INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS · 2011-04-14 · INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS 6 29. ³ tg 2 x...
24
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS 1 RELACIÓN DE EJERCICIOS DE INTEGRALES. 1. dx x 5 k x k x dx x 6 1 5 6 1 5 5 2. dx x x ) ( k x x k x x k x x dx x x dx x x 3 2 2 2 3 2 1 2 1 1 1 ) ( ) ( 3 2 2 3 2 1 2 1 1 1 2 / 1 k x x x 3 2 2 2 3. dx x x x 4 3 Sol: k x x x 2 10 1 6 k x x k x x dx x x dx x x x 2 5 4 1 2 1 3 1 2 3 4 1 1 2 1 3 ) 4 1 3 ( 4 3 2 5 2 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 1 k x x x k x x 2 5 10 1 6 5 2 1 6 4. x dx x 2 Sol: k x x 2 5 2 k x x k x k x k x dx x dx x x x dx x 5 2 5 2 2 5 1 2 3 2 5 2 5 1 2 3 2 3 2 1 2 2 5. dx x x x 2 4 1 2 Sol: k x x x 2 8 1 k x x x dx x x dx x x x 2 1 2 3 4 1 2 ) 2 4 ( 2 4 1 1 2 3 1 2 2 3 2 2 k x x x k x x x k x x x 2 8 1 2 1 8 1 2 2 1 4 1 2 1 2 1 1
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INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
1
RELACIÓN DE EJERCICIOS DE INTEGRALES.
1. dxx5
kx
kx
dxx
615
6155
2. dxxx )(
kxx
kxx
kxx
dxxxdxxx3
2
2
2
321
2
111)()(
322
3
21
2
1
112/1
kxxx
3
2
2
2
3. dxxx
x
4
3 Sol: kxxx 2
10
16
kxx
kxx
dxxxdxxx
x
2
54
1
2
13
12
34
1
12
13)
4
13(
4
3 2
5
2
11
2
31
2
1
2
3
2
1
kxxxkx
x 25
10
16
52
16
4. x
dxx2
Sol: kxx 2
5
2
kxx
kx
kx
kx
dxxdx
x
x
x
dxx
5
2
5
2
2
51
2
3
252
51
2
3
2
3
2
1
22
5. dxxxx
2
412
Sol: kxxx
281
kxxx
dxxxdxxxx
2
12
34
12)24(2
411
2
3
12
2
3
2
2
kxxx
kx
xx
kxxx
281
21
81
2
2
14
12
1
2
1
1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
2
6. 4 x
dx Sol: kx 4 3
3
4
kxkx
kx
kx
dxxx
dx
4 3
4
3
4
31
4
1
4
1
4 3
4
3
4
4
31
4
1
7. dxx
x
2
3
2 1
Sol: kxxx
x 33 22
5
34
3
5
Kxxx
dxxxxdxxxdxx
x
3
1
3
82
5).2(
1 3
1
3
8
5
3
2
3
5
4
2
3
1
2
2
3
2
KxxxKxxx 33 853
1
3
8
5.3
4
3
5
1.3
4
3
5
1
Kxxxx 33 225.3.
4
3
5
1
8. dxxx sencos3 Sol: k
x
4
cos4
kx
dxxxdxxx
ff
4
cos) sen(cos sencos
4
'
33
3
9. dxxx 12 Sol: kx 32
)1(3
1
kx
kx
dxxxdxxx
ff
3
)1(
2
3
)1(
2
1)1(2
2
11
322
3
2
2
1
2
'
2
2/1
10. 322
x
xdx Sol: kx 32
2
1 2
kxkx
dxxxx
xdx
ff
322
1
2
1
)32(
4
1)32(4
4
1
32
22
1
2
2
1
2
'2
2/1
o
kxkfdxf
f
x
xdx
x
xdx
32
2
1
2
'
322
4
4
2
32
2
22
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
3
11. 13
2
x
dxx Sol: kx 1
3
2 3
kxkx
dxxxdxxxx
dxx
13
2
2
1
)1(
3
1)1(3
3
1)1(
1
32
1
3
2
1
322
1
32
3
2
kxkfdxf
f
x
dxx
x
dxx
1
3
2
2
'
12
3
3
2
1
3
3
2
3
2
12. dxx
x
sen
cos2
Sol: kx
sen
1
kx
kx
dxxxdxx
x
ff
sen
1
1
sen sencos
sen
cos1
2
'2
2
13. dxxx42
)1( Sol: kx
10
)1(52
kx
kx
dxxxdxxx
ff
10
)1(
5
)1(
2
1)1(2
2
1)1(
525242
'
42
4
14. dxx
x 3
cos
sen Sol: k
x
2cos2
1
kx
kx
dxxxdxx
x
ff
2
23
'
3cos2
1
2
coscos sen
cos
sen
3
15. dxx
x 2
cos
tg Sol: k
x
2
tg2
kx
dxx
xdxx
x
ff
2
tg
cos
1 tg
cos
tg2
'
22
1
16. dxxx
1 tgcos
12
Sol: kx 1 tg2
kxkx
dxxx
dxxx
1 tg2
2
1
)1 tg()1 tg(
cos
1
1 tgcos
1 2
1
2
1
22
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
4
17.
