INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS

JEFATURA DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS BÁSICAS

TALLER 1 CÁLCULO DIFERENCIAL

EJE TEMÁTICO 1: FUNCIONES DE VARIABLE REAL1

OBJETIVO Utilizar el concepto de función, sus propiedades y representaciones para dar solución a situaciones problema en distintos contextos.

1. Indique cuales de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a funciones:

A.

B.

C.

D.

E.

F. 0

2. Determine cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones:

1 La mayoría de los ejercicios que se presentan en este taller hacen parte de 5 Módulos de trabajo

independiente del curso de Cálculo Diferencial, elaborados por los profesores de la Facultad de Artes y

Humanidades Sergio Alarcón Vasco y María Cristina González Mazuelo. Son producto

3. Para cada una de las siguientes funciones, determinar: ; ; ; ;

A. B.

C. D.

Responda las preguntas 4 y 5 de acuerdo con gráfico de la función , mostrada a continuación:

4. De acuerdo con el gráfico, evaluar: A.

B.

C.

5. Encontrar los valores de para los cuales se cumple que:

A. , para en el intervalo B. , si C. , para todo en el dominio de la función

6. El gráfico siguiente representa la corriente eléctrica, que se distribuye a través de un tramo de un circuito eléctrico en un tiempo ; donde se expresa en Amperes ( ), y en segundos ( ).

De acuerdo con la información que se da en el gráfico, responder lo siguiente: A. ¿Cuál es la corriente en el circuito cuando han pasado ?

B. Entre y s, ¿cuáles son los valores mínimo y máximo alcanzados por la

corriente?

C. ¿Después de cuántos segundos la corriente en el circuito alcanza los ?

D. ¿Para qué intervalo de tiempo la corriente se encuentra entre los y los ?

7. Hallar el dominio y el rango de las funciones cuyos gráficos se muestran a continuación:

A.

B.

C.

D.

8. Encontrar el dominio de cada una de las siguientes funciones:

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

L.

M.

9. Para cada uno de los pares de funciones que se dan a continuación, encontrar:

, , y .

A. y

B. y

C. y

D. y

10. Para cada uno de los pares de funciones que se muestra a continuación, hallar: , , ; :

A. y

B. y

C. y

D. y

E. y

11. Cada una de las funciones que se dan a continuación son funciones compuestas. Encontrar las funciones que las componen y comprobar que la composición de dichas funciones es la función compuesta dada.

A. B. C.

D. E. F.

12. Encontrar la inversa de cada una de las funciones que se dan a continuación, e indicar si dicha inversa es o no es función:

A.

B. C.

D.

E.

F.

13. Hallar la ecuación de la recta que cumple las siguientes condiciones:

A. Tiene pendiente y pasa por el punto

B. Pasa por los puntos y C. Tiene pendiente y pasa por el punto D. Pasa por los puntos y

14. Para cada una de las siguientes ecuaciones hallar: la pendiente, el intercepto con el eje , el intercepto con el eje y el gráfico de la recta.

A. B.

C. D.

15. El gráfico que se presenta a continuación representa el voltaje , que pasa a través

de una resistencia dada, como una función lineal de la corriente donde se expresa en milivoltios y la corriente en miliamperios ( ).

De acuerdo con la información suministrada en el gráfico, encontrar:

A. El valor de la resistencia , en ohmios ( ). B. Un modelo matemático que represente el voltaje como función de la corriente

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

600

1200

1800

2400

3000

3600

4200

v

8

A partir del modelo matemático, hallar:

C. El voltaje , en voltios, cuando la corriente es de 15.4 D. La corriente cuando el voltaje es de 3.65 .

16. La velocidad de un objeto en caída libre está representada por el modelo matemático

donde se expresa en metros por segundo y el tiempo en

segundos . De acuerdo con esta información, hallar:

A. El significado de la pendiente en el modelo matemático. B. La velocidad inicial del objeto. C. El tiempo en que el objeto alcanza la máxima altura D. La velocidad en y la velocidad en (Indicar si en estos tiempos el

objeto sube o baja) E. El gráfico de la función

17. Un tanque contiene 50 litros de agua. A las 8:00 a.m. se abre una llave para llenarlo de tal forma que a la 1:00 p.m. hay en el tanque 1.250 litros de agua. Si se considera que la cantidad de agua que entra al tanque es constante y que la capacidad del tanque es de 2.000 litros,

A. Representar gráficamente, en el plano cartesiano, la situación B. ¿Cuántos litros de agua entran al tanque cada hora? C. Hallar el modelo matemático que represente la situación

A partir del modelo matemático del numeral c., responder lo siguiente:

D. ¿A qué horas hay en el tanque 1.875 litros de agua? E. ¿Cuánta agua habrá en el tanque a las 11:30 a.m.? F. ¿Cuándo quedará lleno el tanque?

