UNIVERSIDAD COMPLUTENSEFACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS

CONSEJO SUPERIORDE INVESTIGACIONES CIENTIFICAS

INSTITUTO DE ASTRONOMIA y GEODESIA(Centro mixto e.S.Le. - U.e.M.). MADRID

Publicación núm. 139

ASTRONOMIA GEODESICA

por

M. J. SEVILLA

PUBLICADO EN "TOPOGRAFÍA y CARTOGRAFÍA"

Vol. 1, núm. 6, págs. 30-39

MADRID

1984

~ ASTRONOMIA GEODESICA

Por M. J. SEVILLA

instItuto de Astronomía y Geodesia (UCM-CSIClFacultad de Ciencias MatemáticasUniversidad Complutense. Madrid.

1. Introducción.

La astronomia geodésica es aquella partede la geodesia (o de la astronomia) quetiene por objeto la determinación de lascoordenadas geográficas astronómicas, Lati-tud • y Longitud A, de puntos de la super-ficie terrestre y de acimutes astronómicosA de direcciones en la Tierra. Estas deter-minaciones se realizan por métodos astro-nómicos de observación de estrellas en po-siciones convenientes, utilizándose prin-cipalmente métodos de cálculo de trigono-metria esférica y de álgebra matricial jun-to al ajuste de observaciones por mínimoscuad:-ados. Las principales aplicacionesgeodesicas de los resul tados obtenidos sonla determinación de la figura de la Tierra(geoide) y la compensación astrogeodésicade redes.

La precisión. alcanzada en cada determi-n~ción está en función del instrumento ymetodo empleados; atendiendo a la desvia-ción tipica a de los resultados las deter-minaciones astronómicas suelen clasiflcarseen diferentes órdenes: Se denominan traba-jos de observatorio cuando a e 0.09" paralatitud y longitud; trabajos de primer or-den cuando 0.111 < o ~ 0.311 para latitud ylongitud y 0.2" < o ~ 0.4" para acimut; ytrabajos de segundo orden cuando 0.4" < o <~ 1" para 1ati tud y 10ng1 tud y 0.5" < a < 1.5"para acimut. -

Atendiendo a esta clasificación revisa-r;mos a~gunos instrumentos y métodos de losmas comunmente empleados y estudiaremos losproblemas que en determinaciones de al taprecisión plantean las variaciones del sis-tema de referencia local, as! como la si-tuación real del sistema de referenciageográfico en el que deberemos obtener losresultados finales.

2. Teoría de instrumentos.

Comencemos con el anteojo de pasos; éstees un instrumento destinado a la determina-

ción del instante en que una estrella pasapor un plano vertical dado. es pues, nece-sario que el movimiento del tubo del ante-ojo tenga lugar únicamente en este planov:rtical. En cualquier posición del anteojosol~,se consideran dos ejes; el eje de ro-t ac í on que pasa por los puntos centralesde los pivotes sobre los que descansa yque puede considerarse como un diámetrode la esfera celeste local; y el eje decolimación que es perpendicular al anteriory pasa por el centro óptico de la lentedel objetivo; el ángulo que el rayo de luz,Unea marcada por un hilo del reticulo yel centro del objetivo, forma con este ejees la colimación.

En estas circunstancias, sea K el puntode intersección de la esfera celeste conla semirecta que contiene al eje de rota-ción hacia el oeste. Sean 270'-a y b lascoordenadas horizontales de K y 90'-m yn sus correspondientes coordenadas ecuato-riales horarias; en un lugar de latitud• se verifican las relaciones fundamentales

sen n sen b sen • cos b co s e sen a

cos n sen m ~ sen b cos • + cos b sen e sen a

Si se observa una estrella de coordenadasec:aatoriales ascensión recta el y declina-cion 6 t Y si llamamos y = - H siendo Hel ángulo horario correspondient~t y ~ a lacolimación, se obtiene

.sen (y-m) = tag n tag 4 + sen c sec n ~ec 6

Estas fórmulas nos permiten estudiar lascondiciones óptimas de trabajo en el senti-do de disminuir al máximo algunos erroresde la observación. resultando que para de-terminar t o a interesa Que el anteojo estéen :1 meridiano y para determinar • o 6 queeste en el primer vertical.

Instalado el ·anteojo en el meridiano lascoordenadas horizontales de K deberían serexactamente (270,0). evidentemente, esto es

imposible de lograr debido a las dificulta-des reales de puesta en estación, Quedandosiempre unas peQue~as 'desviaciones que lla-maremos constante acimutal, a, y constantede nivel, b ; además, sigue existiendo laconstante de colimación, c. Tanto a, b y ecomo mi n Y ~ pueden considerarse infinité-simas de primer orden, por lo Que en apro-ximación lineal las fórmulas fundamentalespueden escribirse

n b sen • - a cos ti

b cos • + asen "m + n tag 6 + e sec 6.

m

La última es la fórmula de Bessel quesirve para calcular la corrección que debeser añadida al tiempo sidéreo T observadode paso de una estrella por el hilo centralpara obtener el tiempo sidéreo del tránsitode la estrella por el meridiano. Entoncesla ascensión recta o. de la estrella vendrádada por Q = T + 6T + T, siendo 6T el esta-do del reloj. Obsérvese que si a es conoci-da puede determinarse el estado del reloj(que puede aplicarse a la determinación dela lOngi tud). Es indispensable que la as-censión recta esté corregida de aberracióndiurna.

A partir de la fórmula de Bessel puedeobtenerse la llamada fórm~ta de Ha~se":

t = b sec • + n(tag6-tagt) + c sec 6,

muy conveniente para reducir observacionescerca del cénit o cuando hay que reducirmuchas estrellas con los mismos valores delas constantes.

Otra variante de estas fórmulas, la másantigua. es la llamada fórmuta de Mayer:

sen{t-6) COS{t-6) CT = a ~ + ---,

COS6 c o s s COS6

que presenta ventajas cuando la constantea se da directamente o cuando se pretendeestudiar. Estas fórmulas están dadas parala culminación superior. su adaptación a laculminación inferior es inmediata.

Para la aplicación práctica de estasfórmulas debe procederse, en general, a ladeterminación previa de las constantes.Sabido es que la colimación se elimina sise observa en posición directa e invertidadel instrumento; también puede determinarseobservando una estrella a su paso por doshilos distintos del r e t í c u l o y en ambasposiciones; sin embargo. el p r-oc ed í m í ent omás indicado es determinar e directamentecon ayuda de anteojos colimadores. La cons-tante acimutal a se puede 'determinar obser-vando el tránsito de dos estrellas, apli-cando a ambas la fórmula de Mayer. restandolos resu t tados asi obtenidos y despejandoa; se lograrían determinaciones óptimastomando una estrella cerca del polo y otrapróxima al ecuador. con un intervalo lo máscorto posible. En función de a se obtienen. Para la determinación de la inclina-

ción b del eje horizontal debe usarse elnivel 'caballero o el bailo de mercurio enobservatorios.

Si el anteojo se sitúa en el primer ver-tical, las coordenadas horizontales de Kserán (lBO,O), entonces a = 90· Y m ~ 90·Y las ecuaciones fundamentales se escri-ben

cos{b.t) = f cos F,

sen{m-T) sen{b.t)senm

f sen f,

=-F + ~t

útiles cuando se trata de obtener declina-ciones, y

sen s g sen G,

sen(m-t) COS6 = g cos G,senm

t = -G - b - ~ ,g

si se trata de latitudes.El teodotieo. como se sabe, dispone de

circulos horizontal y vertical que permitenmedir aClmutes y alturas. por consiguiente,deberemos establecer en cada caso las co-rrespondientes fórmulas fundamentales. Elajuste del instrumento consistirá en: a)hacer que el eje principal del anteojo seaperpendicular al eje horizontal, b) hacerque los ejes de rotación, horizontal y ver-tical sean perpendiculares entre si, c} ha-cer que el eje principal y el rayo de luzmarcado por el hilo central del reticulocoincidan y d ) hacer que el eje verticaldel instrumento coincida con la verticalfisica de la estación, En estas condicionesel teodolito materializará el sistema dereferencia horizontal local.

