Instituto Politécnico Nacional Centro de Estudios ... · e) si el diámetro de la tierra es de 12...

Elaboró: Profa. Alicia Medina Basurto Academia de Matemáticas T.V.

Instituto Politécnico Nacional Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos No. 3

“Estanislao Ramírez Ruíz”

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA

I. Conjuntos de números

1. Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la

izquierda de la tabla con una marca de cotejo:

Número/Conjunto numérico

Natural

Entero

Racional

Irracional

Real

11

-7

0

¾

0.272727…

7.25

2.7985413…

1½

√𝟐𝟓

𝝅

2. ¿Cuáles son aquéllos números que no pueden ser expresados de la forma m/n?

3. ¿Qué conjunto de números forman la unión de los racionales con los irracionales?

4. ¿Cuáles son los 2 tipos de números racionales que existen?

II. Propiedades de los números Reales

1. ¿Qué propiedad de los reales dice que a + b es único y a . b es único?

2. ¿Cómo se llama la propiedad de los números reales que dice que “la suma de

opuestos es cero y el producto de recíprocos es 1”?

3. En cada una de las siguientes relaciones señalar la propiedad de los números reales

que la justifica.

(a) 5 + 0 = 5 ___________________ (b) (−2) · 1 = −2 ___________________ (c) −p7 + p7 = 0 ___________________ (d) (a + b) · (a + b)-1 = 1, con a + b ≠ 0 ___________________ (e) 3 + p3 = p3 + 3 ___________________ (f) 5 · (4 · a) = (5 · 4) · a ___________________





4. A continuación se entrega una demostración de la propiedad:

“Para cada a ϵ R : a · 0 = 0”

De acuerdo a las propiedades fundamentales de R, justificar cada uno de sus pasos.

Paso Justificación

(1) a · 0 = a · 0 + 0 . . . . . . . . . . . . (2) = a · 0 + (a + (−a)) . . . . . . . . . . . . (3) = (a · 0 + a) + (−a) . . . . . . . . . . . . (4) = (a · 0 + a · 1) + (−a) . . . . . . . . . . . . (5) = a · (0 + 1) + (−a) . . . . . . . . . . . . (6) = a · 1 + (−a) . . . . . . . . . . . . (7) = a + (−a) . . . . . . . . . . . . (8) = 0 . . . . . . . . . . . .

5. Relaciona cada expresión con la propiedad que la justifica:

( ) 5 + 3 = 3 + 5 a) asociativa de la adición

( ) 7 + (6 + 2) = (7 + 6) + 2 b) neutro aditivo

( ) 4 * 1 = 4 c) inverso aditivo

( ) 15 * 1/15 = 1 d) conmutativa de la adición

( ) -11 * (3 + 9) = (-11) * 3 + (-11) * 9 e) neutro multiplicativo

( ) - 3/5 + 0 = - 3/5 f) inverso multiplicativo

( ) - 8 + 8 = 0 g) distributiva de la multiplicación

6. Para cada enunciado, escribe una V si es verdadero, o una F si es falso. La resta tiene la propiedad conmutativa (es lo mismo a - b que b - a) (______)

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a. (______)

El cero es el elemento neutro de la multiplicación. a * 0 = a (______)

Todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0 (______)

Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. (______)

Para la raíz cuadrada de cualquier número real negativo el resultado siempre será un número imaginario. (______)

La propiedad asociativa NO aplica para la sustracción o la división, pues el resultado se altera. (______)





III. Operaciones básicas

1. Resuelve las siguientes operaciones:

9875 X 20.4 = 40.3695 ÷ 1.5 = 8009521 - 59684.29 = 987654 + 43535 + 83937 + 123.86 + 28737.5 = 4000210.16 – 765987.354 =

√6246 (sin decimas) √78 (con 2 decimas) 100 x 1.23 = 0.01 x 1.23 = 10 x 12.3 =

2. Completa con las cifras correspondientes:

1 4 4 3 6 3

+ 5 7 - 1 2 8 4

6 9 1 0 3 5 4 1 5 6 4 2

3. En cada ejercicio, escribe el valor faltante y escribe el resultado:

I. 0.12 × 0.4 =12

×10

=48

=

II. 0.07 × 0.08 =7

×8

=56

=

III. 0.01 × 0.002 =1

×2

=2

=

4. Resuelve las siguientes divisiones:





5. Completa la siguiente tabla:


{ 21 [ 18 + 25 - ( 50 - 9 )] ÷ 7 } = { [ (30)(2) + 40 ] - [ ( - 12 + 30 ) + (- 20 + 6 ) ]} ÷ 12 = [ 7 + ( 9 - 4 )2 ] - 12 = 23 - (32 ) x 22 + 4 ÷ 1/2 = 4(2+3) - {6 - [3 – (7 + 3) ]} =

