INTEGRACIÓN_NUMERICA

1 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS

MTODOS NUMRICOS CON SOFTWARE MATLAB

INTEGRACIN NUMRICA

La Integral Definida .- Para Calcular la integral definida b

adxxf )( por el segundo teorema fundamental del

clculo se tiene T= )()()( )( afbfdxxf xfb

a

b

a. Es decir

Sin embargo, para el clculo de la antiderivada existen integrales definidas tales como :

a) dxex

1

0

2

b) dxx

xsen23

2

)( c) dx

x

xsenh2

0

)(

para los cuales no existe un mtodo conocido para encontrar su antiderivada, pero si la funcin f(x) es continua en

el intervalo [a , b] la integral existe y es un nmero nico. Para estos casos, en que no se pueden encontrar la

antiderivada, veremos el mtodo del trapecio para estimar el valor de una integral definida.

MTODO DEL TRAPECIO

La regla trapezoidal es un mtodo de integracin numrica que se basa en la integracin de la frmula de

interpolacin lineal. Supongamos que se evala dxxfI

b

a

)( .. (1)

Aproximamos f(x) mediante una interpolacin lineal 21)( fab

axf

ab

xbxg ... (2)

donde : )(;)( 21 bffaff entonces la ecuacin (1) se convierte en

b

a

b

a

ffh

dxxgdxxfI )(2

)()( 21 con .(3)

abh .. (4) La ecuacin (3) es la regla trapezoidal, que se puede escribir como

b

a

Effh

dxxfI )(2

)( 11 .. (5)

donde E representa el error por truncamiento.

y

x

x=a x=b

y=f(x)

T T

x1=a

f1

f2

y

x2=b

x

y=f(x) g(x)

Fig. 1


La regla trapezoidal se ilustra grficamente en la figura (1). El rea bajo la interpolacin lineal, g(x), es igual a la

integral calculada por la regla trapezoidal, mientras que el rea bajo y=f(x) es el valor exacto. Por tanto el error de

la ecuacin (3 es igual al rea entre g(x) y f(x), y es aproximadamente ''12

1 3 fhE

GENERALIZACIN DEL MTODO DEL TRAPECIO

La ecuacin (5) puede extenderse a mltiples intervalos. Si la integrada se representa mediante (n+1) puntos de

datos con puntos de abscisas igualmente espaciados, la ecuacin (5) puede aplicarse repetidamente a cada intervalo.

La ecuacin as obtenida es la regla trapezoidal extendida y se escribe as:

Effffffh

dxxfI nn

b

a

14321 22222

)( :

Efffh

dxxfI n

n

i

i

b

a

1

1

1 22

)( , donde :

1,,3,2,1

)(

)1(

ni

xff

hiax

n

abh

ii

i

Equivalente a: Exfxfxfh

dxxfI n

n

i

i

b

a

)()(2)(2

)( 11

1

El trmino error de la regla trapezoidal extendida est dado por

''..12

2 fhab

E o en forma equivalente, por ''.12

)(2

3

fn

abE

Donde ''f es la media de ''f en bxa

Fig(2)-Regla Trapezoidal extendida

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROGRAMA DE LA REGLA COMPUESTA DEL TRAPECIO

function trapecio

f=input('Ingrese la funcin a integrar f(x)=','s');

a=input('Ingrese el lmite inferior=');

b=input('Ingrese el lmite superior=');

n=input('Ingrese el valor de M=');

xmin=a-1;

xmax=b+1;

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

x

x1

f1 f2 y

x3

y=f(x)

x2 x4

f3

f4


fx=eval(f);

y=abs(fx);

A=y(1)+y(n+1);

B=2*sum(y(2:n));

integral=(h/2)*(A+B);

fprintf('El rea es: %10.9f\n',integral);

%GRFICA DE LA INTEGRAL

xp=xmin:0.2:xmax;

x=xp;

yp=eval(f);

plot(xp,yp,'b');

hold on

x=a:0.05:b;

y=eval(f);

bar(x,y,'r');

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('rea bajo la curva')

grid on

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

E-1) Sea la funcin real )2(2)( xsenxf , calcular

6

1

)( dxxf usando la regla compuesta del trapecio con

11 nodos

Resolucin

%Ploteo de la curva a integrar

x=0:0.01:7;

y=2+sin(2*sqrt(x));

plot(x,y,'k')