El ajuste del instrumento no será per-fecto por lo que siempre quedarán pequei'losdefectos residuales que deberán eliminarse,bien por el procedimiento seguido en laobservación, bien con la ecuación generaldel instrumento. Consideremos entonces lassiguientes desviaciones; inclinación deleje horizontal respecto al horizonte dellugar que designaremos por b y que serápositiva cuando el extremo del eje al ladodel circulo quede elevado sobre el horizon-te; colimación, c, positiva cuando el hiloestá en el lado opuesto del eje principalrespecto del círculo vertical; e inclina-ción del eje ve r t í ca l con respecto a lavertical f í s í ca del lugar que designaremospor í ,

En estas condiciones, para la medida deánguLos ho~izontats8 se obtiene la ecuació~

A % R + AA ! b cotg z í e cose z,

donde 6A es la corrección de indice que ha-brá que detenninar, R es la lectura del

circulo ho r-x aorrt aI con CO (circulo verti-cal a la de r-ecna ) que difiere 180' de lalectura el (circulo vertical a la izquier-da). Los signos superiores se emplean paraCl y los inferiores para CO.

Para la medida de dngutoB verticales seobtienen las ecuaciones en distancia ceni-tal:

z = Z - (V+L) + 4z (para Cl)

y

z z (V t + 11) - Z + A.Z I (para CO),

siendo V Y V' las lecturas del circulo ver-tical; L y t' la mitad de la suma algebrai-ea de las lecturas de los extremos de laburbuja del nivel del circulo vertical; laconstante Z representa el punto cenital delinstrumento; y AZ es la corrección por co-limac ión e t nc linac ión del eje horizontalque, si e y b están dados en segundo dearco, viene dado por

4% = (C;b) sen 1" cotg ~ z· -

c-b 1- (2) sen 1" tag 2 z ' ,

donde Zl es la distancia cenital observada.La detenninac ión de las constantes se

hace con la observación de estrellas cono-cidas o con anteojos colímadores y niveles.En las determinaciones muy precisas se ob-servan varias estrellas conocidas y seaplica el método de minimos cuadrados. Ob-sérvese que estas constantes, en realidadno son tales pues cambian con cada determi-nación.

3. Métodos de astronomia geodésica.Para determinar el acimut astronómico de

una dirección terrestre basta medir el án-gulo horizontal que dicha dirección formacon el plano vertical de una estrella y su-mar o restar este ángulo al o del acimutastronómico de la estrella. Si se conocela posición del observador (., A) Y lascoordenadas de la estrella (c.. 15) sólo hayque determinar en un instante conocido bienel ángulo horario H. o bien la distanciacenital z, de la estrella, a partir de loscuales se determina el acimut de la estre-lla por una de las fórmulas:

tag A senHsen.cosH-costtag6

cos A = sent5-cosz sen.senz cost

La precisión del acimut obtenido dependede muchos factores, fundamentalmente delinstrumento utilizado y del método seguidoen la observación; es por esto por lo queinteresará, además de conocer perfectamenteel instrumento, seleccionar un método detrabajO que elimine o minimice los errores

de observación. Así van apareciendo losdiferentes procedimientos de observación:de ángulos horarios (tiempos) de estrellascerca de las máximas digresiones, ánguloshorarios cerca de las culminaciones, o porcombinaciones de observaciones como alturasde estrellas simétricas respecto del meri-diano, alturas iguales de estrellas, e t c .y en cada uno habrá que indicar las fórmu-las que hay que aplicar con las correccio-nes oportunas.

Podemos concluir que en determinacionesde primer orden de acimutes dos son losmétodos recomendados: el método del ángulohorario de la estrella Polar para nuestraslatitudes, evidentemente el mejor 'S·~anteserá en las máximas digresiones, y et méto-do m1crométrico; se utilizará un instrumen-to de alta precisión tipo Wi ld T4, o KernOKM 3-A, o Zeiss 002, etc. Para determina-ciones de segundo orden, con teodolitosgeodésicos, pueden utilizarse métodos deángulo horario, de alturas de estrellas,o de alturas iguales. Existen, ademas,otros métodos que podríamos llamar de ter-cer orden entre los que se encuentran elmétodo de los ángulos horarios en el crucecon un almicantarat, el de variación de ladistancia cenital, etc.

Teóricamente la determinación de latitu-des está basada en la observación de estre-llas y resolución del correspondientetriángulo de posición. En principio, sise observan distancias cenitales, la la-titud se obtiene resolviendo en + la ecua-ción

cos z = sen 15sen t + cos 15cos t cos H.

y si lo que se miden son ángulos acimutalesse resolverá esta otra

tag A senHsentcosH - costtagt5

Ahora bien, al igual que para el acimut,habrá que seleccionar el método de trabajoque elimine o minimice los errores de ob-servación. Hecho esto, van apareciendo losmétodos fundamentales como son la observa-ción de distancias cenitales meridianascuyo principal inconveniente es la influen-cia Que sobre las distancias cenitales tie-ne la refracción atmosférica. Una variantede este método es el de distancias cen1 ta-les circunmeridianas en el que es precisoefectuar una reducción al meridiano de ladistancia cenital observada para lo quesuele utilizarse la conocida fórmula deDelambre. Otros métodos que se presentanventajosos son los de distancias cenitalesiguales de dos estrellas, el de acimutes dedos estrellas cerca de las máximas digre-siones, el método de Llttrow por distanciascenitales de la estrella Polar, etc.

En el proceso de aplicación de cualqUiermétodo deben distinguirse tres fases biendelimitadas: la preparación de listas pun-tero, la observación propiamente dicha y lareducción de las observaciones; en la pri-mera y tercera se recomienda el uso de

ordenadores.

Podemos concluir Que en determinacionesde primer orden de lati tudes los métodosrecomendados son: los de distancias cenita-les meridianas, directo o de Sterneck o lavariante de Horrebow-Talcott y el método dePevtsov de distancias cenitales iguales dedos estrellas; en ellos se utilizan teodo-litos astronómicos. Para determinaciones desegundo orden. usando teodoli tos geodési-cos. pueden emplearse métodos de distanciascenitales meridianas y circunmeridianas,método de Littrow, de alturas iguales o deángulos horizontales. Otros métodos menosprecisos o de tercer orden son los de dis-tancia c en í tales cualesquiera, distanciasceni Eates iguales de una misma estrella,ángulos horarios en el primer vertical,etc.

La determinación de lon.git.udes astronó-micas está basada en la relación

A = e - eG

donde e es el tiempo sidéreo aparente lo-cal. que se determina por observación. y9G es el tiempo sidéreo aparente en Green-wich. que se obtiene por sincronización delreloj patrón. Si se utiliza un reloj detiempo medio el problema se resuelve por uncambio de escala, debiendo emplearse unUTl, es decir libre del movimiento del po-lo.

Como e = o + H. siendo Q la ascensiónrecta de la estrella y H su ángulo horariocorrespondiente. si A, es un valor aproxi-mado de la longitud. la ecuación fundamen-tal se escribe

donde A"P es la corrección por movimientodel polo, Ts es el tiempo sidéreo local ob-servado o c a l cu Lado con el A, provisionaly con el UTl y Ts es el estado del reloj.Obsérvese que si A se conociese exactamentepOdría determinarse 6TSt es decir el tiempolocal.

En la práctica el problema de la deter-minación del tiempo será el de la determi-nac ión del ángulo horario t como indica lafórmula. de estrellas de coordenadas cono-e idas. Si se observan distancias ceni talesen un instante Ts t el ángulo horario co-rrespondiente viene dado por

cos H : cosz-sentsen6costcos6

si se observa en el meridiano. entoncesH = Oh o 12h, y e = a O a ! l2h.

