INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN NUMÉRICANUMÉRICA

La integración numérica es unaherramienta esencial que se usa enla ciencia y la ingeniería paraobtener valores aproximados deobtener valores aproximados deintegrales definidas que no puedencalcularse analíticamente.

INTRODUCCIÓN

Nuestro objetivo es aproximar la integraldefinida de una función f(x) en un intervalo [a,b]evaluando f(x) en un número finito de puntos.evaluando f(x) en un número finito de puntos.

Definición 1 Supongamos que a = x0<x1<…

....,xM = b. Una fórmula del tipo

( )

( ) ( ) ( )0

[ ]

......

M

k k

k

Q f w f x

w f x w f x w f x

=

=

= + + +

∑(1)

( ) ( ) ( )0 0 1 1 ...... M Mw f x w f x w f x= + + +

de manera que

( ) [ ] [ ]b

af x dx Q f E f= +∫ (2)

se llama fórmula deintegración numérica o decuadratura; el término E[f] sellama error de truncamiento dellama error de truncamiento dela fórmula; los valores {xk} sellaman nodos de integración ylos valores {wk} se llamanpesos de la fórmula.

Definición 2El grado de precisión de una fórmulade cuadratura es el número natural nde cuadratura es el número natural n

que verifica lo siguiente: E[Pi]=0 paratodos los polinomios de grados ≤ n, yexiste un polinomio Pn+1(x) de gradon+1 tal que E[Pn+1]≠0.

Los métodos de integración numérica se puedendividir en dos grupos: Fórmulas de Newton-Cotes ycuadraturas Gaussiana. Los fórmulas de Newton-Cotes son caracterizados por que sus abscisasestan igualmente espaciados, e incluyen métodosbien conocidos tales como la regla trapecio y reglabien conocidos tales como la regla trapecio y reglade Simpson.En la cuadratura Gaussiana, las localizaciones delas abscisas se eligen de tal manera que puedandar la mejor exactitud posible.

Teorema 1 (Fórmulas de cuadratura cerradasde Newton-Cotes). Supongamos que xk=x0+kh(K=0,1…,M) son nodos equiespaciados y sea fk=f(xk) paracada k=0,1,…,M. Las cuatro primeras fórmulas cerradasde Newton-Cotes son

(regla del trapecio),

(regla del Simpson),

( ) ( )1

0

0 12

x

x

hf x dx f f≈ +∫

( ) ( )x h∫

(3)

(4)(regla del Simpson),

(regla 3/8 de Simpson),

(regla de Boole).( ) ( )30 1 2

0

3 33 3

8

x

x

hf x dx f f f f≈ + + +∫

( ) ( )3 40 1 20

4 27 32 12 32 7

45

x

x

hf x dx f f f f f≈ + + + +∫

( ) ( )0 1 20

2 43

x

x

hf x dx f f f≈ + +∫ (4)

(5)

(6)

Corolario 1 (Precisión de las fórmulas deNewton-Cotes). Supongamos que f(x) essuficientemente derivable en un cierto punto c∈(a,b).

La regla del trapecio tiene un grado de precisión n=1 y si f ∈C2[a,b]

( ) ( ) ( ) ( )1

00 1

32

22 1

x

x

hf

hf x dx f cf= + −∫

(7)

La regla de Simpson tiene un grado de precisión n=3 y si f ∈C4[a,b], entonces

( ) ( ) ( ) ( )25

44

x hf x dx f f f

hf c= + + −∫ ( ) ( ) ( ) ( )2

00

4

1 243 90x

hf x dx f f f

hf c= + + −∫

(8)

La regla 3/8 de Simpson tiene ungrado de precisión n=3 y si f ∈C4[a,b],entonces

5

( ) ( ) ( ) ( )3

00 1 2 3

543 3

3 308 8

x

x

hf x dx f f f f

hf c= + + + −∫

(9)

La regla de Boole tiene un grado de precisión n=5 y si f ∈C6[a,b], entonces

( ) ( )4

0 1 2 43

27 32 12 32 7

x hf x dx f f f f f= + + + +∫ ( ) ( )

( ) ( )

00 1 2

6

4

7

37 32 12 32 745

8

94

5

xf x dx f f f

hc

f f

f

= + + + +

−

∫

(10)