7. Simplifica considerando la JERARQUÍA en las Operaciones Matemáticas:

1. 218)81(3222 6. 218283222

2. 23243 7. 563856

3. 1008104565 8. 154111918

4. 51520520 9. 22243214

5. 7110483132 10. 21010101010





8. Resuelve las siguientes fracciones complejas:

[(2

5)(

1

4)+

1

5]−1

(2

3)(

3

4 ÷

1

2)

=

[(25

) (34

) − 13] − 2

(23) (

54 ÷

12)

=

[(45

) (38

) − 15

] + 2

(23

) (74

÷ 12

) =

9. Resuelve los siguientes problemas:

a) Medellín está situado a 1490 metros de altura sobre el nivel del mar. Si Bogotá tiene

1140 metros de altura más que Medellín, ¿a cuántos metros está situada Bogotá sobre

el nivel del mar?

b) Un profesor que trabaja en tres colegios recibe quincenalmente tres cheques: uno por

$48, 162.00, otro por $42,005.00 y otro por $52,388.00. ¿Cuál es el salario mensual

del profesor?

c) Un caficultor tenía cierto número de árboles de café (cafetos). Hizo tres siembras

consecutivas de 2000, 1418, 𝑦 5121 árboles y comprobó al final que tenía en total

10 000 árboles. ¿Cuántos tenía al principio?

d) ¿Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio César (44 a.c.) hasta la caída

del Imperio Romano de Occidente (395 d.c.)?

IV. Proporciones

1. Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:

1

2

3





2. Porcentajes:

1a. ¿Qué porcentaje de 135.1 es 82?

1b. ¿Qué número es el 69.5% de 58.7?

2a. Encuentra un número para que el 61.1% de éste sea 120.

2b. ¿Qué número es el 28.4% de 18.8?

3a. ¿Qué número es el 49.7% de 8.6?

3b. Encuentra un número para que el 79.6% de éste sea 12.

3. Resuelve los siguientes ejercicios:

4. Contesta las siguientes preguntas:

¿Cuándo se dice que dos cantidades son directamente proporcionales?

¿Cuándo una relación de proporcionalidad es inversa?

¿Qué dice la propiedad fundamental de las proporciones?


a) Queremos ir al cine. La entrada cuesta $120. Como va toda la clase, nos harán un

descuento del 20% en cada entrada. ¿Cuánto tendrá que pagar cada uno?

b) Juan ha visitado el centro de la computación y le han dado el precio de una

computadora en $14,000 menos 30% de descuento por temporada más el 15% del

IVA. ¿Cuánto le costara finalmente la computadora?





c) Un tren que marcha a una velocidad constante de 75 km/h tarda 5 horas en recorrer

cierta distancia. ¿En cuánto tiempo la recorrería otro tren con velocidad de 25 km/h?

d) Si un coche consume 25.5 litros de combustible en un viaje de 380 km. ¿Cuánto

consumirá en un viaje de 75 km?

e) si el diámetro de la tierra es de 12 000 km. y el 70% de su superficie está cubierto

por océanos, ¿Cuántos km 2 están cubiertos por éstos?

(Considera que la superficie de una esfera de radio r es de 4∏r2 ) con ∏= 3.14

f) Si 5 hombres de oaxaca tardan 24 días en terminar un pedido de tapetes tejidos,

¿Cuántos hombres se necesitarán para que los terminen en un plazo de 10 días?

g) Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18

hombres para hacer el mismo trabajo?

h) Un campamento de 700 soldados tiene 14,000 litros de agua para beber para 15

días. ¿Cuántos litros se necesitarían si el número se incrementara en 200 soldados

más y el campamento durara 5 días más?

i) La rueda de una bicicleta da 54 vueltas cada 90 metros. ¿Cuántas vueltas habrá dado

después de recorrer un kilómetro?

j) En un momento de la tarde, una persona de 1,80 m de altura proyecta una sombra

que mide 3,60 m. ¿Qué altura tendrá un árbol que a esa misma hora proyecta una

sombra de 34 m?

k) Un padre reparte entre sus dos hijos 72 euros en partes directamente proporcionales

a la edad de cada uno. Si Luis tiene 9 años y Marta 15 años, ¿cuánto le corresponde

a cada uno?

l) La rueda de una bicicleta da 54 vueltas cada 90 metros. ¿Cuántas vueltas habrá dado

después de recorrer un kilómetro?

m) Se quieren reunir 1 200 euros para el viaje de fin de curso entre todos los alumnos

que quieran participar. completa la siguiente tabla. ¿Son magnitudes inversamente

proporcionales?

