INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTLA GUTIERREZ

INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE TUXTLA GUTIERREZ

CARACTERIZACIOacuteN E IMPLEMENTACIOacuteN DE UN OBSERVADOR DE ESTADOS HIBRIDO PARA LA ESTIMACIOacuteN DE BIOMASA EN UN

BIOREACTOR

Reporte de Residencia Profesional

ING ELECTROacuteNICA

SEMESTRE 9

Presenta Carlos Armando Loacutepez Arias

Num De control 06270057

Asesor MC Francisco Ronay Loacutepez Estrada

Tuxtla Gutieacuterrez Chiapas

16 Junio 2010

Ing ELECTRONICA Residencial Profesional

Reporte Final Paacutegina 1



INDICE Contenido Paacutegina

Capitulo 1 11 Introduccioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip3 12 Marco Teoacutericohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip4 13 Planteamiento del problema9 14 Hipoacutetesishelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip9 15 Objetivos9 16 Justificacioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10 17 Estado del Artehelliphelliphelliphelliphelliphellip11

Capitulo 2 OBSERVADORES 21 Definicioneshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip13 22 El Observador de Luenbergerhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16 23 Siacutentesis de Observadores para Sistemas No Linealeshelliphelliphelliphellip17

Capitulo 3 MODELADO DE UN BIOREACTOR 31 Introduccioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip19 32 Crecimiento Celularhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip19 33 Leyes de Velocidadhelliphelliphellip21 34 Estequiometriahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip21 35 Balance de Materiahelliphellip23 36 Paraacutemetros Fiacutesico-Quiacutemicoshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip24 37 Modos de Operacioacuten de Biorreactoreshellip26 38 Desarrollo del Modelo Matemaacuteticohellip28 39 Simulacioacuten del Modelo Matemaacuteticohelliphellip31

Capitulo 4FUNDAMENTOS DE REACCIONES ENZIMATICAS 41 Definiciones y mecanismoshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip34 42 Inhibicioacuten de Reacciones Enzimaacuteticashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip35 43 Cofactores de Enzimashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip35 44 Ecuacioacuten de Monodhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip36 45 Simulacioacuten de la Ecuacioacuten de Monodhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip41 46 Simulacioacuten de la Ecuacioacuten de Inhibicioacuten de Sustratohelliphelliphelliphelliphellip43

Capitulo 5 PUNTOS DE EQUILIBRIO

51 Introduccioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip45 52 Determinacioacuten de los Puntos de Equilibriohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip47 53 Determinacioacuten de la Matriz Jacobianahelliphelliphelliphelliphellip50 54 Anaacutelisis de los Puntos de Equilibriohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip53 55 Calculo de Eigevectoreshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip56 56 Simulacioacuten de los Puntos de Equilibriohelliphelliphelliphellip59

Conclusioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip61 Bibliografiacuteahellip62 Glosariohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip63 Anexoshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip64



UNIDAD 1

11 INTRODUCCIOacuteN

Los procesos bioquiacutemicos desempentildean un papel muy importante en la industria debido ala gran demanda de sus productos en las aacutereas alimenticias farmaceacuteuticas las de especialidades quiacutemicas etc Dichos procesos se basan en la adquisicioacuten confiable de datos obtenidos en la planta o laboratorio sin embargo surge el problema de que no es posible medir algunas de la variables del proceso debido a que no existen sensores capaces de medir a dichas variables por lo cual es necesario desarrollar alguacuten meacutetodo de estimacioacuten de estas variables Para esto se haraacute uso de un observador de estados que es capaz de reconstruir o estimar los estados y variables de intereacutes en un proceso a partir de las mediciones fiacutesicas de las entradas y salidas del mismo Estas son herramientas virtuales que nos permiten enviar informacioacuten estimada acerca del valor que toman dichos estados permitiendo conocer un aproximado del valor real ademaacutes cuentan con muy poco margen de error A estos se les considera como sensores virtuales debido a que se desarrolla como software o programa dentro de una computadora El objetivo principal de este proyecto es el desarrollar un observador de estados que monitoree las principales variables de control de un bioreactor donde se pretende estimar el crecimiento de la biomasa y el consumo de substrato La adquisicioacuten de datos se haraacute en tiempo real y el desarrollo del observador de estados se haraacute en LabView En el proceso se utilizaran sensores de ph disolucioacuten de oxigeno y el uso del sensor virtual es decir nuestro observador de estados desarrollado en LabView Para desarrollar nuestro observador de estados seraacute necesario construir un modelo matemaacutetico que represente la dinaacutemica del crecimiento de la biomasa y el consumo del substrato las cuales son nuestras variables de estado las cuales no podemos medir con alguacuten sensor Dicho modelo seraacute simulado y valorado en MATLAB para posteriormente implementarlo en LabView



12 Marco Teoacuterico

Sustrato

En bioquiacutemica un sustrato es una moleacutecula sobre la que actuacutea una enzima Las reacciones quiacutemicas que involucran al sustrato o los sustratos El sustrato se une al sitio activo de la enzima y se forma un complejo enzima-sustrato El sustrato por accioacuten de la enzima es transformado en producto y es liberado del sitio activo quedando libre para recibir otro sustrato

La ecuacioacuten general es la siguiente

E + S ES rarr EP E + P

Donde E = enzima S = sustrato(s) P = producto(s) Noacutetese que soacutelo el paso del medio es irreversible

Mediante el incremento de la concentracioacuten de sustrato la velocidad de la reaccioacuten aumentaraacute debido al aumento de la probabilidad de formacioacuten de complejos enzima-sustrato Esto ocurriraacute hasta que no haya maacutes enzimas disponibles para la formacioacuten de complejos enzima-sustrato lo que corresponde a un punto en que la velocidad ya no aumenta Las enzimas constituyen el factor limitante

Biomasa

Biomasa seguacuten el Diccionario de la Real Academia Espantildeola tiene dos acepciones

1 f Biol Materia total de los seres que viven en un lugar determinado expresada en peso por unidad de aacuterea o de volumen

2 f Biol Materia orgaacutenica originada en un proceso bioloacutegico espontaacuteneo o provocado utilizable como fuente de energiacutea1

La primera acepcioacuten se utiliza habitualmente en Ecologiacutea La segunda acepcioacuten maacutes restringida se refiere a la biomasa uacutetil en teacuterminos energeacuteticos las plantas transforman la energiacutea radiante del Sol en energiacutea quiacutemica a traveacutes de la fotosiacutentesis y parte de esa energiacutea quiacutemica queda almacenada en forma de materia orgaacutenica la energiacutea quiacutemica de la biomasa puede recuperarse quemaacutendola directamente o transformaacutendola en combustible

Un equiacutevoco muy comuacuten es confundir materia orgaacutenica con materia viva pero basta considerar un aacuterbol en el que la mayor parte de la masa estaacute muerta para deshacer el equiacutevoco de hecho es precisamente la biomasa muerta la que en el aacuterbol resulta maacutes uacutetil en teacuterminos energeacuteticos Se trata de un debate importante en ecologiacutea como muestra esta apreciacioacuten



Todo ecoacutelogo empentildeado en estimar la biomasa de un bosque se enfrenta tarde o temprano con un problema iquestDeberaacute incluir tambieacuten la madera y quizaacutes incluso la hojarasca y el mantillo Una gran proporcioacuten de la madera no se puede calificar de materia viva pero es importante como elemento de estructura y de transporte y la materia orgaacutenica del suelo es tambieacuten un factor de estructura

Otro equiacutevoco muy comuacuten es utilizar biomasa como sinoacutenimo de la energiacutea uacutetil que puede extraerse de ella lo que genera bastante confusioacuten debido a que la relacioacuten entre la energiacutea uacutetil y la biomasa es muy variable y depende de innumerables factores Para empezar la energiacutea uacutetil puede extraerse por combustioacuten directa de biomasa (madera excrementos animales etc) pero tambieacuten de la combustioacuten de combustibles obtenidos de ella mediante transformaciones fiacutesicas o quiacutemicas (gas metano de los residuos orgaacutenicos por ejemplo) procesos en los que siempre se pierde algo de la energiacutea uacutetil original Ademaacutes la biomasa puede ser uacutetil directamente como materia orgaacutenica en forma de abono y tratamiento de suelos (por ejemplo el uso de estieacutercol o de coberturas vegetales) Y por supuesto no puede olvidarse su utilidad maacutes comuacuten servir de alimento a muy diversos organismos la humanidad incluida (veacutease cadena troacutefica)

La biomasa de la madera residuos agriacutecolas y estieacutercol continuacutea siendo una fuente principal de energiacutea y materia uacutetiles en paiacuteses poco industrializados

Observadores

Los observadores de estado son herramientas virtuales que permiten estimar las variables o estados de un sistema en base a mediciones de las sentildeales de salida y sentildeales de control Estos observadores permiten enviar informacioacuten estimada acerca del valor que toman dichos estados permitiendo conocer un aproximado del valor real ademaacutes cuentan con muy poco margen de diferencia o error

Se le considera una herramienta virtual puesto que se desarrolla como software o programa dentro de una computadora



OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO

Dado el sistema

Donde

x Vector de estado (n x 1)

u Sentildeal de control (escalar)

y Sentildeal de salida (escalar)

A Matriz (n x n)

B Matriz (n x 1)

C Matriz (1 x n)

D Matriz (escalar)

Se puede estimar sus estados mediante la siguiente expresioacuten

Donde

L Vector de ganancias que permiten la observacioacuten de estados (1 x n)

Vector de estados estimados

Vector de salida



TIPOS

Existen 2 tipos de observadores observadores de orden completo y observadores de orden reducido u orden miacutenimo

Los observadores de orden Completo son aquellos utilizados para observar o estimar todos los estados de un sistema

Los observadores de orden Reducido son aquellos utilizados para observar o estimar solo algunos estados de un sistema

El observador de Luenberger es un estimador de estado es decir un algoritmo que permite estimar el estado interno oculto (no medible) de un sistema dinaacutemico lineal a partir de las mediciones de la entrada y la salida de dicho sistema

La idea en la cual se basa este observador es en generar un sistema clon del original al cual siacute se le pueda medir el estado interno directamente Si el sistema original y su clon son sometidos a los mismos estiacutemulos (la misma entrada) se puede esperar que a medida que pase el tiempo se comiencen a comportar del mismo modo debido a que sus estados internos tienden a parecerse cada vez maacutes (lo anterior funciona siempre que el sistema original y su clon sean estables) De este modo el estado interno del clon se puede usar como una aproximacioacuten del estado interno del sistema original