dx
x
x
1
)1( L Sol: k
x
2
)1( L2
kx
dxx
xdxx
x
ff
2
)1( L
1
1)1( L
1
)1( L2
'
1
18. dx
x
x
1 sen2
cos Sol: kx 1 sen2
kxkx
dxxxdxx
x
ff
1 sen2
2
1
)1 sen2(
2
1)1 sen2(cos2
2
1
1 sen2
cos 2
1
2
1
' 2/1
19. dxx
x
2cos
1 tg Sol: kx 3
)1 (tg3
2
kxkx
dxx
xdxx
x
3
2
3
2
2
1
2)1 (tg
3
2
2
3
)1 tg(
cos
1)1 tg(
cos
1 tg
20. dxx
x
3)2 sen32(
2 cos Sol: k
x
2)2 sen32(
1
12
1
kx
dxxxdxx
x
2
)2 sen32(
6
1)2 sen32(2cos6
6
1
)2 sen32(
2 cos2
3
3
kx
2
)2 sen32(
1
12
1
21. dxx
x
3 43cos
3 sen Sol: k
x
3 3cos
1
kx
kx
dxxxdxx
x
ff
3
3
1
3
4
'3 4 3cos
1
3
1
3cos
3
13cos3 3sen
3
1
3cos
3 sen
3/4
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
5
22. 21
sen arc
x
dxx Sol: k
x
2
sen arc2
kx
dxx
xx
dxx
2
sen arc
1
1 sen arc
1
sen arc2
22
23. 2
2
1
cos arc
x
dxx Sol: k
x
3
cos arc3
kx
dxx
xx
dxx
3
cos arc
1
1 cos arc
1
cos arc3
2
2
2
2
24. dxx
x
12
Sol: kx )1(Ln2
1 2
kxkfdxf
fdx
x
xdx
x
x
)1(Ln
2
1Ln
'
1
2
2
1
1
2
22
25. 73x
dx Sol: kx 73 L
3
1
kxkfdxf
fdx
xx
dx
73Ln
3
1Ln
'
73
3
3
1
73
26. x
dx
25 Sol: kx 25 L
2
1
kxkfdxf
fdx
xx
dx
25Ln2
1Ln
'
25
2
2
1
25
27. dxxx
x
32
12
Sol: kxx 32 L2
1 2
kxxdxxx
xdx
xx
xdx
xx
x
32 L2
1
32
22
2
1
32
)1(2
2
1
32
1 2
222
28. dxx tg Sol: kx cos Ln
Kxdxx
xdx
x
xdxx cos Ln
cos
sen
cos
sen tg
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
6
29. dxx2 tg Sol: kx 2cos L2
1
Kxdxx
xdx
x
xdxx 2cos Ln
2
1
2cos
2 sen2
2
1
2cos
2 sen2 tg
30. dxx ctg Sol: kx sen Ln
Kxdxx
xdxx sen Ln
sen
cos ctg
31. x
dx
3 ctg Sol: kx 3 cos L
3
1
Kxdxx
xdx
x
xdxx
x
dx3cos Ln
3
1
3cos
3 sen3
3
1
3cos
3 sen3 tg
3 ctg
32. dxx
3 ctg Sol: k
x
3 sen 3L
Kx
dxx
x
dxx
x
dxx
3 sen Ln3
3 sen
3cos
3
1
3
3 sen
3cos
3 ctg
33.