18. Una motocicleta se compró hace 5 años y desde entonces se deprecia anualmente

en $750.000 hasta valer hoy en día $1.200.000. De acuerdo con esta información:

A. Hallar el modelo matemático que representa la situación B. Representar la situación gráficamente, en el plano cartesiano

A partir del modelo matemático del numeral b., responder lo siguiente:

C. ¿Cuándo se depreciaría totalmente la motocicleta? D. ¿Cuál fue el valor de adquisición de la motocicleta?

19. Para las funciones cuadráticas de los numerales A. hasta J., encontrar::

I. El vértice de la parábola a la cual representa

9

II. Indique si el gráfico se abre hacia arriba o hacia abajo y, además, si el gráfico es más

ancho, más angosto o igual al de la función 2( )f x x

III. Los intersectos con los ejes cartesianos IV. El dominio y el rango de la función V. Realice un gráfico de la parábola

A. B. C. D. E.

F. G. H. I. J.

20. Una mujer que iba en un globo dejó caer sus binoculares cuando el globo se encontraba

a pies sobre el suelo y se elevaba con una velocidad de . La altura de los

binoculares respecto al suelo está dado por:

A partir del modelo matemático conteste las siguientes preguntas: A. ¿A qué altura respecto al suelo se encontraban los binoculares 2 segundos

después de que la señora los dejó caer? B. ¿En qué momento los binoculares se encontraban a 30 pies de altura respecto al

suelo? C. ¿Cuánto tardarán los binoculares en llegar al suelo? D. Represente en el plano cartesiano la situación. E. Determine el dominio y el rango de la situación.

21. El gráfico que se presenta a continuación representa el desplazamiento de un objeto

en caída libre. De acuerdo con la información suministrada en el gráfico encontrar lo que se pide a continuación: A. La altura máxima alcanzada por el objeto, y el tiempo que tarda en alcanzarla. B. La altura desde donde fue lanzado el objeto. C. El tiempo que demora el objeto en caer al piso

D. Un modelo matemático que represente la altura con respecto al piso, en

metros, alcanzada por el objeto en un tiempo , en segundos. E. A partir del modelo matemático encontrar la altura alcanzada por el objeto 8

segundos después de haber sido lanzado. F. A partir del modelo matemático indicar cuando el objeto alcanza una altura de 100

metros.

10

22. En un cultivo de flores, cierto día a las 11:00 pm la temperatura empezó a descender de tal manera que la temperatura mínima registrada fue de 1° C bajo cero a las 3:00 de la madrugada. Luego volvió a subir hasta alcanzar 19° C a las 8:00 am. Si se sabe que la temperatura en el cultivo obedece a un modelo cuadrático:

A. Identificar las variables que intervienen en la situación y determinar cuál es la

independiente y cuál la dependiente. B. Señale la información clave: puntos de interés y realice una gráfica aproximada de

la situación. C. Hallar el modelo matemático que representa la situación.

Sustentado en el modelo matemático responda las siguientes preguntas:

D. ¿Cuál fue la temperatura a la 1:00 am? E. ¿A qué horas se registró una temperatura de 0°C? F. ¿Cuál fue la temperatura a las 11:00 pm? G. ¿A qué horas vuelve a alcanzar la temperatura inicial?

23. Para cada una de las siguientes funciones exponenciales (numerales A. hasta J.),

determinar:

I. La ecuación de la asíntota horizontal II. Los interceptos con los ejes cartesianos

III. Realice un bosquejo de la curva IV. El dominio y el rango de la función

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

11

I. J.

24. Para cada una de las siguientes funciones logarítmicas (numerales A. hasta J.), encontrar:

I. El dominio de la función

II. La ecuación de la asíntota vertical III. Halle los interceptos con los ejes cartesianos IV. Realice un bosquejo de la curva

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

25. Un circuito electrónico contiene una batería que produce un voltaje de 60 voltios (V), un resistor con una resistencia de 13 ohms ( ), y un inductor con una inductancia de 5 henrys (H). La corriente (en Amperios, (A)) t segundos después de que se cierra el interruptor viene dada por el modelo matemático:

A. ¿Cuál es la corriente en el circuito 1.5 segundos después de haberse cerrado el interruptor? B. ¿Después de cuantos segundos la corriente es de 2 A?

