Instituto

Tecnológico de

Morelia

Introducción a los Números

Complejos

Semestre V

Análisis de Señales y Sistemas

José Alfredo Mendoza Heredia 11121402

Horario: 8 a.m. - 9 a.m.

Dr. Servando González Hernández

Morelia, Michoacán a 28 de agosto de 2013

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Clasificación de los Números

Los números se clasifican en cinco tipos principales: números naturales “N“, números enteros “Z”,

números racionales “Q”, números reales “R” (incluyen a los irracionales) y números complejos “C”.

En esta clasificación cada tipo de número es subconjunto de otro mayor, empezando por los

números naturales como grupo de números más simples hasta llegar a la clasificación de números

complejos “C”, que sería el conjunto de números que incluiría todos los tipos anteriores.

Los Números Naturales “N” son todos los números mayores de cero (algunos autores incluyen

también el 0) que sirven para contar. No pueden tener parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria.

N = [1, 2, 3, 4, 5...]

Los Números Enteros “Z” incluye al conjunto de los números naturales, al cero* y a sus opuestos

(los números negativos). Es decir: Z = [...-2, -1, 0, 1, 2...]

Los Números Racionales “Q” son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos

números enteros. Por ejemplo: Q = [¼, ¾, etc.]

Los Números Reales “R” se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea

continua, por tanto incluye a los conjuntos anteriores y además a los números irracionales como

el número “∏” y “e“.

Los Números Complejos “C” incluye todos los números anteriores más el número imaginario “i“.

C = [N, Z, Q, R, I]

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Origen de los Números Complejos

La primera referencia que se encontró de los números complejos fue en la obra Estereometría

de Herón de Alejandría, alrededor de la mitad del siglo I. En un fragmento, aparece la raíz

cuadrada de un número negativo.

La siguiente referencia sobre los números complejos se data en el año 275 en la obra de

Diophantus, Arithmetica. En su intento de calcular los lados de un triángulo rectángulo de

perímetro 12 y área 7, Diophantus planteó resolver la ecuación 336 x2+ 24 = 172 x, ecuación de

raíces complejas.

La primera explicación a estos números la dan los matemáticos hindúes. Mahavira, en el año 850,

comentó en su tratado de los números negativos la primera definición: “como en la naturaleza

de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener raíz cuadrada”.

Posteriormente, Bhaskara, en 1150, hacía referencia en su libro Lilavati a la inexistencia de la raíz

cuadrada de un número negativo de esta forma:

“El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de un número

positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un número

negativo ya que un número negativo no es un cuadrado.”

Primeros estudios: S. XVI

Fue el ingeniero hidráulico Rafael Bombelli, unos treinta años después de la publicación de la

obra de Cardan, quien introdujo un razonamiento a las conclusiones de Cardan. Este

razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli

desarrolló un cálculo de operaciones con números complejos que se ajusta a los que conocemos

en la actualidad.

A principios de 1620, Albert Girard sugirió que las ecuaciones de grado n tenían n raíces.

René Descartes, que bautizó con el nombre de imaginarios a estos números, apuntó también

que toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado, aunque alguna de ellas podían

ser números imaginarios.

Los números complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XVIII. Leibniz y Johan

Bernoulli usaron números imaginarios en la resolución de integrales.

Los números complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por Jean

D'Alembert en hidrodinámica y por Euler, D’Alembert y Joseph-Louis Lagrange en pruebas

erróneas del teorema fundamental del álgebra. Euler fue el primero en usar la notación haciendo

además un uso fundamental de los números complejos al relacionar la exponencial con las

funciones trigonométricas por la expresión.

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Por otro lado, Euler expuso su identidad, la ecuación más famosa de la matemática. En ella se

puede decir que está resumida toda la matemática. Encontramos los conceptos de suma,

multiplicación, exponenciación e identidad. Además, tenemos los cinco números fundamentales:

El cero: 0

El uno: 1

El número

El número e

El número i

𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss, en su tesis doctoral, daba la primera prueba correcta del

teorema fundamental del álgebra.

La Universidad de Cambridge como ejemplo, a principios del siglo XIX, se preguntaba qué lógica

regía sobre las operaciones con números complejos que permitiese su enseñanza.

En el siglo XIX ya proponen algunos matemáticos, de Cambridge principalmente, que debía haber

unas reglas que gobernasen esta herramienta que ya demostraba a todas luces su utilidad para

muchos. La representación geométrica de los complejos como puntos del plano tiene sus

primeras citas en los trabajos de 1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo Jean-

Robert Argand.

No obstante sería la referencia de Gauss la que tendría el impacto suficiente. En 1833, William

Rowan Hamilton da la primera definición algebraica rigurosa de los complejos como pares de

números reales. Más tarde, es Augustin-Louis Cauchy quien da una definición abstracta de los

números complejos como clases de congruencias de polinomios reales, basándose en las clases

de congruencias de enteros dada por Gauss.

Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los números complejos

ya habían desaparecido.

