UNIVERSIDAD CATOLICA DE CUENCA

UNIDAD ACADEMICA DE INGENIERIA QUIMICA, BIOFARMACIA DE INDUSTRIAS Y DE PRODUCCIN

MATERIA

CLCULOS BSICOS

TEMA

INTEGRACIN GRFICA Y DIFERENCIACIN GRFICA

PROFESOR

Ing. Quim. CALDERON ROBERTO

ALUMNO

MANUEL EDISON MOROCHO

CURSO

CUARTO INGENIERA QUMICA

FECHA:

2013-2014

CUENCA ECUADOR

INTRODUCCIN

El xito del paradigma de las ecuaciones diferenciales fue impresionante y muy amplio. Muchos problemas, tanto bsicos como importantes, llevaron a ecuaciones que podan ser resueltas.

Esto dio origen a un proceso de autoseleccin, en el cual las ecuaciones que no podan ser resueltas automticamente eran de menor inters que aquellas que tenan solucin.

Consideremos un sistema simple formado por una baera con un flujo entrante (inflow) constante procedente de un grifo, sin que haya ninguna salida de agua (outflow).

Podemos predecir el comportamiento de este sistema? Sabemos que si abrimos el grifo para llenar la baera, salimos durante cinco minutos y al volver hallamos la baera llena hasta un cuarto de su capacidad, entonces llevar diez minutos llenar la baera hasta la mitad, quince minutos llegar a tres cuartos de la baera llena y en un total de veinte minutos, contados desde que hemos abierto el grifo, la baera estar completamente llena

Lo que acabamos de hacer es una integracin grfica sin dibujar de manera explcita los grficos. Hemos sido capaces de hacerlo sin grficos debido a que el sistema examinado es muy simple.

Sin embargo, muchos sistemas que aparecen en la vida diaria son mucho ms complejos y resulta difcil predecir cmo se comportarn. Con la prctica nos resultar ms fcil usar la integracin grfica a fin de entender el comportamiento de muchos sistemas.

Aunque disponemos de programes de ordenador muy precisos que permiten simular muchos sistemas complejos, es importante ser capaz de predecir de manera intuitiva el comportamiento del sistema, as como ser capaces de comprender lo que aparece en el grfico una vez hemos realizado la simulacin por ordenador.

Esta serie de documentos sobre integracin grfica nos permitir alcanzar estos objetivos. En este documento examinaremos el caso ms sencillo: el de los flujos exgenos

OBJETIVOS:

2. CONOCER CUALES SON LOS CONCEPTOS Y PRINCIPIOS BSICOS DE LA INTEGRACIN Y DIFERENCIACIN GRFICA

3. DESCRIBIR LAS APLICACIONES DE LA INTEGRACIN Y DIFERENCIACIN GRFICA

DESCRIPCIN

INTEGRACIN GRFICA Y DIFERENCIACIN GRFICA

INTEGRACIN GRFICALa integracin grfica es el proceso de estimar el rea a partir de una grfica de flujo neto.Sistemas con un flujo exgenoUn flujo exgeno respecto a un sistema es una variable de flujo que no puede ser modificada por ese sistema. En otros trminos, su valor no depende de ningn nivel (level) del sistema. Aunque muchos sistemas reales reciben el efecto de flujos endgenos (lo contrario de flujos exgenos),

En este apartado consideraremos el caso de un sistema con un solo flujo exgeno.Examinaremos el comportamiento del sistema cuando el flujo es constante y cuando el flujo vara con el tiempo

Flujo constanteSi abrimos el grifo y no lo tocamos ms, el flujo de agua que entra en la baera es constante. El comportamiento de sistema puede ser predicho con facilidad.

Entrada de agua y nivel de la baera.

Este es un ejemplo de una baera que se llena de agua. Si el flujo entrante (inflow) es constante y positivo, el nivel (level) del agua se incrementa linealmenteFjese en que la pendiente del nivel, medida por la cantidad de agua por unidad de tiempo es igual al valor del flujo constante, tambin medido en trminos de cantidad de agua por unidad de tiempo.