26. La velocidad de un paracaidista en el tiempo t está representada por:

)1(80)(2,0 tetV

Donde t está dada en segundos y V en pies / s

A. Determinar la velocidad inicial del paracaidista. B. Determinar la velocidad del paracaidista después de transcurridos 5 y 10 segundos. C. ¿Cuándo la velocidad del paracaidista es de 26,4 pies/s?

27. Una persona conduce un automóvil en un día frío de invierno (20°F en el exterior) y la máquina se sobrecalienta (a cerca de 220°F). Cuando el auto se estaciona, la máquina

12

comienza a enfriarse. La temperatura T de la máquina t minutos después de que se estaciona viene dada por el modelo matemático

A. Si la temperatura del motor es de 205 °F, ¿cuántos minutos lleva el automóvil de

haberse estacionado? B. ¿Cuál es la temperatura del motor después de 20 minutos de haberse estacionado

el auto? 28. La gráfica que se da a continuación muestra la población de monos en un sector del

Amazonas entre el año 2002 y 2006.

A. ¿Cuál es la población de monos en 2002?

B. Encontrar una función que modele la población de monos t años después de 2002.

C. ¿Cuál es la población de monos proyectada en 2012?

D. ¿En qué año la población de venados llega a 100 000?

En los ejercicios 29 al 31encontrar lo siguiente:

A. Evaluar la función definida por tramos en los valores indicados. B. Hacer un bosquejo del gráfico

29. 0 si 5

0 si )(

2

xx

xxxf

Evaluar: ),0(f ),5(f ),3(f )2(f

Población de

monos

1 2 3 4

10 000

20 000

30 000

Años desde 2002

(4, 31 000)

40 000

13

30. 3 si 73

3 si 2)(

xx

xxf

Evaluar: )5(f , ),5(f ),3(f )(3

10f

31.

1 Si 1

11 Si

1 Si 2

)(

2

x

xx

xxx

xg

Evaluar: ),5(g ),3(g ),(2

1g )(4

1g , )1(g

32. En la gráfica a continuación se presenta la corriente que pasa a través de un oscilador.

A. Determine el modelo matemático que representa a B. Halle la corriente que pasa a través del oscilador en y

C. ¿Cuándo la corriente que pasa por el oscilador es de ?

33. Un teléfono celular cuesta 39 dólares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos de dólar. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como

39 si 0 400( )

39 0.2( 400) si 400

xC x

x x

Determinar:

A. El coso de 350 minutos B. El costo de 400 minutos C. El costo de 1000 minutos

14

34. Una distribuidora de música ofrece a sus clientes un gran surtido de música en DVDs. Si compran no más de 6 DVDs, se venden a $35.000 cada uno. Si compran más de 6 DVDs, cada DVD adicional se vende a $33.000.

De acuerdo con lo anterior

A. Encontrar un modelo matemático que represente el costo C de x DVDs B. ¿Cuál es el costo de 5 DVD? C. ¿Cuál es el costo de 15 DVDs?

35. Para cada una de las siguientes funciones trigonométricas:

I. Determine la amplitud, el período y la frecuencia. II. Halle los interceptos con los ejes cartesianos

III. Grafique la función para un período de IV. Determine el dominio y el rango de la función

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

36. La posición de una cuerda que vibra con respecto al tiempo está representada por:

A. ¿Cuál es la amplitud de vibración de la cuerda? B. ¿Cuál el período? C. ¿Cuál su frecuencia? D. Halle el modelo matemático que represente la posición de la cuerda con respecto al

tiempo.

t

f (t)

1

4

-2

/ 3

15

E. Determine )(),(),( 67

126 fff a partir de la gráfica y del modelo matemático.

F. Determine el rango de la situación.

37. En un cultivo de mangos el número de mangos cosechados tiende a variar periódicamente de acuerdo con el siguiente modelo matemático.

tSentN 315503250)(

Donde )(tN representa el número de mangos cosechados y t es el número de años a

partir del 2005.

A. Construir a partir de la expresión analítica su gráfica que represente la situación en el plano cartesiano

B. ¿Cuál es el mayor número de mangos cosechados en el cultivo? C. ¿Cuándo se alcanzó por primera vez? D. ¿Cuántas cosechas hay cada año? E. ¿Cuál será el número de mangos cosechados a finales de octubre del 2007? F. ¿Cuál es el número de mangos cosechados a finales de marzo del 2007?

38. La corriente que fluye a través de un dispositivo en un tiempo está dada por:

Donde se mide en micro amperes ( ) y en segundos (

A. Realice el gráfico que representa a durante

B. Determine e

C. ¿Cuándo ?

Resuelva los numerales 39 a 41, de acuerdo con la siguiente información. El modelo matemático que describe el desplazamiento de un objeto, en un tiempo dado , es de la forma o , entonces se dice que el objeto sigue un Movimiento Armónico Simple (MAS). Además:

I. es la amplitud o desplazamiento máximo del objeto.

II. es el periodo o tiempo necesario para completar un ciclo.

III. o es la frecuencia o número de ciclos por unidad de tiempo. Su

unidad de medida es , también llamada Hertz (Hz).