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('Curva a Integrar')

grid on

%COMPILARLO CON EL PROGRAMA TRAPECIO ASI: trapecio

>> trapecio

Ingrese la funcin a integrar f(x)=2+sin(2*sqrt(x))

Ingrese el lmite inferior=1

Ingrese el lmite superior=6

Ingrese el valor de M=10

%Resultado del rea bajo la curva es:

El rea es: 8.193854565

%La grfica es:

E-2) Un automvil de masa M=2000 kg. viaja a una velocidad de 30 m/s. La transmisin se pone en neutral en t=0

s. Suponga que la ecuacin de la desaceleracin despus de t=0 es 12001.82000 2udx

duu donde u es la

velocidad y x es la distancia lineal recorrida por el automvil desde el lugar en el que se encontraba en t=0. El


miembro derecho es la resistencia aerodinmica, y el segundo, la resistencia al rodado. Calcule la distancia que

recorre el automvil antes de que la velocidad se reduzca a 15 m/s.

Resolucin

Como 12001.82000 2udx

duu , entonces dx

u

duu

12001.8

20002

Integrando m.a.m. tenemos

15

30 0

2 12001.8

2000x

dxu

udu

30

15 0

2 12001.8

2000xdx

u

udux

Luego utilizando la regla trapezoidal extendida para evaluar la integral del miembro izquierdo tenemos:

Si tomamos 15 intervalos (o 16 nodos), iu recibe inicialmente los valores:

16,,2,1,)1(15 ihiui

Donde 115

)1530(h . Si definimos

12001.8

2000)(

2u

uuf y aplicamos la integracin trapezoidal tenemos :

%Grfica de la curva f(x)

x=0:0.01:40;

y=(2000*x)./(8.1*x.^2+1200);

plot(x,y,'k')

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('grfica de f(x)=(2000*x)./(8.1*x.^2+1200)')

grid on

%Compilacin

>> trapecio

Ingrese la funcin a integrar f(x)=(2000*x)./(8.1*x.^2+1200)



Ingrese el valor de M=15

%Resultado del rea bajo la curva

El rea es: 127.504041492

LABORATORIO CON MATLAB 7.0

E-1) Evale la siguiente integral por la regla trapezoidal extendida con n= 2, 4, 8 y 16 intervalos :

a)

4

0

).tan( dxx b)

1

0

dxex c)

1

0

.2

1dx

x d)

2

0

22 )(. dxxsene x e)

1

021

2

dxx

e x

E-2) En una cierta fbrica, el coste marginal es de 2)4(3 q dlares por unidad cuando el nivel de produccin es

de q unidades. En cunto aumenta el coste total de fabricacin si el nivel de produccin se eleva de 6 a 10

unidades? Aplicar la regla compuesta del trapecio.


E-3) En una cierta fbrica, el coste marginal es de )4(.1 qsene q dlares por unidad cuando el nivel de

produccin es de q unidades. En cunto aumenta el coste total de fabricacin si el nivel de produccin se eleva de

1 a 5 unidades? Aplicar la regla compuesta del trapecio.

E-4) Aproxime cada una de las siguientes integrales usando la regla trapezoidal extendida con 11 nodos

a)

1

1

12 .)1( dxx b)

1

0

).)2(2( dxxsen c)

4

25.0 x

dx d)

4

0

2 dxex x e)

2

0

).cos(.2 dxxx

TAREA DOMICILIARIA

I) Evale la siguiente integral por la regla trapezoidal extendida con n= 2, 4, 8 y 16 intervalos :

a)

0

).( dxxsene x b)

1

0

2

dxe x c)

1

0

.2

dxex d)

1

0

12 )1(4

1dxx e)

3

1

1

3ln

1dx

x

II. Um estdio indica que dentro de x meses la poblacin de um cierto pueblo estar aumentando a um ritmo de

3 235 x personas por mes. Cunto crecer la poblacin del pueblo em los prximos aos?

III. Una viga de 11 ft est sujeta a una carga, y a la fuerza cortante siguiente 215.04)( xxV donde V es la

fuerza cortante y x es la longitud en pies a lo largo de la viga. Se sabe que dx

dMV , y que M es el momento de

doblamiento. La integracin da la relacin x

dxVMM0

0 , si 0M es cero y dx=1, calcule M usando la regla

compuesta del trapecio.