Nº de alumnos 80 20

Dinero por cada alumno

30 75

n) Marta tarda 36 minutos en ir andando al colegio, ¿cuánto tardará si decide ir a 1/3

de la velocidad habitual? ¿y si decide ir el doble de rápido?





V. Máximo Común Divisor y mínimo común múltiplo

1. Determina el M.C.D de los números indicados:

M.C.D. (6, 8, 9) _____________ M.C.D. (10, 12, 15) _____________ M.C.D. (35, 105, 112) ____________ M.C.D. (25, 100, 150) ____________ M.C.D. (55, 66, 275) ____________ M.C.D. (415, 520) _____________

2. Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números.

280 y 840 315 y 945 M.C.D (280, 840) = ______________ M.C.D (315, 945) =______________

3. Responde las siguientes preguntas: ¿Es 280 divisor de 840? ______________ ¿Es 315 divisor de 945?____________ ¿Cuál es el M.C.D (280, 840)? ____________ ¿Cuál es el M.C.D (315, 945)? _______ ¿Cuál es el M.C.D. de 90, 126 y 162? __________ En general, si a es divisor de b, ¿cuál es el M.C.D (a, b)? M.C.D. (a, b) =________

4. Determina el m.c.m. de los números indicados:

m.c.m (52 y 76) _____________ m.c.m (84 y 95) ____________

m.c.m (140, 325, 490) ___________ m.c.m ( 40, 30, 42) ___________ m.c.m (77, 81, 90) ____________ m.c.m ( 105, 210) ____________

5. Hallar el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números.

320 y 640 420 y 1260





m.c.m. (320, 640) = _______________ m.c.m. (420, 1260) = __________

6. Responde las siguientes preguntas:

¿Es 640 múltiplo de 320? ____________ ¿Es 1260 múltiplo de 420? ____________ ¿Cuál es el m.c.m. (320, 640)?________ ¿Cuál es el m.c.m. (420, 1260)? ___________ ¿Cuál es el m.c.m. de 30, 42 y 60? ___________ En general, si a es múltiplo de b, ¿cuál es el m.c.m. (a, b)? m.c.m. (a, b) = ___________

7. Resuelve los siguientes problemas aplicando el M.C.D. o el m.c.m. según corresponda.

a) Las edades Jesús y la de su hija están comprendidas entre 23 y 49 años y son a la vez

divisibles por 8 y 12. ¿Qué edad tiene cada uno?

b) Manuel camina un número exacto de pasos avanzando 700 cm, 800 cm y 950 cm.

¿Cuál es la mayor longitud posible de cada paso y cuántos pasos dio en total?

c) Un fabricante de jabones quiere envasar su producto en cajas de 840 cm3, y 960 cm3.

¿Cuál debe ser el mayor volumen de cada jabón para que en cada caja entre el mayor

número exacto de jabones y cuántos jabones entrarán en ella?

d) ¿Qué números menores de 90 y diferentes de 0 son divisibles a la vez por 2, 4 y 6?

e) ¿Cuál es el menor número de caramelos que se puede repartir simultáneamente entre

15 y 20 niñas para que en cada caso una niña reciba una cantidad exacta? Y ¿Cuántos

caramelos recibe una niña en cada caso?

f) Tres personas desean repartir 240 libros, 160 juguetes y 480 chocolates

respectivamente, entre un cierto número de niños, de tal modo que uno reciba un

número exacto de libros, juguetes y de chocolates, ¿Cuál es el mayor número de niños

que son beneficiados?

g) Tres amigos parten regularmente de la misma ciudad cada 8, 12 y 16 días

respectivamente. La última vez que salieron juntos fue el 16 de octubre de 1998 con

la promesa de reunirse los 3 en la primera oportunidad, ¿En qué fecha se produce el

reencuentro?

h) Sara ha dado a sus tres hijos 120, 480 y 720 dólares para repartir entre los ancianos

pobres de la ciudad de manera que los tres den a cada anciano la misma cantidad,

¿Cuál es la mayor cantidad que puede dar a cada uno? y ¿Cuántos ancianos son los

beneficiados?





