Definicin de anti derivada: Se llama a una funcin F anti derivada (o primitiva) de la

funcin f , si para todo x en el dominio de f , )()( xfxF

Representacin para anti derivada: Si F es una anti derivada de f en un intervalo I,

entonces G es una anti derivada de f en I si y slo si es de la forma G(x) = F(x) + C, para

todo x en I, donde C es una constante.

Notacin para anti derivadas: Si )(xFy es una anti derivada de f , entonces se dice que

)(xF es una solucin de la ecuacin )(xfdx

dy .

Cundo se resuelve una ecuacin de este tipo es conveniente escribir en la forma diferencial

equivalente dxxfdy )( .

La operacin de encontrar todas las soluciones (la anti derivada general de f ) de esta

ecuacin se denomina integracin y se denota por el smbolo . La solucin general de la

ecuacin dxxfdy )( se denota por

CxFdxxfy )()(

Donde )(xf es el integrando; dx es la variable de integracin y C es una constante de

integracin (arbitraria).

Definicin de la notacin integral para anti derivada: La notacin CxFdxxf )()( donde C es una constante arbitraria, significa que F es una primitiva de f . Esto es,

)()( xfxF para todo x en el dominio de f .

Reglas bsicas de integracin:

1. cdx0 2. cxdx

3. 0k ,ckxkdx 4. cxfkdxxfk )()(

5. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

6.

-1n ,1

1

cn

xdxx

nn

En los ejercicios 1 a 6, completar la siguiente tabla

Dado

1. dxx3

2. dxx 21

3. dxxx

1

4. dxxx )3(2

5. dxx 221

6. dxx 3)2(1

Reescribir Integrar Simplificar

En los ejercicios 7 a 33, hallar la integral indefinida

7. dxx )2(3 8. dxxx )32(

2 9. dxx3 2

10. dxxx )12(2/3 11. dxx )1(

3 12. dxxx )2( 2/1

13. dxxx )23)(1( 14. dtt )12(3 15. dyyy )321(

3

16. dyyy2 17. dttt

2)31( 18. dx

19. dt3 20. dxx43 21. dxxxx )1634(

23

22. dttt )23(2 23. dxcbxax )(

2 24. dxx3)32(

25. dxx

x )2

1( 26. dxx 2

1 27. dxx 4

1

28.

dxx

xx 12 29.

dx

x

x2

2 1 30.

dt

t

t2

2 2

31.

dx

xx5

3223

32.

dyy

yy 12 24 33.

dt

t

t3

3 127

Respuestas:

Dado Reescribir Integrar Simplificar

1. dxx3 dxx 3

1

34

3 4

x C

x

4

3 3 4

2. dxx 21

dxx 2

1

1

x C

x

1

3. dxxx

1

dxx 2

3

21

2 1

x

C

x

2 1

2

4. dxxx )3(2 dxxdxx 3

3

2

3

4

24 xx C

xx

4

6 24

5. dxx 221

dxx 2

2

1

12

1 1

x C

x

2

1

6. dxx 3)2(1

dxx 3

8

1

28

1 2

x C

x

216

1

7. Cxx

24

4

8. Cxxx

33

23

9. Cx

5

3 3 5

10. Cxxx

22

5

5

2 11. Cx

x

4

4

12. Cxx 2

12 2

13. Cxx

x 22

23 14. Ct

t

2

4

15. Cy

yy 4

3 42

16. Cy

7

2 2 7

17. Ctt

4

3

3

43

18. Cx

19. Ct 3 20. C

x

5

3 5

21. Cxxxx 234 3

22. Ct

tt 3

33

2 23. Ccxbxax

23

23

24. Cxxxx 2727122 234

25. Cxx

2 12

3

3

2 26. Cx

1

27. Cx

33

1

28. Cxxx

2 12

32

5

23

2

5

2 29. Cx

x 1

30. Ct

t 2

31. Cxxx

531

2 32. Cy

yy 2

12 5

2 9

25

4

9

2 33. C

tt

2

3

11

81 3 2

3 11

Integracin por sustitucin: Primitiva de una funcin compuesta: Sean gyf funciones

tales que f g son continuas en un intervalo I. Si F es una primitiva de f en I, entonces

CxgFdxxgxgf )( .