Consideremos la función los nodos de cuadratura equiespaciados y los valores de la función están dados en la tabla. El incremento es h=0.5

( ) ( )1 4xf x sen xe−= +

Ejemplo 1

X0=0.0 f0=1.00000

X1=0.5 f1=1.55152

X2=1.0 f2=0.72159

X3=1.5 f3=0.93765

X4=2.0 f4=1.13390

( ) ( )0.5

0

0.51.00000 1.55152 0.63788

2f x dx ≈ + =∫

Vamos a aplicar las fórmulas de cuadratura (3) a (6)

(R. Trapecio)

( ) ( )( )1.0

0

0.51.00000 4 1.55152 0.72159 1.32128,

3f x dx ≈ + + =∫

( ) ( ) ( ) ( )( )1.5

0

3 0.51.00000 3 1.55152 3 0.72159 0.93765

8f x dx ≈ + + +∫

1.64193=

(R. Simpson)

(R. 3/8 Simpson)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2.0

0

2 0.5(7 1.00000 32 1.55152 12 0.72159

45

32 0.93765 7 1.13390 2.294444

f x dx ≈ + +

+ + =

∫

(R. Boole)

Tener en cuenta que las fórmulas de cuadraturasaplicadas en este ejemplo proporcionanaproximaciones a integrales en intervalosdiferentes.

Haremos la integración en un solo intervalo [0,1]de la misma función para ellovamos aplicar otra vez las fórmulas (3)-(6)

( ) ( )1 4xf x sen xe−= +

Para la regla del trapecio tenemos h=1

Ejemplo 2

Para la regla del trapecio tenemos h=1

( ) ( ) ( )( )

( )

1

0

10 1

2

11.00000 0.72159 0.86079

2

f x dx f f≈ +

= + =

∫

Para la regla de Simpson tenemos h=1/2

( ) ( ) ( )

( )( )

1

0

1/ 2 10 4 1

3 2

11.00000 4 1.55152 0.72159 1.32128

6

f x dx f f f ≈ + +

= + + =

∫

Para la regla 3/8 de Simpson tenemos h=1/3

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1

0

3 1/3 1 20 3 3 1

8 3 3

11.00000 3 1.69642 3 1.23447 0.72159 1.31440

8

f x dx f f f f ≈ + + +

= + + + =

∫

Para la regla de Boole tenemos h=1/4

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

0

2 1/ 4 1 1 37 0 32 12 32 7 1

45 4 2 4

1 (7 1.00000 32 1.65534 12 1.55152

90

f x dx f f f f f ≈ + + + +

= + +

∫

( ) ( )90

32 1.06666 7 0.72159 ) 1.30859+ + =

El valor exacto es

( ) ( ) ( )1

0

21 4 41.3082506046426...,

17

4cos senf x dx

e

e

−= =

−∫

así la aproximación por la regla de Boole es la mejor.

Si la región donde se quiere calcular la integrales grande o la función tiene un comportamientocomplicado, las aproximaciones obtenidas con

¿Qué es la integración numérica compuesta?

complicado, las aproximaciones obtenidas conlas fórmulas anteriores son malas. Para calcularla integral en esos casos es más convenientesubdividir el intervalo de integración en otrosmás pequeños e ir aplicando sucesivamentealguna de estas fórmulas de integración que sedenomina a veces integración compuesta.

a b

x0x1 xk xk+1 xM

h

0,1,2,...,k M=están equiespaciados.

kx a kh= + ( ) /h b a M= −

tenemos M subintervalos

Nodos

Teorema 2 (Regla compuesta del Trapecio)

( ) ( ) ( )( )1

1

,2

M

k k

k

hT f h f x f x−

== +∑

están equiespaciados.