VI. Notación científica y operaciones

1. Escribe con todas sus cifras los siguientes números dados en notación científica.

a) 6·104 b) 4.5·106 c) 1.2·10-5 d) 3·10-3

2. Escribe en notación científica.

a) 485´000,000 b) 315,000’000,000 c) 0.0000025 d) 0.000000000000362


a) La luz que viaja aproximadamente a 3.0 × 105 km por segundo, tarda cerca de 5.0 ×

102 segundos en llegar a la Tierra. ¿Cuál es la distancia aproximada, en notación

científica, del Sol a la Tierra?

b) Una nave espacial tarda aproximadamente 5 días en llegar a la Luna. A este ritmo,

¿cuánto le tomará viajar de la Tierra a Marte?

Distancia desde la tierra

Luna 240,000 mi

Sol 93,000,000 mi

Marte 35,000,000 mi

Plutón 2,670,000,000 mi

c) La distancia aproximada de Neptuno al Sol es de 2,790,000,000 mi.

¿Cuánto tarda en llegar la luz desde el Sol a Neptuno?

d) La luz viaja a una velocidad aproximada de 300 000 kilómetros por segundo. La

distancia media de la Tierra al Sol es 150 000 000 kilómetros. Usa la notación

científica para calcular ¿cuánto tarda la luz del sol en llegar a la Tierra?

e) Basándote en la información anterior, emplea la notación científica para demostrar

que un año luz, la distancia que recorre la luz en un año, es, aproximadamente, 9.44

× 1012 = 9,440,000,000,000 kilómetros.

f) El estadounidense promedio consume 80 libras de vegetales al año. Puesto que hay

unos 250 millones de estadounidenses, las libras consumidas cada año son: (8 × 101)

× (2.5 × 108).

Escribe esta cifra en notación científica y en su forma estándar.





g) La fisión nuclear se utiliza como fuente de energía. ¿Sabes cuánta energía

proporciona un gramo de uranio 235? La respuesta es 235

9107.4

kilocalorías.

Escríbela en notación científica.


2106.3

8105.2

31028

10485.1

(𝟐. 𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟕)(𝟑𝒙𝟏𝟎𝟑) =

(𝟑. 𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟔)(𝟖𝒙𝟏𝟎𝟒) =

(𝟗. 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟖)(𝟓𝒙𝟏𝟎𝟓) =

5. Completa correctamente la siguiente tabla:

NOTACIÓN DECIMAL NOTACIÓN CIENTÍFICA

0.00000000902

4.375𝑥1012

(2.5𝑥10−7)(3𝑥103) =

7690000000000000

(3.6𝑥105) ÷ (0.9𝑥102) =

VII. Expresiones algebraicas

1. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

La semidiferencia de los cuadrados de dos números: _____________________

el doble de la raíz cúbica de la diferencia de dos números: _____________________

La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual a 181: _____________________

El triple del cubo de un número más el doble del cuadrado

Del mismo menos 25 da como resultado 100: _____________________

El semiproducto de dos números más el triple de la suma de esos números: _____________________





2. Evaluar las siguientes expresiones algebraicas para los valores dados:

5x2y – 8xy2 – 9y3 considerando x = 2; y = –1

53322 dcba Considerando a = 2; b = 5; c= –3; d= –1

(7𝑚−3 𝑚3 )2+ (𝑚2+ 3 )3

(𝑛2 )2− 3𝑛−(10𝑛+2) cuando m = -1 Y n = 3

3𝑎 (𝑏 −1

2𝑐) = cuando a = -3 , b = 2 y c =

𝟐

𝟑

2(𝑚3𝑛−5)

−𝑝= cuando m =

𝟏

𝟐 , n = - 4 y p = -

𝟏𝟏

𝟐

VIII. Leyes de los exponentes

1. Por reglas de exponentes contesta:

Aseveración Reglas/Definición Ejercicio

1. La expresión 27 significa

2.

En el producto de dos potencias

con bases iguales: bm ·bn

117

52

)

33)

xxb

a

3.

