Integrales

DefiniciónDefiniciónUna función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.

EjemploEjemploSe necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que:

Por lo tanto F es una primitiva de f.

4)( xxF 34 4xxdxd

Familia de Primitivas:Familia de Primitivas:Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:

EjemploEjemploSabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 así que las siguientes funciones:

G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123

también son primitivas de f(x).

CxFxG R

C

Ix

CxxG 4 Es la familia de primitivas de f(x)

Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:

DefiniciónDefiniciónEl proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos:

lo que significa que:

dxxf

CxFdxxf

xfxFCxFdxd

'

RC

Partes de la Integración:Partes de la Integración:

CxFdxxf

Variable de Integración

Integrando

Símbolo de la

Integración

Constante de

Integración

Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:

1.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Cxdxx

ln1

dxxgdxxfdxxgxf

11

1

nCn

xdxx

nn

dxxfkdxxkf

Cedxe xx Ca

adxa

xx

ln

Cxsenxdx cos Csenxxdxcos

Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:

9. 10.

11. 12.

13. 14.

Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2

Cxxdxx sectansec Cxxdxx csccotcsc

Cxdxx

12

tan1

1

Cxsendxx

1

2 1

1

Ejemplo:Ejemplo:

Encuentre las siguientes integrales indefinidas:

1. 2.

3. 4.

5.

dxx3

1 dxx

senxdx2 dxx 2

dxxxx 24 53

Solución:Solución:

C2x1

dxx1

23C

xdxx

2

23

Cx32

dxx 3 CxCx

dxx 232

3

2/1

32

23

C2cosx2senxdx Cxdxsenx cos22

1.

2.

3.


C2x2x

dx2x2

dxdxx 2

xdxdxxdxx 24 53dxx5x3x 24

Cx21

x35

x53 235

C

xxx23

55

3235

4.

5.

Ejercicios para resolver en Clase:Ejercicios para resolver en Clase:


1.

2.

3.

dxxx 24 sec210

dxxx 63

dx

xxx

23 3

62

Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:


1.

2.

3.

dxxx 122/3

dxxsenx cos32

dxx

xx 12

Identidades Fundamentales:Identidades Fundamentales:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

senxx

1csc

xx

cos1

sec

xsenx

xcos

tan xsenxx coscot

xx

tan1

cot 1cos22 xxsen

xx 22 sec1tan xx 22 csc1cot

Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración:

15. 16.

17. 18.

Cxxdx coslntan Csenxxdx lncot

Cxxxdx tanseclnsec Cxxxdx cotcsclncsc

Ejemplo:Ejemplo:

Calcular la siguiente integral


dyy 1tan2

Ctany ydydyy 22 sec1tan

Ejercicios para Resolver en Clases:Ejercicios para Resolver en Clases:

1. Resolver las siguientes integrales

a) b)

c)

dxxsenx cos32

dxxxcotcsc1

dxsenxx2sec

Entre ambas ramas existe una relación descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la diferenciación e integración son operaciones mutuamente inversas.

Teorema Fundamental de CálculoTeorema Fundamental de Cálculo

Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces:

Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:

b

a

aFbFdxxf )()(

b

a

ba aFbFxFdxxf )()(

Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida

Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:

1. Si k es cualquier constante entonces:

2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:

dxxfkdxxkfb

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a


3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:

4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:

dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a

0 dxxfa

a


5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:

dxxfdxxfa

b

b

a

EjemploEjemplo

Resuelva las siguientes integrales:

1.dxx

4

1

3

dxxx

1

0 32.

Solución:Solución:2. Geométricamente la integración de la función (2) en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:

14

4

1

2/34

1

21

2/333

xdxx /dxx3

4

1

2/32/3 1242

Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase

Resolver las siguientes integrales:

1.

2.

dxx1

0

2

dxx

0

1

2

Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea

Resolver las siguientes integrales:

1.

2.

3.

dxx

2

12

13

dxx

1

1

3 2

dxx

x

4

1

2

Método de SustituciónMétodo de SustituciónSea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:

Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y:

Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.

CxgFdxxgxgf '

CuFduuf

Ejemplo:Ejemplo:

1. Resolver la integral:


dxxx 13 32

duuduudxxx 2/132 13

dxxdu

xu2

3

3

1

CuCu

2/32/3

32

23

C1x32 33 cx

2/33 132

Ejercicios para Resolver en ClasesEjercicios para Resolver en Clases

1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

dxxx 42 12

dxxx 22 1

dxx)5cos(5

Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución.

Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:

4

0

2/34

0

4

0 2/312

21

21221

12

xdxxdxx

326

12731

131

931

1231 2/32/3

4

0

2/3x

El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación:

Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces

duufdxxgxgfbg

ag

b

a

)(

)(

'

EjemploEjemplo

SoluciónSoluciónTomando la sustitución u=2x+1 tenemos que

Hallamos los nuevos límites de integración:

dxx 4

0

12

dxdu 2 dudx21

110200 ux

914244 ux

Por lo tanto:

duu 9

1

dx12x4

0

912/39

1

2/3

9

1

2/39

1

2/1

31

32

21

322

121

uuu

duu

326

2/32/3 1931

Ejemplo:Ejemplo:Evaluar la siguiente integral dxxx

1

0

32 1

xdxdu

xu

2

12

xdxdu

21 11000 2 ux

21111 2 ux

duuduu 2

1

32

1

3

21

21

815

44 1281 214

2

1

4

81

421

uu


Evaluar las siguientes integrales:

1.

