7/25/2019 Integracion Simpson

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MTODOS NUMRICOS

Integracin Numrica por el MtodoSimpson

Por: Edwin Torres CondoriJune 30, 2016

1 REGLA DE SIMPSON 1/3 DE A PLICACIN MLTIPLEEl objetivo de esta seccin es aproximar la integral denida de una funcin f (x ) en unintervalo [a ,b ], mediante mtodos numricos, es decir:

a

b = f (x )dx

Los mtodos de integracin numrica se usan cuando f (x ) es difcil o imposible de inte-grar analticamente, o cuando f (x ) esta dada como un conjunto de valores tabulados.

La estrategia acostumbrada para desarrollar frmulas para la integracin numrica con-siste en hacer pasar un polinomio por puntos denidos de la funcin y luego integrar laaproximacin polinomial de la funcin.

La regla de Simpson divide el intervalo de integracin en varios segmentos de un mismotamao, ademas de mejorar los resultados al dividir la integracin en varios segmentos(n ).

h =b a

n (1.1)

La integral total se representa como:

I =x 2

x 0 f (x )d (x )+

x 4

x 2 f (x )d (x )+ ...+

x n

x n 2 f (x )d (x ) (1.2)

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Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene

I = 2h f (x 0)+ 4 f (x 1)+ f (x 2)

6 + 2h f

(x 2)+ 4 f (x 3)+ f (x 4)6

+ ...+ 2h f (x n 2)+ 4 f (x n 1)+ f (x n )

6

(1.3)

f ( x )

x ba

634

Figure 1.1: Observe que el mtodo se puede emplear slo si el nmero de segmentos es par.

I = (b a ) f (x 0)+ 4 n 1i = 1,3,5 f (x i )+ 2

n 2i = 2,4,6 f (x j )+ f (x n ))

3n (1.4)Donde: Ancho = (b a )

Peso Promedio = f (x 0)+ 4 n 1i = 1,3,5 f (x i )+ 2

n 2i = 2,4,6 f (x j )+ f (x n ))

3n

Observe que, segn la gura [1.1], se debe utilizar un nmero par de segmentos para im-plementar el mtodo. Adems, loscoecientes "4" y "2"en laecuacin (1.4) a primeravistapareceran peculiares. No obstante, siguen en forma natural la regla de Simpson 1/3. Lospuntos impares representan el trmino medio en cada aplicacin y, por lo tanto, llevan el

peso de 4 de laecuacin (1.4). Los puntos pares son comunes a aplicaciones adyacentes y,por lo tanto, se cuentan dos veces.

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2 REGLA DE SIMPSON 1/3 DE APLICACIN MLTIPLE

2.1 E XAMPLE OF LIST (PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .)En la siguiente Ecuacin con n=6 para determinar la integral de:

f (x ) = 0.9+ 50x + 300x 2 + 578x 3 1625x 4 + 725x 5 + 159x 6

desde a = 0 hasta b = 1.2. Recuerde que la integral exacta es 143.006992458.

SOLUCIN:Para: N=6, (h=0.2) f (0)= 0.9 f (0.2)= 25.167 f (0.4)= 72.367 f (0.6)= 116.942 f (0.8)= 142.485

f (1.0)=

187.899 f (1.2)= 400.887

Reemplazando en la ecuacin (1.4).

I = (1.2 0)0.9+ 4(25.167+ 116.942+ 187.899)+ 2(72.367+ 142.485)+ 400.887

3(6) = 143.435

Error = | 143.006992458 143.435| = 0.4280075419999889

Del ejemplo anterior demuestra que la versin de la regla de Simpson 1/3 de aplicacinmltiple da resultados muy precisos. Sin embargo, est limitada a los casos donde los val-ores estn equidistantes. Adems, est limitada a situaciones en las que hay un nmeroimpar de segmentos y un nmero impar de puntos. En consecuencia, como se analizaren la siguiente seccin, una frmula de segmentos impares y puntos pares, conocida comoregla de Simpson 3/8, se usa junto con la regla 1/3 para permitir la evaluacin de nmerosde segmentos tanto pares como impares.

2.2 E XAMPLE OF LIST (MEDIANTE P YTHON)PSEUDOCODIGO: En el siguiente esquema se tiene el proceso a realizar para determinarla integracin 1/3 por la Regla de Simpson de aplicacin mltiple.

I = (b a ) f (x 0)+ 4 n 1i = 1,3,5 f (x i )+ 2

n 2i = 2,4,6 f (x j )+ f (x n ))

3n

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####################################### ntr d s = interv lo inferior

b = interv lo superior n = n mero de iter ciones f = funci n integr r h = ( b - ) / n sum = sum + ( h / 3 ) * ( f( ) + f( b )) for i=1 to n - 1 :

xi = + ( i * h ) si modulo de i == 0 entonces :

sum = sum + 4 / 3 * ( h * f( xi )) de lo contr rio :

sum = sum + 2 / 3 * ( h + f( xi )) endfor imprimir sum

m th

n b f

h b n

sum

i r nge n

x i h

i sum sum fx x f

sum sum fx x f

sum sum fx f fx b f

rest sum h

C LCULO DE LAS FUNCIONES A C ALCULAR f (i ): La funcin a calcular ser:

f (x ) = 0.9+ 50x + 300x 2 + 578x 3 1625x 4 + 725x 5 + 159x 6

De donde se obtiene:F n = [0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2]Sum = [0.9, 25.166, 72.367, 116.942, 142.484,187.899, 400.887]

A lo que Equivale: f (0)= 0.9 f (0.2)= 25.167 f (0.4)= 72.367 f (0.6)= 116.942 f (0.8)= 142.485 f (1.0)= 187.899 f (1.2)= 400.887

REEMPLAZANDO EN LA FORMULA : Dividiendo el intervalo de integracin en varios seg-mentos de un mismo tamao, ademas de mejorar los resultados al dividir la integracinenvarios segmentos (n ).

I = (b a ) f (x 0)+ 4 n 1i = 1,3,5 f (x i )+ 2

n 2i = 2,4,6 f (x j )+ f (x n ))

3n

I = (1.2 0)0.9+ 4(25.167+ 116.942+ 187.899)+ 2(72.367+ 142.485)+ 400.887

3(6) = 143.435

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from math import *

def si mpson13 ( n , a , b , f):

h = ( b - a ) / n

suma = 0.0

for i in range ( 1 , n ):

x = a + i * h

if ( i % 2 == 0 ):

suma = suma + 2 * fx ( x , f)

else : suma = suma + 4 * fx ( x , f)

suma = suma + fx ( a , f) + fx ( b , f)

rest = suma * ( h / 3 )

return ( rest )

def f x ( x , f):

return eval ( f)

n = 6 a = 0.0 b = 1.2 f = ' 0. 9+50*x+300*x* *2+578*x* *3- 1625*x**4+725*x* *5+159*x* *6' print ( simpson ( n , a , b , f))

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