Para acelerar la convergencia del estado del sistema clon al estado del sistema original se puede estimular al clon con una entrada corregida que consiste en la misma entrada que el sistema original maacutes la diferencia entre la salida de los dos sistemas multiplicada por una constante De este modo se logra modificar la dinaacutemica del sistema clon de modo que logre estimar el estado del sistema original en un tiempo arbitrariamente pequentildeo (al menos en teoriacutea) Es decir el clon es capaz de observar tanto la entrada del sistema original como la diferencia entre su salida y la del sistema original lo que le permite converger maacutes raacutepido

Ahora viene la explicacioacuten maacutes rigurosa de lo anterior Cada uno de los dos sistemas dinaacutemicos lineales estaacute descrito por dos ecuaciones una ecuacioacuten de transicioacuten de estado que indica de queacute forma se va a modificar el estado en cada tiempo t y una ecuacioacuten de observacioacuten que entrega la salida en funcioacuten del estado




Supongamos que las ecuaciones que describen el sistema lineal original con

estado entrada y salida son las siguientes

(Ecuacioacuten de transicioacuten de estado observador)

(Ecuacioacuten de observacioacuten observador)

El error de estimacioacuten de estado estaacute dado por

El error en la salida del observador estaacute dado por

Se puede alimentar al sistema clon con la siguiente entrada modificada

El efecto producido sobre la ecuacioacuten de transicioacuten de estado del observador es el siguiente

Si restamos esta ecuacioacuten de la ecuacioacuten de transicioacuten de estado del sistema original se obtiene la siguiente expresioacuten

Esta uacuteltima ecuacioacuten muestra que la dinaacutemica del error puede ser modificada convenientemente mediante una eleccioacuten de un valor K adecuado



13 Planteamiento del Problema

La medicioacuten de variables en los procesos bioquiacutemicos es una parte muy importante ya que requiere la implementacioacuten control monitoreo y visualizacioacuten de variables criticas como en el caso de la biomasa y el substrato cuya tarea se vuelve en la mayoriacutea de los casos ardua difiacutecil y muy costosa debido ala carencia de sensores y a los costos extremadamente elevados de los pocos que existen los cuales mas que sensores son instrumentos costosos delicados y algunos complejos para su manipulacioacuten

14 Hipoacutetesis El observador de estados podraacute estimar el crecimiento y el consumo de la biomasa y el substrato dentro de un bioreactor continuo en tiempo real en base al modelo matemaacutetico obtenido

15 Objetivos Generales Caracterizar e implementar un observador de estados para estimar el crecimiento de biomasa y el consumo del substrato en un bioreactor continuo Especiacuteficos

Obtener el modelo matemaacutetico de un bioreactor

Validar el modelo matemaacutetico obtenido

Sintonizar el observador de estados en base al modelo obtenido

Programar el algoritmo de prediccioacuten en LabView

Validar los resultados en forma experimental



16 Justificacioacuten

Se desarrollara un sensor virtual con el fin de construir un sensor de bajo costo con una repuesta raacutepida y confiable para sustituir a los pocos y muy caros dispositivos que realizan la misma tarea Las ventajas que ofrece nuestro sensor virtual son muchas por ejemplo este presenta una respuesta bastante raacutepida en comparacioacuten con otros dispositivos que requieren de tiempos bastante largos para el anaacutelisis de muestras presenta una estimacioacuten de la variable a medir con un miacutenimo de error es robusto su costo no es tan elevado en comparacioacuten con los dispositivos de medicioacuten existentes y ademaacutes no le afectan las condiciones mecaacutenicas (vibraciones suciedad etc) Existen dispositivos que pueden realizar esta misma tarea como por ejemplo el turbidimetro el cual presenta serias desventajas con respecto a nuestro sensor virtual estas desventajas son las siguientes sus costos son elevados presentan resultados erroacuteneos por presencia de burbujas en los vidrios donde se colocan las muestras o bien por la suciedad que tengan estos y tambieacuten les afectan las vibraciones mecaacutenicas Otro de los dispositivos utilizados para este tipo de mediciones son los cromatoacutegrafos de gas que tienen como principal desventaja su altiacutesimo costo ademaacutes de ser un equipo voluminoso y que suele ser delicado tambieacuten requiere de diversas condiciones de temperatura para el anaacutelisis de la muestra de substrato Ademaacutes de estos dispositivos existen otros formas de medicioacuten de la cantidad de biomasa estos meacutetodos a los que nos referimos son meacutetodos manuales que requieren de la extraccioacuten de la muestra asiacute como el llevar estas a condiciones especiales para analizarlas este proceso se lleva mucho tiempo esta es la principal desventaja ya que el tiempo de anaacutelisis de la muestra lo hace totalmente obsoleta ante nuestro sensor virtual que realiza las estimaciones de las concentraciones de biomasa en tiempo real



17 Estado del arte

El modelado de Biorreactores continuos es un tema abordado en control de procesos industriales Muchas de las referencias recopiladas hablan de la contribucioacuten de muchos autores acerca del modelado control y simulacioacuten de Biorreactores Continuos Batch y Feed-Batch referencias de 1997 Muchos de los artiacuteculos presentados muestran distintos modelos para sistemas bioquiacutemicas aerobios trabajando sobre procesos similares A continuacioacuten se muestran algunos de los trabajos maacutes importantes en los cuales nos basamos para el desarrollo de nuestro trabajo Sensores de Software en Ingenieriacutea de Bioprocesos A Cheruy En este trabajo se habla de los principios de sensores virtuales en ella se habla acerca de estimaciones a traveacutes de mediciones indirectas observadores adaptativos filtros Kalman ademaacutes todos estos meacutetodos se basan en un modelo matemaacutetico los resultados obtenidos fueron simulados en un computador Estados y Estimaciones de Paraacutemetros en Procesos Quiacutemicos y Bioquiacutemicos Dennis Dochain Este trabajo trata de una especie de tutoriacuteal acerca de disentildeos de observadores Luenberger extendido observadores Kalman y observadores NO lineales Los cuales se denominan como observadores claacutesicos que se basan en el conocimiento perfecto de la estructura del modelo cineacutetico Control de Bioprocesos Avances y Retos Joseph S Alford Este trabajo habla acerca de procesos de medidas en las que habla directamente de las variables fiacutesicas que son posibles medir en un bioreactor tales como ph temperatura etc que le sirve como base para referirse a los sensores primarios en liacutenea los cuales nos permiten medir estos paraacutemetros ademaacutes habla de los sensores virtuales Ademaacutes esquematiza teacutecnicas de control PID para sistemas no lineales este profundiza el estudio de reactores bioquiacutemicas centrando su estudio en la ecuacioacuten de la cineacutetica enzimaacutetica ademaacutes este articulo contiene una serie de graficas simuladas en las que se visualizan estos fenoacutemenos descritos por las aseveraciones anteriores Sensores de Software para Bioprocesos Ph Bogaerts y A Vande Wouwer Este trabajo habla acerca de la modelacioacuten de Bioprocesos en funcioacuten de el numero de reacciones y los componentes micro orgaacutenicos que intervienen en el procesos bioloacutegico de cual en funcioacuten de dicho modelo hace una confrontacioacuten de 3 observadores en su articulo el primero un observador exponencial el segundo un observador asintoacutetico y el tercero un observador hibrido



CAPITULO 2 OBSERVADORES



21 Definiciones

En muchas aplicaciones de la ingenieriacutea se requieren paraacutemetros fiacutesicos que no pueden medirse directamente pro sensores ya sea porque la instalacioacuten de sensores fiacutesicos resulta costosa o incluso porque dichos sensores no existen Una alternativa que resulta bastante interesante y viable es producir una estimacioacuten de los paraacutemetros deseados utilizando el conocimiento del proceso que se representa por su modelo matemaacutetico y la informacioacuten de que se realicen de mediciones indirectas Un Observador de estados es un sistema dinaacutemico capaz de estimar o reconstruir el valor de los estados del proceso a partir del conocimiento de las entradas de u (t) y las salidas y (t) De manera general la representacioacuten del diagrama a bloques de un observador

de estados se representa como se observa en la figura 33 En la figura e t

representa el error de estimacioacuten ^

y t y t es decir la diferencia entre la

salida del proceso y la salida estimada El objetivo del observador es hacer que

la sentildeal de error converja en cero 0e t durante t Se habla de

convergencia exponencial cuando el error sigue una trayectoria exponencial a 0

Figura 33deg- Esquema de un Observador



En teacuterminos de control las razones por las cuales se requieren estimaciones de variables se dividen en tres categoriacuteas Supervisioacuten Diagnostico de Fallas y Control Supervisioacuten Un usuario puede necesitar de ciertas variables de procesos para tomar acciones propias El objetivo es que los estados estimados deben en le mejor de los casos ser tan aproximados como sea posible de los estados del proceso ante la presencia de perturbaciones actuando en el proceso

Figura 34deg- Supervisioacuten

Diagnostico de fallas Las fallas en los procesos industriales son inevitables ya sea por causa de alguacuten sensor descalibrado averiado o alguna mala conexioacuten etc pueden causar muacuteltiples interrupciones en el proceso acarreando perdidas en la produccioacuten e incluso accidentes Este es el principal motivo por el que se desea contar con mecanismo para detectar fallas antes de que estas causen graves problemas Las teacutecnicas de deteccioacuten de fallas basadas en meacutetodos analiacuteticos a menudo utilizan un observador para determinar los estados del proceso e interferir a partir de estas conclusiones sobre posibles fallas

Figura 35deg- Detector se Fallas



Control Algunas estrategias de control utilizan el vector de estados completo para generar la sentildeal de control Ya que la totalidad del vector de estados puede no ser medidle este pude ser estimado por un observador de estados El propoacutesito deseado es el de controlar el comportamiento de los estados estimados

Figura 36deg- Control



22 El observador de Luenberger El estudio de los observadores de Luenberger recurre alas teacutecnicas establecidas para los sistemas lineales particularmente ala muy conocida teacutecnica de colocacioacuten de polos la cual es utilizada para resolver el problema de estabilidad n sistemas lineales