También en determinaciones de longitudesinteresará observar estrellas en las posi-ciones más favorables, entre éstas convienedestacar: distancias cenitales de estrellascerca del primer vertical, pasos de estre-llas por el plano vertical de la Polar,distancias cenitales iguales. y en especialla observación de pasos meridianos de es-

trellas donde el tiempo determinado obedecea las fónnu,as de la teorla del anteojomeridiano. En cada método habrá que teneren cuenta las correcciones que deban apl1-carsee

Podemos concluir que en determinacionesde primer orden de longi tudes I ante tododebe utilizarse un anteojo de pasos o unteodolito astronómico provisto de micróme-tro impersonal y un equipo de tiempo deprecisión; en estas condiciones los métodosrecomendados son: el método de Mayer (pasosmeridianos), el método de Doellen (pasospor el vertical de la Polar) y el método deTsinger (distancias ceni tales iguales);todos ellos aplicados con la máxima preci-sióne Para determinaciones de segundo ordencon teodolitos geodéslcos pueden utilizarsemétodos de distancias cenitales próximas alprimer vertical. de pasos meridianos, dealturas iguales, de ángulos horizontales,etc e y estos mismos con menor precisiónvalen para determinaciones expeditas.

Además de los métodos de determinacionesindividuales de coordenadas astron6micas yac í mut.es , existen otros que determinansimultáneamente dos o las tres coordenadas.Algunos de estos métodos se emplean en se-gundo orden pero otros, como veremos t seemplean en determinaciones de observatoriocon instrumentos especiales.

Un método para la determinación simul-tánea de latitud y acimut fue propuesto porGhosh en 1953 y está basado en la observa-ción de una simple estrella cuyas coordena-das no necesitan ser conocidas; se midenal turas y ángulos horizontales desde unareferencia en tres posiciones distintas dela estrella separadas por lo menos unahora. es necesario corregir por refracción;si se observan varias estrellas puede apli-carse un ajuste por mínimos cuadrados. Laobservación de ángulos horizontales da lu-gar también a un método de determinaciónsimultánea de longitud, latitud y acimut.

El método más interesante de determina-ción simultánea de latitud y longitud con-siste en la medida de distancias cenltalesy utilizar la relación

cos z ,., sene sens + cose coeé cos (eG - A - a),

este método se simplifica y es del mayorinterés cuando todas las estrellas se ob-servan en una misma distancia cenital encuyo caso recibe el nombre de método dealturas iguales, Que en su resolución grá-fica se conoce como método de rectas dealturas.

En el método de alturas iguales uno delos principales problemas que se presentaes el de la confección de la lista punterode las estrellas para observar a su pasopor un almicantarat prefijado; la utiliza-ción de ordenadores y catálogos de estre-llas lo resuelven perfectamente. En contra-partida la ejecución d.e la observación esmuy fác il, pues basta determinar el ins-tante en que la estrella cruza el hilohorizontal del instrumento o tiene lugar

la coincidencia de imágenes en el astrola-bio supuesto instalado con la distanciacenital prefijada. Las ecuaciones de obser-vación se plantean de la forma

óZ + a6' + bAA + C = O.

siendo

a cos A,.

b cos e, sen A,.

e COSt, sen A, [8.-(a+H,) l.

donde los subíndices indican valores apro-ximados calculados con los provisionalesz , t" A._ Resuelto el sistema de ecuacio-nes t las coordenadas buscadas se obtienenpor

t=',+6', A=A,+óA.

El instrumento especialmente indicado paraefectuar la observación en este método esel astrolabio de prisma y la máxima preci-sión se logra con el astrolabio impersonalDanjon.

Un método recientemente desarrollado pa-ra la determinación simul tánea de latitudy longitud es el método de fotografías ce-ni tales de estrellas. En él una cámara fo-tográfica en posición cenital toma fotogra-fias del cielo en la misma placa y en cua-tro posiciones simétricas. La reducción dela placa por las técnicas de la astrometriaclásica nos permite obtener la direcciónespacial del pu~~o ~rincipal imagen quedebidamente t ran s f o r-mad., r.o s da la lati tudy longitud del punto estación.

4. Variaciones de los sistemas de referen-cia.Hemos visto que en el proceso de la

astronomía geodéslca para determinar coor-denadas geográficas astronómicas (direcciónde la vertical) y acimutes astronómicos dereferencias situadas en la superficie te-rrestre. tres sistemas de referencia jueganun papel primordial: un sistema celeste decoordenadas (supuesto inercial) en el quese conocen las coordenadas de las estrellasobservadas (sistema de catálogo); un siste-ma de referencia terrestre en el que se de-sean obtener las coorden~das del punto es-tación (. ,A) Y que ha de ser el mismo paratodos los puntos de la Tierra y un sistemade r efer enc i a loca! en el que se realizanlas observaciones (definido por el instru-mento en estación) distinto para cada pun-to. El primero tiene como eje fundamen talla dirección espacial del eje de la Tierra,el segundo la dirección de dicho eje peroen la propia Tierra y el tercero la direc-ción de la vertical fisica en cada punto.

La determinación de coordenadas geográ-ficas astronómicas y de acimutes astronó-micos por los métodos de la astronomia geo-désica está basada en la observación deestrellas en un sistema de referencia localinstantáneo. el sistema horizontal, y en larelación de dicho sistema con el de coorde-

nadas geográficas; sistema terrestre. Elsistema horizontal depende fuertemente dela dirección de la vertical y el sistematerrestre de la dirección í ns tan t áne a deleje de la Tierra (de momento el eje de ro-tación). la relación entre ambos se tienea través del meridiano astronómico. Enton-ces, es evidente que las variaciones rela-tivas que sufran estas direcciones van arepercutir en los sistemas de r-e re r-eric i aconsiderados Y. por lo tanto. se van aproducir variaciones en las coordenadas quese determinen; sin embargo, está claro quecuando dichas variaciones afecten por iguala todos los puntos de la Tierra, los siste-mas de referencia y sus correspondientescoordenadas no se verán afectados porellas; este es el caso de las variacionesen el espacio del eje de la Tierra (fenó-menos de precesión y nutac í ón ) que nos re-lacionan los sistemas de referencia celeste(inercial) y terrestre instantáneo.

En cuanto a la relación del sistema ce-leste con el sistema horizontal. es claroque, como el eje de rotación de la Tierraqueda invariable respecto a las estrellas,el cenit local, debido a la rotación te-rrestre. se desplaza en la esfera celeste;entonces puesto que polo (una paralela aleje de rotación) y cenit (vertical) definenel meridiano celeste. éste también es móvilsobre la esfera celeste (movimiento diur-no); pero puesto que la vertical física su-fre por su parte diversas variaciones, elmovimiento del meridiano en la esfera ce-leste (manteniéndose paralelo al eje ins-tantáneo de rotación) acusará estas varia-ciones p.:,.ot.e meridiano celeste resul tantees una -r-e re r-eric í a primaria estelar de laastronomía geodésica. Además, la intersec-ción del plano meridiano real con la super-ficie de la Tierra, que define la meridia-na, otra referencia primaria de la astro-nomia geodésica, tampoco se mantiene esta-cionaria sobre la superficie de la Tierra.En definitiva el plano meridiano sufriráuna rotación alrededor de la 11nea queconecta el punto estación con el polo y lameridiana oscilará sobre la Tierra.

El ángulo que forman sobre el meridianola dirección vertical y la del eje de ro-tación es el complemento de la latitud, porconsiguiente, la variación relativa decualquiera de dichas direcciones provocauna variación de la latitud astronómica.El ángulo que forman dos meridianos (elmeridiano origen y el local) es la longi-tud. por lo que la variación relativa decualquiera de dichos planos provoca unavariación de la longitud astronómica; ycomo el meridiano queda definido por lasdirecciones de la vertical y del eje derotación, cualquier variación relativa deestas direcciones será causa de variaciónde la longitud astronómica.

El ac imut astronómico de una di recc 1ónterrestre queda definido por el meridiano(plano vertical del polo) y el plano verti-cal del punto observado, por consiguiente.toda variación de la vert1cal del punto deobservación. del eje de rotación de la

Tierra o de la posición del punto observadorespecto del pWl.to de observación repercu-tirá en el acimut determinado.