39. Se golpea un diapasón, lo cual produce un tono puro cuando sus puntas vibran. Dichas

vibraciones están representadas por:

16

Donde es el desplazamiento de las puntas en milímetros en segundos. De acuerdo con lo anterior:

A. Determine el período y la frecuencia de la vibración. B. ¿Cuál es el desplazamiento de las puntas en el instante del golpe? C. ¿Cuál es el desplazamiento de las puntas 2 segundos después del golpe? D. ¿En qué momento el desplazamiento es de 0,5 milímetros? E. Graficar

40. La variación de la presión para la nota MI, de una tuba, a partir de la presión normal del aire viene determinada por el modelo matemático , donde

se mide en y en segundos. De acuerdo con este modelo matemático,

encontrar:

A. La amplitud B. El periodo C. La frecuencia D. El gráfico de para en el intervalo

41. El gráfico siguiente muestra la pantalla de un osciloscopio, donde se lee la variación del voltaje de una corriente alterna que produce un generador sencillo. De acuerdo con la información suministrada por el oscilador:

A. Encontrar el voltaje máximo producido B. Determinar la frecuencia del generador C. ¿Cuántos ciclos por segundo da la armadura del generador? D. Determinar una fórmula que describa la variación en el voltaje en función del

tiempo

17

Bibliografía recomendada

DEMANA,F.D., WAITS, B.K., FOLEY, G.D. y KENNEDY, D., Precálculo: Gráfico,

Numérico, Algebraico. Séptima edición. México D.F: Pearson, 2007.

DOWLING, Edward T., Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Primera edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1992.

HOFFMAN, Laurence D. y BRADLEY, Gerard L. Cálculo para administración, economía y

ciencias sociales. Sexta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1998.

LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7a edición. México: Oxford University, 2003.

PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica. Sexta edición.

México: Prentice Hall Hispanoaméricana, 1992. STEIN, Sherman K. y BARCELLOS, Anthony. Cálculo y geometría analítica. Quinta edición.

Bogotá: Mc. Graw Hill, 1994. STEWART, James. Cálculo de una variable: Conceptos y contextos. Cuarta edición. México

D.F.: Cengage Learning Editores, 2010. STEWART, James. Cálculo diferencial e integral. Segunda edición. Bogotá: Thompson

editores, 2007. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo con geometría analítica. 2da edición. México: Grupo editorial

Iberoamérica, 1989. THOMAS, George B. Cálculo de una variable. Decimosegunda edición. México: Addison-

Wesley, 2010. WARNER Stefan, CASTENOBLE Steven R. Cálculo Aplicado. 2da edición. México:

Thomsom Learning, 2002. ZILL G., Dennis. Cálculo con geometría analítica. México: Grupo editorial Iberoamérica,

1987.

Ejercicios adicionales Profesor Jaime Andrés Jaramillo González. jaimeaj@conceptocomputadores.com. ITM Repaso conceptos previos

42. Resolver las siguientes inecuaciones lineales:

a) xx 2432 −<− b) xx −<+ 435 c) 9

2

10331 −≤+<− x

43. Resolver las siguientes inecuaciones lineales y representar gráficamente su solución en la

recta real:

a) 3

1

4

2 −≤ a+a b)

4

6 - 5123

xx ≤−

c) 33

3 ≥

+x

44. Resolver las siguientes inecuaciones no lineales y representar gráficamente su solución:

a) 083x5x2

<++− b) 0102101252

<+xx − c) 4

3

42x ≤

−

+x

d) 044x23 <+xx −− e) ( ) ( ) 011

22 ≤⋅− +xx f)

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0

13

124 ≥⋅

−⋅−⋅−+x+x

xxx

g) 01

92

≥−−

x

x

h) 56274522 −+<+− xxxx

i) 164

3

12>

++

− x

x

x

x

j) 0132

60172

≥+

−−x

xx k) 0

8233

752

≥−+

+xx

x l) 0

1644

123

2

≥+−−

−xxx

x

Dominio y rango de una función

45. Determine el dominio de la función

a.

3)( += xxg

b.

4073

4)(

2

2

−−−=xx

xxf

c.

4213

9)(

2 +−−−=xx

xxF

46. Determine el dominio y dibuje la gráfica de la función

d.

675

8)(

2

3

−−−=

xx

xxf

e.