Si se considera el sistema

x Ax t Bu t

y Cx t

el observador de Luenberger

consiste en construir en paralelo un modelo de estados de la forma

x A t x t B t u t K y t C x t

y C t x

Donde K es la ganancia del observador y denota el valor estimado de la

variable en cuestioacuten por ejemplo x t

representa el valor estimado por el

observador de x t

Si se considera que el error del observador esta dado por t x t x t

entonces su derivada es

d

A KCdt

Para sistemas SISO este tipo de observador es faacutecil de implementar La eleccioacuten de la ganancia K no es uacutenica es suficiente que A-KC sea estable (que los valores propios sean reales y negativos) Asiacute la dinaacutemica del error de estimacioacuten es decir la convergencia asintoacutetica del observador depende de la seleccioacuten de K sin embargo la seleccioacuten de k puede resultar complicada en sistemas multivariables La generalizacioacuten de esta siacutentesis de observadores con sistemas bilineales o incluso no lineales no es sistemaacutetica y aun en ocasiones imposible ya que la observabilidad de sistemas bilineales y no lineales depende de las entradas u



23 Siacutentesis de observadores para sistemas NO LINEALES


x f x t u t

y h x t

para este sistema existe un

observador de la forma

x f x t u t K x y t y t

Donde x

y y

son las estimaciones en liacutenea de x y y dadas por el observador

de estados asiacute pues

y h x

Y donde K es la ganancia del observador El disentildeo del observador de estados consiste en escoger una ganancia apropiada K Asiacute pues el disentildeo de la matriz de ganancia K se basa en una versioacuten lineal izada de la dinaacutemica del error de observacioacuten (la cual se calcula a partir de la expansioacuten de la serie de Taylor de un modelo en espacio de estados alrededor de alguacuten punto de equilibrio) Si se define al error de observacioacuten como

x x

La dinaacutemica del error de observacioacuten es

d

f x u f x u K x h x h xdt

Si se considera una linealizacion de la ecuacioacuten de arriba alrededor del error de

observacioacuten 0 se obtiene

dA x K x C x

dt

Donde A x

y C x

son respectivamente igual a

h x tf x t

A x t C x t

x x

Lo anterior es la base para el disentildeo de algoritmos de observacioacuten



CAPITULO 3 MODELADO DE UN

BIOREACTOR



31 Introduccioacuten

Los biorreactores o fermentadores son contenedores que son usados para sintetizar productos a escala comercial por medio de reacciones quiacutemicas en la mayoriacutea de los casos el metabolismo de las ceacutelulas son explotadas para convertir los substratos en productos deseados estos procesos pueden ser aerobios o anaerobios Los microorganismos solo crecen y se reproducen bajo condiciones oacuteptimas El criterio para la seleccioacuten de un reactor depende de tipo de reaccioacuten los reactantes y los productos que se manejen y las condiciones de operacioacuten (temperatura presioacuten composiciones dentro del reactor etc) Los fermentadores son usados para fermentaciones con ceacutelulas vivas buscaacutendose mantener el crecimiento celular para la formacioacuten de productos ya sea metabolitos (antibioacuteticos alcohol) biomasa (levadura bacterias hongos) substratos transformados (esteroides) Existen baacutesicamente tres tipos de biorreactores los cuales son

Fermentadores bucle agitado (Airlift)

Fermentadores de torre

Fermentadores con agitacioacuten Los fermentadores pueden clasificarse de acuerdo a su operacioacuten la cual esta en funcioacuten de los flujos de entrada y salida se clasifican como

Batch

Feed-Batch

Continuo

32 Crecimiento celular Las etapas de crecimiento celular en un reactor por lotes se muestran en la figura AA Aquiacute se muestra el logaritmo del nuacutemero de ceacutelulas vivas en funcioacuten del tiempo Inicialmente el reactor por lotes que contiene los nutrimentos se inocula (es decir se le antildeade) una pequentildea cantidad de ceacutelulas y el proceso de crecimiento inicia



Figura Adeg- Curva de Crecimiento Celular

En la fase I llamada fase de latencia casi no aumenta la concentracioacuten de ceacutelulas Durante esta fase las ceacutelulas se estaacuten ajustando a su nuevo entorno sintetizando enzimas y preparaacutendose para comenzar a reproducirse Es durante este periodo que las ceacutelulas realizan funciones como sintetizar proteiacutenas de transporte para acarrear el sustrato al interior de la ceacutelula sintetizar encimas para aprovechar el nuevo sustrato e iniciar la tarea de copiar el material geneacutetico de la ceacutelula La duracioacuten de la fase de latencia depende del medio de crecimiento (o sea el reactor) del cual se tomo el inoculo relativo al medio de reaccioacuten en el que se coloco Si el inoculo es similar al medio del reactor por lotes la fase de latencia seraacute casi inexistente En cambio si el inoculo se coloca en un medio con diferentes nutrimentos o otros constituyentes o si el cultivo del inoculo estaba en la fase estacionaria o de muerte las ceacutelulas tendraacuten que reajustar su ruta metaboacutelica para consumir los nutrimentos de su nuevo entorno La fase II se llama fase de crecimiento exponencial porque la velocidad de crecimiento de la ceacutelula es proporcional ala concentracioacuten de las ceacutelulas En esta fase las ceacutelulas se dividen con rapidez maacutexima porque todas las rutas enzimaacuteticas para metabolizar el medio estaacuten operando (como resultado de la fase de latencia) y las ceacutelulas pueden aprovechar los nutrimientos con eficiencia oacuteptima La fase III es la fase estacionaria durante la cual las ceacutelulas alcanzan un espacio bioloacutegico miacutenimo en el que falta de uno a mas nutrimentos limita el crecimiento celular Durante la fase estacionaria la taza de crecimiento es cero como resultado del agotamiento de los nutrientes y metabolitos indispensables Muchos productos de fermentaciones importantes incluidos los antibioacuteticos se generan en la fase estacionaria La fase final fase IV es a fase de muerte en la que ocurre una disminucioacuten de la concentracioacuten de las ceacutelulas vivas Esta baja es el resultado de los subproductos toacutexicos yo del agotamiento del abasto de nutrientes



33 Leyes de velocidad

Aunque existen muchas leyes para la velocidad decrecimiento de ceacutelulas nuevas mas adelanten se hablara de esta ley de velocidad en reacciones enzimaacuteticas Ceacutelulas + Sustrato mas Ceacutelulas + Producto La expresioacuten que se usa maacutes comuacutenmente es la ecuacioacuten de Monod para crecimiento exponencial y se puede expresar como

maxS

Km S

Ecuacioacuten 3

Donde max = velocidad de reaccioacuten de crecimiento especifica maacutexima 1s

Km= constante de Monod 3g

dm

S = concentracioacuten de sustrato 3g

dm

En muchos sistemas el producto inhibe la velocidad de crecimiento Un ejemplo claacutesico de inhibicioacuten se observa en la produccioacuten de vino donde la fermentacioacuten de la glucosa para producir el etanol es inhibida por el producto etanol Las velocidades de crecimiento microbiano se miden en teacuterminos de tiempos de duplicacioacuten que es el tiempo que tarda en duplicarse una masa de un organismo

34 Estequiometria La estequiometria del crecimiento celular es muy compleja y varia con el sistema de microorganismosnutrimentos y con las condiciones del entorno como pH temperatura y potencial redox Esta complejidad se incrementa considerablemente cuando maacutes de un nutrimento contribuye al crecimiento celular como suele suceder Se concentrara esta explicacioacuten en una versioacuten simplificada del crecimiento celular el limitado por un solo nutrimento del medio En general tenemos

celula sustrato celulas producto

Donde los coeficientes de rendimiento son



c sY de celulas nuevas formada

de sustrato consumida para producir celulas nuevas

masa

masa

El coeficiente de rendimiento estequiometrico que relaciona la cantidad de producto formado con la taza de sustrato consumida es

masa de producto formada

de sustrato consumida para formar productop sY

masa

Ademaacutes del sustrato que se consume para producir ceacutelulas nuevas parte de este debe utilizarse para mantener las actividades diarias de la ceacutelula El teacutermino correspondiente al consumo para mantenimiento es

masa de sustrato consumida para el mantenimiento

de celulas tiempom

masa

La rapidez del consumo de sustrato para mantenimiento sea que las ceacutelulas

esteacuten creciendo o no es sm cr mC

El coeficiente de rendimiento

C SY da cuenta del consumo del sustrato para

mantenimiento

masa de celulas nuevas formada

masa de sustrato consumidaC SY

La formacioacuten del producto puede ocurrir durante diferentes fases del crecimiento celular



35 Balance de masa Un modelo es la representacioacuten matemaacutetica de un sistema o fenoacutemeno por medio de la aplicacioacuten de principios fundamentales Las bases de los modelos matemaacuteticos son las leyes fiacutesicas y quiacutemicas fundamentales (Leyes de conservacioacuten de la masa energiacutea y momentum) y las leyes de transporte Las ecuaciones generales para un sistema son

Balance de masa de Flujos Totales

Cambio deFlujo Flujo

masa dentrode masa de masa

del Sistemaentrando al entrando al

AcumulacionSistema Sistema

Que coloquialmente se escribe como sigue Entradas ndash Salidas = Acumulacioacuten

Donde estas ecuaciones son validas independientemente de lo que ocurra dentro del interior del sistema

Balance de masa del componente individual (i) Los balances de los componentes individuales no son conservativos ya que un componente especifico puede formarse o desaparecer por reaccioacuten quiacutemica por eso en el balance de cada especie debe incluirse un termino que considere la generacioacuten o consumo de masa por reaccioacuten quiacutemica

CambFlujo Total Flujo Total Calor Trabajo

de Energia de Energia Agregado realizado

entrando al Saliendo del al por el

Sistema Sistema Sistema Sistema

io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion

Ecuaciones de transporte En general las ecuaciones de transporte permiten calcular la rapidez con que una propiedad (masa energiacutea momentum) se transfiere de un punto del sistema a otro Esta rapidez de transferencia se expresa como un flujo de la propiedad por unidad de aacuterea y es directamente proporcional a un gradiente de la propiedad en una o en varias coordenadas espaciales El gradiente es la fuerza impulsora y la constante de proporcionalidad es un paraacutemetro fiacutesico del medio o del sistema donde se lleva acabo la transferencia Asiacute se tienen tres leyes baacutesicas