La regla compuesta del trapecio con M subintervalos son:

(2a)

( ) ( )0 1 2 3 1, 2 2 2 .... 22

M M

hT f h f f f f f f−= + + + + + +

O bién

(2b)

( ) ( ) ( )( ) ( )1

1

,2

M

k

k

hT f h f a f b h f x

−

== + + ∑

O bién

(2c)

( ) ( ) ( ), ,b

Ta

f x dx T f h E f h= +∫

donde el término de error

Luego la integral es:

(2d)

donde el término de error

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2,12

T

b a f c hE f h O h

− −= =

(2e)

TEOREMA 3 (REGLA COMPUESTA DE SIMPSON)

a b

x0 x1 xk xk+1 x2M

h

x2M-1x2 ..... .....

dividimos [a,b] en 2M-subintervalos ( ) ( )/ 2h b a M= −

kx a kh= + 0,1,2,..., 2k M=kx a kh= + 0,1,2,..., 2k M=

La regla compuesta de simpson con 2M-subintervalos se puede expresar:

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 2

1

, 43

M

k k k

k

hS f h f x f x f x− −

== + +∑

(3a)

o bién

( ) 0 1 2 3

2 2 2 1 2

, ( 4 2 43

......2 4 )M M M

hS f h f f f f

f f f− −

= + + + +

+ + +

o bién

(3b)

o bién

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

1

2

1

2 1

1

2,

3 3

4 +

3

M

k

k

M

k

k

h hS f h f a f b f x

hf x

−

=

−=

= + + ∑

∑ (3c)

Luego la integral es:

( ) ( ) ( ), ,b

Sa

f x dx S f h E f h= +∫ (3d)

donde el término de error

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4

4,180

S

b a f c hE f h O h

− −= = (3e)

EJEMPLO 1

( ) ( )2 2f x sen x= +Sea la función usaremos la regladel trapecio compuesta con 11 nodos paraaproximar la integral de f(x) en [1,6]

Solución. Para 11 nodos, tomamos M=10, h=(6-1)/10

=1/2. Usaremos la fórmula (2c)

( ) ( ) ( )( ) ( )1

1

,2

M

k

k

hT f h f a f b h f x

−

== + + ∑

=1/2. Usaremos la fórmula (2c)

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1/ 2, 1 62 2

1 3 5 2 3

2 2 2

7 9 11 4 5

2 2 2

T f f f

f f f f

f f f f f

= +

+ + + +

+ + + + +

( )

(

12.90929743 1.01735756

4

1 2.63815764 2.30807174 1.97931647

2

1.68305284 1.43530410 1.24319750

= +

+ + +

+ + +

) 1.10831775 1.02872220 1.00024140+ + +

( ) ( )1 13.92665499 14.42438165

4 2= +

0.98166375 7.21219083 8.19385457= + =

EJEMPLO 2( ) ( )2 2f x sen x= +Sea la función usaremos la regla

compuesta de Simpson con 11 nodos paraaproximar la integral de f(x) en [1,6].

Solución. Para 11 nodos, tomamos M=5, h=(6-1)/10

=1/2. Usaremos la fórmula (3c)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

1

2

1

2 1

1

2,

3 3

4 +

3

M

k

k

M

k

k

h hS f h f a f b f x

hf x

−

=

−=

= + + ∑

∑

=1/2. Usaremos la fórmula (3c)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1, 1 6 2 3 4 52 6 3

2 3 5 7 9 11

3 2 2 2 2 2

S f f f f f f f

f f f f f

= + + + + +

+ + + + +

( )

( ) ( )

12.90929743 1.01735756

6

1 2 6.26304429 8.16133735

3 3

= +

+ +

0.65444250 2.08768143 5.44089157= + +

1, 8.183015502

S f =

REGLAS RECURSIVAS

Ahora mostraremos cómo se pueden calcularAhora mostraremos cómo se pueden calcularlas aproximaciones de la regla de Simpsonusando combinaciones lineales especiales delas aproximaciones dadas por la regla deltrapecio.

y=f(x) y=f(x)

(a) T(0) es el área de 20=1 trapecio (b) T(1) es el área de 21=2 trapecios

(c) T(2) es el área de 22=4 trapecios (d) T(3) es el área de 23=8 trapecios

a ba ba ba ba ba b

a ba ba ba ba ba ba ba b

y=f(x)y=f(x)

(a) (b)

( c ) (d)

TEOREMA 1 (REGLAS DEL TRAPECIO SUCESIVAS)Supongamos que J≥1 y que los puntos {xk=a+kh}dividen [a,b] en 2J=2M subintervalos del mismotamaño h=(b-a)/2J. Las reglas del trapecio T(f,h) yT(f,2h) verifican

( ) ( ) ( ) ( )2 1

, 2, ......... 1

M

k

T f hT f h h f x −= + ∑( ) ( ) ( )2 1

1

, ......... 12

k

k

T f h h f x −=

= + ∑

Definición 1 (Sucesión de aproximaciones con laregla del trapecio)

Se define T(0)=(h/2)(f(a)+f(b)), y para cada J≥1,se define T(J)=T(f,h), donde T(f,h) es la regla deltrapecio con incremento h=(b-a)/2J.