En la división de dos potencias con

bases iguales: n

m

b

b

5

11

5

7

)

2

2)

a

ab

a

4. Al elevar una base a un exponente

y a su vez a otro exponente: nmb

27

32

)

3)

ab

a

5. Cuando tenemos el producto de

dos bases elevadas a un

exponente: nba

253

7

)

)

yxb

yxa





6.

Cuando tenemos el cociente de

dos bases elevadas a un

exponente:

n

b

a

4

3

2

5

)

)

y

xb

y

xa

7. Una base elevada al exponente

cero: b0

a) (16)0 =

b) y0 =

8. La expresión 00

9. Una base elevada a un exponente

negativo: b-n

a) 4-3 =

b) x-8 =

2. Simplifica cada expresión utilizando Leyes de los Exponentes:

[(2𝑎2 𝑐3

15𝑏4 )3

] [(30𝑏6

4𝑎2𝑐2)3

] = (𝟑)−𝟐

(𝟐)−𝟑=

4−1𝑚−2𝑛−3

(2𝑚𝑛)−5 = (

𝟐

𝟑)

−𝟐

=

253

132

4032

3

4

32

42

37

25

38

12

3

3

12

4

3)15

)2()14

2

3)13

)2()12

)()11

3

15)10

)9

)8

cba

cba

cba

xy

yx

xy

a

ba

ba

x

x

x

x

265

342

253

23

56

03

16

5

32

035

8

7)7

)3()6

20

30)5

)2)(5()4

)3

)2)(5()2

444)1

zyx

zyx

ba

yx

yx

a

x

x

baab





IX. Operaciones con polinomios

1. Reduce las siguientes expresiones algebraicas:

a) 3

4 𝑥3 𝑦2 −

1

2 𝑥2 𝑦3 − 3 𝑥𝑦 +

8

3−

1

4+

2

3𝑥2 𝑦3 +

1

3𝑥3 𝑦2 +

1

3𝑥𝑦 − 2 −

1

6𝑥3 𝑦2 −

3

4𝑥2 𝑦3 =

b) 23323223

3

1

3

2

2

1

4

3yxyxyxyx

2. Dados los polinomios P, Q, R:

𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 − 6𝑥 − 1

𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 4

𝑅(𝑥) = 2𝑥4 − 2𝑥 − 2

Calcular:

a) P(x) + Q(x) - R(x)

b) P(x) + 2Q(x) – R(x)

c) Q(x)+R(x) – P(x)

3. Realiza las siguientes adiciones y sustracciones de polinomios

a) (3x4 + 2x2 – 5x –6) + (2x4 – 3x3 + 6x2 )=

b) (5x5 +3 x – 6x2 + 6) + (2x –5x2 +8 x3 –4) =

c) (5x5 + 4x2 + 6x - 5) - (2x4 - 3x2 + 6x + 4) =

d) (3x3- 2x4 + 5x - 8) - (2x4 – 3x + 6x3 + 4 ) =

4. Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios

a) (5x5 + 4x2 + 6x - 5) · (3x2 + 6x + 4) =

b) (3x3- 2x4 + 5x - 8) · (– 3x + 6x3 + 4 ) =

c) (5x5 +3 x – 6x2 + 6) · (2x –5x2 + 8x3 –4) =

5. Realiza las siguientes divisiones de polinomios

a)

b)

c) 4𝑥8−10𝑥6−5𝑥4

2𝑥3 =

d) 𝑎2+2𝑎−3

𝑎+3=





e) 3𝑚4𝑛5𝑝6

−1

3𝑚4𝑛𝑝5

=


a) EN UN TRIÁNGULO, SE TIENEN LAS SIGUIENTES MEDIDAS:

LADO 1 = 𝟖𝒙𝟓 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟓

LADO 2 = −𝟑𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏𝟐

PERÍMETRO= 𝟕𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 ¿CUÁL ES LA MEDIDA DEL TERCER LADO? _________________________

b) EN OTRO TRIÁNGULO, SE TIENEN LAS SIGUIENTES MEDIDAS:

LADO 1 = 𝟕𝒙𝟓 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟓

LADO 2 = −𝟑𝒙𝟓 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏𝟑

PERÍMETRO= 𝟏𝟎𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 ¿CUÁL ES LA MEDIDA DEL TERCER LADO? ________________________

c) EL ÁREA DE OTRO TRIÁNGULO ES DE 𝟔𝒙𝟑 + 𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐

SI SU BASE MIDE 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟔 , ENTONCES ¿CUÁNTO MEDIRÁ SU ALTURA? __________________

d) ENCUENTRA EL ÁREA DE UN TRAPECIO CUYAS MEDIDAS SON: BASE MAYOR = 𝟖𝒙 + 𝟏𝟖 BASE MENOR = 𝟒𝒙 + 𝟔

ALTURA = 𝟔

𝟒𝒙𝟐 +

𝟏

𝟐𝒙 − 𝟔

ÁREA = ______________________

X. Productos notables y factorización

1. Resuelve los siguientes productos notables y factorizaciones según corresponda:

a) (1 + 6𝑎2 𝑏3 )3 = b) 72𝑥2 𝑦3 − 48 𝑥5 𝑦4 + 60𝑥4𝑦2 − 84𝑥3 𝑦5 + 108𝑥6𝑦5 =

c) 8𝑥3 − 27 =

d)

e) 6𝑚 − 9𝑛 − 14𝑚𝑥 + 21𝑛𝑥 =

f) 49 𝑎10𝑛 − 𝑏12𝑥

81=

g) 𝑦2 + 50𝑦 + 336 =

h) (6 − 𝑥4)(36 + 6𝑥4 + 𝑥8) =

i) (1

5−

5𝑥2

6 )

2

=

j) (𝑚2 − 36)(𝑚2 + 28) =

k) 𝑎4 − 𝑎2𝑏2 + 𝑏4

4=

l) 12𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑦 − 20 =





XI. Fracciones algebraicas

a) Resuelve y/o simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a) 1

x− x

x − x2

x+1

=

b)

c)

d)

e)

f)

g) (𝑎2− 1)(𝑎2+ 2𝑎−3)

(𝑎2−2𝑎+1)(𝑎2+ 4𝑎+3)=

h) 𝑚3𝑛 +3𝑚2𝑛 +9𝑚𝑛

𝑚3− 27=

i) 1

3𝑥+3 +

1

2𝑥−2+

1

𝑥2− 1=

j) 2

𝑥+ 𝑥2 –

1

𝑥− 𝑥2−

1−3𝑥

𝑥− 𝑥3=

k) (2𝑥2+ 2𝑥

2𝑥2 ) (𝑥2− 3𝑥

𝑥2− 2𝑥−3) =

l) (2𝑥2−3𝑥−2

6𝑥+3) (

3𝑥+6

𝑥2−4) =

2 1x xx x

yx y

1y x

x

y

22

1 1 1

2 1 1

x x x

x x x

1x

1

11 xx

2

1 1

1

x x

x

1x

1

11 xx





m) [(𝑎2−8𝑎 + 7

𝑎2− 11𝑎 + 30) (

𝑎2− 36

𝑎2 – 1)] ÷ (

𝑎2− 𝑎−42

𝑎2− 4𝑎−5) =

n)

𝑎+𝑥

𝑎−𝑥 −

𝑏+𝑥

𝑏−𝑥2

𝑎−𝑥−

2

𝑏−𝑥

=

o) 𝑥−1

𝑥+2−𝑥2+2

𝑥−𝑥−2𝑥+1

=

XII. Función lineal

1. Representar la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

2. Calcular la función lineal que pasa por los puntos (1,2) y (2,7).

3. ¿Cómo son las siguientes rectas entre sí? Y ¿Por qué?

𝑦 = 2𝑥 + 1

𝑦 = 2𝑥 − 5

4. ¿Cómo son las siguientes rectas entre sí? Y ¿Por qué?

𝑦 = 2𝑥 + 1

𝑦 = 1 −𝑥

2

5. Calcular los puntos de corte con los ejes y representar la función. ¿Cuál es la pendiente de

la recta? 𝑦 = 4 − 2𝑥

6. Calcular y representar la función cuya gráfica es una recta que pasa por los

puntos (1,2) y (−3,4). ¿Cuál es su pendiente?

7. Grafica la siguiente ecuación lineal: x − 2y = 4





8. Encuentra la ecuación de la siguiente función:


a) El precio de una camioneta nueva es de $ 12000 y su valor disminuye $ 2000 por

año debido a la depreciación. A partir de ello, escribe una función lineal que

determine el valor “V” de la camioneta “t” años después de su compra. Calcula el

valor pasados 4 años.

b) La empresa Delta Energy cobra a sus consumidores de energía eléctrica una tarifa

base de $5 por mes más $0.10 por cada kilowatt-hora (kwh). Expresa el costo

mensual “C” en función de la energía “E” consumida.

c) El alquiler de una fotocopiadora tiene un costo base de $200 mensuales más $0.20

por cada fotocopia realizada. Expresa el costo “C” total de alquiler de la

fotocopiadora en función del número de fotocopias “f”. ¿Cuánto sería el costo total

de alquiler en un mes en el que se realizaron 200 fotocopias?