Las principales causas que hacen quevade la vertical f1sica respecto del ejede la Tierra son: (a) acción gravitatoriade marea 1un1501ar, (b) movimiento de laTierra en su conjunto respecto de su ejede rotación (movimiento del polo). y soncausas menores: (e) movimientos de placastectónicas, (d) movimientos locales: si s-micos, meteorológicos ... etc.

Las componentes este-oeste de estasfuerzas son las Que tienen efecto en elmovimiento (rotación) del meridiano local.En el caso a) se produce una variación dela vertical respecto a la Tierra misma, enel caso b) la vertical no varia con respec-to a la Tierra s1no con respecto a la esfe-ra celeste y como la dirección local delpolo no varía respecto de las estrellas,la meridiana ha de variar necesariamenterespecto de la superficie de la Tierra.

Las componentes norte-sur provocan lasvariaciones de la latitud astronómica, com-plemento del ángulo entre la vertical y eleje de rotaci9n. Las componentes este-oesteson las responsables de las variaciones dela longi tud astronómica (y de los ánguloshorarios), ángulos entre meridianos, asícomo de las variaciones de los acimutes as-tronómicos, al variar la meridiana sobrela superficie terrestre.

Las variaciones por marea que alteranlas posiciones del cenit sobre la esferaceleste son efectos puramente geométricosque no producen cambios visibles, mlentrasque las variaciones por movimiento del polosí son visibles puesto que se producen porun desplazamiento real del observador en elespacio.

Volviendo a la situación general, ladistancia cenltal de un cuerpo celeste ob-servada desde la superficie de la Tierra,por ejemplo, en su culminación superiorestá afectada por la nu t ac i ón y el movi-miento del polo, pero estos efectos son engeneral separables. La nutación afecta laposición del polo celeste respecto a lasestrellas, mientras que el movimiento delpolo afecta a la dirección del polo celestecon respecto a una dirección de referencialocal, es decir, la nu t ac í ón cambia lascoordenadas celestes (Q, 6) observadas y elmovimiento del polo cambia las coordenadasastronómicas (t,A) de los observatorios.

Todos estos efectos son cuantitativamen_te significativos si se efectúan observa-ciones astronómicas precisas y, en conse-cuencia, deben ser detenidamente estudiadosy tenidos en cuenta a la hora de presentarlos resultados finales. También es ciertoque en la observación real todo se obtienemezclado e incluso con lnevitables erroresde observación de todo tipo y con los posi-bles errores en las posiciones aparentesde 1as estre 11as obse rvadas. S in embargo,gran parte de ellos son conocidos de ante-mano y pueden eliminarse por cálculo, otroslo son a posteriori y también pueden tener-

se en cuenta, aunque otros, los más peque-ños , todavía no son conocidos con la pre-

·cisión que ~':! necesita o son enteramentedesconocidos.

5. Variaciones por efecto de marea.

El potencial grav1 fico terrestre es lasuma de tres potenciales: el potencial gra-vitatorio de todas las masas interiores delplaneta, el potencial creado por la fuerzacentrífuga debida al movimiento de rotacióny el potencial gravitatorio creado por lasmasas exteriores que originará el potencialde marea.

El vector gravedad en cada punto podemosconsiderarlo como el gradiente del poten-cial gravífico; este vector estará dirigidohacia el centro de masas de la Tierra, sulongitud representa la intensidad de lagravedad en el punto considerado y su di-rección define la dirección de la verticaldel lugar.

Ahora bien, este vector gravedad no esconstante ni en magnitud ni en dirección,dado que las fuerzas atractivas que creanel potencial de marea dependen principal-mente de las posiciones del Sol y de la Lu-na y éstas varían a lo largo del tiempo,siendo éste el fenómeno que da lugar a laperiodicidad de las mareas.

Si suponemos la Tierra perfectamente rí-gida, podrían esperarse desviaciones de lavertical del orden de 0.04 segundo de arcoy unas variaciones de la intensidad de lagravedad de 0.2 miligales, valores teóricosproporcionados por la mecánica celeste. Enrealidad la Tlerra no puede suponerse rígi-da, sino que se admite la existencia de unacierta elasticidad y de una cierta viscosi-dad e incluso de un núcleo líquido, en es-tas circunstancias la tierra se deformarábajo la influencia del potencial lunisolar,cambiarán por tanto los valores de la des-viación de la vertical e intensidad de laRravedad obtenidos en la hipótesis inicialy no sólo esto, sino que, además, el fenó-meno dará lugar a tensiones y dilatacionescúbicas que no existirían Si la Tierra fue-ra absolutamente rígida.

La teoria estática de mareas en la hipó-tesis de tierra rigida nos permite obtenerlas siguientes expresiones que escribimospara el caso de. la Luna, pues para el Solserían análogas.

Componente este-oeste de la desviación dela vertical

hEW = G ;~; sen 2z sen A

_ G 3Lr (sen~ sen26 senH +2d'

• cos~ costa sen2H),

donde G es la constante de gravitación, Les la masa de la Luna, r es el radio vectorgeocéntrico del punto estación y • su lati-tud geocéntrica, d es la distancia entre

los centros de la tierra y la Luna, A y zson el acimut y distancia cenital de laLuna y H Y 6 su ángulo horario y declina-ción, respectivamente.

Si consideramos este desplaz~iento comoun arco de paralelo de declinación que pasapor el c en í t. entonces el desplazamientohacia el oeste del meridiano c e Le s te en án-gulo horario (longitud) es

6H = hE'" sen.

Esto aumenta el ángulo horario de la estre-lla y produce un anticipo en el tiempo detránsito. La variación este-oeste provocadapor la Luna con un coeficiente numérico es0.0173"sen2zsenA y para el Sol 0.0082"sen2zssenAs·

Componente norte-sur de la desviación dela vertical

~ = G 3Lr sen2z cosA2d'

-G 3Lr [~ sen2t (1-3sen'6)-eos2tcos'6cosH2d'

+ ~ sen2. cos'6cos2H1 •

Para la Luna y el Sol alcanza valores delmismo orden que la componente hEW. La va-riación hNS es precisamente la variación dela latitud debida al fenómeno de marea.

Estos valores teóricos en la hipótesisde Tierra rígida no responden ciertamentea la realidad aunque se aproximan; las me-didas experimentales indican que dichas va-riaciones deben multiplicarse por un factorde reducción del orden de 0.7. También hayque indicar que incluso los valores realesque se obtienen por registros de marea te-rrestre y Que son los que realmente debe-rían utilizarse, no son enteramente debidosa las causas antes indicadas, pues se en-cuentran perturbados por otros fenómenosindirectos como son los efectos de la mareaoc eán.í c a , los movimientos s í smí cos , y estovariando de un lugar a otro.

Los acimutes y distancias cenltales, co-mo consecuencia de las variaciones del me-ridiano y de 1 ceni t, también se encuentranafectados por estos fenómenos. Digamos porúl timo que las variaciones en las coorde-nadas hoy día son detectadas por el análi-sis de series de datos obtenidos en obser-vatorios.

6. Variaciones por movimiento del polo.Hemos visto Que tanto las coordenadas

astronómicas de una estación como el acimutde una dirección obtenidos por observaciónestán referidos a un sistema de referenciaterrestre instantáneo variable con el tiem-po. Sin embargo, nuestro interés está enobtener dichas coordenadas en un sistemade referencia terrestre que de alguna mane-ra pueda considerarse fijo y por ello elmismo para todos los puntos de la superfi-cie terrestre. Debemos por tanto efectuar

una transformación de sistema de referen-cia, que evidentemente es tan pequei\a Quepueden utilizarse fórmulas lineales.

Los parámetros de la transformación vana ser las coordenadas (xD'YD) del polo ins-tantáneo respecto del polo ~edio en un pla-no tangente a la esfera precisamente endicho polo. En definitiva para obtener lascoordenadas geográficas corregidas, lascoordenadas obtenidas por observación debe-rán corregirse con las siguientes expresio-nes para latitud, longitud y acimut respec-tivamente

ót -XpCOSA + ypsenA,

6A :: - (xpsen/. + YpcosA)tagt,

6A - (xpsenA + ypCOSA )sec •.