La presencia de los números complejos en diversas áreas de las matemáticas puede ser

clasificadas de manera muy genérica de la siguiente forma:

Álgebra

Análisis

Geometría

Teoría de números

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Representación de los Números Complejos

Para empezar, debemos definir un número complejo. Los números complejos conforman un

grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. La unidad

imaginaria es el número √−1 y se designa por la letra i.

√−1=i

√−4 = √4√−1 = 2𝑖

Un número imaginario se denota por b i, donde:

b es un número real

i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

𝑥2 = −9 𝑥 = ±√−9

𝑥1 = 3𝑖 𝑥2 = −3𝑖

Números Complejos en Forma Binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

z=a+bi

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y,

eje imaginario.

La representación geométrica de un número real es un único punto en una línea recta continua

infinitamente larga, esta línea recta tiene establecida una unidad que es la distancia entre puntos

consecutivos que representan a los llamados números enteros. Un número complejo es más

general que esto.

Un número complejo es un par ordenado de dos números reales (a, b), de manera análoga una

variable compleja es un par ordenado de dos variables reales.

z = (x, y)

El orden es importante, ya que en general (a, b) ≠ (b, a). Normalmente un número real (x,0) es

escrito sólo como x, y la unidad imaginaria i = (0,1) sólo es escrita como i, la cual tiene la propiedad

que i2 = −1.

Si definimos a z = (a, b) a a se le denomina parte real y se denota por Re(z), y a b se le llama

parte imaginaria y se denota por Im(z).

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El conjugado de un número complejo z = (a, b) es denotado como z o z∗ está definido como

z = (a, −b)

Una forma más cómoda de denotar a un número complejo z = (a, b) será z = a + ib.

Representación vectorial

La representación vectorial es también muy utilizada ya que al representar un número complejo

como un vector hereda propiedades y herramientas del análisis vectorial.

Para representar un número complejo como un vector (segmento de recta dirigido) se localiza el

punto en el diagrama de Argand y el vector se conformará del origen al punto previamente

localizado.

Las características de las operaciones con vectores respetan a las de los números complejos e

incluso las describen de tal manera que muchas demostraciones son más simples de hacer y

entender por una representación de este tipo.

En esta figura se muestran los vectores correspondientes a los números complejos

2 + 1.5i y −1 + 2i así como el vector resultante de su suma.

Una suma vectorial es una suma compleja.

Representación polar

Si un número complejo tiene una representación en un plano cartesiano también lo tendrá en un

plano polar. Recordando que las ecuaciones para convertir de coordenadas rectangulares a

polares y adaptándola al plano de Argand:

x = rcosθ iy = ir sinθ

donde r es la distancia del origen al punto a través de una línea recta (magnitud del vector) y θ

el ángulo formado por dicha recta y el eje real. A θ se le conoce como argumento o fase y se

denota por Arg(z) siendo z el número complejo al que corresponde. Sustituyendo las ecuaciones

de arriba en la definición de número complejo tendremos z = x + iy = r(cosθ + isinθ)

y recordando la propiedad de Euler que dice ex+iy = ex(cosx + isiny)

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Ley del paralelogramo

substituyendo tendremos

z= x + iy = reiθ

siendo θ y r el argumento y el módulo de z respectivamente.

Notando algunas propiedades geométricas de esta representación podemos ver que si dejamos

r fijo y variamos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π notaremos que se ira formando un circulo de radio

r con centro en el origen. También con una desigualdad con el módulo podemos delimitar todos

los puntos de un circulo, a esto se le suele llamar disco, por ejemplo, |z| < 1 serán todos los puntos

que del origen a un punto tienen un módulo menor a 1, es decir, todos los puntos internos del

circulo de radio 1 con centro en el origen.

Partes:

M=√𝒂𝟐+𝒃𝟐 α=art tan (𝒃

𝒂)

Representación matricial

Un número complejo se puede representar como un vector y un vector como matriz, por lo que

suena lógico que un número complejo se pueda representar con una matriz, sólo que la

representación no tiene que ser propiamente la de un vector en una matriz. Una posible

representación de z ∈R con Re(z) = a y Im(z) = b

El primer renglón nos dará el número complejo. Podemos definir la unidad real como

y la imaginaria como

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al ser un número complejo la suma de un número real más otro número real por la unidad

imaginaria, podemos hacerlo matricialmente

Con esta representación la aritmética compleja es isomorfa a las operaciones con matrices.

Relación entre los Números y el Desarrollo Social a lo Largo de la Historia de

la Humanidad

La utilidad y concepción de las teorías matemática, sus saberes se utilizaban en las otras ciencias

existentes en cada época, tales como la astronomía y la música, por ejemplo. Los resultados

matemáticos obtenidos dan pie y utilidad al estudio en diversos ámbitos. Sin la matemática, el ser

humano no hubiera alcanzado los niveles de desarrollo necesarios.

Desde luego cada ciencia tiene su trascendental importancia en saberes; y bajo el punto de vista

de su influencia en el bienestar social, cada una ha dado su aporte valioso; pero si es cierto que

el conocimiento es uno de los elementos que ayudan en el destino de las sociedades para que

las necesidades fundamentales de la vida sean satisfechas, se admite que la matemática puede

con toda justicia demandar uno de los lugares más privilegiados en el sistémico concierto de las

fantasías de la inteligencia, integrada a todos los saberes de las ciencias.