XIII. Ecuaciones lineales

1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales ó de primer grado:

a) 14𝑥 − (3𝑥 − 2) − [5𝑥 + 2 − (𝑥 − 1)] = 0

b) 3𝑥−5

4−

4−5𝑥

10= 4 +

𝑥−2

5

c) 2(3𝑥 + 3) − 4(5𝑥 − 3) = 𝑥(𝑥 − 3) − 𝑥(𝑥 + 5)

d) 4

3𝑥−6+

5

2𝑥−4 =

23

6





e) 7𝑥+2

3𝑥+6+

5𝑥−2

2𝑥+4= 4

f) 3𝑥−9

4𝑥−22−

𝑥+2

6𝑥−33−

𝑥+5

8𝑥−44= 0

g) 𝑥+1

𝑥−5−

𝑥+60

𝑥+5=

5𝑥+3

3𝑥2− 75

h) 2𝑥 − 2[2𝑥 − (3𝑥 − 12)] − 8 = 40

i) 𝑥2 − 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)

j) 5𝑥

6=

9

2−

2𝑥

3

2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con 2 incógnitas según el método

indicado:





3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones 3x3 por cualquier método de eliminación

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟔𝟖 𝟐𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟎𝟗 −𝒂 + 𝒄 = 𝟗

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟔𝟖 𝟐𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟏𝟖 −𝒃 + 𝒄 = −𝟓

4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 3x3 por el método de determinantes:

2x - y - 3z = 5

x + 3y - 2z = 15

3x + 4y + 5z = -14

XIV. Problemas con ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales

1. Juanjo tiene el doble de edad que Raúl y Laura, tres años más que Juanjo. Si la suma

de sus edades es 38, ¿cuál es la edad de cada uno?

2. Encontrar dos números positivos y consecutivos de modo que la suma de sus dobles

sea igual al triple del mayor de los dos números.

3. Tanto Andrés como su hermano Jaime tienen guardado su propio dinero. Andrés sabe

que tiene el triple de dinero que su hermano, así que decide darle 130€. Después de

la donación, Andrés se compra un libro de 15€, con lo que sus ahorros son ahora el

doble que los de su hermano. ¿Cuánto dinero tenía cada uno inicialmente? ¿y ahora?

4. La factura del teléfono del mes pasado ascendió a un total de $39 por un consumo de

80 minutos mientras que la de este mes asciende a $31,5 por un consumo de 55

minutos. El importe de cada factura es la suma de una tasa fija (mantenimiento) más

un precio fijo por minuto de consumo. Calcular la tasa y el precio de cada minuto.

5. La suma de dos números es 100. Si al mayor le aumentas 5 unidades, es igual al doble

del menor. ¿Cuáles son los números?

6. Se atribuye a Pitágoras la siguiente respuesta sobre el número de sus discípulos: “una

mitad estudia matemáticas, una cuarta parte física, una quinta parte guarda silencio y

además hay tres mujeres”. ¿Cuántos discípulos tenía?

7. Ramón es 6 años mayor que su hermano. Dentro de 10 años, la suma de las edades

de ambos, será de 42 años. ¿Cuáles son sus edades actuales?

8. Rocío tenía una dulcería llamada la dolce vita. Los dulces más vendidos son los

chiclosos de chocolate y los caramelos multisabores cuyo precio es de 22 y 30 pesos

el kilogramo, respectivamente. Rocío quiere hacer una mezcla de estos dulces de tal

manera que, pese 50 kg y cuyo precio sea de 25 pesos cada uno. ¿Cuántos kg de cada

dulce debe mezclar?





9. La suma de las edades de Ana, Beto y Caro es 53. Caro es 5 años más joven que Beto

y dentro de dos años Ana tendrá la misma edad que Beto tiene ahora. ¿Cuál es la edad

de cada uno?

10. Las edades de tres hermanas suman 68 años. El doble de la suma de las edades de las

dos hermanas más jóvenes, más la edad de la hermana mayor dan 109 años. Si la

diferencia de edades entre las hermanas mayor y menor es nueve años, ¿qué edad

tiene cada una?