dx
xx
4ctg4 tg Sol: k
xx
4 sen Ln44 cos Ln
4
1 :Sol
dx
x
x
dxx
xdx
x
x
x
xdx
xx
4 sen
4cos
4cos
4 sen
4 sen
4cos
4cos
4 sen
4ctg4 tg
kx
xdxx
x
dxx
x
4
sen Ln 44cos Ln 4
1
4 sen
4cos
4
1
44cos
4 sen4
4
1
34. dxx
x
3 sen2
cos Sol: kx )3 sen2( Ln
2
1
kxdxx
xdx
x
x
)3 sen2( Ln2
1
3 sen2
cos2
2
1
3 sen2
cos
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
7
35. xx
dx
tg arc)1(2
Sol: kx tg arc Ln
kxdxx
x
xx
dx
tg arc Ln tg arc
1
1
tg arc)1(
2
2
36. dxx
x
2 sen32
2cos Sol: kx 2 sen32 Ln
6
1
kxdxx
xdx
x
x
2 sen32 Ln6
1
2 sen32
2cos6
6
1
2 sen32
2cos
37. dxex2 Sol: ke
x 2
2
1
kekedxefdxedxexffxx
222
2
1'2
2
1
38. dxe
x
2 Sol: ke
x
22
kekedxefdxedxe
x
ff
xx
222 2'2
12
39. dxxex
cos sen Sol: ke
x sen
kekedxefdxxexffx
sen sen
'cos
40. 2xa x dx Sol: k
a
ax
L2
2
kaa
dxaxaa
dxxax
aD
xx
x
2
2
22
Ln2
1 Ln2
Ln2
1
)(
41. dxe a
x
Sol: kae a
x
kaedxea
adxe a
x
a
x
a
x
1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
8
42. dxex 22 Sol: ke
x 4
4
1
kedxedxedxexxxx
44422
4
14
4
1
43. dxexx
5 Sol: ke
xx
15 Ln
5
ke
kee
dxeee
dxedxexx
xxxxx
15Ln
5)5(
)5(Ln
1)5(Ln)5(
)5(Ln
1)5(5
44. dxaexx 55 Sol: k
a
ae
xx
L5
15
5
kaa
exdaaa
dxedxaexxxxxx 555555
Ln 5
1
5
1 Ln5
Ln 5
15
5
1
ka
ae
xx
L5
15
5
45. dxxe
xx)2(
342
Sol: kexx 342
2
1
kedxxedxxexxxxxx
343434
222
2
1)2(2
2
1)2(
46. dx
e
ex
x
43 Sol: ke
x )43( Ln4
1
kedxe
edx
e
e x
x
x
x
x
)43( Ln
4
1
43
4
4
1
43
47. xdx5cos Sol: kx 5sen 5
1
kxkxfdxxfxfxdxxdx
5 sen 5
1)( sen)(cos)('5cos5
5
15cos
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
9
48. dxx tg2 Sol: kxx tg
Por trigonometría sabemos que ,1sectgsec1tg2222 xxxx entonces
kxxdxdxxdxxdxx tgsec)1(sec tg222
49. cos Ln( )x
dxx Sol: sen Ln( )x k
cos Ln( ) 1cos Ln( ) sen Ln( )
xdx x dx x k
x x
50. dxx
x
41
Sol: kx 2 sen arc
2
1
kxf
kxfdx
xf
xfdx
x
xdx
x
x
)(arccos
)( sen arc
))((1
)('
)(112224
kxxf
dxxfdx
x
x
)( sen arc
2
1
))((1
)('
)(1
2
2
1 2
222
51. 241 x
dx Sol: kx )(2 sen arc
2
1
kxxf
dxxf
x
dx
x
dx
x
dx
)(2 sen arc2
1
))((1
)('
)2(1
2
2
1
)2(1412222
52. 249 x
dx Sol: k
x)
3
2( sen arc
2
1
22222
3
21
3
2
2
3
3
1
3
21
3
1
3
213)
9
41(9
49 x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
kx
xf
dxxf
x
dx
)3
2( sen arc
2
1
))((1
)('
3
21
3
2
2
1
22
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
10
53. dxx
xx
2
1
arctg Sol: kxx 22
) arctg(2
1)1Ln(
2
1
dxx
xdxx
xdx
x
xdx
x
xdx
x
xx22222
1
1 arctg
1
2
2
1
1
arctg
11
arctg
kxxdxffdxxf
xf
221
) arctg(2
1)1Ln(
2
1'
)(
)('
54. dxx
x
1
Sol: kx 3)1(
3
4
dxffdxxx
dxxx
dxx
x'1
2
121
112
12
1
kxk
x
3
2
3
)1(3
4
2
3
12
Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio
de variable.