( )( )( )1494

9)(

2

2

−−−=

xx

xxxf

f.

119

953)(

2

3

−++−=

xx

xxxf

g.

835)( ++−= xxxf

h.

365

3212)(

2

2

−+++=

xx

xxxf

i.

6173

1)(

2

4 2

−−−=xx

xxf

j.

4154

15)(

2 +−−=

xx

xxf

k.

34136089

347)(

−++−−−=

xxx

xxxf

l.

67

17119117)(

2 +−++−=

xx

xxxf

m. 127

12)(

2 +−−=xx

xxf n.

9

1)(

2

3 2

−−=

x

xxf o.

12134

1337)(

2

2

−−−+=xx

xxxf

p. 3682

57)(

−+−=xx

xxf q.

9514

9

2

2

−−−=

xx

xy r.

xx

xy

−−++=

4087

4

s. 2

23812)(

23

−+−−=

x

xxxxf

t. 754

9

2 +−=

xxy u.

74

9662

+−=

x

xy

v. 29623

12

−−−+=

xx

xy w.

44177

31342

2

−−++=

xx

xxy x.

xx

xxf

+++=392

1)(

y. ( )x

xxf

4728

83

−−+= z. ( )

xx

xxf

−−+−+=

21138

83

47. Encuentre dominio y rango de la función

48. Dadas ;16)(2 −= xxf y ;71)( += xxg determinar el dominio de las funciones:

);(xf );(xg y ( )

( )xg

xfxh

−=

9)(

49. Encuentre el dominio de las funciones );(xf );(xg y )(xh dadas por:

a) ;9)( 3 2 −= xxf2

225)( xxg −= ; ( ) ( )( )xg

xfxh

−−=

9

1

b) ;4514)( 3 2 +−= xxxf 81)(2 −= xxg ; ( ) ( )

( )xg

xfxh

−=

40

Función lineal La función lineal tiene como gráfica una línea recta, ésta tiene tres tipos de ecuación: • Ecuación pendiente intersección: bmxy += (tiene pendiente m e intersección con el eje y en (0,b)

• Ecuación punto-pendiente: )(00

xxmyy −=− (tiene pendiente m y pasa por el punto (00

, yx ))

• Ecuación general: cbyax =+

La pendiente de una recta, cuando se conoce que pasa por los puntos ( )11

, yx y ( )22

, yx puede

calcularse mediante la fórmula 12

12

xx

yym

−−

= .

50. Determine la ecuación general de la recta que:

a. Tiene pendiente -2/5 y pasa por (2,2)

a.

13)( += xxg

b.

5

6)(

+=

xxG

c.

2)( xxxF +=

d.

152

3)(

2 −++=xx

xxf

a.

4)( −= xxg

b.

9)(2 −= xxG

c.

225)( xxF −=

d.

97)( −−= xxf

b. Contiene los puntos (-5,1) y (-6,2)

Dos rectas con pendientes m1 y m2 son paralelas si 12

1 =m

m y son perpendiculares si 1

21−=mm .

51. Determine la ecuación punto- pendiente de la recta que:

a. Es paralela a x – 2y + 2 = 0 y pasa por (-2,-1) b. Es perpendicular a 3x – 4y = 2 y pasa por (-4,2)

52. Determine la ecuación pendiente-intersección de la recta que es paralela a 2x +1 = y y pasa por (-2,5)

53. Encuentre las ecuaciones generales de las rectas 1r y

2r , y elabore sus gráficas en un mismo

sistema de referencia.

a. )4,1();2,3(;1

−−= BAABr ; 2122

)3,4(;: rPrrr ∈⊥

b. )3,1();2,4(;1 BAABr −−= ; 2122 )4,0(;: rPrrr ∈

54. Un estudiante ha leído 23 páginas de un libro de 391 páginas. A partir de ese momento adquiere la disciplina de leer 16 páginas diarias.

a. Represente la cantidad de páginas leídas como función del número de días transcurridos. b. Determine cuantas páginas habrá leído a los 5 días. c. Determine cuántas páginas habrá leído a los 12 días. d. Determine a los cuantos días habrá terminado de leer el libro. e. Elabore una gráfica de la función obtenida en el literal a.

55. Un señor que se dedica a vender buñuelos a $200, tiene los siguientes costos: transporte (costos fijos) $7000 diarios; materiales para la elaboración (costos variables) $60 por cada buñuelo.

a. Represente por una función los costos diarios en términos de la cantidad de buñuelos producidos y vendidos

b. Represente por una función la cantidad de dinero recibida en términos de la cantidad de buñuelos producidos y vendidos

c. Represente por una función las ganancias obtenidas en términos de la cantidad de buñuelos producidos y vendidos.

d. ¿cuántas son las ganancias obtenidas en un día que se venden 500 buñuelos? e. ¿cuántas son las ganancias que se obtienen en un día que se venden sólo 50 buñuelos?