= AA

Ley de Newton Ley de Fourier Ley de Fick

dCdv q dTK N D

dx A dx dx



36 Paraacutemetros Fiacutesico-Quiacutemicos Para que un determinado microorganismo crezca y se reproduzca adecuadamente dependeraacute de varios aspectos tales como el medio de cultivo el control de los paraacutemetros fisicoquiacutemicos alimentacioacuten etc A continuacioacuten se describiraacuten los paraacutemetros fiacutesico-quiacutemicos maacutes importantes Oxigenacioacuten Para que un microorganismo se multiplique es necesario que este se desarrolle en un medio donde halla oxigenacioacuten ya que este le sirve para producir energiacutea y acelerar la oxigenacioacuten Dichos requerimientos de oxigeno variacutean de acuerdo al tipo de microorganismo al estado fisioloacutegico de dichas ceacutelulas a los substratos de carbono y otros paraacutemetros fisicoquiacutemicos PH Otro factor importante para el desarrollo de microorganismos es el Ph Esto es debido a que cada microorganismo tiene un ph miacutenimo optimo y maacuteximo de crecimiento Alas ceacutelulas microbianas les afecta de forma importante el Ph de los alimentos ya que al parecer carecen de un mecanismo que regule su Ph interno En general las levaduras y los mohos toleran mejor la acidez que las bacterias El ph intriacutenseco de los alimentos es diferente en cada uno de ellos aunque la mayoriacutea tiene un ph neutro o acido Este es un paraacutemetro criacutetico en el crecimiento de microorganismos ya que cada tipo de microorganismo tiene un rango de Ph en el que puede vivir adecuadamente fuera de este rango muere Temperatura Los microorganismos pueden ser clasificados dependiendo de las temperaturas alas cuales estos crecen y son

Clasificacioacuten de microorganismos de acuerdo al rango de temperaturas

Clasificacioacuten Rangos de Temperaturas (degc)

Phychrophiles 20

Mesophiles 20 ndash 45

Thermophiles 45 ndash 60

Necesidades de Humedad Los microorganismos tienen una necesidad perentoria de agua ya que sin agua es imposible que exista el crecimiento Como cabe suponer la cantidad exacta de agua necesaria para que exista el crecimiento de los microorganismos es variable Esta demanda de aguase expresa como agua disponible o actividad de agua (aw) que se define como la presioacuten de vapor de la solucioacuten (de sustancias disueltas en agua en la mayoriacutea de alimentos) dividida por la presioacuten de vapor disolvente (generalmente agua)



Los factores que es posible que influyan sobre las necesidades de aw de los microorganismos son los siguientes 1- tipo de soluto utilizado para reducir la aw para algunos microorganismos sobretodo para los mohos la aw miacutenima de crecimiento es praacutecticamente independiente del tipo de soluto utilizado Otros microorganismos cuando se utilizan determinados solutos tienen valores de aw limitante de crecimiento que son maacutes bajos que cuando se utilizan otros Cada microorganismo tiene su propia y peculiar aw oacuteptima crecimiento y su propio intervalo de valores de aw dentro del cual es capaz de crecer bajo una serie de determinadas condiciones del medio Los factores que influyen en las necesidades de humedad de los microorganismos son las propiedades nutritivas del sustrato su ph su contenido en sustancias inhibidoras la existencia de oxigeno libre y la temperatura El intervalo de aw que permite el crecimiento de los microorganismos se reduce si uno de estos factores del medio no es el oacuteptimo Alimentacioacuten Para que un microorganismo pueda crecer necesita de ciertos substratos que le brinden energiacutea necesaria para realizar sus funciones metaboacutelicas Tales substratos son utilizados como fuente de carbono y fuente de nitroacutegeno La principal fuente de carbono esta compuesta por los azucares es decir carbohidratos mientras que en las de nitroacutegeno se utilizan sales ureas y amonio Tanto la clase como cantidad de nutrientes existentes en el alimento tienen gran importancia para determinar que microorganismo es mas probable que crezca en el mismo Se deben tener en cuenta los alimentos energeacuteticos los alimentos plaacutesticos y las sustancias accesorias de los alimentos o vitaminas las cuales pueden ser indispensables como energeacuteticas o plaacutesticas como por ejemplo los azucares son los nutrientes mas utilizados como fuente de energiacutea Sustancias inhibidoras Las sustancias inhibidoras existentes en el alimento original antildeadidos al mismo de forma deliberada o accidental o producidas en el por el crecimiento de microorganismos o por distintos sistemas de tratamiento pueden impedir el crecimiento de todos los microorganismos o como con mayor frecuencia ocurre evitar el crecimiento de determinadas especies Todo microorganismo que crece en un alimento puede producir una o mas sustancias inhibidoras para otros microorganismos Tambieacuten existe la posibilidad de que las sustancias inhibidoras sean destruidas por los microorganismos Agitacioacuten El principal propoacutesito de la aeracioacuten es asegurar la suspensioacuten homogeacutenea de los microorganismos en el medio que contiene los nutrientes



37 Modos de operacioacuten

Los Biorreactores pueden trabajar en distintos modos de operacioacuten Eacuteste no solo influye en el disentildeo propio del Bioreactor si no tambieacuten en el modelo cineacutetico de crecimiento del cultivo y en el proceso de produccioacuten Existen tres modos de baacutesicos operacioacuten los cuales son

Discontinuo (batch) en este modo se operacioacuten no existe alimentacioacuten de entrada (Fi=0) se coloca dentro del bioreactor la carga total de cada proceso de cultivo y se dejar que se lleve a cabo el proceso productivo por el tiempo que sea necesario el cuaacutel se denomina tiempo de retencioacuten En este modo de operacioacuten se lleva alas condiciones medioambientales necesarias de pH temperatura etc

Figura 1deg- Curva de crecimiento de Biomasa en Modo Batch

En esta curva se muestra la transicioacuten que tiene el crecimiento de la biomasa a lo largo del tiempo esta la divide en fases caracteriacutesticas del proceso en donde la primera fase corresponde al estado inicial de la reaccioacuten en la cual no existe produccioacuten de biomasa en la interfase se tiene un ligero crecimiento de la poblacioacuten en la fase logariacutetmica es la etapa donde se incrementa la poblacioacuten de manera exponencial nuevamente en la interfase se tiene una disminucioacuten de la velocidad de crecimiento de la biomasa entrando ala fase estacionaria en la cual no se tiene crecimiento no disminucioacuten de la poblacioacuten de la biomasa por ultimo se tiene la fase de muerte en la que se tiene la disminucioacuten de biomasa la cual se puede deber por causa de la inexistencia de concentracioacuten de sustrato

Semicontinuo (feed batch) En este modo de operacioacuten existe alimentacioacuten de

entrada 1 0F se alimenta una liacutenea de entrada o alimentacioacuten (F1) para que

el sistema de cultivo tenga un producto (biomasa) con maacuteximo de crecimiento (exponencial) y aumente la productividad



Figura 2deg- Curva de crecimiento de Biomasa en Modo Feed Batch

En la curva de la figura 2 se observa que tiene una fase intermedia en la que la reaccioacuten esta sin cambio posteriormente se observa que entra ala etapa logariacutetmica a diferencia del modo batch el modo Feed Batch tiene la regioacuten logariacutetmica mas alargada esto se debe a que existe un flujo de alimentacioacuten de entrada con el fin de incrementar la reproduccioacuten de biomasa y disminuir la muerte de esta por falta de sustrato aun que existe una ligera curvatura que indica perdida bioloacutegicamente esto ocurre debido a un fenoacutemeno denominado Inhibicioacuten

Continuo (continuos) En este modo de operacioacuten tambieacuten conocido como quimioestato se alimenta una liacutenea de entrada F1 o alimentacioacuten y se drena una liacutenea de salida F2 o lavado de manera que los flujos o caudales de ambas liacuteneas sean iguales y la produccioacuten sea continua

Figura 3deg- Curva de crecimiento de Biomasa en Modo Continuo

Como se observa en la curva de la figura 3 el propoacutesito de este modo de cultivo es el de mantener constante la poblacioacuten de biomasa el cual se logra manteniendo alimentado a un ritmo estable al cultivo cuyo volumen se mantiene constante quitando la misma cantidad que se agrega



38 Modelado Matemaacutetico

En esta seccioacuten se realizara el modelado matemaacutetico de nuestro bioreactor

Figura 6deg- Reactor Bioquiacutemico

Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h

gX Biomasa de Salida

l

gX Biomasa de Entrada

l

gS Sustrato de Entrada

l

gS Sustrato de Salida

l

V Volumen l

Para determinar las ecuaciones de crecimiento de Biomasa y consumo de Sustrato se realizan los siguientes balances de masa



Balance de Masa para el Crecimiento de Biomasa es [Taza de acumulacioacuten] = [Flujo de Entrada] ndash [Flujo de Salida] + [Generacioacuten]

1

0 0 1 1

Donde

V

gr Taza de Crecimiento Especifico

lh

dXV F X FX r ecuacion

dt

Balance de Masa para el Consumo de Sustrato es [Taza de acumulacioacuten] = [Flujo de Entrada] ndash [Flujo de Salida] + [Consumo]

0 0 2

2

2

Donde

dSV F S FS r V ecuacion

dt

gr Taza de Consumo Especifico

lh

Las ecuaciones 1 y 2 describen la dinaacutemica del reactor bioloacutegico Si ademaacutes

tomamos en cuenta que la 1r que es la taza de crecimiento especifico puede

expresarse de la siguiente manera

1 3

T

r X ecuacion

Donde Coeficiente de aza Crecimiento Especifico

El coeficiente de la taza de crecimiento especiacutefico no es una constante dado que esta es funcioacuten de la concentracioacuten de sustrato convirtieacutendolo en un sistema NO LINEAL Para medir la eficiencia de nuestro sistema se agrega el teacutermino de Rendimiento la cual es igual al cociente de la taza de crecimiento de biomasa sobre la taza de consumo del sustrato