Haciendo el cambio tx 1 , calculamos dx: dtxdxdtdxx
22
1 y
sustituimos en nuestra integral:
ktktkt
dttdttdtxx
tdx
x
x 32
32
3
2
1
3
4
3
4
2
32222
1
una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,
con lo que nos quedará:
kx 3)1(
3
4
55. dxxx 1
1 Sol: kx 14
dxffdxxx
dxxx
dxxx
'12
12
1
11
1
12
12
1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
11
kxk
x
14
2
1
12
2
1
Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio
de variable.
Haciendo el cambio tx 1 , calculamos dx: dtxdxdtdxx
22
1 y
sustituimos en nuestra integral:
ktktkt
dttdtt
dtxtx
dxxx
44
2
122
122
1
1
12
12
1
2
1
una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,
con lo que nos quedará:
kx 14
56. dxxx 1 Sol: kxx 2
3
2
5
)1(3
2)1(
5
2
Hacemos la sustitución 1 122 txtx
Calculamos la diferencial de x: dttdx .2 y sustituimos en la integral que deseamos
calcular. Tendremos:
k
ttdtttdttttdtttdxxx
352).(2.).1(22).1(1.
35242222
kxxktt 2
3
2
5
35)1(
3
2)1(
5
2
3
2
5
2
57. dxxx72
)35( Sol: kx 82)35(
80
1
Directamente:
kx
dxffdxxxdxxx8
)35(
10
1')35(10
10
1)35(
8277272
kx 82)35(
80
1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
12
Por sustitución:
Hacemos x
dtdxdtxdxtx
101035
2 y sustituimos en nuestra integral
kxkt
dttx
dtxtdxxx
828
7772)35(
80
1
810
1
10
1
10)35(
58. dxxx10
)52( Sol: kxx
11
)52(5
12
)52(
4
11112
Por sustitución:
Hacemos dtdxt
xtx2
1
2
552
y sustituimos en nuestra integral
dtttdtttdttt
dxxx )5(4
1)5(
4
1
2
1
2
5)52(
1011101010
kxx
ktt
11
)52(5
12
)52(
4
1
115
124
111121112
59. dxxex Sol: kxe
x )1(
Por el método de integración por partes:
kexkexedxexeevdxedv
dxduxudxxe
xxxxx
xx
x
)1(
60. dxexxIx
)53(2 Sol: kxxe
x )105(2
Por el método de integración por partes:
xx
x
evdxedv
dxxduxxudxexxI
)32(53)53(
22
2( 3 5) (2 3)x xx x e e x dx
La integral que nos ha quedado es del mismo tipo que la que pretendemos calcular, por lo
que nuevamente aplicaremos el método de integración de partes:
Hacemos
xx
evdxedv
dxduxu 232 y sustituimos:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
13
dxeexexxdxxeexxI
xxxxx232()53()32()53(
22
keexexxdxeexexxxxxxxx
2)32()53(2)32()53(22
kxxekexxxxx )105(2)32()53(
22
61. dxxx )Ln( Sol: kxx
2
1)(Ln
2
1 2
Por el método de integración por partes:
dxx
xxx
xvxdxdv
dxx
duxu
dxxx1
2
1)Ln(
2
1
2
1
1)Ln(
)Ln(22
2
kxxkxxxdxxxx
2
1)Ln(
2
1
2
1
2
1)Ln(
2
1
2
1)Ln(
2
1 2222
62.