Si )(xgu , escribimos dxxgud )( )( y la integral anterior toma la forma

CuFduufdxxgxgf )(

Regla general de las potencias para integrales: Si g es una funcin derivable de x , entonces

1,1

)()( )(

1

ncnxg

dxxgxgn

n

O equivalentemente, si u = g(x), entonces

1,1

1

ncn

uduu

nn

Resolver las siguientes integrales:

1. dxx 43 2. dttt 82 )35( 3. dxxx

5 32 47

4. dxxx 12 5. dxx

4)21(2 6. dxxx 382 )1(2

7. dxxx 292 8. dxxx

32 )21(4 9. dxxx 432 )1(

10. dxxx 32 )34( 11. dxxx

3 21 5 12. duuu 243

13. dxx

x 23

2

)1( 14. dx

x

x 23

2

)16( 15. dx

x

x

216

4

16. dxx

x

3

2

1

10 17. dx

xx

x

22 )32(

1 18.

dx

xx

x

18

4

2

19. dttt

2

311

1 20. dxx 2)3(1

21. dxx

1

22. dxx2

1 23. dx

x2

1 24. dt

t

tt

22

25. dtt

tt

22 26. dtt

t

2

3

4

1

3

27. dyyy )9(

28. dyyy 2/32 )8( 2 29.

dr

r

r

3 2

43/1

3

)2( 30.

dx

xx

xx

13

)2(

23

2

31.

dtt

t

3 32. dxxx 2)1( 33. drr 15

34. dttt 33/14 )12( 35. dxxx

32 )4( 36. dxxx 3 22 )4(

37. dtt

t

tt

2

22/3 11 38. dy

y

y

3/2)3(

3 39. dx

xx

5

3223

40. dttt )323(2 41. dxx

43 42. dxxxx )1334(23

43. dxcbxax )(2 44.

ds

s

s

13 2 45.

dy

y

y3/2)3(

3

46.

dyy

yy 12 24 47.

drr

r3/2)1(

2 48.

22

11

x

dx

x

49. Evaluar dxxx 12 usando 2 mtodos: a) hacer la sustitucin u = x 1 y b) hacer la

sustitucin u = 1x . Comparar las respuestas obtenidas en a) y b) y explicar la

diferencia aparente de las respuestas.

Respuestas:

1. Cx 2 3

)43(9

2 2. Ct 92 )35(

54

1 3. Cx 5

63 )47(

72

5

4.

Cxxx 2 3

2 5

2 7

)1(3

2)1(

5

4)1(

7

2

5. Cx 5)21(5

1 6. Cx 392 )1(

39

1

7. Cx 2 3

2 )9(3

2 8. Cx 42 )21(

4

1 9. Cx 53 )1(

15

1

10. Cx 42 )34(32

1 11. Cx 3

42 )1(

8

15 12. Cu 2

34 )2(

6

1

13. Cx

)1(3

13

14. Cx

)16(3

13

15. Cx 2 1

2 )16(4

16. Cx 2 1

3 )1(3

20 17. C

xx

)32(2

12

18. Cxx 2 1

2 )18(

19. Ct

4 1

14

1 20. Cx

9

1 21. Cx 2

1

2

22. Cx 2 1

2 23. Cx 2 1

24. Ctt 2 5

2 3

5

4

3

2

25. Ctt 244

1 26. C

tt

4

1

12

1 4 27. Cyy 2 5

2 3

5

26

28. Cy 2 5

2 )8(5

2 29. Cr 53

1

)2(5

1 30. Cxx 2

123 )13(

3

2

31. Ctt 2 1

2 3

)3(6)3(3

2 32. Cxx 2

32

5

)2(2)2(5

2 33. Cr 2

3

)15(15

2

34. Ct 3 4

4 )12(32

3 35. Cx 42 )4(

8

1 36. Cx 3

52 )4(

10

3

37. Ct

t

2 5

1

5

2

38.

Cyy 3 4

3 1

)3(4

3)3(18

39. Cxxx

531

2

40. Cttt 32 3 41. Cx 55

3 42. Cxxxx 234

2

3

43. Ccxbxax 232

1

3

1 44. Cs 2

12 )1 3(

3

1 45.

Cyy 3 1

3 4

)3(18)3(3

4

46. Cyyy 2 1

2 5

2 9

25

4

9

2 47. Crr 3

13

4 161

2

3 48. C

x

2 3

2

11

3

4