7. Sistema de referencia geodésico.Una vez efectuadas las correcciones an-

teriormente mencionadas, nuestras coordena-das geográficas astronómicas nos resul tanen un sistema de referencia terrestre, elmismo para todo punto de la superficie dela Tierra y que puede suponerse indepen-diente del tiempo. Sin embargo, aún debemosprecisar exactamente cuál es este sistemade referencia.

De manera inmediata podemos decir queéste es el sistema cuyo eje polar es aquelrespec to al que conocemos las coordenadasdel polo instantáneo de observación, porconsiguiente es un sistema de referenciaconvencional, precisamente el utilizadopara monitorizar el movimiento del polo,sobre esto volveremos más tarde.

Pero también hay que especificar cuáles el polo instantáneo a que nos referimos.pues, evidentemente, en principio son va-rias las posibi lidades dada la diversidadde ejes que intervienen en el estudio teó-rico de la rotación de la Ti e rr-&· supuestadeformable (eje de rotación, de momentoangular, de figura, etc.). No obstante,debemos pensar Que dicho eje ha de cumplirdos condiciones fundamentales; una de tipofisico: ha de ser el polo al que realmentese refieran las observaciones, y al mismotiempo otra de tipo teórico: ha de ser elpolo que esté relacionado con el sistemaceleste por la precesión y nutación adopta-das.

Los métodos de observación de alta pre-cisión mencionados anteriormente, y en par-ticular la determinación de latitudes, nosindican Que se opera con posiciones de es-trellas en sus culminaciones supe rí o r- einferior intervaladas con periodos de 12horas. De esta forma, el eje al Que real-mente nos referimos no deberá tener movi-mientos periódicos casi diurnos pues Si lostuviera (caso del eje de rotación) éstos noserían detectados por la observación. Enconsecuencia, el polo de observación es elcorrespondiente a un eje que no tenga mo-vimientos casi diurnos ni respecto a unsistema de referencia fijo eR la Tierra

(al que refer1remoa las coordenadas delpolo) ni respecto a un s1stema de referen-cia fijo en el espacio; esto último se con-sigue con una apropiada elección de lasseries de nutación. Este. polo es el llamadoPolo Celeste de Efemér1des (PCE) que c1er-tamente no coincide con el tradicional ejede rotación. sino que será el centro de lastrayectorias diurnas casi circulares delas estrellas en el cielo.

Hasta 1979 la Unión Astronómica Interna-cional (UAl) ha venido considerando comoeje de referencia celeste el eje de rota-ción de la Tierra; ahora bien este eje,además de sufrir movimientos diarios de60 cm de amplitud, sufre también movimien-tos con respecto al sistema inercial. En1976, en Camberra, y en 1977, en Klev, seintrodujo por la UAl una nueva definiciónligada al eje momento angular Que no pre-senta variaciones diurnas en el espacio;tampoco fue oportuna esta elección y en1979 en Montreal, se decidió tomar el poloceleste de efemérides que se obtiene aleliminar las variaciones diurnas con res-pecto a la Tierra del movimiento del ejemomento angular. Entonces este polo quedadeterminado por la astronomía de posicióny está perfectamente relacionado con elsistema inercial por medio de la precesióny nutación UAI-l980. En Astronomia comenzóa utilizarse el 1 de Enero de 1984.

Así pues, las coordenadas de las estre-llas se toman de un catálogo (FK5) que de-finirá un sistema estelar inercial; latransformación a posiciones aparentes conla precesión (UAI-l976) y nu t ac í ón (UAI-1980) nos lleva al sistema de observacióncuyo polo es el celeste de efemérides; eneste sistema obtendremos las coordenadasgeográficas astronómicas observadas que unavez corregidas por movimiento del PCE res-pecto al polo convencional obtenemos lascoordenadas astronómicas del punto de ob-servación en el. sistema de referencia te-rrest~e que llamaremos sistema geodésicode refer1')l'1a.

Ahora debemos expl í car , por una parteCÓmo se define, determina y mantiene elSIstema de referencia terrestre convencio-nal. y por otra cómo sr- determinan lascoordenadas del polo celeste de efeméridesrespecto al polo convencional anterior.

La definición de un eje para el sistemageoo é s i co de referencia no es fácil. Elpolo celeste de efemérides se mueve respec-to a la ~lerra, por lo que no nos sirve (siesto no sucediera los problemas se simpli-ficarian enormemente). Como hemos dichorepetidamente de lo que se trata es debuscar un polo terrestre que "no ~e mueva"al cual referir el movimiento del polo dee f emé ri de s . En los últimos años el movi-m i en t o del polo de rotación se refería alpolo OCI (Origen Convencional Internacio-nal) definldo por las posiciones medias deClertos observatorios situados mis o menosen el paralela geográfico de 39° de latitudnorte. Este polo, con una preCisión delorden del metro, no satisface hoy dia las

necesidades de la geodesia que requiereprecisiones del orden del centimetro.

También en la solución de este problemaha sido decisiva la intervención de laUnión Astronómica Internacional y de laUnión Internacional de Geodes1a y. Geofls1-ea. Para ello se han creado las comisionesCOTES (Comm1s1on Terrestrial System) y elgrupo MERIT (Monitory Earth Rotation byIntercomparison of Techniques). En resumi-das cuentas se deben buscar unos ejes geo-gráficos convencionales fijados por losobservatorios que colaboren en los proyec-tos antes mencionados. El eje polar z esta-rá próximo al OCI y al m1smo tiempo ha deser susceptible de relacionar la teoria(ejes de Tlsserand) con la observación; eleje x, origen de longitudes, estari próxim6al meridiano de Creenwlch para no tener quecambiar todas las coordenadas geográficasexistentes. Para determinar este sistemageodésico se necesitan muchos observatoriosdistribuidos sobre la superficie de la Tie-rra y equipados con las más modernas téc-nicas de observación para alcanzar las pre-cisiones requeridas. Los datos obtenidos erestos observatorios deben ser estadística-mente ajustados tratando de obtener lasposiciones óptimas de los ejes que hay quemantener a lo largo del tiempo. La defini-ción de poliedros óptimos de puntos deobservación y la técnica de constreñimien-tos internos juegan un papel decisivo enlos cálculos correspondientes.

Terminemos dando algunas indicacionessobre los métodos modernos para la deter-minación del movimiento del polo.

Los primeros resul tados de observac iónque pusieron de manifiesto el movimientodel polo fueron los obtenidos por Chandleren 1891; entonces se comprobó que el movi-miento observado tenia dos componentesprincipales: una revolución del polo ver-dadero respec to al polo de figura de 1.2años en sentido directo, conocida como pe-riodo Chandleriano, que difería del movi-miento teórico de 305 días predicho porEuler en 1765 para una Tierra r í g i da , ysuperpuesto a éste otro de periodo anual.

Newcomb explicó que el alargamiento delperíOdO Chandleriano era debido a la elas-ticidad de la Tierra y el término anual seachaca a la redistribución de masas terres-tres en procesos geofísicos y metereológi-cos, por lo que cabe deducir la imposibili-dad real de monitorizar teóricamente elmovimiento del polo que s610 podrá deter-minarse por observaci6n.

En 1899 se crea el ILS (Internat;onalLatitude Service) que con métodos astronó-micos desde estaciones localizadas en elparalelO de latitud 390 08' N consigue mo-nitorizar el movimiento del polo verdaderorespecto al polo OCI definido como la po-sici6n medla del polo terrestre entre 1900y 1905. En 1962 se fundó el IPMS (rnterna-tional Pole Motion Service) que continúapublicando valores de las coordenadas delpolo con datos obtenidos por los telesco-

pios ceni tales visuales del ILS junto condatos de tubos fotográficos ceni tales, as-trolabios impersonales y circulos meridia-nos en aproximadamente 75 estaciones, re-duciendo los datos con las fórmulas de lasección 6. Por otra parte, en 1955 en elBIH (Bureau International de L'h·eure) seestableció el RLS (Rapid Lati tu de Service)y en 1968 el BIH ajusta las posiciones delos observatorios para que el polo definidopor el 6IH coincida con el OCI; el ajustede observaciones se efectúa por el métodode Whitaker-Vondrak. Hasta 1972 sólo seutilizan observaciones astronómlcas y esentonces cuando el BIH comienza a incluirobservaciones Doppler a satélites, pero noasí el IPIIIS.