Lo anterior, lleva a mirar los puntos de vista de la ciencia matemática, desde el comienzo de la

historia, a fin de que sean apreciados los aportes de la ciencia lógica. Han existido diversas

maneras de concebirla; en la antigüedad en los filósofos presocráticos ya existía inquietud por

encontrar la naturaleza de las cosas más allá de sus apariencias múltiples. Pitágoras (582 a. C. -

507 a. C) y sus seguidores denominados los pitagóricos afirmaban que a toda materia se le

asociaba un número. Estos estudiosos le dieron suma importancia a las proporciones y se

consideran los precursores de la matemática. En su época entonces no se enseñaban las ciencias

de manera separadas (ni separadas de la filosofía) y el fin último de la educación era la formación

integral del individuo; ideales plasmados en la Paideia griega.

Más adelante, al surgir el positivismo con Comte (1798-1857), después de la revolución industrial,

se execra en las aulas a la matemática de las ciencias y la filosofía. Se rechazan conocimientos

provenientes de la psicología, sociología, considerándolas a todas estas fuera de los cánones de

la ciencia; como se puede notar se reduce el estudio a meros asuntos probables y la educación

entra en decadencia, porque es esta convergen aspectos claramente humanos fuera de las

pruebas científicas.

De esta manera se impone el espíritu positivista como único conocimiento válido, reduciendo y

supeditando la cultura a la ciencia, execrando la filosofía, abandonando el sentido común crítico,

exigiendo inclusive el percibir la realidad sólo desde un punto de vista. Predomina, en

consecuencia, una visión empirista, aproblemática, ahistórica, acumulativa y lineal; desprovista

antes los ojos del mundo de subjetividad y dinamismo.

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La situación antes descrita trae consecuencias graves sobre la evolución de la matemática en el

siglo XX y la interpretación de la matemática en la educación. En estos años existieron más

matemáticos que en todos los años anteriores juntos, la gran cantidad de descubrimientos e

influencias sobre las ciencias es enorme y significativos para el avance de la humanidad. Pero al

mismo tiempo la enseñanza de la matemática comienza a entrar en crisis notable.

El hombre del siglo, Einstein (1879 –1955), propuso las dos teorías de la relatividad; la mecánica

cuántica, un desafío fundamental de la manera de mirar al mundo, fue otra creación magistral de

la mano de la matemática. La aeronáutica, en vista de los avances de ésta ciencia formal nació

en 1903 y la reacción de los teóricos fue drástica y a la altura del desafío. Éste gran científico

humanista decía “estoy convencido de que mediante construcciones puramente matemática se

pueden descubrir los conceptos y las leyes que los conecten entre sí, que son los elementos que

nos ofrecen la clave para la comprensión de los fenómenos naturales” (Einstein, 2000, p.95).

El cálculo de probabilidades, el caos determinista, la teoría de juegos, la economía con el mercado

financiero, los ordenadores y la computación son apenas unos pocos de los descubrimientos que

van de la mano de la matemática y que influyen en todas las ciencias. Se recomienda revisar el

texto Pensar la Matemática de Guénard y Lelíevre (1984), para información más profunda de

todas estas relaciones.

La ciencia matemática no es estacionaria; se ha desarrollado por el genio de los grandes

pensadores; está presente en todas las ciencias, y lo que tiene de característico es que sus

progresos son siempre deducciones, corolarios implícitos de cada una de sus teorías

fundamentales. Pero es menester considerar que la naturaleza de la matemática es bastante

compleja, por ello según Cantoral

(1999) es menester la reconstrucción del conocimiento en las aulas de clase, a fin de hacer la

matemática socializable, entendible en la diversidad de educandos y maneras de pensar o

significados.

Según este autor los conocimientos matemáticos tienen un origen y una función social que tienen

que ver con las prácticas humanas.

Todos estos resultados son indicios de que es preciso asumir una postura filosófica que permita

asentar las bases sobre las cuales se formará al individuo, a través del uso de la matemática en la

vida y en su desarrollo integral.

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Aplicaciones: Números Complejos

En ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la relación

espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material y para poner en

números el comportamiento de los fluidos.

Para análisis dinámico de estructuras y para el control numérico de acciones de una

máquina-herramienta por medio de números.

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del

espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable

imaginaria.

Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los

define a través de cálculos con números complejos en el plano.

Los números complejos son usados en los modelamientos matemáticos de procesos

físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales electrónicas.

Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha,

amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión eléctrica,

centrales hidroeléctricas.

Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas sobre

vigas (para los arquitectos e ingenieros civiles), estudio de ondas (para los físicos), además

se emplea en los estudios concernientes a la propagación del calor.

En sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de navegación de

buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio. Una herramienta

fundamental es la llamada transformada de Fourier (esta herramienta se emplea para las

aplicaciones anteriores) que usa intensivamente a los números complejos.

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una

descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r

eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal

de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de

la forma: f (t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z

nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias,

capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias

para las dos últimas.