2.

3.

dxx

x

5

1 12

dxxxe

1

ln

dxx 7

3

3


Calcular las siguientes integrales

1.

2.

3.

dxx

xx

732

dxxx

1

1

32 1

dxxx 292

Índice

1 Área del recinto donde interviene una función

1.1 La función f(x) es positiva en [a, b]1.2 La función f(x) es negativa en [a, b]1.3 La función toma valores positivos y negativos en [a, b]

2 Área del recinto donde intervienen dos funciones

2.1 Las dos funciones no se cortan en [a, b]2.2 Las dos funciones se cortan en [a, b]

1.1 La función f(x) es positiva en [a, b]

b,aen0)x(f

Área del recinto = b

a

dx)x(f

1 Área del recinto donde interviene una función

El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos recta verticales x =a y x = b.

y=x2

y=x4-2x3+2

Área = 2

4

2

4

2

32 u

3

56

3

8

3

64

3

xdxx

Área =

2

1

2

2

1

4534 u

10

51x2

2

x

5

xdx)2x2x(

Ejemplos1. Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2, el eje OX, la recta x = 2 y la recta x = 4.

2. Hallar el área de la región R limitada por la curva y = x4 – 2x3 + 2 entre x = -1 y x = 2.

1.2 La función f(x) es negativa en [a, b]

Área del recinto = - b

a

dx)x(f

Ejemplo:

Área = 2

2

2

2

2

32 u

3

16

3

8

3

8

3

xdx)x(

y = -x2

Hallar el área del recinto determinado por la parábola de ecuación y = -x2, el eje OX y las rectas x = -2 y x = 2

El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos recta verticales x =a y x = b.

1.3 La función toma valores positivos y 1.3 La función toma valores positivos y

negativosnegativos

Área (R) = be

ed

dc

ca

dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f

Ejemplo:

1. Hallar el área delimitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX en el intervalo [0 , 2]

2

2

3 2

y=cosx

Área (R) = 2u4dxxcosdxxcosdxxcos 2

3

2

2

2

3

2

0

Ejemplo:2. Hallar el área limitada por la curva y = x3 – 6x2 + 8x y el eje OX.

Área (R) = 242

2320

23 u8dx)x8x6x(dx)x8x6x(

y = x3 – 6x2 + 8x

Ejemplo:1. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x2 e y = 2x – 3 entre x = 2 y x = 4

Área (R) = 24

22 u

3

38dx)]3x2(x[

y = x2

y = 2x – 3

2.2 Las dos funciones se cortan en [a, b]

Área (R) = bc

ca

dx)]x(g)x(f[dx)]x(f)x(g[

Ejemplo:1. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x2 e xy

y = x2

xy

Área (R) = 2

1

0

323

10

210

21

u3

1

3

xx

3

2dxxdxx

Ejemplo:2. Hallar el área del recinto limitado por la parábola y = x2 , la recta y = -x + 2 y el eje OX

Área (R) = 22

110

2 u6

5dx)2x(dxx

y = x2

y = - x + 2

Cuando una región plana es girada alrededor de un eje de revolución engendra un sólido de revolución.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Ejemplo: El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.


Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, usar la fórmula siguiente:

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)

Sea la función dada por y=f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a,b]. La longitud de arco de f entre a y b es:

Longitud de arco

La definición de longitud de arco puede aplicarse a una función lineal.

Longitudes de arco(EJEMPLO)

Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:

Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:

dxxfxgxgxfdxxgxf ''

)(

)(

xgv

xfu

dxxgdv

dxxfdu

)('

)('

vduuvudv

EjemploEjemplo

SoluciónSolución

De manera que:

dxxsenxxu dxdu

dxxsendv )(xv cos

dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos

Csenxxcosx

SoluciónSoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cos(x)dx y v=x2/2 por lo que:

es una integral mas difícil de calcular.

dxxsenx

dxxxsenxx

dxxsenx cos21

22

2

dxcosxx2

EjemploEjemplo

SoluciónSolución

De manera que:

La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.

dxex x 2

2xu xdxdu 2

dxedv xxev

dxxeexdxex xxx 222

dxxexxu dxdu dxedv x xev

Cexedxexedxxe xxxxx 2

Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222

1xxx2 C2e2xeex CC 21



1.

2.

3.

4.

dxxln

dxsenxexdxxx ln2

dxx 3sec

Fórmula de Integración por Partes para Integrales DefinidasFórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas

b

a

b

a

ba vduuvudv

EjemploEjemplo

De donde:

Por lo tanto:

dxxex1

0

dxdu

xu

x

x

ev

dxedv

101

0

1

0

1

0

1

0

xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee



1. 5.

2. 6.

3. 7.

4.

dxxe x 2

dxxx cos

dxxsen 1

dxsen cos

dxxx2

0

2cos

dxx4

1

ln

dxxx 1

0

1tan

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