En el ejemplo superior, el nivel del agua sube a 12 unidades en 6 unidades de tiempo, as que la pendiente del nivel es igual a dos unidades de agua por unidad de tiempo, que es a su vez el valor del flujo entrante

Qu pasa si no hay flujo entrante sino slo flujo saliente? Un ejemplo de este caso sera el de una baera que es vaciada con un flujo saliente constante. En este caso, el valor del flujo entrante es 0 y el valor del flujo saliente es un nmero positivo. El flujo neto constante, definido como:

Flujo neto = flujo entrante flujo salienteFlujo neto = 0 nmero positivo = nmero negativo,

Entonces la pendiente del nivel (level) es tambin negativa. Cmo se comportar un sistema en respuesta a un flujo neto negativo? Este caso se ilustra en la Figura 2

Flujo saliente de agua y Cantidad de Agua en la Baera

El flujo entrante de agua es igual a 0 litros/minuto, y el flujo saliente de agua es igual a 1 litro/minuto. En consecuencia, el flujo neto del sistema es 1 litro/minuto y la pendiente del nivel es 1 litro/minuto.

Como probablemente esperaba, con un flujo neto negativo constante, el nivel de agua decae a un flujo constante, en este caso a un flujo de 1 litro por minuto.

Funcin step (escaln, cambio, discontinuidad)Ahora, examinemos qu pasa si tardamos en abrir el grifo. Lo que veremos en la figura, llama una funcin step. Como su nombre sugiere, una funcin step empieza con un valor constante, en este caso 0, y cambia (steps) sea hacia arriba o hacia abajo, a otro flujo con un valor constante. En este caso, subimos (step up to) a +3 en un tiempo (Time) = 5. Una funcin puede tener varios escalones (steps)

Funcin StepEn lugar de iniciar el flujo en el tiempo 0, lo iniciamos despus de cinco minutos.El resultado se muestra en la Figura 4 Hasta que Tiempo = 5 minutos, el nivel (stock) permanece en cero, y cuando el flujo se incrementa a 3, el nivel acumula un valor a razn de tres litros por minuto.

Figura 4: Grfico del Nivel (Stock) Resultante de una Funcin StepEl valor del nivel es cero hasta que el flujo se incrementa de 0 a 3 en el Tiempo = 5He aqu otro ejemplo. ste tiene dos escalones (steps), uno hacia arriba en el Tiempo= 5 y otro tambin hacia arriba en el Tiempo = 15

Figura 5: Un Flujo con una Funcin Step

Si integramos grficamente el flujo de la Figura 5, obtenemos este comportamiento del Nivel

DIFERENCIACIN GRFICAConsiste en calcular la tasa neta de cambio de un nivel a partir de su trayectoriaPuede hacerse analticamente pero....En modelos dinmicos rara vez hay funciones analticas!Simplemente hay que estimar la pendiente del nivel en cualquier punto del tiempo!!Solo puede hallarse la tasa de cambio netaSi existen mltiples flujos de entrada y salida no es posible determinar su valor individual.CONCLUSIONESHasta ahora nos hemos fijado en los flujos exgenos y en cmo afectan al comportamiento del nivel. En estos momentos he familiarizado con el uso del mtodo de la integracin grfica como forma de predecir los resultados de los flujos constantes, sean positivos o negativos, as como de los flujos con una funcin escaln (step)Matemticamente: Los niveles integran sus flujos netos. El flujo neto es la derivada de un nivel

BIBLIOGRAFA

Escrito por Alice Oh 1 de Diciembre de 1995

Libro de Sterman, 2000. Y del curso de dinmica de sistemas de la Universidad Nacional de Colombia Sede MedellnJorge Bustinza Esparta / Dr. Arquitecto / Anlisis elemental de estructuras ETS Arquitectura / Universidad de Navarra / 1997-01 / 4Shoichiro N. Anlisis numrico y visualizacin grfica con MatLab. 1 ed. Mxico: Prentice-Hall, 1997.

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