1

2

4r

Y ecuacionr

De esta expresioacuten se puede obtener la siguiente relacioacuten para 2r

12 1

2

5

rr Sustituyendo a r X

Y

Xr ecuacion

Y



Sustituyendo las ecuaciones 3 4 y 5 en las ecuaciones 1 y 2 tenemos que

0 0

0 0 6

7

V ecuacion

dSV F S FS X V ecuacion

dt

dXV F X FX X

dt

Ademaacutes si asumimos que el volumen en el bioreactor es constante y que el

0F F podemos definir la siguiente expresioacuten

8

FD ecuacion

V

Donde D Taza de Dilucion

Despejando V de las ecuaciones 6 y 7 y sustituyendo la ecuacioacuten 8 tenemos

0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt

Tambieacuten podemos considerar que no hay alimentacioacuten de entrada de biomasa

es decir 0 0X

Las ecuaciones diferenciales finales de nuestro reactor bioloacutegico son

0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt



39 Simulacioacuten del Modelo Matemaacutetico Anaacutelisis de ecuaciones con la Formula de Inhibicioacuten de Sustrato En esta seccioacuten se simularan las ecuaciones diferenciales de la Biomasa y el Sustrato para analizar su comportamiento ante distintas concentraciones de entrada con la ecuacioacuten de Inhibicioacuten de sustrato en base a los siguientes paraacutemetros experimentales

0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Curvas de Comportamiento de Biomasa y Sustrato

tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)

Figura 9deg- Grafica de Comportamiento de Biomasa y Sustrato

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la biomasa y el sustrato con respecto al tiempo donde la concentracioacuten de biomasa es menor ala

concentracioacuten de sustrato cX CS En este caso la concentracioacuten de

biomasa se incrementa y la concentracioacuten de sustrato disminuye como se muestra en la figura 9 Las concentraciones de biomasa y sustrato son las siguientes

075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)


En la figura 10 se observa que la concentracioacuten de biomasa disminuye (MUERE) debido a que la concentracioacuten de sustrato es muy pequentildea

comparada con la concentracioacuten de biomasa cX cS Al existir mas consumidores que alimento este se consumiraacute raacutepidamente provocando escasez y como consecuencia la muerte de la poblacioacuten Las concentraciones de biomasa y de sustrato son las siguientes

0

0

20

075

gcX

l

gcS

l



CAPITULO 4 FUNDAMENTOS

DE REACCIONES ENZIMATICAS



41 Definiciones y mecanismos

Las reacciones enzematicas catalizadas son caracteriacutesticas de la mayoriacutea de las reacciones bioloacutegicas Una enzima E es una proteiacutena o sustancia tipo proteiacutena con propiedades cataliacuteticas Un sustrato S es la sustancia que se transforma quiacutemicamente a velocidad acelerada gracias ala accioacuten de la enzima sobre ella Una propiedad de las enzimas es que son especiacuteficas en cuanto a que una enzima solo puede catalizar una reaccioacuten Por ejemplo una proteasa hidroliza uacutenicamente enlaces especiacuteficos entre aminoaacutecidos especiacuteficos en las proteiacutenas una amilasa actuacutea sobre enlaces entre moleacuteculas de glucosa en el almidoacuten y una lipasa ataca alas grasas degradaacutendolas a aacutecidos grasos y glicerol Por tanto es faacutecil controlar los productos indeseables Solo los organismos vivos producen enzimas y las enzimas comerciales normalmente son producidas por bacterias Las enzimas casi siempre operan (es decir catalizan reacciones) en condiciones suaves PH de 4 a 9 y temperaturas de 24 a 71deg En muchos de los casos los sitios cataliacuteticos activos de la enzima se encuentran en los puntos donde interactuacutean los diversos bucles La mayoriacutea de las enzimas se nombra en teacuterminos de la reaccioacuten que catalizan Se acostumbra a antildeadir el teacutermino ndashasa a una parte importante del nombre del sustrato sobre el que la enzima actuacutea Por ejemplo la enzima que cataliza la descomposicioacuten de la urea es ureasa y la que ataca la tirosina es la tirosinasa Existen tres tipos principales de reacciones enzimaacuteticas 1deg- Enzima soluble-sustrato insoluble 2deg- Enzima insoluble-sustrato soluble 3deg- Enzima soluble ndashsustrato soluble Un ejemplo de reaccioacuten tipo 1 es el uso de enzimas como proteasa o amilasas en los detergentes para ropa sin embargo esta reaccioacuten ha causado cierta controversia en relacioacuten con la contaminacioacuten del agua Evidentemente la mas intensa actividad en el estudio de las enzimas a estado relacionadas con las reacciones bioloacutegicas porque se ha demostrado que praacutecticamente todas las reacciones de siacutentesis y degradacioacuten en las ceacutelulas vivas se controlan y catalizan con enzimas especificas Muchas de estas reacciones son homogeacuteneas en la fase liquida es decir son reacciones tipo 3



42 Inhibicioacuten de reacciones enzimaacuteticas

Otro factor que influye considerablemente en las velocidades de las reacciones catalizadas por enzimas ademaacutes del pH es la presencia de un inhibidor Las consecuencias mas draacutesticas de la inhibicioacuten de encimas se observan en los organismos vivos donde la inhibicioacuten de cualquier enzima especifica que interviene en una secuencia metaboacutelica primaria hace que toda la secuencia deje de funcionar el resultado es un dantildeo grave o la muerte del organismo Por ejemplo la inhibicioacuten de una sola enzima citocromo oxidasa por el cianuro hace que se detenga la oxidacioacuten aeroacutebica la muerte se presenta en cuestioacuten de minutos Tambieacuten existen inhibidores beneacuteficos como los que se usan en el tratamiento de la leucemia y otras enfermedades neoplaacutesicas Los tres tipos maacutes comunes de inhibicioacuten reversible que ocurren en las reacciones enzimaacuteticas son la competitiva anticompetitiva y no competitiva La moleacutecula de enzima es anaacuteloga ala superficie cataliacutetica heterogeacutenea en cuanto a que contiene sitios activos Cuando ocurre inhibicioacuten competitiva el sustrato y el inhibidor suelen ser moleacuteculas similares que compiten por el mismo sitio de la enzima Ocurre inhibicioacuten anticompetitiva cuando el inhibidor desactiva al complejo enzima-sustrato por lo regular unieacutendose alas moleacuteculas tanto de enzimas como de sustrato del complejo Ocurre inhibicioacuten no competitiva en el caso de enzimas que contienen al menos 2 tipos de sitios activos El inhibidor se une a un solo tipo de sitio y el sustrato al otro

43 Cofactores de enzimas

En muchas reacciones enzimaacuteticas y sobre todo en reacciones bioloacutegicas es preciso introducir un segundo sustrato (especie) para activar la enzima Este sustrato que se denomina cofactor o coenzima aunque no sea una enzima propiamente dicha se une ala enzima y por lo regular se reduce o se oxida durante la reaccioacuten El complejo enzima cofactor se conoce como holoenzima La forma inactiva del complejo enzima-cofactor para una reaccioacuten y direccioacuten de reaccioacuten especiacutefica se denomina apoenzima



44 Ecuacioacuten de Monod Los reactores bioloacutegicos donde se lleva acabo la generacioacuten de alguacuten producto o bien la reproduccioacuten de alguacuten microorganismo se vale de ecuaciones diferenciales de balance de masa correspondiente al sistema a describir con el propoacutesito modelar la dinaacutemica del proceso introduciendo teacuterminos de produccioacuten o consumo Ahora bien estas expresiones cineacuteticas son usadas para la elaboracioacuten de los modelos cineacuteticos Debido a que en un bioreactor se trabaja con organismos vivos hacen que dichas expresiones se vuelvan maacutes complejas En este apartado tratara al modelo cineacutetico mas caracteriacutestico de una reaccioacuten bioquiacutemica el modelo de Michaeils-Menten para la cineacutetica enzimaacutetica esto se debe a que en todas las reacciones bioquiacutemicas sean en reactores industriales o bien dentro de una ceacutelula son mediadas por enzimas las cuales son proteiacutenas que actuacutean como catalizadores facilitando de esta forma el acontecimiento de la reaccioacuten que estaacuten impedidas energeacuteticamente ya sea por reacciones lentas o bien termodinaacutemicamente imposibles en condiciones normales de presioacuten y temperatura La descripcioacuten matemaacutetica de la cineacutetica enzimaacutetica de Michaeils-Menten puede representarse mediante los siguientes esquemas de reaccioacuten

1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P

En dichos esquemas de reaccioacuten se describen las etapas que ocurren durante el proceso bioquiacutemico En el esquema de reaccioacuten 1 se describe la etapa donde se tiene al substrato y ala enzima de forma individual es decir todaviacutea no se han unido en dicho esquema se tiene la generacioacuten del complejo [ES] cuya reaccioacuten es reversible es decir el complejo [ES] puede separarse de nuevo sin la generacioacuten del producto deseado Dichas reacciones ocurren a ciertas velocidades de reaccioacuten las cuales se representan por las constantes K1 Y K2 En el esquema de reaccioacuten 2 se tiene la transformacioacuten quiacutemica en donde el substrato se transforma en producto en el sitio activo de la enzima Y en el Esquema de reaccioacuten 3 se tiene la etapa final de la reaccioacuten con la separacioacuten de la enzima y el producto quedando disponible la moleacutecula de enzima para su posterior encuentro con otra moleacutecula de substrato



Se pueden sintetizar los esquemas de reaccioacuten anteriores de los cuales el esquema de reaccioacuten 2 es una parte del proceso que se considera transitorio Basado en consideraciones experimentales se puede suponer que la primera parte del mecanismo ocurre raacutepidamente es decir la combinacioacuten de la enzima-substrato tambieacuten se pude considerar que el equilibrio de esta reaccioacuten ocurre raacutepidamente del cual se tiene que

1 2K E S K ES

Ala constante de velocidad 2K se le puede asociar como la constante de

equilibrio la cual hace que el complejo [ES] se mantenga unido y lleve acabo la transformacioacuten quiacutemica del substrato en el sitio activo de la enzima Dichas consideraciones se pueden establecer en base a los siguientes liacutemites

Si 2K ltlt lenta el complejo [ES] se puede romper y volver a su estado [E] + [S]

Si 2K gtgt raacutepida el complejo [ES] alcanza su equilibrio y la generacioacuten del P

La etapa de separacioacuten del complejo [ES] en [E] + P es la etapa del proceso que ocurre mas lentamente es por tanto la limitante del proceso entonces la velocidad del proceso se describe como

