Instituto Politécnico Nacional

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Unidad Culhuacán

Laboratorio de Electromagnetismo III

ANTENA DE RANURA

Análisis y Simulación de las expresiones de campo por el método de diferencias finitas FDTD

Profesor: Lauro García Solórzano

ANTENA DE RANURA (ANALISIS USANDO FDTD)

La antena de ranura es un dispositivo que construye a partir de una ranura en una placa metálica, las dimensiones de la ranura pueden irdesde una fracción de longitud de onda hasta varias longitudes de onda, sin embargo el análisis se realizará únicamente con una antena cuya longitud es del orden de λ/2. Gráficamente se muestra la antena en la figura (1).

r

φ

θ

P (r,θ,φ)

L

z'

dz'

r'

Figura (1) Antena de ranura de L ≈ λ/2

Las antenas generalmente están formadas de elementos conductores como por ejemplo la antena dipolo la cual se forma de dos conductores, los cuales se extienden en el espacio. En la antena de ranura es el complemento es decir se puede describir como un espacio delgado que se extiende a lo largo de un conductor. Se puede comprender su funcionamiento a partir de una sección de λ/4 de alimentador con una terminación en corto circuito, la cual entonces se modifica. El alimentador de λ/4 no radia y con la terminación en corto circuito presenta una alta impedancia. Dos de estos alimentadores se pueden entonces conectar en paralelo en la forma como se muestra en la figura (2). Las terminales presentan una alta impedancia y no habrá radiación. Los campos eléctricos y magnéticos se concentran cerca de los conductores tal y como se indica en la figura (3). Ahora suponga que el conductorincrementa su sección transversal solamente en un plano de tal forma que se forma una placa conductora larga con una ranura formada por el gap original entre los conductores tal y como se muestra en la figura (4).

λ/4

λ/4

Figura 2 Dos alimentadores Figura 3 Sección ampliada de losalimentadores en los que se muestran loscampos eléctrico y magnético.

El campo de R.F. no puede penetrar la placa conductora, puesto que cualquier ligera penetración inicia corrientes circulantes en la placa los cuales se oponen al campo. Por lo tanto el campo magnético se fuerza a circular entre una terminal de la ranura y la otra, y se expande ocasionando que tenga lugar la radiación. El campo eléctrico se expande también a través de la placa y también se extiende. Nótese que corre en una dirección que está en ángulo recto a la ranura, por lo tanto una ranura vertical produce una radiación horizontalmente polarizada.

Figura 4 Antena de ranura con la sección transversal mostrando el campo magnético extendido.

Una forma de comprobarlo es por medio de la incidencia de un lásersobre una ranura, tal y como se muestra en la imagen (1).

La impedancia driving point de los dos alimentadores de λ/4 fue muy alta, pero con la radiación que ahora tiene lugar en la ranura la resistencia cae por debajo de 500 Ω. Cuando la ranura es del orden de λ/2 la impedancia driving point es puramente resistiva y la ranura es resonante. Si la longitud de la ranura llega a ser mayor que λ/2 tiende a sercapacitiva, de la misma forma que una antena alámbrica la cual se torna inductiva cuando es mayor que la longitud resonante. Si la antena de ranura llega a ser corta tiende a ser inductiva. Hay una interrelación simple entre la impedancia de una ranura y la impedancia del dipolo formado por el corte a la mitad de la cinta de metal quitado de la ranura tal y como se muestra en la figura (5) mostrado en proyección.

Imagen (1) Láser incidiendo sobre una ranura vertical

Figura 5 Antena de ranura y su equivalente dipolo alámbrico. La fórmula es:

(Z ranura) (Z dipolo) = 2

2

4377 Ω .....(1)

Dentro de los límites la impedancia del dipolo no se ve afectada porla anchura del elemento (aunque si se afecta el ancho de banda) así también dentro de los límites el ancho de la ranura no tiene efecto sobre la impedancia driving point. El diagrama polar de una ranura en una placa infinita de metal se muestra en la figura (6.a) es omnidireccional. Evidentemente este tipo de radiador es imposible de realizar y cuando se usa una placa de dimensiones finitas el diagrama se modifica al de la figura (6.b).Esto es muy similar al de un dipolo.

Figura 6.a (b)

La demostración se muestra en la imagen (2) y se comprueba que un radiador vertical produce un campo horizontalmente polarizado y la figura es semejante a la figura (6.b). La distribución de la corriente se muestra en al figura (3), con una corriente nula cerca del centro de la ranura, y la concentración del campo eléctrico cerca del centro, el fenómeno se puede detectar con ayuda de una sonda detectora tal y como se muestra en la imagen (3).

