Integrla Upnfm Lic Isolina (1)
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Determina la anti derivada ms general.Interpreta la integral y su relacin con la derivada.Define la integral definida.Calcula reas de regiones limitadas en el plano. *
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*AntiderivadasDefinicin: Una funcin F se llama antiderivada de una funcin f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F(x) = f(x) para todo x en I.
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*Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada ms general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.Teorema:Si dos funciones P y Q son antiderivadas de una funcin f en un intervalo I , entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I.
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*INTERPRETACION GEOMETRICA
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*INTERPRETACION GEOMETRICA
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*INTERPRETACION GEOMETRICA
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*INTERPRETACION GEOMETRICA
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*Ejemplo 1Encuentre la antiderivada ms general de cada una de las siguientes funciones.
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*FuncinAntiderivada particular
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*CALCULO DE REASINTEGRAL DEFINIDA Y
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*Definicin : El rea de la regin S que se encuentra debajo de la grfica de la funcincontinua f es el lmite de la suma de las reas de los rectngulos de aproximacin:
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*IntegrandoLimite superiorEl procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integracin.Limite Inferior
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*2 Teorema Fundamental del ClculoSi f es una funcin continua en [a, b]y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:Esta regla convierte al clculo de integrales definidas en un problema de bsqueda de antiderivadas y evaluacin.
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*PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:Propiedad de linealidad
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*Si existen las integrales de la izquierda, tambin existe la integral de la derecha: Propiedad aditiva respecto al intervalo de integracin
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*La propiedad anterior es aplicada cuando la funcin est definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo:Si
y se quiere hallar:
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*Y representa el rea de un rectngulo de alturah y longitud de base (b a).3.
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4. Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) f(x) para todo x [a, b], se tendr:Teorema de comparacin
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Sea f una funcin integrable en [a, b], entonces:
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Justificando su respuesta, responda lo siguiente:
Ser correcto afirmar que:
a)
b)
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5. Determine el valor de tal que:
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Se muestra al grafica de . Usando frmulas geomtricas:Evale la integral:
Calcule el rea representada por la integral:
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*DEFINICIONES:Sea f una funcin integrable en[a, b], entonces:
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*Definicin:Sea f una funcin contnua tal que: f(x) 0 en [a, b] y S={(x, y)/ axb, 0yf(x)}
Se denota por A(S) y se llama rea de la regin definida por S al nmero dado por:
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*y = f(x)dxdA = f(x)dxf(x)ab
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*Ejemplo 1:Calcular el rea de la regin:S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x2 + 1}
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*x = g(y)dA = g(y)dyg(y)
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*Ejemplo 2:
Hallar el rea de la regin limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura.
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*dxy = f(x)y = g(x)f(x)- g(x)dA =[f(x) - g(x)]dx
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*3. Encontrar el rea entre las curvas y = x - x3 ;
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*4.Encontrar el rea entre las curvas y - x = 3;
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La integral definida se define como:
Donde F(x) = f(x) y adems f(x) es una funcin continua y finita en el intervalo de integracin [a; b]. a y b reciben el nombre de extremo inferior y superior de integracin, respectivamente.
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Considere la regin definida por la grfica de la funcin y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x = b, siendo f(x) 0 y f continua en el intervalo [a; b].Para abordar el problema de hallar el rea de dicha regin, la relacionaremos con reas de figuras conocidas, por ejemplo rectngulos
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Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la regin cuya rea se desea calcularEl rea de una regin podr plantearse por una integral definida:A = f(b) f(a)
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Dividiremos dicha regin en rectngulos verticales. Por ejemplo ...n = 3 rectngulos
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n = 6 rectngulos
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n = 12 rectngulos
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n = 24 rectngulos
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n = 48 rectngulos
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n = 99 rectngulos
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La integral definida plantea el lmite de una suma de reas. Interpretacin geomtrica de la integral definidaalturaanchoSuma desde a hasta b
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De cuntas formas podemos calcular el rea R?f(x) = 2xRForma 1: Base*altura/2
2*4/2=4 u2
Forma 2: integral definida
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Como acaba de verse, el rea de una regin podr plantearse como el lmite de una suma de reas. Este lmite est dado por la integral definida:Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.
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Respuesta:
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Respuesta:
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Cmo podemos aplicar los conocimientos previos a este grfico?Si se sabe que:
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El rea bajo la curva f(x) esEl rea bajo la curva g(x) es
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Respuesta:
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2. El Excedente del Productor 3.Estimacin del cambio neto, a partir de la razn de cambio, en el valor de reventa de bienes capitales o en la utilidad, ingresos y costos de una empresaAplicaciones de la Integral Definida 4.Estimacin del exceso de utilidad de un plan de inversin, respecto de otro
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ANLISIS 1: Recordando el concepto de la demandaUna curva de demanda resume la relacin inversa existente entre precios y cantidades.Una curva de demanda refleja las cantidades que estn dispuestos a comprar los consumidores, ante determinados precios. Una curva de demanda representa la disponibilidad marginal de gastar de parte del consumidor.DemandaAlimentos (unidades mensuales)Precio de los alimentos
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Generalizando:En el ejemplo.DTGLa disponibilidad total a gastar de los consumidores refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores.La disponibilidad total a gastar de los consumidores est representada por toda el rea de la regin que est por debajo de la curva de demanda
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ESi se define al gasto como p.q....Cul sera el gasto efectuado por los consumidores en este ejemplo? RTA: S/. 8Cul sera el rea respectiva?GastoRTA.
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Anlisis 2 La disponibilidad a gastar en este caso es.GastoAnlisis 3 El gasto efectivo (lo que realmente gastan) en este caso es.= 8u2Finalmente. - Todos aquellos consumidores que estuvieron dispuestos a pagar un precio mayor que el del mercado (S/.2 por unidad), se benefician El rea que representa dicho excedente es el EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR : rea de Disponibilidad total rea de Gasto
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Resultado del ejemploEn este ejemplo Generalizando:
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La ecuacin de demanda para un producto es p = D(q) = -q2+25, para 0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en dlares y q la cantidad de unidades demandadas.
(a) Cul es la disponibilidad total de gasto de los consumidores de este mercado, si se sabe que el precio de mercado asciende a $9?(b) Cul es el EC?
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