(analice la respuesta obtenida) f. Elaborar una representación gráfica donde muestre las tres funciones.

56. Se suministran 5 3m /min. de agua a una piscina de 10.000 3

m de capacidad, que inicialmente está llena hasta la mitad.

a. Exprese la cantidad de agua en la piscina como función de la cantidad de minutos transcurridos.

b. Qué cantidad de agua tendrá la piscina a las 12 horas c. En cuanto tiempo estará llena la piscina. d. Elabore una representación gráfica de la función.

57. El gerente de una fábrica de muebles encontró que cuesta fabricar $6.600.000 fabricar 100 sillas un día y $14.400.000 fabricar 300 sillas en un día.

a) Exprese el costo como una función del número de sillas que se producen, suponiendo que es lineal. Luego trace la gráfica.

b) ¿Cuál es la pendiente de a gráfica y que representa? c) ¿Cuál es la ordenada al origen de la gráfica y que representa?

58. Una planta produce 1.000 envases por hora, los cuales se almacenan en una bodega que inicialmente tiene 25.000 envases.

a. Exprese la cantidad de envases en la bodega como función del tiempo transcurrido (en horas)

b. ¿Cuántos envases habrá a las 8 horas? c. ¿Cuándo habrá 50.000 envases en la bodega? d. Represente gráficamente la función obtenida en el literal a.

59. El alcalde de un pueblo decide terminar la pavimentación de la carretera de la entrada principal que tiene 9 Km, de los que sólo 1 Km había sido pavimentado antes de empezar la obra. Considerando que se logran pavimentar 200m diarios,

a. Exprese la cantidad de metros pavimentados como función del tiempo transcurrido en

días b. ¿Cuántos metros estarán pavimentados a los 30 días de iniciar la obra? c. ¿Cuántos días se requieren para terminar la obra? d. Elabore una representación gráfica de la función obtenida en el literal a.

60. Una empresa compró un equipo de computo por $15 000 000, el cual se deprecia linealmente hasta valer en 8 años $3 200 000. a. Encuentre la función lineal )(tfV = que relacione el valor V en pesos con el tiempo t en años.

Explicar por qué el dominio de la función es [0,8].

b. Determine el valor del equipo a los 4 ( )( )4f y a los 8 ( )( )8f años.

c. Elabore la gráfica de )(tfV = , obtenga la pendiente de la recta que representa a la función

)(tfV = y explique qué significa.

d. ¿A los cuantos años el equipo costará la tercera parte de su valor original? 61. Un fabricante de queso produjo 18 000 libras del 1 de enero al 24 de marzo de 2007. Suponiendo que durante todo el año mantuvo el mismo ritmo de producción. a. Escriba como función de x las libras de queso que produce en x días. b. Aproxime a la libra más cercana la cantidad de libras producidas en todo 2007. 62. El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta. A la temperatura de 175 ºK el gas ocupa 100 m3, (a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen como una función de la temperatura, (b) ¿Cuál es volumen del gas a una temperatura de 140°K? (Nota: Las escalas de temperatura absoluta son Kelvin (ºK) y Rankine (ºR))

Función cuadrática 63. Determinar el vértice, elaborar la gráfica y encontrar el rango de la función cuadrática:

64. Un avión despega de un portaviones y vuela hacia el occidente durante 2 horas a razón

de 600km/h. Después regresa a 500km/h. Mientras tanto, el barco ha viajado hacia el occidente a 30km/h. ¿A las cuántas horas se encontrarán?

65. Una lancha tarda 1 hora más en viajar 24 km contra la corriente de un río que en el viaje

de regreso. Si la lancha tiene una velocidad de 10km/h en aguas tranquilas, ¿Cuál es la velocidad de la corriente?

66. El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si el largo se aumenta en

40m y el al ancho en 6m: a. Exprese el área del nuevo terreno como función del ancho del terreno original. b. Determine el área del nuevo terreno, si el ancho original era de 6m. c. Determine cuál debe ser el ancho del terreno original para que el nuevo terreno tenga

el doble de su área.