Se ve entonces que las precisiones delos métodos astronómicos casi habían llega-do a su límite debido a incertidumbres en:corrección de refracción atmosférica, po-siciones y movimientos propios de las es-trellas observadas, número limitado y maladistribución de observatorios, errores 1ns-trumentales~ etc. También entonces es cuan-do se desarrollan los potentes métodos dela era espacial que mejoran las precisionespor lo menos en un orden de magnitud, pues,en la actualidad, mientras las precisionesde los métodos clásicos son de :t 40 cm.(0.01"), el seguimiento Doppler de satéli-tes da t 15 cm, la distanciometria láser asatélites t 10 cm y la VLBI t4 cm (0.001").

En la determinación del movimiento delpolo por 3eguirniento Do pp t er de s a t é Lr t e sartificiales, los satélites (serie Transit)en órbitas polares casi circulares a alti-tudes de unos 1.000 Km., emiten continua-mente radiose~ales en frecuencias de ~.%8MHz y 149.988 MHz generadas por el mismopatrón. La observacion- Doppler obtiene da-tos que permiten establecer sistemas deecuaciones de observación bidlarias paracada satélite, en las cuales las incógnitasfundamentales son: además de las coordena-das xp,Yp del polo, seis parámetros orbita-les, un factor de escala de arrastre, unafrecuencia y un factor de escala troposfé-rico para cada paso de satélite y las coor-denadas de la estaci6n (si son desconoci-das); los parámetros del campo de gravedadterrestre y las posiciones de las e·stacio-nes de la red base se consideran fi jos ylas incógni tas se obtienen por un procesode mínimos cuadrados. En este método laprincipal fuente de error la constituyenlas perturbaciones en el movimiento delsatélite. Las primeras experiencias Dopplerpara determinar el movimiento del polo sedesarrollaron en el Naval Weapons Laborato-ry de los Estados Unidos en 1967 aunque só-lo a partir de 1972 se obtuvieron datos delpolo de cierta calidad para el DPMS(Dop-pler Pole Motion Service).

En el método de d i e t ane iome t r i a l de er asatélites (SLR) los satélites van provistosde retroreflectores que permiten obtenerdistancias estaci6n-satélite por técnicasláser. Operando desde una sola estación secomparan las observaciones hechas en perio-

dos de 6 a 12 horas con una 6rbita, previa-mente calculada, de referencia muy precisa;se suelen analizar las variaciones de lainclinación de la órbita que están relacio-nadas con cambios en la latitud de la esta-ción; de esta forma sólo puede monitorizar-se una componente del movimiento del polo;la situación más ventajosa se da cuando laestación está situada cerca del apex (norteo sur) de la órbita pues entonces el saté-li te en la observación se estará moviendoen una trayectoria este-oeste al norte (uoeste-este al sur) de la estación. El prin-cipal problema es la estabilidad de la ór-bita de referencia.

Las primeras experiencias láser paradetenninar el movimiento del polo fueronefectuadas por el Goddard Space Flight Cen-ter de la NASAen 1970 utilizando el saté-11te Beacon Explorer C. Si se dispone deuna red de estaciones, cuyas coordenadassean conocidas, entonces pueden determinar-se las componentes xp ,yp del polo y no senecesita tanta precisión en el conocimientode la órbi ta de referencia. Los primerosresul tactos de una red láser fueron presen-tados en 1976 obtenidos con el satéliteLAGEOSque fue especialmente d í se ñado conuna órbita de 6.000 Kmde altitud, un radiode 30 cm y un peso de 400 Kg, esto reducelos efectos perturbadores de la presión deradiación solar, freno mecánico de la at-mósfera, etc. Otros satélites para láserson el GEOSCy el francés Starlet.

En las aplicaciones de la interfe~ometr{ade muy Larga base (VLBI) al estudio del mo-vimiento del polo los observables retrasoy variación del retraso están relacionadoscon las coordenadas del polo por medio delmodelo matemático establec ido; si tuae ionesespeciales de las bases que conectan lasestaciones de observación, de acuerdo conla sensibilidad de la VLBI a las variacio-nes de la orientación de la Tierra en elespacio, dan los mejores resultados en lascoordenadas del polo. El experimento máscaracterístico de esta técnica es el lleva-do a cabo por el JPL (Jet Propulsion Labo-ratory, California) durante los últimosquince años; en él se han desarrollado sis-temas VLBI para medir movimientos del polo,movimientos de la corteza y posiciones paraun catálogo de radiofuentes extragalácti-cas. Las estaciones de observación son lasde la DSN· (Deep Space Network) de la NASAen California, España y Australia. Los pri-meros experimentos se hicieron en banda S(2,3 GHz), en 1977 se introdujo tambiénbanda X (8.4 GHz) y desde en tonces se ob-tienen coordenadas del polo en forma rc:ti-naria. En los sistemas de ajuste de obser-vaciones por mínimos cuadrados entran untotal de 744 parámetros incógnita clasifi-cados en dos categorías: parámetros especi-ficas de la estación y parámetros univer-sales. Al primer grupo pertenecen cantida-des tales como las que describen los equi-pos de tiempo de las estaciones, retrasostroposféricos y posiciones de estaciones yal segundo pertenecen el UT1. movimiento

del polo, poaiciones de radiotusntea Jconstantea de precisión.

Deade 1980 t ••••bién producen coordenadaadel polo por VLBI el NCS (National GeodeticsurveJ) de los Estados Unidos usando datos·con Ilark III de 1•••• e••.••pal\a.s KERIT y algu-nos grupo. europeos coeo el de ls Un1ver-

aidad de Bonn (Aletaania Occidental) conel que vienen colaborando organizacionese.patlol.... co.o al INTA, el IGII J el lAG.En defini tiva d~remos que la técnica VLBIes la que proporciona _yor preciai6n porlo que se espera que en el futuro sea fun-damental en el proble_ de Ilonl torizar elmovimiento del polo.

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PUBLICACIONES DEL INSTITUTO DE ASTRONOMIA y GEODESIADE LA UNIVERSIDAD COMPLUTENSE - MADRID

(Antes Seminario de Astronomía y Geodesia)

1.~Efemérides de 63 Asteroides para la oposición de 1950 (1949).2.-E. PAJARES:Sobre el cálculo gráfico de valores medios (1949).3.-J. PENSADO:Orbita del sistema visual d' U Maj (1950).4.-Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1951 (1950).5.-J. M. TORROJA:Corrección de la órbita del Asteroide 1395 "Aribeda" (1950).6.-R. CARRASCOy J. M. TORROJA:Rectificación de la órbita del Asteroide 1371 "Resi"

(1971).7.-J. M. TORROJAy R. CARRASCO:Rectificación de la órbita del Asteroide 1560 (1942 X'B)

y efemérides para la oposición de 1951 (1951).8.-M. L. SIEGRIST:Orbita provisional del sistema visual 2728-32 Orionis (1951).9.-Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1952 (1951).