3SR K ES

Las ecuaciones 1 y 2 describen teoacutericamente la cineacutetica del sistema solo que existe un problema estas expresiones tienen el termino [ES] el cual es el termino transitorio del proceso relativamente difiacutecil de medir a pesar de que este modelo es de 1 orden Por lo cual seraacute necesario sustituir esta variable por una que si se pueda medir Nota Se considera que el complejo [ES] es un transitorio es decir un producto intermediario del proceso el cual no se acumula con respecto al tiempo Debido a que el complejo [ES] es un transitorio del proceso en estado

estacionario se puede escribir el siguiente balance es decir 0ES

1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt



Dicha expresioacuten no sirve de nada en el sentido de que contiene en sus teacuterminos a [E] que al igual que [ES] es una variable difiacutecil de medir durante la reaccioacuten habraacute que sustituirla considerando lo siguiente

0

0

E E ES

E E ES

La ecuacioacuten 4 describe el balance general de enzima disponible que se considerara igual ala suma de la [E] libre y la enzima acomplejada [ES] Sustituyendo la ecuacioacuten 4 con [E] despejada en la 3 se tiene que

1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES

Escribiendo la ecuacion en funcion de ES

K S EES

K S K K

Debido a que la ecuacioacuten 2 describe la velocidad de reaccioacuten de forma general del proceso se puede sustituir a la ecuacioacuten 5 en la 2 quedando como sigue

1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m

K S ER K Dividiendo la ecuacion entre K

K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K

K KSi decimos que K E R y K obtenemos

K

SR R Ecuacion de Monod

K S



Esta ecuacioacuten describe perfectamente la cineacutetica enzimaacutetica la cual nos serviraacute para nuestros disentildeos de modelos de Biorreactores Un punto importante de la ecuacioacuten seraacute la evaluacioacuten de los paraacutemetros cineacuteticos Rmax y Km La ecuacioacuten de Monod se puede expresar de la forma y = mx + b

1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S

R K R S R S Multiplicandolo todo porR R

R K R S R SR R

S SK

R R R

Otra forma de expresarla es la siguiente

1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S



Otra forma de expresioacuten de esta ecuacioacuten es la siguiente

1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S

Multiplicandolo porS

R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S

Cada una de las formas de y mx b de la ecuacioacuten de Michaeils-Menten

estaacuten escritas de forma que generen la una recta para un mejor anaacutelisis de esta y de los paraacutemetros Km (conocida como constante de Michaeils-Menten) y Rmax Analizando la 2 forma lineal se tiene que el termino (1 [S]) es la variable independiente el termino (Km Rmax) es la pendiente de la recta el termino (1 Rs) es la variable dependiente y (1 Rmax) la constante b Las formas lineales de la ecuacioacuten de monod nos permiten calcular paraacutemetros que son desconocidos como Km y Rmax



45 Simulacioacuten de la ECUACION DE MONOD En este apartado se muestra el funcionamiento de la ecuacioacuten de Monod donde la taza de crecimiento especifico depende fuertemente de las condiciones operativas (pH temperatura etc) el medio reactivo (concentraciones de carbono nitroacutegeno sales mineral oxigeno etc) donde la expresioacuten mas usada comuacutenmente es el modelo empiacuterico de Monod la cual describe el crecimiento bacteriano usando la ley introducida a principios del siglo 20 por Michaeils-Menten para la cineacutetica enzimaacutetica

maxS

Ks S

Esta expresioacuten en la cual max representa la taza de crecimiento maacutexima

1h

y Ks la constante de saturacioacuten media g

l nos permiten describir el

fenoacutemeno de crecimiento ya no limitado por falta de substrato y la falta completa cuando el substrato estaacute disponible

0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045

05Grafica 1 Ecuacion de Monod

Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h

La grafica 1 simula el comportamiento de la ecuacioacuten de monod ante distintas concentraciones de sustrato (S) para determinados valores de Ks y umax



Los valores usados para los paraacutemetros anteriores son Ks= 0002 y umax=041 los cuales son valores experimentales Se observa que para una concentracioacuten de enzima dada la grafica muestra la velocidad de desaparicioacuten del sustrato en funcioacuten de la concentracioacuten del sustrato De la cual se tiene que cuando la concentracioacuten de sustrato es baja

max( )S

Ks

Ahora bien si la concentracioacuten de sustrato es alta ( )S Ks

max

Si consideramos el caso en el que la concentracioacuten de sustrato es tal que la velocidad de reaccioacuten es igual ala mitad de la velocidad maacutexima tenemos

max

2

Entonces despejando a Ks

max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S

Donde S representa la mitad de la concentracioacuten de sustrato

El paraacutemetro Ks es la llamada Constante de Saturacioacuten media la cual es igual ala concentracioacuten del sustrato en la que la velocidad de reaccioacuten es igual ala mitad de la velocidad maacutexima Nota el paraacutemetro Ks es anaacutelogo ala constante de Michaeils-Menten Km

max Depende de la concentracioacuten total de enzima pero Ks no



46 Simulacioacuten de la Ecuacioacuten de Inhibicioacuten de Sustrato Ademaacutes los fenoacutemenos de inhibicioacuten debido al exceso de substrato son generalmente modelados por la expresioacuten Haldane S son introducidos en el caso de reacciones enzimaacuteticas y estaacuten utilizadas por Andrews en caso de reacciones bioloacutegicas la ecuacioacuten que incluye los componentes inhibidores dentro de la mezcla es la siguiente

2max

S

SKs S

Ki

Donde Ki es la constante de Inhibicioacuten g

l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035

04Grafica 2 Ecuacion de Inhibicion de sustrato

Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)

En la grafica 2 se muestra el comportamiento de la ecuacioacuten de inhibicioacuten de sustrato donde se tiene una variacioacuten de la concentracioacuten de sustrato y se observa la variacioacuten de la taza de crecimiento Los valores usados para los paraacutemetros son los siguientes Ks = 0002 umax = 041 y Ki = 035 Existe muchas otras formas de ecuaciones que describen la dinaacutemica de crecimiento todas ellas tiene un uso marginal debido a que cada una de ellas toma en cuenta otros paraacutemetros medioambientales como temperatura pH oxigeno etc



CAPITULO 5 PUNTOS DE EQUILIBRIO



51 Introduccioacuten El anaacutelisis de los eigevaloreseigevectores nos permite predecir las condiciones iniciales raacutepidas y lentas Si graficaacuteramos las respuestas transitorias basadas en diferentes condiciones iniciales se tendriacutea un gran numero de curvas en la grafica de transicioacuten de respuesta Otra forma de ver el efecto de las condiciones iniciales es el uso de las graficas de Plano de Fase Un plano de fase para un sistema de 2 variables de estado consiste de curvas de una variable de estado graficada contra otra variable de estado es decir

1 2x t versus x t donde cada curva esta basada en una condicioacuten inicial

diferente Un espacio de fase nos permite hacer una grafica de 3 variables de estado en donde cada curva esta basada en una condicioacuten inicial diferente donde el Anaacutelisis de Plano de Fase es una de las teacutecnicas maacutes importantes para el estudio del comportamiento de sistemas No lineales Los sistemas no lineales tiene muacuteltiples soluciones de estado estable El anaacutelisis de plano de fase de sistemas no lineales provee de una comprensioacuten de cual solucioacuten en estado estable pone de condiciones iniciales en particular para converger El comportamiento local puede ser comprendido por un anaacutelisis lineal del plano de fase de la solucioacuten en estado estable en particular (Punto de Equilibrio) Los puntos de equilibrio que podemos encontrar en un sistema lineal son los Puntos de Equilibrio Estable y los Puntos de Equilibrio Inestables Un ejemplo de un punto Estable es el siguiente donde tenemos un sistema de ecuaciones

1 1 2 2 4x x x x

Las soluciones para este sistema de ecuaciones son

4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e

Donde 1ox y 2 ox son las condiciones iniciales para 1x y 2x Si graficamos a 1x y

2x en funcioacuten del tiempo alo largo de un nuacutemero de condiciones iniciales

podemos contar con la informacioacuten contenida en el plano de fase como el que se muestra en la figura 131 Donde cada curva corresponde a una diferente condicioacuten inicial Podemos notar que las soluciones convergen en el punto

00 para todas las condiciones iniciales El punto 00 es un punto de

equilibrio estable para el sistema de ecuaciones mostradas anteriormente este punto es llamado tambieacuten nodo estable (stable node)



Figura 131 Grafica de Plano de Fase donde el punto 00 es el punto estable Un ejemplo de un punto inestable es el siguiente para el cual se tiene el siguiente sistema de ecuaciones

1 1 2 2 4x x x x

La solucioacuten para este sistema de ecuaciones es

4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e

La grafica de plano de fase se muestra en la figura 132 Si la condicioacuten inicial

para la variable de estado 2x fue 0 este tiene una trayectoria que alcanza el

origen Pero si la condicioacuten inicial para la variable de estado 2x variara

ligeramente del valor de 0 la curva solucioacuten siempre se alejara del origen El origen es un punto de equilibrio inestable tambieacuten conocido como saddle point

En la grafica de la figura 132 el eje de 1x representa u sub Espacio estable

mientras que el eje 2x representa un sub Espacio inestable

Figura 132 Grafica de Plano de Fase donde el Punto (00) es un punto inestable



52 Determinacioacuten de los Puntos de equilibrio

Los valores experimentales para los paraacutemetros max m FK D S Y son

012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S

Las ecuaciones diferenciales anteriores representan el crecimiento de la biomasa y el consumo del sustrato con respecto al tiempo A continuacioacuten se realizara la buacutesqueda y anaacutelisis de los puntos de equilibrio por el meacutetodo de anaacutelisis de fase en la que se buscara encontrar la solucioacuten Trivial y No Trivial del sistema Estos puntos de equilibrio causan que la derivada sea igual a cero Solucioacuten trivial

X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt

El primer punto de equilibrio es 04



Solucioacuten No trivial De la ecuacioacuten diferencial de la biomasa se buscara el valor de S

X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S



De la ecuacioacuten diferencial que de el sustrato se buscara el valor de X

si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X

El segundo punto de equilibrio es 1537401565



53 Determinacioacuten de la matriz jacobiana (linealizacion) En esta seccioacuten se determinara la matriz jacobina del sistema de ecuaciones analizado donde se determinara su forma general a traveacutes de las derivadas de cada ecuacioacuten con respecto a sus variables de estado La forma general de la matriz jacobina se representa de la siguiente manera

1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x

De manera que la forma que adopta nuestro sistema de caucioacuten es la siguiente

