Integrales
4
Integrales Integrales impropias Una integral es impropia si: Uno o los dos límites de integración son infinito (impropia de 1ª especie) La función f(x) no está acotada en el intervalo [a,b] (impropia de 2ª especie) Estas integrales se resuelven utilizando límites y por lo tanto nos podemos encontrar dos situaciones: o Que el límite sea finito: entonces la integral es CONVERGENTE y su valor corresponde con el valor del límite (ejemplo superior). o Que el límite no exista o sea infinito: entonces la integral es DIVERGENTE y su valor queda indeterminado. Integrales impropias · Integrales impropias de primera especie (función continua en una semirrecta): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la aditividad respecto del intervalo; Condición necesaria para la convergencia; Teorema sobre la linealidad; No oscilación de integrales con integrando no negativo; Criterios de comparación; Criterio de convergencia dominada; Criterio de convergencia absoluta y la integral de Poisson. · Integrales impropias de segunda especie (funciones continuas en un intervalo acotado, salvo en uno de los extremos del intervalo): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la relación entre las integrales impropias de segunda especie y las de primera especie. · Integrales impropias mixtas (funciones continuas en un intervalo, acotado o no acotado, salvo en un número finito de puntos del intervalo): Definición de integral convergente, o no convergente; Las funciones Beta y Gama de Euler y Generalización del teorema fundamental. INTEGRALES IMPROPIAS.
Transcript of Integrales
IntegralesIntegrales impropias
Una integral es impropia si:
Uno o los dos límites de integración son infinito (impropia de 1ª especie) La función f(x) no está acotada en el intervalo [a,b] (impropia de 2ª especie) Estas integrales se resuelven utilizando límites y por lo tanto nos podemos encontrar dos situaciones:
o Que el límite sea finito: entonces la integral es CONVERGENTE y su valor corresponde con el valor del límite (ejemplo superior).
o Que el límite no exista o sea infinito: entonces la integral es DIVERGENTE y su valor queda indeterminado. Integrales impropias
· Integrales impropias de primera especie (función continua en una semirrecta): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la aditividad respecto del intervalo; Condición necesaria para la convergencia; Teorema sobre la linealidad; No oscilación de integrales con integrando no negativo; Criterios de comparación; Criterio de convergencia dominada; Criterio de convergencia absoluta y la integral de Poisson.
· Integrales impropias de segunda especie (funciones continuas en un intervalo acotado, salvo en uno de los extremos del intervalo): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la relación entre las integrales impropias de segunda especie y las de primera especie.
· Integrales impropias mixtas (funciones continuas en un intervalo, acotado o no acotado, salvo en un número finito de puntos del intervalo): Definición de integral convergente, o no convergente; Las funciones Beta y Gama de Euler y Generalización del teorema fundamental.
INTEGRALES IMPROPIAS.
Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.
Integrales impropias de primera especie.
Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x)=1
x2con el eje X, a partir
de x = 1. =
∫1
+∞
dx= lim ¿b→∞
∫1
b1x2dx=+¿ lim ¿
b→∞ [ x−1−1 ]b1 limn→∞ (1+ 1n )n
¿¿¿
Integrales impropias de segunda especie.
Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:
ln x dx=ln x dx=x ln x−x=−1−ln=−1. El recinto tendrá 1 u.a.
Carácter y valor de las Integrales Impropias
Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:
1-Primera especie
Son del tipo: ∫−∞
+∞
f ( x )dx= lim ¿a→∞
∫c
b
f ( x )dx+¿ lim ¿b→∞
∫c
b
f ( x )dx .¿¿¿
Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos el primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente):
Si existe él y es finito y en ese caso
, entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente si
es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.
2-Segunda Especie
Son del tipo: y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración.Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a):
Si existe el existe y es finito y en este caso
, entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso o no.
3-Tercera Especie
Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.