1O.~J. PENSADO:Orbita provisional de 21883 (1951).1l.-M. L. SIEGRIST:Orbita provisional del sistema visual 22052 (1952).12.-Efemérides de 88 Asteroides para la oposición de 1953 (1952).13.-J. PENSADO:Orbita de ADS 9380 = 2 1879 (1952).14.-F. ALCÁZAR:Aplicaciones del Radar a la Geodesia (1952).15.-J. PENSADO:Orbita de ADS 11897 = 22438 (1952).16.-B. RODRÍGUEZ-SALINAS:Sobre varias formas de proceder en la determinación de perío-

dos de las marcas y predicción de las mismas en un cierto lugar (1952).17.-R. CARRASCOy M. PASCUAL:Rectificación de la órbita del Asteroide 1528 "Conrada"

(1953).18.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Orbita de ADS 1709 = 2228 (1953).19.-J. BALTÁ: Recientes progresos en Radioastronomía. Radiación solar hiperfrecuente

(1953).20.-J. M. TORROJAy A. VÉLEZ: Corrección de la órbita del Asteroide 1452 (1938 DZ,)

(1953).21.-J. M. TORROJA:Cálculo con Cracovianos (1953).22.---'5. AREND:Los polinomios ortogonales y su aplicación en la representación matemática

de fenómenos experimentales (1953).23.-J. M. TORROJAy V. BONGERA:Determinación de los instantes de los contactos en el

eclipse total de Sol de 25 de febrero de 1952 en Cogo (Guinea Española) (1954).24.-J. PENSADO:Orbita de la estrella doble 22 (1954).25.-J. M. TORROJA:Nueva órbita del Asteroide 1420 "Radeliffe" (1954).26.-J. M. TORROJA:Nueva órbita del Asteroide 1557 (1942 AD) (1954).27.-R. CARRASCOy M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1290 "Alber-

tine" (1954).28.-J. PENSADO:Distribución de los períodos y excentricidades y relación período-excen-

tricidad en las binarias visuales (1955).29.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Nueva órbita del Asteroide 1372 "Harernari" (1955).30.-M. DE PASCUAL:Rectificación de la órbita del Asteroide 1547 (1929 CZ) (1955).31.-J. M. TORROJA:Orbita del Asteroide 1554 "Yugoslavia" (1955).32.-J. PENSADO:Nueva órbita del Asteroide 1401 "Lavonne" (1956).33.-J. M. TORROJA:Nuevos métodos astronómicos en el estudio de la figura de la Tierra

(1956).34.-D. CALVO:Rectificación de la órbita del Asteroide 1466 "Mündleira" (195'6).35.-M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1238 "Predappia" (1956).

36.-J. PENSADO:Distribución de las inclinaciones y de los polos de las órbitas de las es-trellas dobles visuales (1956).

37.-J. M. TORROIAy V. BONGERA:Resultados de la observación del eclipse total de Solde 30 de junio de 1954 en Sydkoster (Suecia) (1957).

38.-ST. WIERZBINSKI:Solution des équations normales par I'algorithme des cracoviens(1958).

39.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Rectificación de la órbita del Asteroide 1192 "Prisma" (1958).40.-M. LóPEZ ARROYO:Sobre la distribución en longitud heliográfica de las manchas so-

lares (1958).41.-F. MÚGICA:Sobre la ecuación de Laplace (1958).42.-F. MARTÍNAsÍN: Un estudio estadístico sobre las coordenadas de los vértices de la

triangulación de primer orden española (1958).43.-ST. WIERZBINSKI:Orbite améliorée de h 45'30 = YCen = Cpd _48°, 4965 (1958).44.-D. CALVOBARRENA:Rectificación de la órbita del Asteroide 1164 "Kobolda" (1958).45.-M. LóPEZ ARROYo: El ciclo largo de la actividad solar (1959).46.-F. MÚGICA:Un nuevo método para la determinación de la latitud (1959).47.-J. M. TORROIA:La observación del eclipse de 2 de octubre de 1959 desde El Aaiun

(Sahara) (1960).48.-1. M. TORROIA,P. JIMÉNEZ-'LANDIy M. SOLÍs: Estudio de la polarización de la luz de

la corona solar durante el eclipse total de Sol del día 2 de octubre de 1959 (1960).49.-E. PAJARES:Sobre el mecanismo diferencial de un celóstato (1960).50.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Sobre la diferencia entre los radios vectores del elipsoide in-

ternacional y el esferoide de nivel (1960).51.-J. M. TORROJA:Resultado de las observaciones del paso de Mercurio por delante del

disco solar del 7 de noviembre de 1960 efectuadas en los observatorios españoles (1961).52.-F. MÚGICA:Determinación de la latitud por el método de los verticales simétricos (1961).53.-M. LÓPEZ ARROYO:La evolución del área de las manchas solares (1962).54.-F. MÚGICA:Determinación simultánea e independiente de la latitud y longitud me-

diante verticales simétricos (1962).55.-P. DÍEZ-PICAZO:Elementos de la órbita de la variable eclipsante V 499 Scorpionis

(1964).56.-J. M. TORROJA:Los Observatorios Astronómicos en la era espacial (1965).57.-F. MARTÍNASÍN: Nueva aportación al estudio de la red geodésica de primer orden

española y su comparación con la red compensada del sistema europeo (1966).58.-F. SÁNCHEZMARTÍNEZ:La Luz Zodiacal. Luz del espacio interplanetario (1966).59.-1. M. GONZÁLEZ-ABOÍN:Variaciones de las coordenadas geodésicas de los vértices de

una red, por cambio de elipsoide de referencia (1966).60.-F. SÁNCHEZMARTÍNEZy R. DUMoNT:Fotometría absoluta de la raya verde y del con-

tinuo atmosférico en el Observatorio Astronómico del Teide (Tenerife), de enero de1964 a julio de 1965 (1967).

6 l.-M. REGO:Estudio del espectro de la estrella 31 Aql. en la región U 4000-6600 A (1969).62.-C. MACHÍN:Mareas terrestres (1969).63.-J. M. TORROJA:La estación para la observación de satélites geodésico s de la Facultad

de Ciencias de la Universidad de Madrid (1969).64.-M. 1. SEVILLA:Reducción automática de posiciones de estrellas (1970).65.-1. M. TORROJA:Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geodesia

de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid en 1969 (1970).66.-M. 1. SEVILLA:Los cálculos de estación en triangulación espacial (1970).67.-MANUEL E. REGo: Determinación de las abundancias de los elementos en la atrnós-

fera de la estrella de alta velocidad 31 Aql. (1970).68.-M. 1. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Análisis cualitativo del espectro de la estrella peculiar

HD 18474 (1971).69.-1. M. TORROJA:Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geodesia

de la Universidad Complutense de Madrid en 1970 (1971).

70.-R. VIEIRA Y R. ORTIZ: Descripci6n de un aparato para medida de coordenadas (1971).71.-1. M. TORROJA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geodesia

de la Universidad Complutense de Madrid en 1971 (1972).72.-M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Observaci6n y estudio te6rico del espectro de la estrella

peculiar HD 18474 (1972).73.-M. J. SEVILLA: Cálculo de las constantes de distorsi6n y parámetros del disco obtu-

rador para cámaras balísticas (1973).74.-R. PARRA Y M. J. SEVILLA: Cálculo de efemérides y previsiones de pasos de satélites

geodésicos (1973).75.-M. REGO y M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Resultado de las observaciones de .:.1< Peg

efectuadas desde el satélite europeo TDI (1973).76.-E. SrMoNNEAU:Problemas en la determinaci6n de abundancias de elementos en las

estrellas en condiciones de equilibrio termodinámico local y alejadas del equilibriotermodinámico local (1974).

77.-1. ARANDA:Construcci6n de modelos de estructura interna para estrellas en la secuen-cia principal inicial (1974).

78.-R. ORTIZ, M. J. SEVILLAy R. VIEIRA: Estudio de la calibraci6n, técnica de medida yautomatizaci6n de datos en un comparador para medidas de placas estelares (1974).

79.-M. J. SEVILLA: Método autocorrector para el cálculo de direcciones de satélites geo-désicos y análisis de los errores en la restitución de un arco de 6rbita (1974).

80.-M. A. ACOSTA,R. ORTIZ y R. VIEIRA: Diseño y construcción de un fot6metro foto-eléctrico para la observaci6n de ocultaciones de estrellas por la Luna (1974).

8 l.-T. J. VIVES, C. MORALES, J. GARCÍA-PELAYOy J. BARBERO: Fotometría fotográficaUBV del cúmulo galáctico King 19 (1974).

82.-R. ORTIZ y R. VIEIRA: Control automático en posición y tiempo de los sistemas deobturaci6n de las cámaras de observación de satélites geodésicos (1974).

83.-J. M. TORROJA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geode-sia de la Universidad Complutense de Madrid en 1972 y 1973 (1974).