IV. Calcular las siguientes integrales numricamente por la regla del TRAPECIO y de SIMPSON con M=10 y 15

1)

4

0

2 )(cos1

)(.dx

x

xsenx 2)

1

0

21

)1(dx

x

xLn 3)

0

1

2 884 xx

dx 4)

1

0

8 3. dxex x

5)

2

033

5

)1(dx

x

x 6)

2

1

2

1 1

1dx

x

x 7)

3

6

)cot()tan(

)tan(

xx

dxx 8)

2

0

)cos()( dxxxsen

V.- En cada uno de los ejercicios, graficar la regin R y hallar su rea. R est limitada por las grficas de:

1. 1;9 22 xyxy

2. xxyxxy 22 ;3

3. 242;223 223 xxyxxxy

4. 256;23 2323 xxyxxy

5. xyexy x ;.228

6. xyexy x 4;.2283

7. 4;62 xyxxy

8. 44 1

4;

1 x

xy

x

xy

9. ]4;0[03;64 223 xxyxxxy

10. ]3;0[02;642 2235 xxyxxxxy



INTEGRACIN NUMRICA MTODO DE SIMPSON 1/3, SIMPSON 3/8 Y BOOLE 1. REGLA COMPUESTA DE SIMPSON 1/3

Supongamos que de divide el intervalo [a; b] en 2M subintervalos 1; kk xx de la misma anchura M

abh

2

mediante una particin cuyos nodos khaxk , para k=0,1,2,3,, 2M , estn equiespaciados. La regla

compuesta del SIMPSON 1/3 con 2M subintervalos se puede expresar como:

M

k

k

M

k

k

b

a

xfh

xfh

bfafh

hfSdxxf1

12

1

1

2 )(.3

4)(.

3

2)()(

3),()(

2. REGLA COMPUESTA DE SIMPSON 3/8


abh

3


compuesta del SIMPSON 3/8 con 3M subintervalos se puede expresar como:

M

k

k

M

k

k

M

k

k

b

a

xfh

xfxfh

bfafh

hfSdxxf2

33

1

13

1

23 )(.4

3)()(.

8

9)()(

8

3),()(

3. REGLA COMPUESTA DE BOOLE


abh

4


compuesta del BOOLE con 4M subintervalos se puede expresar como:

M

k

kkkkk

b

a

xfxfxfxfxfh

hfSdxxf1

414243444 )(7)(32)(12)(32)(7.45

2),()(

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%PROGRAMA REGLA COMPUESTA DE SIMPSON1/3

function simpson13




n=input('Ingrese el N de subintervalos=');

n=2*n;

xmin=a-1;

xmax=b+1;

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

fx=eval(f);

y=abs(fx);

suma1=y(1)+y(n+1);

suma2=4*sum(y(2:2:n));

suma3=2*sum(y(3:2:n-1));

suma=suma1+suma2+suma3;

integral=(h/3)*suma;


%GRFICA DE LA CURVA


xp=xmin:0.2:xmax;

x=xp;

yp=eval(f);

plot(xp,yp,'g');

hold on

x=a:0.05:b;

y=eval(f);

bar(x,y,'r');

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')


grid on

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%PROGRAMA REGLA COMPUESTA DE SIMPSON3/8

function simpson38





n=3*n;

xmin=a-1;

xmax=b+1;

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

fx=eval(f);

y=abs(fx);

suma1=y(1)+y(n+1);

suma2=3*sum(y(2:3:n-1));

suma3=3*sum(y(3:3:n));

suma4=2*sum(y(4:3:n-2));

suma=suma1+suma2+suma3+suma4;

integral=(3/8)*h*suma;


%GRFICA DE LA CURVA

xp=xmin:0.2:xmax;

x=xp;

yp=eval(f);

plot(xp,yp,'g');

hold on

x=a:0.05:b;

y=eval(f);

bar(x,y,'r');

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')


grid on

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%PROGRAMA REGLA COMPUESTA DE BOOLE

function Boole





n=4*n;

xmin=a-1;

xmax=b+1;

h=(b-a)/n;


x=a:h:b;

fx=eval(f);

y=abs(fx);

A=7*(y(1)+y(n+1));

B=32*sum(y(2:2:n));

C=12*sum(y(3:4:n-1));

D=14*sum(y(5:4:n-3));

suma=(A+B+C+D);

integral=(2*h/45)*suma;