X X

X S

A

S S

X S

1deg Derivacioacuten de la ecuacioacuten diferencial de biomasa dX

dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2

el valor de por la ecuacion de Monod

max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S



3deg Derivacioacuten de la ecuacioacuten diferencial de Sustrato dX

dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y

4deg Derivacioacuten de la ecuacioacuten diferencial de sustrato dS

dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S



La forma general de la Matriz de Jacobian para nuestro modelo Matemaacutetico es la siguiente

2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S

54 Anaacutelisis de los puntos de Equilibrio En esta seccioacuten se analizaran los puntos de equilibrio de nuestro Modelo Matemaacutetico Se analizara la solucioacuten Trivial y la No Trivial de este sistema sustituyendo los puntos equilibrio en la matriz Jacobiana linealizada para calcular y analizar sus eigevalores y sus eigevectores

Matriz de Jacobian de la solucioacuten Trivial (04) es

02145 0

-12864 -03

A

Esta matriz nos serviraacute para encontrar y analizar los eigevalores de la matriz A Para determinar el valor de los eigevalores y eigevectores se haraacute uso de la siguiente expresioacuten

0I A

Donde I=Matriz Identidad de A A es la matriz de Jacobian y es un escalar



0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03

Los valores de 1 y 2 son los eigevalores Como observamos uno de los

valores de los eigevalores es (+) con esto podemos concluir que el punto de Equilibrio Trivial (04) es un punto Inestable

Matriz de Jacobian de la solucioacuten No Trivial (15374 01565)

0 12789

-075 -34973

A

En base a esta otra matriz se determinaran los valores de los eigevalores



0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973

Los valores de 1 y 2 son los valores de los eigevalores correspondientes al

punto de equilibrio No Trivial Como podemos observar el valor de ambas raiacuteces son negativas (-) por lo tanto podemos concluir que el punto de equilibrio No Trivial (15374 01565) es estable Los eigevalores nos sirven para determinar la estabilidad de nuestros puntos de equilibrio En este caso vemos que nuestro sistema es estable en el punto de equilibrio No Trivial Ademaacutes de esta informacioacuten este anaacutelisis nos indica que ante perturbaciones en sus condiciones iniciales este punto de equilibrio se estabilizara Tambieacuten nos permite saber cual variable de estado tendraacute una respuesta raacutepida para estabilizarse y en que direccioacuten



55 Calculo de eigevectores En esta seccioacuten se calcularan los eigevectores de nuestro punto de equilibrio No Trivial con el fin de determinar cual variable de estado tiene una respuesta maacutes raacutepida y determinar su direccioacuten Calculo de los eigevectores del Punto de Equilibrio No Trivial Para determinar los eigevectores se utiliza la siguiente formula matemaacutetica

1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22

El eigevector para el eigevalor 1 03 es

1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075

Arbitrariamente el valor de 1 y el valor de 4263066

4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1

1Para determinar el eigvector se multiplica al vector por

10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374

Calculo del eigevector para el eigevalor 2 31973 es

1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476

Los resultados obtenidos son los siguientes

1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476

Teoacutericamente la variable de estado 2 tiene una respuesta maacutes raacutepida que la

variable 1 Es decir segundo eigevalor y eigevector nos dice que una

perturbacioacuten en la condicioacuten inicial en la segunda variable de estado tendraacute una respuesta raacutepida El primer eigevalor y eigevector nos dice que una perturbacioacuten en la direccioacuten inicial de v1 tendraacute una respuesta lenta



56 Simulacioacuten de los Puntos de Equilibro Se presenta la graficas de comportamiento de los puntos de equilibrio encontrados

-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45PLANO DE FASE DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO

Concentracion de Biomasa (X)

Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)

Grafica 3deg- Grafica de ubicacioacuten de los Puntos de equilibrio

En la grafica 3 se muestra la ubicacioacuten en el plano para los puntos de equilibrio trivial y No trivial para las ecuaciones diferenciales de biomasa y sustrato

En el primer punto solucioacuten cuya coordenada es 04 se observa que

ninguna de las curvas converge en este punto El segundo punto solucioacuten cuya

coordenada es 1537301565 en este punto se observan que todas la

curvas convergen en este punto La diferencias entre estos puntos de equilibrio radica principalmente en que la solucioacuten trivial es un punto bastante instable si variamos un poco el valor de este punto a diferencia de la solucioacuten No trivial si variamos un poco su valor este presenta cierta inestabilidad pero esta se estabiliza nuevamente en su valor El comportamiento antes mencionado puede observase en las siguientes graficas



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4

45Plano de Fase del Punto de Equilibrio TRIVIAL (04)


Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)

Figura 4deg- Grafica de comportamiento del punto de equilibrio Trivial

En esta figura se observa el comportamiento del punto Trivial al cual se le da una variacioacuten de 1 mileacutesima en una de sus coordenadas presentando una grave inestabilidad

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16

18Plano de Fase del Punto de Equilibrio NO TRIVIAL (1537401565)


Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)

Figura 5deg- Grafica de comportamiento del punto de equilibrio No Trivial

En esta figura se observa como a pesar de darle una variacioacuten de la misma magnitud incluso maacutes grande que ala solucioacuten trivial este se estabiliza en sus valores



Conclusioacuten El desarrollo de observadores de estado es un aacuterea muy importante en control debido a que no existen sensores que nos sirvan para realizar la medicioacuten de esas variables Nuestro trabajo se baso en la determinacioacuten de un modelo matemaacutetico que describiera el comportamiento dinaacutemico del crecimiento de biomasa y el consumo de sustrato El anaacutelisis del modelo se baso en la determinaron de los puntos de equilibrio del sistema con el fin de analizar en que punto nuestro sistema es estable para esto se determino la matriz de Jacobian del sistema utilizando el anaacutelisis de plano de fase Teniendo esta matriz y sustituyendo los valores de los puntos de equilibrio tambieacuten denominados solucioacuten trivial y No trivial obteniacuteamos la matriz caracteriacutestica de cada solucioacuten Para el anaacutelisis de estabilidad fue necesario determinar los eigevalores y los eigevectores de la matriz caracteriacutestica de cada solucioacuten analizando el signo de estos se determino que la solucioacuten Trivial es un punto de equilibrio inestable es decir que ante una perturbacioacuten el sistema funcionaba erraacuteticamente sin lograr estabilizarse al contrario de la solucioacuten No Trivial esta si lograba estabilizarse En general la necesidad de un observador de estados para determinar paraacutemetros imposibles o difiacuteciles de medir abre el camino al desarrollo de modelos matemaacuteticos y por ende al de observadores de estado que en nuestro caso fue un modelo que fue validado con las herramientas matemaacuteticas existentes y con valores experimentales de laboratorio



Bibliografiacutea Elementos de Ingenieriacutea de las Reacciones Quiacutemicas H Scott Fogler Prentice Hall tercera edicioacuten 2001 Reg Num 1031 Automatic Control of Bioprocesses Denis Dochain WILEY primera edicioacuten Process Dynamics Modeling Analysis and Simulation B Wayne Bequette Prentice Hall International Series in the Physical and Chemical Engineering Sciences Observacioacuten y control no lineal de columnas de Destilacioacuten ing Flor Lizeth Torres Ortiz CENIDET Control Automaacutetico de Procesos Teoriacutea y Praacutectica Carlos A Smith Armando B Corripio Editorial Noriega Limusa primera edicioacuten 1991 Microbiologiacutea de los Alimentos W C Frazier DC



Glosario Aerobio se le denominan de esta manera a los organismos que necesitan del oxigeno di atoacutemico para vivir o desarrollarse Bacteria Son organismos unicelulares que presentan tamantildeo de algunos microacutemetros y diversas formas incluyendo esferas barras heacutelices y estas son procariotas tambieacuten disponen de flagelos o de otros sistemas de desplazamientos y son moacuteviles Biomasa Materia orgaacutenica originada en un proceso bioloacutegico espontaacuteneo o provocado utilizable como fuente de energiacutea Cineacutetica enzimaacutetica Se refiere al estudio de la velocidad de las reacciones quiacutemicas que son catalizadas por enzimas Esto nos permite explicar su mecanismo cataliacutetico su papel metaboacutelico asiacute como la forma en que puede ser controlada su actividad en la ceacutelula y como puede ser inhibida su actividad por faacutermacos o venenos o potenciada por otros tipo de moleacuteculas Cofactores de enzimas es una especie de sustrato secundario que sirve para activar la enzima

Constante de Michaeils-Menten Designado como Km corresponde ala concentracioacuten de sustrato con la cual la velocidad de reaccioacuten enzimaacutetica alcanza un valor igual ala mitad de la velocidad maacutexima Enzimas Estas son proteiacutenas o macro ceacutelulas que tienen la capacidad de manipular otras moleacuteculas denominadas substratos Especificidad se refiere ala carencia de unirse a otras proteiacutenas Inhibidores enzimaacuteticos Son moleacuteculas que se unen a enzimas y disminuyen su actividad Puesto que el bloqueo de una enzima puede matar a un organismo patoacutegeno o corregir un desequilibrio metaboacutelico muchos medicamentos actuacutean como inhibidores enzimaacuteticos Isoacutetopo Son aquellos elementos que poseen el mismo numero atoacutemico pero diferente masa atoacutemica Potencia Esta se representa mediante una constante de disociacioacuten la cual es un indicador de la concentracioacuten necesaria para inhibir una encima Sustrato Es aquel capaz de unirse al centro cataliacutetico de una enzima que lo reconozca y transformarse en un producto alo largo de una serie de pasos denominados mecanismo enzimaacutetico



Anexos Programa de Simulacioacuten de la Ecuacioacuten de Monod e Inhibicioacuten de Sustrato



Programa de Simulacioacuten de Crecimiento de Biomasa y Sustrato



Programa de Calculo de Eigevalores















UNIDAD 1






Sustrato






Biomasa











Observadores






Dado el sistema

Donde




A Matriz (n x n)

B Matriz (n x 1)

C Matriz (1 x n)

D Matriz (escalar)


Donde



Vector de salida



TIPOS






































17 Estado del arte







21 Definiciones























x Ax t Bu t

y Cx t




y C t x




observador de x t



d

A KCdt






x f x t u t

y h x t




Donde x

y y



y h x


x x


d




dA x K x C x

dt

Donde A x

y C x


h x tf x t

A x t C x t

x x





BIOREACTOR








Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)

























Sustrato






Biomasa











Observadores






Dado el sistema

Donde




A Matriz (n x n)

B Matriz (n x 1)

C Matriz (1 x n)

D Matriz (escalar)