xdxex
cos Sol: kxxe x )cossen (2
1
xdxexe
xvxdxdv
dxedueuxdxeI
xxxx
x sen sen
sencoscos
xdxexe
xx sen sen
Al aplicar el método de partes nos ha quedado una integral del mismo tipo que la que
pretendemos calcular, por lo que volvemos a aplicar el mismo método. En ella hacemos:
sen cos
x xu e du e dx
dv x dx v x
Sustituyendo en la expresión anterior nos queda:
dxexexxexdxexeI
xxxxx)(coscos sen sen sen
dxexexxe
xxxcoscos sen
es decir, volvemos a la misma integral que pretendemos calcular. Entonces:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
14
(sen cos )sen cos 2 sen cos
2
xx x x x e x x
I e x x e I I e x x e I
En consecuencia:
kxxe
xdxeIx
x
2
)cos (sencos
63. dxx)Ln(1 Sol: kxxx )1(Ln)1(
dxx
xxx
xvdxdv
dxx
duxudxx
1
1)Ln(11
1)Ln(1
)Ln(1
dx
xxxdx
x
xxxdx
x
xxx
1
11)Ln(1
1
11)Ln(1
1)Ln(1
kxxxxkxxxx )Ln(1)Ln(1)Ln(1)Ln(1
kxxx )1(Ln)1(
64. dxxxn
)Ln( Sol: kn
xn
xn
1
1)(Ln
1
1
Por el método de integración por partes:
dxx
xn
xxn
xn
vdxxdv
dxx
duxu
dxxxnn
nn
n 1
1
1)Ln(
1
1
1
1
1)Ln(
)Ln(11
1
kxnn
xxn
dxxn
xxn
nnnn 111
1
1
1
1)Ln(
1
1
1
1)Ln(
1
1
kn
xn
xn
1
1)(Ln
1
1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
15
65. dxx sen arc Sol: kxxx 21 arcsen
Hacemos el siguiente cambio:
xv
dxx
du
dxdv
xu21
1 sen arc
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:
dxxxxxdxx
xxxdxx .)1.( sen arc.1
1 sen arc.. sen arc 2
1
2
2
kx
xxdxxxxx
2
1
)1(
2
1 sen arc..)1.(2
2
1 sen arc.
2
1
2
2
1
2
kxxx 21 sen arc.
66. dxx 21 Sol: kxxx 21arcsen
2
1
dx
x
xdx
xdx
x
xdxx
2
2
22
22
11
1
1
11
dx
x
xx
2
2
1 sen arc
La integral que nos queda la realizaremos por partes:
2
222
2
11
11xvdx
x
xdv
dxxu
dxx
xxdx
x
x
dxxxx22
11
Sustituyendo nos queda:
dxxxxxdx
x
xxdxx
22
2
22
11 sen arc1
sen arc1
y se nos repite la misma integral. Entonces:
dxxxxxdxx222
11 sen arc1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
16
kxxxdxxxxxdxx 2222
1 sen arc2
111 sen arc12
67. dxxx sen arc Sol: kxxxx 221 arcsen)12(
4
1
Hacemos el siguiente cambio:
2
1
1
sen arc2
2
xv
dxx
du
xdxdv
xu
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:
dx
x
xx
xdx
x
xx
xdxxx
2
22
2
22
12
1 sen arc
21
1
2 sen arc
2 sen arc
Por el ejercicio anterior tenemos que :
2
222
2
11
11xvdx
x
xdv
dxxu
dxx
xxdx
x
x
22 2 2
2
11 1 1
1
xx x x dx x x dx
x
dx
x
xxxxdx
x
xdx
xxxdx
x
x
2
22
2
2
2
2
2
2
1 sen arc1
11
11
1
En consecuencia:
dx
x
xxxxdx
x
x
2
22
2
2
1 sen arc1
1
Por tanto:
xxxdxx
xxxxdx
x
x sen arc1
2
1
1 sen arc1
12
2
2
22
2
2
Sustituyendo obtenemos:
dx
x
xx
xdxxx
2
22
12
1 sen arc
2 sen arc
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
17
kxxxxx
sen arc12
1
2
1 sen arc
2
22
kxxxxx
sen arc4
11
4
1 sen arc
2
22
kxxxx 221 arcsen)12(
4
1
68. xdx tg arc Sol: kxxx )1(Ln 2
1 tg arc
2
dx
xxxx
xvdxdv
dxx
duxuxdx
22
1
1 tg arc1
1 tg arc
tg arc
kxxxdxx
xxxdx
x
xxx
)1( Ln
2
1 tg arc
1
2
2
1 tg arc
1 tg arc
2
22
69. dxx tg arc Sol: kxxx tg arc )1(
dx
xxxxx
xvdxdv
dxxx
duxudxx
2
1
1
1 tg arc2
1
1
1 tg arc
tg arc
tdt
t
txx
tdtdx
txdx
x
xxx 2
12
1 tg arc
212
1 tg arc
2
2
dt
t
txxdt
t
txx
2
2
2
2
1
11 tg arc
1 tg arc
dt
txxdt
t
txx
22
2
1
11 tg arc
1
11 tg arc
kttxxdtt
dtxx tg arc tg arc1
1 tg arc
2
kxxxkxxxx tg arc)1( tg arc tg arc
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
18
70. dxxx )1( Ln2
Sol: kxxxx 221)1( Ln
Hacemos: )1( Ln2
xxu y dxdv con lo cual
dx
x
x
xxdx
x
x
xxdu
22221
11
1
12
21
1
1
dxx
dxx
xx
xxdu
22
2
2 1
1
1
1
1
1
y xv
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, obtenemos:
dxx
xxxxdxxx2
22
1
1)1( Ln)1( Ln
kxxxxdxx
xxxx
22
2
21)1( Ln
12
2)1( Ln
71. dxx
xx
21
sen arc Sol: kxxx sen arc1
2
2
22
2
2
112
2
1
1
1 sen arc
1
sen arc
xdxx
xvdx
x
xdv
dxx
duxu
dxx
xx
dxxxdxx
xxx sen arc11
11 sen arc1
2
2
22
kxxx sen arc12
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
19
72.