%GRFICA DE LA CURVA

xp=xmin:0.2:xmax;

x=xp;

yp=eval(f);

plot(xp,yp,'g');

hold on

x=a:0.05:b;

y=eval(f);

bar(x,y,'r');

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')


grid on

%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

E-1) Consideremos la funcin )4cos()( xexf x . Usar la regla compuesta de Simpson1/3 y Simpson3/8 con 13

nodos para calcular una aproximacin a la integral de f(x) en el intervalo [1 ; 3]

Resolucin

a) Ploteo de la curva )4cos()( xexf x en un domino de [1; 3]

x=1:0.05:3;

y=exp(-x).*cos(4*x);

plot(x,y,'b')

grid on

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('Grfica de la curva')

b)Compilarlo con: simpson13

>> simpson13

Ingrese la funcin a integrar f(x)=exp(-x).*cos(4*x)



Ingrese el N de subintervalos=12

El rea es: 0.181364528

rea aproximada = 181364528.0))4cos(.(

3

1

dxxe x

c) Aproximacin por la regla de SIMPSON3/8

>> simpson38

Ingrese la funcin a integrar f(x)=exp(-x).*cos(4*x)





El rea es: 0.181452102

rea aproximada = 181452102.0))4cos(.(

3

1

dxxe x

E-2) Consideremos la funcin xxxf )( . Usar la regla compuesta de Boole con 13

nodos para calcular una aproximacin a la integral de f(x) en el intervalo [1 ;4]

Resolucin

a) Ploteo de la curva xxxf )( en un domino de [1; 4]

x=1:0.05:4;

y=(x).^(-x);

plot(x,y,'b')

grid on

xlabel('EJE X')

ylabel('EJE Y')

title('Grfica de la curva')

b)Compilarlo con: Boole

>> Boole

Ingrese la funcin a integrar f(x)=x.^(-x)




El rea es: 0.702592441

LABORATORIO CON EL SOFTWARE MATLAB

E-1) Aproxime cada un de las siguientes integrales usando la compuesta de SIMPSON1/3 , SIMPSON3/8 y

BOOLE con 13 nodos

a)

1

0

.)(dx

x

xsen b)

1

0

)1(201.0 )1)(2.1.( dxexx x c)

1

1)(

)cos(dx

xsen

ex x

d)

4

0

22 )(. dxxsene x e)

2

0

).cos(.2 dxxx f) 0

).2(. dxxsene x

E-2) Longitud de una curva. La longitud de la curva y=f(x) definida sobre un intervalo bxa es

b

a

dxxfLongitud2

)('1 . Aproxime la longitud de la curva y=f(x) para cada una de las funciones que

se relacionan a continuacin usando la regla compuesta de Simpson1/3 y Simpson3/8 con M=5

a) ]1;0[;)( 3 xxxf b) ];0[;)()(4

xxsenxf c) ]1;0[;)( xexf x

E-3) Evale las siguientes integrales con la regla compuesta de SIMPSON 3/8 empleando M=2, 4, 8, 16 y 32 .

a)

0cos2 x

dx b)

2

1

)1(dx

x

xLog c)

2

0

2 )(1 xsen

dx

d)

1

0

215 dxx e)

1

0

)().cos( dxxLogx f)

2

0

22 )( dxxsene x


E-4) La longitud de una curva definida por )();( tytx , a



INTEGRACIN NUMRICA DOBLE Para calcular la integral doble en el orden dydx, consideremos una regin cerrada D, llamada tambin Dominio de integracin , en el plano XY.

Sea IRIRDf 2: , una funcin continua sobre D, donde:

)()(/);( 2 xyxbxaIRyxD es una regin cerrada en 2IR y IRba;:, , son

funciones continuas en [a ; b], tal que baxxx ;,)()( . Grficamente significa:

Entonces la integral de f sobre el dominio D es: b

a

x

xD

dxdyyxfdxdyyxf

)(

)(

);();( . (1)

En (1), dyyxfxg

x

x

)(

)(

);()( (2)

Reemplazando (2) en (1) tenemos: dxxg

b

a

)( (3)

Donde la integral (3) se puede calcular aplicando cualquiera de los mtodos de integracin estudiados

como son trapecio, simpson1/3, simpson3/8 y Boole.

E-1) Calcular el valor aproximado de la integral

3

1

3

)(

5

)(

x

e

xLn

dxdyyxsen

Resolucin

x x=a x=b

(x)

0

(x)

y

D

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