ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS (ICM)

MATERIA: CALCULO INTEGRAL

ESTUDIANTE: SOLIS MOROCHO DIEGO

Profesor: ING. ANTONIO CHONG ESCOBAR

EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRAL DEFINIDA

1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifique sus respuestas.

a) Si f es continua y 0)( ≥xf para toda x en [a, b] entonces ∫ ≥b

a

.dx)x(f 0

b) Si ∫ ≥b

a

dx)x(f 0 entonces 0)( ≥xf para toda x en [a, b].

c) Si 0=∫ dx)x(fb

a

entonces f(x)=0 para toda x en [a, b].

d) Si 0)( ≥xf y 0=∫ dx)x(fb

a

entonces f(x)=0 para toda x en [a, b].

e) Si dx)x(gdx)x(fb

a

b

a∫ ∫> entonces [ ] 0>−∫ dx)x(g)x(f

b

a

f) Si f y g son continuas y f(x)>g(x) para toda x [a, b] entonces ∫∫ >b

a

b

a

dx)x(gdx)x(f

g) Sea f continua en [a, b] y por lo tanto integrable en [a, b]. Demuestre que ∫∫ ≤b

a

b

a

dx)x(fdx)x(f

Sugerencia: utilice la propiedad: )x(f)x(f)x(f ≤≤−

h) La función ∫∫ ++

+=

xxdt

tdt

t)x(f

02

1

02 1

1

1

1 es constante para x>0.

i) Si f es una función integrable en el intervalo [0,2], entonces ∫∑ =

=∞→

1

01

22dx)x(f

n

if

nlim

n

in

j) Si f no es continua en el intervalo [a,b], entonces f no es integrable en [a,b].

k) ( ) ( )∫∫ +=++−

27

0

2427

27

234 2 dxcxaxdxcxbxax

l) ( ) ( )∫∫−

−

=−a

b

b

a

dxxfdxxf

m) ∫∫−

−=−

a

b

b

a

dx)x(fdx)x(f2

22

12

n) Si )(xF es una antiderivada cualquiera de la función )(xf en [ ]ba, , entonces )12( −xF es una

antiderivada de la función )12( −xf en [ ]ba, .

o) Si )(xf es una función continua en el intervalo [ ]ba, y ∫ =b

akdxxf )( , entonces ∫ =

b

akdxxf 22 )( .

p) ∫−

=−3

1

3)1sgn( dxxx

q) Si )(xf es una función tal que ∫ −=b

adxxf 5)( , entonces ∫ =

b

adxxf 5)( .

r) ( )∫

−−=

+

+

2

2

221

22

3

edxex

xsen x

s)

+=

+∫ 63 1

1cos2

2

0 1

1

xx

xdt

tsen

dx

d

t) ( )( )∫−

=+π

π

πedxexsenx x 252

u) ( )∫ −=π6

0

)1(12)cos()( edxxe xsen

3. En los siguientes problemas encuentre G’(x).

∫=x

tdt)x(G1

2 ∫=1

2x

tdt)x(G dt)ttan()t(cos)x(Gx

∫=1

3 2 dt)t(

t)x(G

x

x∫

−

+=

22

2

1tdt)x(G

)x(sen

)xcos(∫= 5

4. Calcular:

a) ∫→ xx

dt)tcos(

xlim

0

204

10b)

20

0

)1ln(

limx

dttx

x

∫ +

−→

c)

23

00

649

lim

x

dtttx

x

∫ +

+→ d)

∫

∫

∞→ xx

xx

x

dxe

dxe

0

2

2

0

2

2

lim

5. Calcule las siguientes integrales definidas.

∫

π

π−

+−3

3

234 23 dx)x(cosx)xtan(x)x(senx[ ]dxxx∫

−

2

1

. dxx∫−

5

3

))(sgn(µ xdex x∫−

4

2

)()sgn( µ

si;dx)x(f∫4

0

≤≤−<≤<≤

=424

21

101

xsi;x

xsi;x

xsi;

)x(f si;dx)x(f∫4

1

33)( −+= xxf

( )∫π

π−+ dx)tcos(x 53 [ ]( )dxxx∫

−

−3

3

6. Sea f una función impar, g una función par y suponga que ∫ ∫ ==1

0

1

0

3dx)x(gdx)x(f , calcular las

siguientes integrales.

∫−

1

1

dx)x(f dx)x(g∫−

1

1∫−

1

1

dx)x(f [ ]dx)x(g∫−

−1

1

dx)x(xg∫−

1

1∫−

1

1

3 dx)x(g)x(f

7. Halle el área entre la función 12 += x)x(f y el eje x en el intervalo [0,1], a partir de rectángulos

inscritos y circunscritos y luego halle el límite de ambos métodos para demostrar que se obtiene igual resultado.

8. Calcule la suma de Riemann i

n

i

__

i x)x(f ∆∑=1

para los datos que se dan:

a) 1−= x)x(f ; P : 3 < 3.75 < 4.25 < 5.5 < 6 < 7; 56675443 54321 .x;x;.x;x;x__________

=====

b) 24 xx)x(f += en el intervalo [1,9], donde: 97421 83210 ===== x;x;x;x;x y con puntos

de

muestra: 8632 3210 ====________x;x;x;x

9. Hallar la suma de Reimann para ( ) xxxf 42 += en el intervalo [ ]9,0 , donde 00 =x , 11 =x , 32 =x ,

73 =x , y 94 =x , y donde los puntos de muestra son: 11 =c , 22 =c , 53 =c , .74 =c

10. Hallar la suma de Reimann asociada a ( ) )cos(xxf = en el intervalo [ ]π2,0 , donde 00 =x , 4/1 π=x ,

3/2 π=x , π=3x , y π24 =x , y donde los puntos de muestra son: 6/1 π=c , 3/2 π=c ,

,3/23 π=c y .2/34 π=c

11. Utilice los valores que se dan y exprese el límite dado como una integral definida:

311

3

0==∆∑

=→b,a;x)x(lim

n

ii

__

iP

π==∆∑=∞→

b,a;x)xsen(limn

ii

__

in

01

2