dx
xx
x
)2)(1(
12 Sol:
3( 2)Ln
1
xk
x
Tenemos una integral de tipo racional donde el grado del numerador es menor que el grado del
denominador. Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples:
2
10)2)(1(
x
xxx (raíces reales simples)
Entonces:
)2)(1(
)1()2(
21)2)(1(
12
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
Vamos a calcular los coeficientes indeterminados. Al ser los denominadores iguales, los
numeradores también lo serán. Por tanto:
3 32
111)1()2(12
BBx
AAxxBxAx
Por tanto,
dxx
dxx
dxxx
dxxx
x
2
13
1
1
2
3
1
1
)2)(1(
12
3( 2)Ln ( 1) 3 Ln ( 2) Ln
1
xx x k k
x
73. )5)(3)(1( xxx
xdx Sol:
6
5
1 ( 3) Ln
8 ( 1)( 5)
xk
x x
Tenemos una integral de tipo racional donde el grado del numerador es menor que el grado del
denominador. Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples:
5
3
1
0)5)(3)(1(
x
x
x
xxx (raíces reales simples)
Entonces:
5315)(3)(1( x
C
x
B
x
A
xxx
x
)5)(3)(1(
)3)(1()5)(1()5)(3(
xxx
xxCxxBxxA
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
20
Para calcular los coeficientes indeterminados, al ser los denominadores iguales, los
numeradores también lo serán. Por tanto:
8
5855
4
3 433
8
1811
)3)(1()5)(1()5)(3(
CCx
BBx
AAx
xxCxxBxxAx
Por tanto,
dx
xxxxxx
xdx
5
8
5
3
4
3
1
8
1
)5)(3)(1(
kxxxdxx
dxx
dxx
)5(Ln8
5)3(Ln
4
3)1(Ln
8
1
5
1
8
5
3
1
4
3
1
1
8
1
kxx
xkxxx
5
6
)5)(1(
)3( Ln
8
1)5( Ln5)3( Ln6)1( Ln
8
1
74.
dx
xx
xx
4
83
45
Sol: 3 2 2 5
3
( 2)4 Ln
3 2 ( 2)
x x x xx k
x
Al ser el grado del numerador mayor que el grado del denominador, antes de aplicar el método
de descomposición en fracciones simples tendremos que dividir. De esta forma obtenemos:
5 4 22
3 3
8 4 16 84
4 4
x x x xx x
x x x x
En consecuencia:
5 4 22
3 3
8 4 16 8( 4)
4 4
x x x xdx x x dx dx
x x x x
3 2 2
3
4 16 84
3 2 4
x x x xx dx
x x
A la integral que nos queda le aplicamos el método de descomposición en fracciones simples.
