

X1*=0, el producto 1 no es provechoso .

Si Z1 >C1 los costos son mayores que las ganancias.

Z1=1Y1+3Y2+1Y33

Como Y1=1, Y2=2 y Y3=0

Reducir costos en Y3 es redundante, no altera la solucin o no es efectiva.

ANLISIS

Produccin=tiempo base/C

Productividad=Produccin/recurso

C: Cuello de botella, estacin donde ms demora (se pone el tiempo).

ANLISIS

Operacin 1

Operacin 2

Operacin 3

PT 1

PT 2

PT 3

MP1

MP 2

MP 3

Disponibilidad: 430 460 420

1 3 1

2 0 4

1 2 0

480=equivalente en minutos de 8 horas de trabajo

Produccin de 1=480/3=160 und por da

Productividad de 1

=160/3 operarios= 50.3 und/operacin por da

=160/3(pago de los operarios: 30 soles) und/ da= 17,8 und/$ por da

La productividad indica el desarrollo de una empresa.

ANLISIS

Sea Y2 la restriccin en minutos por unidad del producto 1 en la operacin 2

Z1=1Y1+3Y2+1Y3 3

Z1=1(1)+(3-r2)(2)+1(0)

Z1=1+6-2r27-2r22

La operacin 2 debe reducirse en ms de dos minutos para que el producto 1 sea provechoso.

ARTIFICIO