Corolario (Regla recursiva del trapecio)

A partir del valor inicial T(0)=(h/2)(f(a)+f(b)), lasucesión {T(f,h)} de aproximaciones dadas por laregla del trapecio viene generada por la fórmularecursiva

( ) ( ) ( ) ( )1 MT J −∑( ) ( ) ( ) ( )2 1

1

12 . 1, 2,.....,

2

M

k

k

T JT J h f x J−

=

−= + =∑

( ) / 2Jh b a= −siendo { }kx a kh= +

EjemploEjemplo. Vamos a usar la regla recursiva del trapeciopara calcular las aproximaciones T(0), T(1), T(2) y T(3)a la integral ( ) ( ) 5

1ln 5 ln 1 1.609437912

dx

x= − =∫

SoluciónSolución. Hace falta nueve puntos para calcular T(3) ylos puntos medios necesarios para calcular T(1), T(2) yT(3).T(3).

Cuando h=4: ( ) ( )40 1.000000 0.2000000 2.4000000.

2T = + =

Cuando h=2:( ) ( ) ( )01 2 0.333333

2

1.200000 0.666666 1.866666.

TT = +

= + =

Cuando h=1:( ) ( ) ( )12 1 0.500000 0.2500000

2

0.933333 0.750000 1.683333.

TT = + +

= + =

Cuando h=1/2:

( ) ( )2 13 (0.6666667 0.400000

2 2

+0.285714+0.222222)

0.841667 0.787302 1.628968.

TT = + +

= + =

TEOREMA 2 (REGLA RECURSIVA DE SIMPSON)

Supongamos que {T(J)} es la sucesión deaproximaciones obtenidas con la regla del trapeciogenerada recursivamente como en el corolarioanterior. Si J≥1 y S(J) es la aproximación dada en laregla de Simpson con 2J subintervalos de [a,b],entonces S(J) y las aproximaciones obtenidas con laentonces S(J) y las aproximaciones obtenidas con laregla del trapecio T(J-1) y T(J) verifican

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 1.................... 3

3

4 , , 2

3

T J T JS J

T f h T f h

− −=

−=

EJEMPLOEJEMPLO

Vamos a usar la regla recursiva de Simpson paracalcular la aproximaciones S(1), S(2) y S(3) a laintegral del ejemplo anterior.

SoluciónSolución. Usando los resultados del ejemploanterior con J=1,2 y 3, obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )4 1 0 4 1.866666 2.4000001 1.688888,

3 3

T TS

− −= = =

( ) ( ) ( ) ( )4 2 1 4 1.683333 1.8666662 1.6222222,

3 3

T TS

− −= = =

( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 4 1.628968 1.68333333 1.610846.

3 3

T TS

− −= = =

INTEGRACIÓN DE INTEGRACIÓN DE

ROMBERG

INTEGRACIÓN ROMBERG

De los resultados anteriores, se tiene

( ) ( ) ( ) ( )2, .......... 1b

af x dx T f h O h= +∫

( ) ( ) ( ) ( )4b= +∫ ( ) ( ) ( ) ( )4, .......... 2

b

af x dx S f h O h= +∫

( ) ( ) ( ) ( )6, .......... 3b

af x dx B f h O h= +∫

Supongamos que usamos una aproximación conincrementos h y 2h, entonces podemos manipularalgebraicamente ambas respuestas para obtener unarespuesta mejorada, de manera que cada nivel demejora incrementa el orden del término del error deO(h2N) a O(h2N+2). Este proceso es llamado métodode integración de Romberg.de integración de Romberg.

Para la regla del trapecio, el término del error puederepresentarse en potencias de h que sólo contenganpotencias pares.

