INTEGRALESTema 12

Introduccin al clculo integral

MTODOS DE INTEGRACINTema 12.2 * 1 BCT

Introduccin al clculo integral

MTODOS DE INTEGRACINDada una funcin f(x) no siempre es posible calcular su integral; unas veces porque no se trata de una funcin de las estudiadas hasta ahora y otras veces porque, an sindolo, no sabemos determinarla.Mediante ciertos mtodos de clculo, se pueden determinar la mayora de las integrales, reducindolas a otras inmediatas.

INTEGRAL LOGARTMICA

La derivada de la funcin y = ln f(x), sabemos que es y = f (x) / f(x)Por consiguiente: f (x) ------- dx = ln f(x) + C f (x)

La integral indefinida del cociente de dos funciones, cuando el numerador es la derivada del denominador, es igual al logaritmo neperiano del denominador, ms una constante.

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MTODOS DE INTEGRACINEjercicios 2x1.- Calcular la integral indefinida de: f(x) = ---------- 1 + x2 2.- Calcular la integral indefinida de: f(x) = tg x. Clave: tg x = sen x / cos x ex + 13.- Calcular la integral indefinida de: f(x) = ---------- ex + xResolucin

1.-1 + x2 = t 2.x dx = dt I = ln t + C I = ln (1 + x2) + C

2.- cos x = t sen x dx = dt I = ln t + C I = ln (cos x) + C

3.- ex + x = t (ex + 1) dx = dt I = ln t + C I = ln (ex + x) + C

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MTODOS DE INTEGRACININTEGRACIN POR DESCOMPOSICIN

Segn las propiedades de la integral indefinida: [f(x) + g(x)] dx = f(x)dx + g(x)dxLo que permite calcular la integral indefinida de una funcin cuando la funcin a integrar se puede expresar como suma de dos o ms funciones de integral conocida.

Ejemplos 1.- (2.x+3) dx = 2.x dx + 3 dx = x2 + 3.x + C 2.- x + 1 1 1 ---------- dx = (1 + --- ) dx = 1 dx + --- dx = x + ln x + C x x x3.- (4.ex (1/3).sen x) dx = 4. ex + (1/3). sen x dx = = 4.ex + (1/3).cos x + C

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MTODOS DE INTEGRACININTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE

A veces, para calcular una integral f(x) dx se efecta un cambio de variable x = g(t), lo que evita muchos errores al quedar la expresin mucho ms simplificada.Sustituyendo x por g(t) y dx por g'(t)dt y entonces resulta: f(x) dx = f [ g (t) ] g'(t) dt

Ejemplo 1

e3x dx Hacemos el cambio: 3.x = t Derivando queda:dx = dt dx = dt / 3

Luego: et dt / 3 = (1/3). et dt = (1/3).et + C = (1/3).e3x + C

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MTODOS DE INTEGRACINEjemplo 2

sen5 x. cos x dx Hacemos: sen x = t Derivando: cos x dx = dt sen6 xLuego: sen5 x .cos x dx = t5 dt = t5+1/ (5+1) + C = ---------- + C 6

Ejemplo 3

2.x. sen x2 dx Hacemos: x2 = t Derivando: 2.x dx = dt Luego: 2.x.sen x2 dx = sen t dt = - cos t + C = - cos x2 + C

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INTEGRAL DEFINIDASi f es una funcin continua y no negativa en un intervalo [a, b], se llama integral definida de f entre a y b el rea de la regin limitada por la curva y = f(x), el eje de abscisas y las rectas verticales x=a y x=b.Se representa por: b f(x) dx a Si f es una funcin continua y negativa en un intervalo [a, b], entonces representa el opuesto del rea descrita anteriormente.

Si f cambia de signo entre a y b se divide el intervalo [a, b] en intervalos en los que f sea de signo constante, y se aplica en cada uno de ellos la definicin que corresponda y se define: b m n b f(x) dx = | f(x) dx | + | f(x) dx | + + | f(x) dx | a a m qSiendo m, n, , q los puntos en los que f cambia de signo, f(x)=0

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EjemploSea la funcin f(x) = x.(x 2).(x + 1)Calcular el rea originada entre la funcin y el eje de abscisas.

SolucinOperando tenemos:

f(x)=x3 x2 2.xUna primitiva de f(x) sera:F(x)=(1/4).x4 (1/3).x3 x2Las abscisas x = 1, x = 0 y x = 2 nos dividen la zona a calcular en dos partes: [ 1, 0] y [0, 2] 2 0 2 f(x) dx = | (x3 x2 2.x) dx | + | (x3 x2 2.x) dx | = 1 1 0= | F(0) F( 1)| + |F(2) F(0)| = |0 (1/4 + 1/3 1)| + |(4 8/3 4) 0| == |5/12| + |-8/3| = 5/12 + 32/12 = 37/12A+A

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Regla de BARROWSea f(x) una funcin continua en un intervalo [a, b] y supongamos obtenida una primitiva y = F(x) de dicha funcin. El rea que alberga y=f(x) con el eje de abscisas y las coordenadas x= a , x=b, es :

rea = F(b) - F(a)Es decir: b b f(x) dx = F(b) - F(a) = [ F(x) ]a a 5 3 4 5 4 4Ejemplo: 4 .x dx = F(5) - F(2) = [ x ] = 5 - 2 = 2 2 = 625 - 16 = 609 unidades cuadradas.

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EjemploSea la funcin f(x) = sen xCalcular el rea originada entre la funcin y el eje de abscisas, en el intervalo [ ,].

SolucinTenemos que f(x)=sen xUna primitiva de f(x) sera:F(x)= cos xLas abscisas x = , x = 0 y x = nos dividen la zona a calcular en dos partes: [ , 0] y [0, ] 0 f(x) dx = | sen x dx | + | sen x | = 0= | F(0) F( )| + |F() F(0)| = |( 1) (1)| + |(1) ( 1)| == | 2| + |2| = 2 + 2 = 4A+A

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PROPIEDADES DE LA I. DEFINIDA1.- Sea f(x) una funcin continua en un intervalo [a, b] y a < c < b b c b f(x) dx = f(x) + f(x) a a c

2.- Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo [a, b] b b b [ f(x) + g(x) ] dx = f(x) dx + g(x) dx a a a 3.-Sea f(x) una funcin continua en un intervalo [a, b] y k un n real. b b k. f(x) dx = k . f(x) dx a a

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Ejemplo 1

3 2 3 2x dx = 2x dx + 2x dx F(x) = x2 1 1 2 F(3) F(1) = (F(2) F(1)) + (F(3) F(2))9 1 = (4 1) + (9 4) 8 = 3 + 5

Ejemplo 2

3 3 3 (2x 1) dx = 2x dx dx F(x) = x2 , G(x) = x 1 1 1 (F+G)(3) (F+G)(1) = (F(3) F(1)) + (G(3) G(1))(9 3) (1 1) = (9 1) + ( 3 (1)) 6 0 = 8 + ( 2) 6 = 6 Ejemplo 3

1 1 2. ex dx = 2. ex dx F(x) = 2.ex , G(x) = ex 0 0 F(1) F(0) = 2.(G(1) G(0))(2.e 2) = 2.(e 1) 2.e 2 = 2.e 2

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