84.-M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROAy M. REGO: el CrB en el ultravioleta lejano (1975).85.-J. M. TORROJA, R. VIEIRA, R. ORTIZ y M. J. SEVILLA: Estudio de mareas terrestres

en España (1975).86.-M. J. SEVILLAy R. PARRA: Levantamiento gravimétrico de Lanzarote (1975).87.-P. KUNDANMALSUKHWANI:Modelos teóricos de curvas de luz. Su aplicaci6n al siste-

ma fJ Lyrae (1975).88.-M. J. SEVILLA: Coordenadas astron6micas y geodésicas, Desviaci6n relativa de la ver-

tical (1975).89.-C. TEJEDOR: Fotometría fotoeléctrica R. G. U. del cúmulo galáctico IC 2581 (1976).90.-M. J. SEVILLA: Nuevos coeficientes para la reducci6n automática de posiciones de

estrellas (1976).9 l.-M. REGO: Técnicas observacionales en espectroscopía astrofísica (1976).92.-M. J. SEVILLA: Determinaci6n de la latitud por distancias cenitales de la polar, mé-

todo de Littrow (1976).93.-T. J. VIVES: Determinaci6n fotométrica del tipo espectral de la componente desco-

nocida de una estrella binaria eclipsante (1976).94.-M. REGO y M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Contraste y determinaci6n por métodos astro-

físicos de fuerzas de oscilador (1977).95.-M. J. SEVILLAY R. CHUECA: Determinaci6n de acimutes por observaci6n de la Polar.

Método micrométrico (1977).96.-JosÉ M. GARCÍA-PELAYO:Fotometría R G U en un campo del anticentro galáctico,

cerca del NGC 581 (1977).97.-JosÉ M. GARCÍA-PELAYO:Datos fotométricos de 2.445 estrellas estudiadas en la región

de Casiopea, entre los cúmulos abiertos Trumpler 1 y NGC 581 (1977).98.-PREM K. SUKHWANIy RICARDOVIEIRA: Spectral Analysis of Earth Tides (1977).99.-JosÉ M. TORROJAy RICARDOVIEIRA: Earth Tides in Spain. Preliminary results (1977).

(Continúa en la cuarta de cubierta)

100.-PREM K. SUKHWANIy RICARDOVIEIRA: Three different methods for taking m accountthe gaps in spectral analysis of Earth Tides record s (1978).

10l.-R. VIEIRA: Mareas terrestres (1978).102.-M. J. SEVILLAY A. NÚÑEZ: Determinación de la longitud por el método de Mayer.

Programas de cálculo automático (1979).t03.-M. J. SEVILLAY A. NÚÑEZ: Determinación de la latitud por el método de Sterneck.

Programas de cálculo automático (1979).104.-M. J. SEVILLA: Determinación de la latitud y la longitud por el método de alturas

iguales. Programas de cálculo automático (1979).105.-P. K. SUKHWANIy A. GIMÉNEZ: Corrección de efectos atmosféricos para imágenes

tomadas desde satélites Landsat (1979).106.-M. J. SEVILLA: Inversión de matrices simétricas en el método de mínimos cuadrados

(1979).107.-A. GIMÉNEZ: Análisis de la curva de luz del sistema binario eclipsante S Velorum (1979).108.-M. J. SEVILLA: Determinación del acimut de una referencia por observación de la es-

trella polar. Programa de cálculo automático (1979).109.-M. J. SEVILLA: El sistema lAV (1976) de constantes astronómicas y su repercusión

en la reducción de posiciones de estrellas (Primera parte) (1980).110.-M. 1. SEVILLAY R. PARRA: Determinación de la latitud por el método de Horrebow-

Talcott. Programas de Cálculo Automático (1980).11 l.-M. J. SEVILLA: Determinación de la latitud y la longitud por fotografías cenitales

de estrellas (1980).112.-R. VIEIRA Y M. OREJANA: Comunicaciones presentadas en las XLI y XLll Jornadas

del Grupo de Trabajo de Geodinámica del Consejo de Europa. Luxemburgo (1979-80).ll3.-M. J. SEVILLA: Sobre un método de cálculo para la resolución de los problemas geo-

désicos directo e inverso (1981).ll4.-R. VIEIRA, J. M. TORROJA, C. TORO, F. LAMBAS,M. OREJANAY P. K. SUKHWANl:

Comunicaciones presentadas en el IX Symposium Internacional de Mareas Terrestres.Nueva York (1981).

115.-M. A. MONTULL,M. J. SEVILLAy A. GONZÁLEZ-CAMACHO:Aplicación de la V. L. B. 1.al estudio del movimiento del Polo (1981).

116.-A. GONZÁLEZ-CAMACHOy M. 1. SEVILLA: Algunas relaciones entre diferentes ejes quese consideran en la rotación de la Tierra (1981).

117.-R. VIEIRA, F. LAMBASy E. GIMÉNEZ: Modificaciones realizadas en un gravírnetroLaCoste Romberg modo G para su utilización en registro continuo de la gravedad (1981).

118.-R. VIEIRA: La microrred de mareas gravimétricas del Sistema Central (1981).119.-1. M. TORROJAy R. VIEIRA: Informe sobre el desarrollo del programa de investiga-

ción sobre mareas terrestres en el último bienio (1981).120.-F. LAMBASy R. VIEIRA: Descripción, estudio de la precisión y aplicaciones geodésicas

y geofísicas de los nuevos niveles de lectura electrónica (1981).121.-M. J. SEVILLA: Programación del método de la cuerda (1981).122.-1. M. TORROJA: Historia de la Ciencia Arabe. Los Sistemas Astronómicos (1981).123.-M. 1. SEVILLAY R. VIEIRA: Comunicaciones presentadas en Ia Sesión Científica de

la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, celebrada el día 13 deenero de 1982 (1982).

124.-M. 1. SEVILLAY P. ROMERO: Aplicación del método de colocación a la reducción deplacas fotográficas de estrellas (1982).

125.-M. J. SEVILLAY A. G. CAMACHO:Deformación rotacional de una tierra elástica (1982).126.-M. 1. SEVILLAY P. ROMERO: Obtención de las medidas de la precisión en la determi-

nación de la latitud y la longitud por fotografías cenitales de estrellas (1982).127.-M. 1. SEVILLA, A. G. CAMACHOy p. ROMERO: Comunicaciones presentadas en la

IV Asamblea Nacional de Astronomía y Astrofísica. Santiago de Compostela (1983).128.-M. 1. SEVILLA: El sistema IAV (1976) de constantes astronómicas y su repercusión

en la reducción de posiciones de estrellas (Segunda parte) (1983).

(Continúa en la segunda de cubierta)

129.-M. 1. SEVILLA: Geodesia por satélites y navegacion (1983).130.-L. GARCÍA ASENSIO, A. G. CAMACHO,P. ROMEROY M. 1. SEVILLA: Comunicaciones

presentadas en la V Asamblea Nacional de Geodesia y Geofísica (1983).13l.-M. 1. SEVILLA: Anomalías de la gravedad basadas en el sistema geodésico de refe-

rencia 1980 (1983).132.-J. M. TORROJA: Historia de la Física hasta el siglo XIX. La Mecánica Celeste (1983).133.-A. G. CAMACHOy M. J. SEVILLA:The Molodensky Problem for an homogeneous liquid

core (1984).134.-J. M. TORROJA: La obra astronómica de Alfonso X El Sabio (1984).135.-H. MORITZ: Sistemas de referencia en Geodesia (1984).136.-H. MORITZ: Rotación de la Tierra (1984).137.-A. G. CAMACHOy M. 1. SEVILLA: Autofrecuencias del movimiento del Polo para un

modelo de Tierra de tipo Jeffreys Molodensky (1984).138.-J. M. TORROJA: Nuevas definiciones en el problema de la medida del tiempo (t984).139.-M. J. SEVILLA: Astronomía Geodésica (1984).

lSSN: 0213 - 6198Depósito Legal: M. Sep. 894-1958 Realigraj, S. A., Burgos, 12. 28039 Madrid