11. El perímetro de un triángulo escaleno es de 68 cm. El doble de la suma de los dos

lados más grandes más la medida del lado menor dan 118 cm. Si el lado menor es 5

cm más pequeño que el lado mediano, ¿qué medida tiene cada lado?

XV. Función cuadrática

1. Representa gráficamente las funciones cuadráticas:

𝑦 = −𝑥² + 4𝑥 – 3

𝑦 = 𝑥² + 2𝑥 + 1

𝑦 = 𝑥² + 𝑥 + 1

2. Determinar si las siguientes funciones son cuadráticas o de segundo grado o no:






a) Se lanza una piedra verticalmente hacía arriba, ésta sube hasta cierto punto y luego

empieza a caer. La relación entre el tiempo t (en segundos) que la piedra está en el

aire y la altura s (en metros), se expresa por la fórmula: s(t)=-5t2 + 20t + 10 ¿Cuándo

la piedra alcanza el punto más alto y cuál es esa altura?

b) Un delfín salta hasta cierto punto y empieza a caer. La función que describe dicha

situación en términos del tiempo t (segundos) se expresa por f(t) = -6t2 + 12t ¿Cuál

de las siguientes afirmaciones es FALSA?

El tiempo que tarda el delfín en regresar al agua es 1 segundo.

La altura máxima que alcanza el delfín es de 6m.

A los 0,8 segundos el delfín alcanza una altura de 5,76m.

El salto del delfín demoró 2 segundos.

c) Una función cuadrática de la forma 𝑦 = 𝑥2 + 𝑚𝑥 + 𝑚 pasa por el punto (1,-9).

Calcular “m”.

d) Hallar los puntos de intersección de la función 𝑦 = 2𝑥2 − 2 con los ejes “x” e “y”.





XVI. Ecuaciones cuadráticas

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado:

e) 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0

f) 𝑥2 + 12𝑥 + 35 = 0

g) 2𝑥2 − 18 = 0

h) 2𝑥 − 3 = 1 − 2𝑥 + 𝑥2

i) 𝑥2 + (7 − 𝑥)2 = 25

j) 7𝑥² + 21𝑥 − 28 = 0

k) 𝑥

𝑥−2+ 𝑥 =

3𝑥+15

4

l) 1

4−𝑥 −

1

6 =

1

𝑥+1

XVII. Problemas con ecuaciones cuadráticas

1. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 60 cm y el cateto menor tiene 16 cm

menos que la hipotenusa. ¿Cuáles son las medidas de los lados?

2. Con una cuerda de 34 metros se puede dibujar un rectángulo (sin que sobre cuerda)

cuya diagonal mide 13 metros. Calcular cuánto mide la base y la altura de dicho

rectángulo.

3. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.





4. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía

hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

5. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula

las dimensiones de la finca.

6. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que

es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

7. Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es

580. ¿Cuáles son esos números?

8. Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja

de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los

bordes. Halla las dimensiones de la caja.

9. Calcula el radio de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en 6 cm, el área

se hace nueve veces más grande.

10. De un tablero de 1200 cm2 se cortan dos piezas cuadradas, una de ellas con 5 cm más

de lado que la otra. Si las tiras de madera que sobran miden 83 cm2, ¿cuánto miden

los lados de las piezas cuadradas cortadas?

11. Si se aumenta el lado de un cuadrado en 4 cm, el área aumenta en 80 cm2. Calcula el

lado del cuadrado.

12. Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 31, obtenemos el

quíntuple de la suma de ambos. Calcula los números.

13. Dentro de 11 años la edad de Vicente será la mitad del cuadrado de la edad que

tenía hace 13 años. ¿Qué edad tiene Vicente ahora?.

14. Uno de los lados de un rectángulo mide 6 cm más que el otro. ¿Cuáles son las

dimensiones si su área es 91 cm2?.

15. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números enteros

consecutivos. Calcula los lados del triángulo.





XVIII. Sistemas cuadrático-lineal

1. Encuentra las coordenadas de los puntos en donde la curva x² + 8y = 0 se cruza con

la recta y = 2x

2. Encuentre los puntos de intersección entre la recta y la

parábola .

3. Encuentre los puntos de intersección entre la recta y el

círculo .

4. Resuelva el sistema de ecuaciones y .

5. Resolver el sistema usando el método de sustitución

y

6. Resuelve el sistema:

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