Imagen (2) Antena de ranura vista posterior

Imagen (3) Antena de ranura vista frontal

Calculo del Campo Lejano de la Antena. En esta ocasión se calcula el campo lejano de una antena de ranura tal y como se muestra en la figura (7). Hay una fuente a la izquierda de la abertura, la cual podemos suponer una fuente de ondas planas.Estamos interesados en patrón de radiación que proviene de la ranura. El cálculo de la onda que golpea a la ranura no es un problema. Dado que sabemos como simular una onda plana y sabemos como simular el metal considerando que hay algunas celdas que tienen una conductividad muy alta, o de alguna otraforma asegurando que los campos E en ese punto son cero. Sin embargo, si se desea conocer el patrón de radiación a una distancia de varias longitudes de onda de la ranura. Esto podría requerir un modelado de un problema prohibitivamente grande para una simulación con FDTD. En casos como este, se usa frecuentemente el principio de equivalencia para calcular los campos lejanos después que FDTD ha calculado los campos cercanos. El computo necesario frecuentemente es considerable.

P (r,θ,φ)

φ

θr

Eρ (x, y, z)

A

Figura (7) El campo eléctrico en la abertura E(x', y' ) se puede usar paracalcular el campo lejano Eρ (x, y, z) la abertura es una ranura en una placametálica que está en el plano x-y.

En esta sección presentamos un método que calcula el campo lejano en algunos puntos específicos tan pronto como la simulación en FDTD este corriendo. Se puede hacer esto debido a que se sabe que la fuente del campo lejano está confinada a un número limitado de puntos en la ranura.

Detección del campo. Frente a la antena

Usaremos también el principio de equivalencia, el cual dice que trataremos a la antena de ranura como un grupo de corrientes radiantes, de la forma similar en la antena. Así tendremos el modelo de área inmediatamente por enfrente y por detrás de la ranura. Esto se ilustra en la figura (8). Lo primero que se debe hacer es desarrollar la formulación para el cálculo de los campos externos basados en el campo dentro de la ranura.

PML

Figura 8 Diagrama del programa FDTD usado para calcular los datos necesarios paradeterminar los puntos externos.

Esta sección ilustra algunas de las características importantes en la simulación en el dominio del tiempo. Quizá la siguiente es una de las más importantes: "Mientras la simulación en computador haga posible el cálculo de muchos problemas los cuales no se pueden manejar analíticamente, esto no significa que se substituye la Teoría Electromagnética". Específicamente, se usará la aproximación por medio de la función de Green para calcular el campo lejano. Se mostrará como una expresión complicada en el dominio del tiempo se puede convertiren una función muestreada en el dominio del tiempo paraimplementar su solución por medio de FDTD. Formulando la transformación de la abertura. La primera expresión con la que se inicia el análisis es la función potencial vector magnético para antenas alámbricas.

A(r) = ( )∫∫−

π s

Rkj

s dSRerJ ''

41

.....(2)

donde R = | 'rr − | .....(3) Js = La fuente de corriente.

Re Rkj−

= es la función de Green .....(4)

y la magnitud de R es: R = [(x – x')2 + (y – y')2 + (z – z')2 ]1/2 .....(5) Los parámetros primados indican la fuente mientras que los parámetros no primados son los correspondientes al campo dispersado (vea la figura 7). El campo H se puede obtener de H = ∇r × A .....(6) Poniendo todo esto de forma conjunta se tiene:

H = ( )∫−

×∇π s

Rkj

sr dSRerJ ''

41

= ( )∫

×∇

π

−

s

Rkj

sr dSRerJ ''

41

.....(7)

El integrando se puede simplificar

( ) ( ) ( )RerJrJ

Re

RerJ

Rkj

rssr

RkjRkj

sr

−−−

∇×−×∇=

×∇ '''

= ( )

RerJ

Rkj

rs

−

∇×− ' .....(8)

Se puede omitir el término ( )'rJsr ×∇ debido a que J(r') es solamente función de r'. También

Re

Re Rkj

r

Rkj

r

−−

∇−=×∇ .....(9) y

rR

jkRe

Re RkjRkj

r ˆ1

+=∇−

−−

.....(10)

Donde R

Rzryrxrr zyx =++= ˆˆˆˆ .....(11) Ahora se tiene:

H = ( )( )∫∫

+×

π s

jkR

dSRe

RjkRrJ '1ˆ'

41

.....(12)

Usando el principio de Dualidad se puede escribir la siguiente ecuación:

E = ( )( )∫∫

+×

π−

s

jkR

dSRe

RjkrrM '1

ˆ'4

1 .....(13)

Ahora se tiene una expresión para el campo externo E en términos de la corriente magnética M en la abertura. La corriente magnética es una corriente ficticia que se calcula de los campos E en la abertura. Sabemos que los campos en la abertura resultan de una onda plana polarizada en dirección x y la dirección normal a la abertura en la dirección z, así se puede escribir M = 2 Ea × n .....(14) = 2 Ea yEzx a ˆ2ˆˆ −=×

E = ( )( )∫∫−

+×

π abertura

Rkj

a dSRe

RjkryrE '1

ˆˆ'241

.....(15)

De la ecuación (11) ( )xrzrry zx ˆˆˆˆ −=× Así podemos escribir el campo E en términos de las dos polarizaciones.

Ex = ∫∫−

+•

π abertura

Rkj

az dSRe

RjkEr '1

21

......(16)

Ez = ∫∫−

+•

π−

abertura

Rkj

ax dSRe

RjkEr '1

21

......(17)

rx y rz representan respectivamente porciones del vector unitario r en las direcciones x y z.

De aquí en adelante, se restringe el análisis al término Ex, el cual es el término dominante tan pronto la onda plana incidente de la figura (7) está polarizada en la dirección x, quedando la posibilidad si se desea volver a regresar y duplicar los resultados para Ez. Se inicia el análisis separando a Ex en dos términos

Ex = ∫∫∫∫−−

•π

+••π abertura

Rkj

azabertura

Rkj

az dSReErdS

RejkEr '

21'

21

2 ..(18)

Comenzando con el primer término, se rescribe como una función explícita en el dominio de la frecuencia de x, y & z:

( ) ( )''

,','ˆ21,,,ˆ

1 dydxekjRyxE

rzyxE Rkj

abertura

azx

−∫∫ω

⋅π

=ω ......(19)

Los siguientes cambios serán útiles: jk =

0cjω

e-jkR = 0/ cRkje− c0 = 3x108 m/s

Así que ahora se tiene:

( ) ( )''

,','ˆ2

1,,,ˆ0/

01 dydx

ReyxE

jrc

zyxEabertura

cRkja

zx ∫∫−ω

ω⋅π

=ω .....(20)

El primer paso para implementar una ecuación como la (20) parasolucionarse por FDTD es cambiarla al dominio del tiempo:

( ) ( )''

/,','ˆ2

1,,, 0

01 dydx

RcRtyxE

dtdr

ctzyxE

abertura

zzx ∫∫

−⋅

π= .....(21)

El término exponencial en el dominio de la frecuencia resulta en un retardo en el dominio del tiempo; el término jω llega a ser una diferenciación en el dominio del tiempo. En FDTD, el tiempo está cuantizado como: t ≅ n ⋅ ∆t .....(22) y la distancia R se cuantiza como: R ≅ ∆x ⋅ R∆x .....(23) Donde ∆x es el tamaño de la celda usada en la simulación en FDTD. (Usaremos las celdas cúbicas, es decir, ∆x = ∆y = ∆z). Se usará la representación usual entre el intervalo de tiempo y el tamaño de la celda. ∆t =

02 cx

⋅∆

.....(24)

De tal forma que el retardo en Ea en la ecuación (21) está aproximado por

( ) tRc

ctRc

xRcR

xxx ∆⋅⋅=

⋅∆⋅=

∆⋅= ∆

∆∆ 22

0

0

00 .....(25)

Usaremos más adelante la cuantización espacial x ≅ i ⋅ ∆x, y ≅ j ⋅ ∆x, y z ≅ k ⋅ ∆x ......(26) Para dar Ea (x', y', t – R/c0) ≅ Ea (i', j', n – 2 ⋅ R∆x) .....(27) La aproximación de primer orden para la derivada en el tiempo en la ecuación (21) es:

( ) ( ) ( )t

RnjiERnjiEcRtyxE

dtd xaxa

a ∆⋅−−−⋅−

≅− ∆∆ 21,','2,','/,',' 0 ..(28)

Por conveniencia, definimos el parámetro del_Ea

n (i, j, n – 2 ⋅ R∆x) ≅ Ea (i', j', n – 2 ⋅ R∆x) - Ea (i', j', n – 1 – 2 ⋅ R∆x) ...(29)

La aproximación en diferencias finitas de la ecuación (21) es

( ) ( )∑∑ ∆

∆⋅∆⋅

⋅−

π≅

∆

∆−

' '