67. Bajo un conjunto de condiciones controladas de laboratorio, el tamaño de la población de ciertas bacterias, medido por su masa en mg, en el momento t (en minutos) esta descrito por la función

923032 +−= ttp para 600 ≤≤ t

a) Determine la tasa de crecimiento de la población en t=10. b) Determine en qué momento la población es mínima y cuál es su valor. c) Elabore una representación gráfica de la función

68. En un bosque un depredador se alimenta de su presa, y para las primeras 15 semanas a partir del fin de la temporada de caza, la población de depredadores es una función f de x, el número de presas en el bosque, la cual a su vez, es una función g de t, el número de semanas que han pasado desde el fin de la temporada de caza. Si

50248

1)(

2 +−= xxxf y ( ) 524 += ttg

donde 150 ≤≤ t , haga lo siguiente: (a) Encuentre un modelo matemático que exprese la población de depredadores como una función del número de semanas a partir del fin de la temporada de caza, (b) Determine la población de depredadores 11 semanas después del cierre de la temporada de caza.

69. Un puente que cruza un río de 30 metros de ancho tiene la forma de una parábola con una altura máxima de 6 metros con respecto al río. De acuerdo con esto,

a) Representar la situación en el plano cartesiano

a.

151642 +−= xxy

b.

25243)(2 +−−= xxxf

c.

15125)(2 −+= xxxf

d.

201772 +−= xxy

b) Hallar una expresión para la altura del puente, con respecto al río, en función de la distancia horizontal a una de sus orillas.

c) ¿A qué altura sobre el río se encuentra una persona ubicada sobre el puente a una distancia horizontal de 7 metros a partir de la orilla del río?

d) ¿A qué distancia horizontal desde las orillas está una persona ubicada sobre el puente a una altura de 4.5 metros sobre el río?

70. Para un viaje a un centro turístico, una compañía de fletes de autobuses cobra $ 48.000 por persona, más $2.000 por persona por cada lugar que no se venda en el autobús. Si el autobús tiene 42 asientos y x representa el número de lugares no vendidos, obtener lo siguiente: a. Una función que defina el ingreso total, R, del viaje, en función del número de lugares no vendidos, x. b. El gráfico de la función del numeral a. c. El número de asientos no vendidos que producen el ingreso máximo. d. El ingreso máximo. 71. Para una función en una pequeña sala de teatro, con capacidad para 160 personas, se cobra a cada espectador $20.000 más $400 por cada silla no ocupada. Si x representa el número de sillas no ocupadas hallar:

a) Valor recaudado, como función de la cantidad de sillas no ocupadas b) Gráfica de la función c) Cantidad de sillas no ocupadas con las que se logra el recaudo máximo d) Recaudo máximo

72. Un granjero decide criar patos y compra una cierta cantidad entre machos y hembras. Se empiezan a reproducir y la población cambia en función del tiempo, de modo que el número de patos es

22202)(2 ++−= tttp , donde t son los años transcurridos

a. ¿Cuántos patos compró? b. ¿A los cuántos años se da la mayor población de patos y cuántos patos son? c. ¿En algún momento se extinguen? Si es así, ¿Cuándo (a los cuantos años)?

Funciones seccionalmente definidas o por tramos 73. Obtenga gráfica, dominio y rango de la función

74. Dada la función responder los literales A,B y C

A. Trace el gráfico de haciendo uso de las técnicas de graficación (sin tabular)

B. Indique el dominio y el rango de

C. Encuentre y

75. El salario básico de un vendedor es de $630.000. Cuando logra ventas superiores a los $10.000.000, recibe adicionalmente el 1% del excedente.

a. Representar algebraica y gráficamente la función que relaciona el salario como variable dependiente de las ventas realizadas por el vendedor.

b. ¿Cuánto es el salario recibido por el vendedor, en un mes en el que sus ventas son de $9.500.000? c. ¿Cuánto es el salario recibido por el vendedor en un mes en el que sus ventas son de $39.500.000? d. ¿Cuánto debe ser el valor de las ventas del vendedor en un mes para recibir un salario de

$1.250.000? 76. En una ciudad se tienen las siguientes reglas para las tarifas de la carrera de un taxi: el taxímetro

comienza a contar a partir de los $2400; la carrera mínima es de $4200; el taxímetro incrementa su marcación en $95 por cada 100m recorridos

a. Representar algebraica y gráficamente la función que relaciona el valor de la carrera como variable dependiente de los metros recorridos.

b. ¿Cuánto es el valor de una carrera de 2000m? c. ¿Cuánto es el valor de una carrera de 5700m?

a.

>≤≤−+−

−<−

=2,

23,2

3,5

)(

3 xsix

xsix

xsi

xg

b.

≥−−<−

=2,4

2,13)(

2 xsix

xsixxG

c.

<≤+<≤−−=

60,3

03,9)(

2

2

xsix

xsixxF

d.

>−<<−−

−≤−−=

2,214

21,64

1,35

)(2

xsix

xsix

xsix

xf

e.