Calculamos las raíces del denominador:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
21
3 20
4 0 ( 4) 02
xx x x x
x
Entonces:
2
3
4 16 8 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)
4 2 2 ( 2)( 2)
x x A B C A x x Bx x Cx x
x x x x x x x x
Como los denominadores son iguales, los numeradores también lo serán; por tanto:
24 16 8 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)x x A x x Bx x Cx x
Calculamos los coeficientes indeterminados: le vamos asignando los valores de las raíces
0 8 4 2
2 40 8 5
2 24 8 3
x A A
x B B
x C C
Por tanto, la fracción descompuesta en fracciones simples nos queda:
2
3
4 16 8 2 5 3
4 2 2
x x
x x x x x
La integral de la función pedida será:
5 4 3 2 2
3 3
8 4 16 84
4 3 2 4
x x x x x xdx x dx
x x x x
3 2 2 5 3
43 2 2 2
x xx dx
x x x
3 2 2 5 34
3 2 2 2
x xx dx dx dx
x x x
3 2 1 1 14 2 5 3
3 2 2 2
x xx dx dx dx
x x x
3 2
4 2 Ln | | 5 Ln | 2 | 3 Ln | 2 |3 2
x xx x x x k
3 2 2 5
3
( 2)4 Ln
3 2 ( 2)
x x x xx k
x
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
22
75. )2)(1( 2
4
xx
dxx Sol:
2
3
1 ( 1) 162 Ln Ln | 2 |
2 6 ( 1) 3
x xx x k
x
Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, tenemos que dividir,
obteniendo:
4 2
2 2
5 42
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x xx
x x x x
Con lo que
4 2 2 2
2 2 2
5 4 5 4( 2) 2
( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2)
x dx x x xx dx dx x dx
x x x x x x
y tendremos que integrar la función racional que nos queda, donde el grado del numerador es
menor que el grado del denominador.
Descomponemos en fracciones simples:
2
2 2
5 4 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)
( 1)( 2) 1 1 2 ( 1)( 2)
x A B C A x x B x x C x x
x x x x x x x
Como los denominadores son iguales, también lo serán los numeradores. Entonces:
25 4 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x A x x B x x C x x
Calculamos los coeficientes indeterminados:
11 1 6
6
11 1 2
2
162 16 3
3
x A A
x B B
x C C
Entonces: 2
2
1 1615 4 6 32
( 1)( 2) 1 1 2
x
x x x x x
Y, por tanto:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
23
4 2 2 2
2 2
1 1615 4 6 322 2
( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 1 1 2
x dx x x xx dx x dx
x x x x x x x
2
1 161
6 3222 1 1 2
xx dx dx dx
x x x
2 1 1 1 1 16 12
2 6 1 2 1 3 2
xx dx dx dx
x x x
2 1 1 162 Ln | 1| Ln | 1| Ln | 2 |
2 6 2 3
xx x x x k
2 1 16
2 Ln | 1| 3 Ln | 1| Ln | 2 |2 6 3
xx x x x k
2
3
1 1 162 Ln Ln | 2 |
2 6 ( 1) 3
x xx x k
x
76. )2()1( 2 xx
dx Sol:
1 2Ln
1 1
xk
x x
Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador aplicamos la
descomposición en fracciones simples directamente:
2
2 2 2
1 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)
( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
A B C A x x B x C x
x x x x x x x
21 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)A x x B x C x
Calculamos los coeficientes:
1 : 1 1
2 : 1
0 : 1 2 2 1 2 2 1 1
x B B
x C
x A B C A A
Entonces:
2 2
1 1 1 1
( 1) ( 2) 1 ( 1) ( 2)dx dx dx dx
x x x x x
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
24
21 1( 1)
1 2dx x dx dx
x x
1( 1) 1 2Ln | 1| Ln | 2 | Ln
1 1 1
x xx x k k
x x
77. dxxxx
x
44
823
Sol: kx
x
x
2
2)2(Ln
2
3
Igual que en el anterior, aplicamos la descomposición en fracciones simples:
Calculamos las raíces del denominador:
3 2 2 20
4 4 0 ( 4 4) 0 ( 2) 02 (doble)
xx x x x x x x x
x
Entonces:
2
3 2 2 2
8 ( 2) ( 2)
4 4 2 ( 2) ( 2)
x A B C A x Bx x Cx
x x x x x x x x
28 ( 2) ( 2)x A x Bx x Cx
Calculamos los coeficientes:
0 8 4 2
2 6 2 3
1 7 7 7 2 3 2 2
x A A
x C C
x A B C B A C B
Entonces:
3 2 2
8 2 2 3
4 4 2 ( 2)
xdx dx
x x x x x x
2
2
1 1 12 2 3 2Ln | | 2Ln | 2 | 3 ( 2)
2 ( 2)dx dx dx x x x dx
x x x
1 2
2
( 2) 3 ( 2)2Ln | | 2Ln | 2 | 3 Ln
1 2
x xx x k k
x x