2

01

2,','2

1,,i j x

xna

znx x

txRRnjiEdel

rc

kjiE

( )

∑∑ ∆⋅∆⋅∆⋅

⋅−

π≅

∆

∆−

' '

2

00 )2/(2,','

21

i j x

xna

z xcxxRRnjiEdel

rc ....(30)

dividiendo los términos extra, se obtiene:

( ) ( )∑∑

∆

∆− ⋅−

π≅

' '1

2,','1,,i j x

xna

znx R

RnjiEdelrkjiE ......(31)

Regresando de nuevo al segundo término de la ecuación (18)en el dominio del tiempo ( ) ( )

''/,,

21,,, 2

02 dydx

RcRtyxE

rtzyxEabertura

az

nx ∫∫

−π

≅ .....(32)

Siguiendo los mismos procedimientos de cuantización, se obtiene la siguiente expresión

( ) ( )∑∑∆

∆⋅−π

≅' '

222,','

21,,

i j x

xna

znx R

RnjiErkjiE ......(33)

Finalmente, escribiendo las dos ecuaciones de Ex juntas.

( ) ( ) ( )∑∑

⋅

⋅−+⋅−

π≅

∆

∆∆−

∆' ' 22,','

2,','1,,i j x

xna

xna

x

znx R

RnjiERnjiEdel

RrkjiE

.....(34) Obviamente, podríamos obtener expresiones idénticas para el cálculo de la ecuación (17), excepto con el término rx en lugar del término rz Hay un punto que merece enfatizarse, la ecuación (34) se desarrolló sin utilizar otra suposición más que la corriente magnética está polarizada exclusivamente en la dirección y debido a que la onda deentrada está polarizada en la dirección z. Estas ecuaciones no son aproximaciones del campo lejano y no están restringidas al área perpendicular a la abertura.

Verificación de la exactitud de la transformación. La exactitud de este método se verifica usando el programa FDTD que calcula el campo E a tres puntos externos por medio de la ecuación (34) y comparamos los valores calculados con FDTD. Esto se ilustra en la figura (7). El programa FDTD es de 140×100×100 celdas y ocupa 12 megawords en el núcleo de la memoria de una supercomputadora Cray T90 está limitada por una frontera (PML)de 15 celdas. Cada celda es de 1 cm3. La antena de ranura es una abertura rectangular de 10 cm en la dirección x & de 5cm en la dirección y tal y como se muestra en la figura (7). El pulso de onda plana es un pulso Gaussiano de amplitud 0.25 nanosegundos. Una simulación se muestra en la figura (10) en la cual se muestra la onda plana interactuando con la abertura. La comparación de los resultados se muestra en la figura (11). La primera gráfica rotulada Fuente (Source), es el pulso Gaussiano de la onda plana de la onda que entra. La segunda gráfica Egrid es el campo E en el centro de la abertura.

PML

Figura 9 Diagrama del espacio problema para la solución tridimensional por FDTD. Usando los valores en el dominio del tiempo en la abertura, los campos en el dominiodel tiempo en los puntos 1,2 y 3 se calculan por medio de la ecuación (7). La exactitudse verifica por comparación con los datos en el dominio del tiempo calculadosdirectamente por el programa de FDTD. El punto 1 está a 2 cm enfrente de laabertura, el punto 2 está a 80 cm enfrente de la abertura y el punto 3 está a 80 cmenfrente de la abertura pero movido lateralmente 30 cm respecto del punto 2.

La tercera gráfica, rotulada como E-deriv es la derivada de la función de la ecuación (29). Los otros gráficos corresponden a los datos de campo E en los puntos en la figura (9) con las líneas sólidas representando la simulación en FDTD y la línea punteada el cálculo de la ecuación (34). El punto 1 está a 2 cm directamente perpendicular del centro de la abertura; el punto 2 está a 80 cmalejado de la abertura. El punto 3 está también a 80 cm de la abertura pero con desviado 30 cm d respecto del punto 2, estos puntos se muestran en la figura (9). Claramente el equivalente es bastante bueno. Esos puntos se seleccionaron como los más representativos. Se podría haber realizado el cálculo para cualquiernúmero de puntos en cualquier posición en el espacio tridimensional incluyendo alejamientos a distancias grandes hasta que fuera suficientemente razonable el computo en FDTD. Resulta interesante comparar las formas obtenidas en el punto 1 con las del punto 2 y 3. Mirando la gráfica Egrid de la figura (11). Su amplitud está en un orden de magnitud mayor que E-deriv.