≥<<−−

−<−

=1,2

12,4

2,4

)(2

2

xsix

xsix

xsix

xf

f.

≥+

−<−=

1,1

3,12)(

2

xsix

xsixxf

g.

>−<≤−−

−<−=

3;187

32;152

2;43

)(2

xsix

xsix

xsix

xf

d. ¿Cuántos metros se recorren para que el valor de una carrera sea de $14.560?

77. Para llenar una piscina inicialmente vacía, y con capacidad para 7.000 3m se sigue el siguiente

proceso: inicialmente se suministra agua a razón de 4 min/3m durante 10 horas. Se suspende el

suministro por 5 horas, y finalmente se suministran 8 min/3m hasta llenar totalmente la piscina.

a. Expresar la cantidad de agua en la piscina como función del tiempo (minutos) b. Determine la cantidad de agua en la piscina a las 15 horas c. Determine en cuanto tiempo estará totalmente llena la piscina. d. Representar gráficamente la función

78. Un hombre hace un recorrido extenso en bicicleta: inicialmente, durante 8 horas, lo hace a 20Km/h. Luego descansa 14 horas para continuar su recorrido a 25km/h. por 8 horas más.

a. Exprese la distancia recorrida como función del tiempo b. Determine la distancia recorrida a las 24 horas c. Determine la distancia total recorrida d. Representar gráficamente la función.

Funciones trigonométricas

79. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior

del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40º. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

80. Determine amplitud, rango, periodo, frecuencia y desplazamiento de fase de la función, y elabore su gráfico:

81. Dada la función ( )

>

−+

−≤≤−++

−<+

=

0;2

35

13;1182

3;103

2

xsixsen

xsixx

xsix

xf

ππ

a)

xy 5cos2=

b)

xseny 824 +−=

c)

)cos(45 ππ +−= xy

d)

( )5473 −+= xseny

Trace el gráfico de ( )xf y encuentre su dominio y rango

82. Encontrar gráfica, dominio y rango para la función:

a)

+

−

−<+−−=

43

515

1;2123

)(

2

ππsen

xxx

xf

b)

( )

≥−

−

<++=

0,74

35

0,753242

xsixsen

xsixx

xf ππ

Simetrías función par e impar

83. Determine si la función dada es par, impar, o no tiene simetría

Combinación de funciones

84. Dadas xxf =)( , x

xxg

21

23)(

−−= , 30233)(

2 −−= xxxh :

a. Determine el dominio de ))(º( xgf .

b. Determine el dominio de )(º xh

gf

85. Dadas x

xxf

3

14)(

−= , 281)( xxh −= y xxg −= 7)(

determinar:

a. ))(( xgf o

b. ))(( xgh o

c. ( ) )()( xgfh oo

86. Exprese la siguiente función, como combinación de funciones:

5)(2 += xxf

Transformaciones y traslaciones

a.

xx

xxg

23

4)(

3

2

++=

b.

( ) xxxG −+= 24)(2

c.

2

2

7

93)(

x

xxF

−+=

87. La tabla muestra puntos de la gráfica )(xfy = .

x -3 -2 -1 0 1 2 3

)(xfy = 5 3 -1 0 1 2 5

a. Elabore una gráfica para )(xfy = . b. Elabore una gráfica para 4)3( −+= xfy

Inversa de una función 88. Determine si la función es o no uno a uno:

89. Tenga en cuenta que no es indispensable que una función tenga inversa para hallar su rango,

por ejemplo, para hallar el rango de 2792 += xy puede encontrar la inversa de 279

2 += xy , 0≥x y

determinar su dominio. Encuentre dominio y rango de la función. Si es posible encuentre su inversa. En caso contrario explicar porque no es posible encontrar la inversa de la función.

90. Dadas x

xxf

25

3)(

−−= y ;18)( −= xxg determinar la inversa de la función:

a.

( )( )xgfxH o=)(

b.

( )( )xfgxH o=)(

91. Sean: ( )2

2

35

1

x

xxf

−−= ; ( ) 72 += xxg

y ( ) ( )( )xgfxh o= ; determinar ( )xh 1−

a.

24)( += xxf

b.

22

1)(

2 −=

xxf

c.

22

1)(

2 −=

xxf , 0≥x

d.

22

1)(

2 −=

xxf

1−>x

a.

9

3)(

2 −+=

x

xxg

b.

xxf −−= 16)(

c.

49

1

2 −

−=x

y

d.

3/22)23()( += xxf

92. Sean: ( )4

582

2

+−=

x

xxf ; ( ) 23 += xxg

y ( ) ( )( )xgfxh o= ; determinar ( )xh 1−