Interpolación de Newton

Con diferencias divididas

 

Explicacion:Interpolacion es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuacion cuya curva pase por todos ellos o lo mas cerca posible.

El metodo de interpolacion de Newton es un poco mas complicado que el de Lagrange, pero como todo lo de Newton, es mas preciso.

Por supuesto que este metodo tiene todo un desarrollo teorico para llegar a la ecuacion general, pero es demasiado largo y para fines practicos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el metodo y como aplicarlo.

La ecuación general para este método es la siguiente:

Lo importante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's.

Aqui es donde el metodo toma su nombre de diferencias divididas. Hay distintas formas de hacerlo, pero una de las que mas se recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente:

Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y las f(x) que se desean interpolar.Después se hacen a su lado tantas columnas como puntos son -1, asi si son 5 puntos se hacen 4 columnas. Asi para el caso de tener 5 puntos el acomodo quedaria mas o menos asi:

X f(x) f(xi,xi) f(xi,xi,xk) ... ...

x0 f(x0) f(x1,x0) f(x2,x1,x0)    

x1 f(x1) f(x2,x1)   f(x3,x2,x1,x0)  

x2 f(x2) f(x3,x2) f(x3,x2,x1)   f(x4,x3,x2,x1,x0)

x3 f(x3)     f(x4,x3,x2,x1)  

x4 f(x4) f(x4,x3) f(x4,x3,x2)    

 

La notacion f(x1,x0) se interpreta de la siguiente manera:

,asi como f(x2,x1) es: , esto

para b1.

Para b2 la notacion f(x2,x1,x0) es:

y asi se van obteniendo sucesivamente todos los valores de b que son los que quedan en la primera celda de arriba para abajo en todas las columnas(en las que aparece la leyenda bn cuando pasas el mouse en el ejemplo de arriba).

Con este ejemplo se verá mas claramente de lo que se habla:

x f(x) _ _ _

-3 2 _

7 -1 _

17 9 _ _ _

27 11 _

Los valores de b se encuentran en las celdas que tienen borde rojo.

Una vez obtenidos dichos valores simplemente se sustituyen en la ecuacion general, se simplifica dicha ecuacion y se tiene una cuya curva pasa casi exactamente por todos los puntos especificados.

 

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LAS DIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON

Índice

El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo orden a los n+1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es:

(11)

Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1, ... , bn.

Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: X0, X1, ... , Xn.

Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:

b0 = f (X0)b1 = f [X1, X0]b2 = f [X2, X1, X0] (12)...bn = f [X n, Xn-1, ..., X1, X0]

En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.

Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como:

(13)

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos primeras diferencias divididas finitas, se expresa generalemte como:

(14)

De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:

(15)

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los cuales se sustituyen en la ecuación (11), para obtener el polinomio de interpolación:

f n (X) = f(X0) + (X-X0) f[X1, X0] + (X-X0)(X-X1) f[X2, X1, X0] +...+ (X-X0)(X-X1)...(X-Xn-1) f[Xn, Xn-1,...,X1, X0]

(16)

Al cual se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton.

Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación (16) estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisa necesariamente se encuentren en orden ascendente, como se ilustra en el ejemplo 3.3

Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias divididas, en donde cada diferencia se indica entre los elementos que la producen:

i Xi f(Xi) Primera Segunda Tercera

0 X0 f(X0) f(X1, X0) f(X2, X1, X0) f(X3, X2, X1, X0)

1 X1 f(X1) f(X2, X1) f(X3, X2, X1)

2 X2 f(X2) f(X3,X2)

3 X3 f(X3)

EJEMPLO 3.3

Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2 con un polinomio de interpolación de Newton con diferencias divididas de tercer orden:

X f(X)

1 0.000 0000

4 1.386 2944

6 1.791 7595

5 1.609 4379

SOLUCIÓN:

El polinomio de tercer orden con n = 3, es.

Las primeras diferencias divididas del problema son:

Las segundas diferencias divididas son:

La tercera diferencia dividia es:

Los resultados para f(X1, X0), f(X2, X1, X0) y f(X3, X2, X1, X0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (X0) = 0.0, la ecuación da:

f 3 (X) = 0 + 0.46209813 (X-1) - 0.0518731 (X-1)(X-4) + 0.0078655415 (X-1)(X-4)(X-6)

Arreglando la tabla de diferencias

X f [X] f 1 [ ] f 2 [ ] f 3 [ ]

1.0 0.00000000 0.46209813 - 0.051873116 0.0078655415

4.0 1.3862944 0.20273255 - 0.020410950

6.0 1.7917595 0.18232160

5.0 1.6094379

Con la ecuación anterior se puede evaluar para X = 2

f 3 (2) = 0.62876869

lo que representa un error relativo porcentual del e% = 9.3%.

Nótese que la estructura de la ecuación (16) es similar a la expresión de la serie de Taylor en el sentido de que los terminos agregados secuencialmente consideran el comportamiento de orden superior de la función representada. Estos términos son diferencias divididas finitas, y por lo tanto, representan aproximaciones a las derivadas de orden superior. En consecuencia, como sucede con la serie de Taylor, si la función representativa es un polinomio de n-ésimo orden, el polinomio interpolante de n-ésimo orden bajado en n + 1 llevará  a resultados exactos.

El error por truncamiento de la serie de Taylor es:

(17)

en donde es un punto cualquiera dentro del intervalo (Xi, Xi+1). Una relación análoga del error en un polinomio interpolante de n-ésimo orden está dado por:

(18)

En donde es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene las incógnitas y los datos. Para uso de esta fórmula la función en cuestión debe ser conocida y diferenciable. Y usualmente, este no es el caso.

Afortunadamente existe una fórmula alternativa que no requiere conocimiento previo de la función. En vez de ello, se usa una diferencia dividida finita que aproxima la (n+1)-ésima derivada:

Rn = f [X, Xn, Xn-1, ... , X1, X0](X-X0)(X-X1)..(X-Xn) (19)

en donde f(X, Xn, Xn-1, ... , X0) es la (n+1)-ésima diferencia dividida.

Ya que la ecuación (19) contiene la incognita f(X), ésta no se puede resolver y obtener el error. Sin embargo, si se dispone de un dato adicional f(Xn+1), la ecuación (19) da una aproximación del error como:

(20)