( ) 2 4 61 2 3, ........, (4)TE f h a h a h a h= + + +

Podemos usar el método de extrapolación deRichardson para ir eliminando a1,a2,a3,…. ygenerar fórmulas de cuadratura cuyostérminos de error tengan órdenes deaproximación O(h4), O(h6) y asisucesivamente.

Partiendo dePartiendo de

( ) ( ) ( ) 2 4 61 2 35 , 2 4 16 64 .....

b

af x dx T f h a h a h a h= + + + +∫

( ) ( ) ( ) 2 4 61 2 36 , .....

b

af x dx T f h a h a h a h= + + + +∫

y

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 4 61 2 3

2 41

2 3

62

4

3

6

, .....

,

3 4 , ,2 12 6

2

0 .

4 4

4 16 64 .....

..

4 4 4

. .

b

b

a

a

b

a

f x dx T f h a h a h a h

f x dx T f h a h a h a h

f x dx T f h T f h a h a h

= + + + +

= + + +

= − − − −

+∫

∫

∫

restando

a∫

( ) ( ) ( ) ( )

( ),

4 61 2

4 ,6 ......

, 2.

3

S f h

b

af x dx b h b

T fh

h T f h= + + +

−∫

���������

Como vimos, el primer término del miembro derechode (6) es la fórmula de cuadratura de la regla deSimpson S(f,h)

ESQUEMA DE RICHARDSON PARA EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN ROMBERG

Dadas dos aproximaciones R(2h,K-1) y R(h,K-1) deuna cantidad Q que verifican

( ) ( ) 2 2 21 27 , 1 .....k kQ R h k c h c h += − + + +( ) ( ) 1 2

y

( ) ( ) 2 1 2 21 28 2 , 1 4 4 .....,k k k kQ R h k c h c h+ += − + + +

entonces podemos construir una aproximaciónmejor que viene dada por la fórmula

( ) ( ) ( ) ( )2 249

, 1 2 ,

1

1

4

k

k

kR h k RQ O h

h k +−+

− −−

=

Definición 2 Se define la sucesión de fórmulas cuadraturas para aproximar la integral de f(x) en [a,b] de la sgte manera

( ){ }0

, :J

R J k J k∞

=≥

R(J,0)=T(J) para J≥0, regla recursiva del trapecio.

R(J,1)=S(J) para J≥1, regla recursiva de Simpson.

R(J,2)=B(J) para J≥2, regla recursiva de Boole. R(J,2)=B(J) para J≥2, regla recursiva de Boole.

Las fórmulas {R(J,0)} de partida se usan paragenerar la primeras mejoras {R(J,1)} que, a su vez,se usan para generar las segundas mejoras {R(J,2)};

es decir( ) ( ) ( )1

1

4 ,0 1,0,1 , J 1

4 1

R J R JR J

− −= ≥

−

( ) ( ) ( )2

2

4 ,1 1,1,2 , J 2

4 1

R J R JR J

− −= ≥

−La regla general para construir recursivamentelas mejoras eslas mejoras es

( ) ( ) ( )4 , 1 1, 1, , J

4 1

k

k

R J k R J kR J k k

− − − −= ≥

−

Esquema de Integración de Romberg

EJEMPLO

Usaremos la integración de Romberg para calcularaproximaciones a la integral definida

( ) ( )2

/ 2 2

01 cos 2 2.038197427067...

2 4x x x dx

π π π+ + = − + + =∫

Los cálculos se muestran en la tabla sgte, donde seLos cálculos se muestran en la tabla sgte, donde sepuede apreciar que, en cada columna, los valoresconvergen a 2.038197427067…y, también, que losvalores dados por la regla de Simpson convergenmás rápidamente que los dados por la regla deltrapecio; más generalmente, en este ejemplo laconvergencia en cada columna es más rápida que enla columna adyacente por la izquierda.

Esquema de integración de Romberg del ejemplo

( ) ( ) ( )2 1

1

1.

2

M

k

k

T JT J h f x −

=

−= + ∑

( ) ( ) ( )

( ) ( )4 , , 2

1

3

3

4

T

T f h f

J

h

J TS J

T−

=

=

− −

FINFIN