Donde



Vector de salida



TIPOS






































17 Estado del arte







21 Definiciones























x Ax t Bu t

y Cx t




y C t x




observador de x t



d

A KCdt






x f x t u t

y h x t




Donde x

y y



y h x


x x


d




dA x K x C x

dt

Donde A x

y C x


h x tf x t

A x t C x t

x x





BIOREACTOR








Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



























Observadores






Dado el sistema

Donde




A Matriz (n x n)

B Matriz (n x 1)

C Matriz (1 x n)

D Matriz (escalar)


Donde



Vector de salida



TIPOS






































17 Estado del arte







21 Definiciones























x Ax t Bu t

y Cx t




y C t x




observador de x t



d

A KCdt






x f x t u t

y h x t




Donde x

y y



y h x


x x


d




dA x K x C x

dt

Donde A x

y C x


h x tf x t

A x t C x t

x x





BIOREACTOR








Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)

























Dado el sistema

Donde




A Matriz (n x n)

B Matriz (n x 1)

C Matriz (1 x n)

D Matriz (escalar)


Donde



Vector de salida



TIPOS






































17 Estado del arte







21 Definiciones























x Ax t Bu t

y Cx t




y C t x




observador de x t



d

A KCdt






x f x t u t

y h x t




Donde x

y y



y h x


x x


d




dA x K x C x

dt

Donde A x

y C x


h x tf x t

A x t C x t

x x





BIOREACTOR








Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)
























TIPOS






































17 Estado del arte







21 Definiciones























x Ax t Bu t

y Cx t




y C t x




observador de x t



d

A KCdt






x f x t u t

y h x t




Donde x

y y



y h x


x x


d




dA x K x C x

dt

Donde A x

y C x


h x tf x t

A x t C x t

x x





BIOREACTOR








Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



















































17 Estado del arte







21 Definiciones























x Ax t Bu t

y Cx t




y C t x




observador de x t



d

A KCdt






x f x t u t

y h x t




Donde x

y y



y h x


x x


d




dA x K x C x

dt

Donde A x

y C x


h x tf x t

A x t C x t

x x





BIOREACTOR








Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



























21 Definiciones























x Ax t Bu t

y Cx t




y C t x




observador de x t



d

A KCdt






x f x t u t

y h x t




Donde x

y y



y h x


x x


d




dA x K x C x

dt

Donde A x

y C x


h x tf x t

A x t C x t

x x





BIOREACTOR








Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)




































x Ax t Bu t

y Cx t




y C t x




observador de x t



d

A KCdt






x f x t u t

y h x t




Donde x

y y



y h x


x x


d




dA x K x C x

dt

Donde A x

y C x


h x tf x t

A x t C x t

x x





BIOREACTOR








Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)


























x f x t u t

y h x t




Donde x

y y



y h x


x x


d




dA x K x C x

dt

Donde A x

y C x


h x tf x t

A x t C x t

x x





BIOREACTOR








Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)

























BIOREACTOR








Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)





























Batch

Feed-Batch

Continuo










maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)






























maxS

Km S

Ecuacioacuten 3



dm


dm









masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)


























masa

masa




masa



de celulas tiempom

masa





mantenimiento



















io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)





































io en la

Energia del

Sistema

Acumulacion


= AA


dCdv q dTK N D

dx A dx dx






Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



























Phychrophiles 20





























Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)















































Donde se tiene

0

0

0

lF Flujo de Entrada

h

lF Flujo de Salida

h


l


l


l


l

V Volumen l





1

0 0 1 1

Donde

V


lh


dt


0 0 2

2

2

Donde


dt


lh




1 3

T

r X ecuacion



1

2

4r

Y ecuacionr


12 1

2

5


Y

Xr ecuacion

Y




0 0

0 0 6

7

V ecuacion


dt

dXV F X FX X

dt



8

FD ecuacion

V



0

0

0

0 9

10

F F V

V V V

D ecuacion

dS F F X VS S

dt V V Y V

dS XDS DS ecuacion

dt Y

dXX X X

dt

dXDX X X

dt


es decir 0 0X


0 dS X

D X S S Ddt Y

dX

dt




0max 053 =40 03 012 =04 01m iS D K Y K

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

02

04

06

08

1

12

14

16

18


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)





075

20

o

o

gX

l

gS

l



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

05

1

15

2


tiempo(t)

concentr

acio

nes(g

l)

Biomasa(X)

Sustrato(S)




0

0

20

075

gcX

l

gcS

l


















1

2

33

1

2

K

K

K

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

Esquema de reaccion

E S ES

ES ES

ES E P





1 2K E S K ES






3SR K ES



1 2 3 0dE

K E S K ES K ESdt




0

0

E E ES

E E ES


1 0 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0 1 2 3

1 0

1 2 3

0

0

0

K S E ES K K ES

K S E K S ES K K ES

K S E K S K K ES

K S E K S K K ES


K S EES

K S K K


1 0

3 1

1 2 3

1 3 0

1 3 0

1 2 3 2 3

11

2 33 0

1

=

S

S

MAX m

S MAX

m


K S K K

K K S EK K S E

RK S K K K K

SK K


K


K S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m S MAX

S MAX

S m S MAX

S MAX

m

MAX MAX S

SR R R K S R S

K S


R K R S R SR R

S SK

R R R


1

1

MAX m

S MAX m

m S MAX S

m

S MAX MAX

S R S K SR R K S

K S R R S R

SK

R R S R S




1

1

S MAX S m MAX

m

S m MAX

S mS MAX

S mS MAX

SR R R K S R S

K S


R K S R SS

R KR R

S

R KR R

S






maxS

Ks S


1h




0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 050

005

01

015

02

025

03

035

04

045


Sustrato (S) gl

Taza d

e C

recim

iento

(R

s)

1h





max( )S

Ks


max


max

2


max( )

max( ) 2 1

max

max( )max2

max 2Ks S S

SKs

Ks S

S

Ks S







2max

S

SKs S

Ki


l

-01 0 01 02 03 040

005

01

015

02

025

03

035


Sustrato u gl

Taza d

e C

recim

iento

u (

1h

)










1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e









1 1 2 2 4x x x x


4

1 1 2 2 t t

o ox t x e x t x e












012 max 053 40 04 03m FK S Y D

(1)

= (2)

= max

F

m

dXD X ecuacion

dt

dS XS S ecuacion

dt Y

S

K S


X

Si hacemos X 0 y S

(0)(0) ( ( ))

0

F

F

F F

dX dS XD S S

dt dt Y

S

dX dSD S S

dt dt Y

dX

dt

0dS

dt





X si max

max X

max para 0

a

max

max

max

012 max 053 40 0

m

m

m

m

m

m

m F

dX SD

dt K S

dX SD

dt K S

S dXD

K S dt

despejando S

D K S S

S D DK

DKS

D

si K S Y

4 03

03 012

053 03

01565

D

S

S




si max

0

se tiene

max

max

012 max 0

F

m

F

F

F

m

F m

m

dS X SS S D

dt Y K S

X dSS S D

Y dt

despejando a X

Y S S DX

sustituyendo a

Y S S DX

S

K S

Y S S D K SX

S

si K

53 40 04 03 01565

04 40 01565 03 012 01565

053 01565

15374

FS Y D S

X

X





1 1

1 2

2 2

1 2

f f

x x

A

f f

x x


X X

X S

A

S S

X S


dx

a con respecto a

3

Derivando dX dX

d D XdX

dX dX

dXD ecuacion

dX




dS

2

max (4)m

m

KdXX ecuacion

dS K S

2


max

max

max

max

m

m

m

m

m

m

d D XdX

dS dS

Sustituyendo

Sd D X

K SdX

dS dS

Sd X

K S d DXdX

dS dS dS

Sd

K SdXX

dS dS

d K SdSK S S

dX dS dSXdS K S

2

maxm

m

K S SdXX

dS K S




dS

(5)

F

F

Xd S S D

YdS

dX dx

d S S DdS dX

dX dx Y dX

dSecuacion

dX Y


dS

2

2

2

max

max

max

max(6)

F

mF

m

m

m

m

m

m

m

Xd S S D

dS Y

dS dS

Sd

K Sd S D d S DdS X

dS dS dS Y dS

d K SdSK S S

dS X dS dSDdS Y K S

K S SdS XD

dS Y K S

KdS XD ecuacion

dS Y K S




2

2

max

max

m

m

m

m

KD X

K S

A

KXD

Y Y K S



02145 0

-12864 -03

A


0I A




0

1 0 02145 00

0 1 -12864 -03

0 02145 00

0 -12864 -03

-02145 00

12864 03

Re la determinan

I A

solviendo

1 2

te

-02145 03 0

02145 03




0 12789

-075 -34973

A




0

1 0 0 127890

0 1 075 -34973

0 0 127890

0 075 -34973

-12789

075 3

I A

2

1 2

04973

075 12789 ( ) 34973 0

34973 0959175 0

03 31973






1 2

11 12 11 11 11 12 12 12

1 2

21 22 21 21 21 22 22

A

Para Para

a a v v a a v v

a a v v a a v v

22


1 1 1

11 11

21 21

21 11

11 21 21

21 11

11 21 21

0 1278903

075 -34973

12789 03

075 34973 03

12789 03

075 34973 03

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v v

Despeja

11

21 2111 21 11 21

21 11

03 349734263066 4263066

075


4263066

1

ndo el a v

v vv v v v

v v



1 12 2

11 21

2 2

1


10228374

4263066 1

4263066 09735730228374

1 0228374

El Eig

hv v

h

1

1

evector para es

0973573

0228374


1 1 1

12 12

22 22

22 12

12 22 22

22 12

12 22

0 1278931973

075 -34973

12789 31973

075 34973 31973

12789 31973

075 34973 3

A

v v

v v

v v

v v v

tenemos

v v

v v

22

12

22 2212 22 11 22

22 12

1973

31973 3497304 04

075


04

1

v

Despejando el a v

v vv v v v

v v



2 22 2

12 22

2 2

1


10928476

04 1

04 03713900928476

1 0928476

El Eigevector pa

hv v

h

2

1

ra es

0371390

0928476


1 1

2 2

097357303

0228374

037139031973

0928476







-1 -05 0 05 1 15 2 25-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4



Concentr

acio

n d

e S

ustr

ato

(S

)









0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

05

1

15

2

25

3

35

4



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

02

04

06

08

1

12

14

16



Con

cent

raci

on d

e S

ustr

ato

(S)






















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