Sin embargo en la función generadora de la ecuación (34), la función Ea está dividida por el término adicional R∆x comparado con la función derivativa del_Ea. No es ninguna sorpresa que la forma de onda en el punto 1 se asemeja más a Egrid que a E-deriv, debido a que está en el campo cercano y el efecto adicional 1/R∆xtodavía no lo ha atenuado. Sin embargo cuando obtenemos el punto 2 el cual está alejado 80 cm, el término Egrid ha sido substancialmente atenuado comparado con E-deriv y los puntos 2 y 3 se asemejan más a E-deriv. La simulación se realizó en un espacio FDTD grande para comprobar el método. Ahora que tenemos confianza en la exactitud de la transformación, se puede regresar y usar un espacio más pequeño tal y como se ilustra en la figura (8) y calcular cualquier punto en el campo lejano.

Usted habrá notado una desventaja evidente en este método: Elcampo lejano solamente se calcula en algunos puntos.Evidentemente se puede aumentar este número de manera muy substancial pero nos daría patrones de ondas en el dominio del tiempo que fuesen capaces de visualizarse usando FDTD. Se podría simplemente almacenar todos los datos en el dominio del tiempo que aparecen en la abertura. Luego regresar y generar el patrón del campo lejano en tiempo determinado. Sin embargo, el almacenamiento de todos los datos en el dominio del tiempo nos puede crear un problema, particularmente si la abertura es relativamente grande y la excitación en el dominio del tiempo es relativamente prolongada. Una posible solución consiste en usarwavelets para comprimir los datos en el dominio del tiempo hasta un valor de parámetros manejables. Luego se descomprimen los parámetros y se usa el dominio del tiempo para generar los campos lejanos. Esta una de las técnicas recomendables de la teoría de procesamiento de señales que se puede usar en la solución de este tipo de problemas.

Figura 10 Simulación de una onda plana golpeando en una ranura en una pantalla metálica, tal y como se ilustra en la figura 9. Después de 100 pasos la onda se está propagando hacia la pantalla. Después de 150 pasos, golpea la pantalla y parte de ella se comienza a propagar a través de la abertura. Por los 170, parte ha pasado a través de la abertura, mientras que la mayoría se ha reflejado. Después de 270 pasos, el pulso que resultó de la interacción con la abertura se está propagando alejándose de la abertura.

Implementación de FDTD en los cálculos del campo lejano El archivo fdtd_field.c muestra algunas de las partes críticas del programa que se usó para calcular los puntos del campo lejano por medio de la transformación de la ecuación transformada (34)(Las coordenadas usadas en la figura (7) son las coordenadas que tradicionalmente se usan en la Teoría Electromagnética, específicamente la dirección de propagación es la dirección z, así el sistema coordenado usado en fdtd_field.c está esencialmente rotado 90° comparado con el de la figura (7). Antes que todo, nótese que sería muy devastador detenerse y calcular los valores para los parámetros R∆x y rz en todo tiempo, debido a consisten de valores que se usan en cada iteración. Por lo tanto se calculan antes del bucle principal FDTD y se almacenan respectivamente en los arreglos R_dist y r_z. Nótese también que el valor n – 2 ⋅ R∆x es unentero, por lo tanto 2 ⋅ R∆x será también entero. Estos valores se almacenan en el arreglo N_shift. Los valores de Ex(i, j, k) en la ecuación (34) se calculan y se almacenan en el arreglo Eana.

Figura 11 Comparación de los valores de la transformación y el FDTD ilustrados en lafigura 9. La gráfica superior rotulada "Source" es una onda plana pulso Gaussianoque golpea a la pantalla metálica, "E deriv" es la derivada del campo E en el centro dela abertura, tal y como se calcula con la ecuación 29. Los puntos 1, 2 y 3 muestran lacomparación de los datos generados en el dominio del tiempo por FDTD (línea sólida)y los datos generados en el dominio del tiempo generados por la ecuación (34). Laabertura fue de 10 cm (dirección x) por 5 cm (dirección y). El campo está polarizadoen la dirección x.

Simulación de un pulso propagandose en el espacio libre Ex

Simulación de un pulso en el espacio libre de Hy

Referencias: Electromagnetic Simulation using the fdtd method Dennis M. Sullivan Mastering Borland C++ Tom Swan El lenguaje de programacion "C" Kernigan y Ritchie Artículo: "Validation and Extension to three Dimensions of the Berenger PML absorbingBoundary Condition for FD-TD Meshes" Daniel Katz, Allan Taflove IEEE Microwaveletters.