INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL … · 3 TEOREMA DE PITÁGORAS, ... En el siglo XIX...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO - PALMIRA

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Cronograma actividades grado 10 Periodo lectivo: primero Año lectivo 2018 DOCENTE RESPONSABLE: Subleyman Ivonne Usman Narváez Asignatura: trigonometría

SEMANA

No. FECHA TEMA – ACTIVIDAD

1 22 –26 de enero

SEMANA DE DIRECCION DE GRUPO E INDUCIÓN SOBRE NORMAS GENERALES Y FORMAS DE EVALUACIÓN

TALLER SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS (RACIONALES E IRRACIONALES, TEOREMA DE DENSIDAD Y DE COMPLETEX.) ACTIVIDAD GRUPAL ( TRES ESTUDIANTES) ME PREPARO Y ACTIVIDAD No. 1

2 29 de enero al – 2 de febrero

TALLER SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS (RACIONALES E IRRACIONALES, TEOREMA DE DENSIDAD Y DE COMPLETEX.) ACTIVIDAD No. 2 Y 3 EVALUACIÓN DIAGNOSTICA (INDIVIDUAL) TIPO OCFES

3 5 al 9 de febrero

TEOREMA DE PITÁGORAS, ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS, RAZONES Y PROPORCIONES, CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS, SEMEJANZA DE

TRIÁNGULOS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, ACTIVIDAD GRUPAL (TRES ESTUDIANTES). PÁGINA 14. SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS, FACTORES DE CONVERSION,AACTIVIDAD No. 4

4 12 – 16 de febrero

EVALUACION INDIVIDUAL SOBRE ACTIVIDADES 1,2,3 Y 4 POSICION NORMAL DE UN ANGULO, ANGULOS COTERMINALES, ACTIVIDAD No. 5 RELACIONES TRIGONOMETRICAS, ACTIVIDAD No. 6 FUNCIONES PERIODICAS Y FUNCION CIRCULAR

5 19 – 23 de febrero

ACTIVIDAD GRUPAL ME PREPARO DE TRES ESTUDAINTES; PÁGINA 27FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO EN GENERAL, SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES, ANGULOS DE REFERENCIA

6 26 de febrero al 2 de marzo

ACTIVIDAD No. 7 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS NOTABLES, 30°,

45° Y 60° EVALUACION INDIVIDUAL ACTIVIDADES 5,6 Y 7

7 5 al 9 de marzo ENTREGA DE LA ACTIVIDAD VIRTUAL MANEJO DE CALCULADORA EN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

8 12 – 16 de marzo

TALLER DE NIVELACION (INDIVIDUAL)PARA ESTUDIANTES CON DESEMPEÑO BASICO TALLER DE RECUPERACION ( INDIVIDUAL ) PARA ESTUDIANTES CON DESEMPEÑO BAJO TALLER DE PROFUNDIZACION (INDIVIDUAL)PARA ESTUDIANTES CON DESEMPEÑO ALTO Y SUPERIOR

9 20 – 23 de marzo

MARCHA EVALUATIVA

ENTREGA DE ACTIVIDAD DE EDUCACIÓN ECONÓMICA Y FINANCIERA.

10 2 – 6 de abril

ACTIVIDAD DE MEJORAMIENTO INSTITUCIONAL No. 1 TIPO ICFES TALLER DE MEJORAMIENTO ICFES No. 2 Y 3

Registro de notas

Notas individuales Notas grupales M. E EVAL.. DIAGNOSTICA

EVAL. No.1

EVAL No.2

EVAL. No. 3

Act matemática financiera

Actividades en general cuaderno Taller de nivelación, recuperacion o profundizacion

Autoevaluación

ACTIVIDADES MEJORAMIENTO ICFES (1,2 Y 3)

ACT, No. 1 Y PREVIA

ACT. ME PREPAROP Pág. 27

Nota de entorno

INSTITUCION EDUCATIVA

NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR

SEDE LICEO FEMENINO AREA DE MATEMATICAS


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ÁREA DE MATEMÁTICAS AÑO LECTIVO 2018

GUIA No. 1 DE TRIGONOMETRÍA GRADO DÉCIMO

ESTANDARES:

1. Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grado de precisión específico.

2. Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y otras ciencias.

3. Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos, geométricos

y algebraicos

4. Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y la de sus

operaciones y relaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

DBA 1. Utiliza las propiedades de los números reales para justificar procedimientos y diferentes representaciones

de subconjunto de ellos.

DBA 2. Utiliza las propiedades algebraicas de equivalencia y de orden de los números reales para comprender y crear

estrategias que permitan compararlos y comparar subconjuntos de ellos ( por ejemplo, intervalos)

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE 1. Argumenta la existencia de los números irracionales. *Utiliza representaciones geométricas de los números irracionales

y los ubica en una recta numérica.

2. Describe la propiedad de densidad de los números reales y utiliza estrategias para calcular un número entre otros dos.

3. Ordena de menor a mayor o viceversa números reales. *Describe el ‘efecto’ que tendría realizar operaciones con

números reales (positivos, negativos, mayores y menores que 1) sobre la cantidad.

4. Utiliza las propiedades de la equivalencia para realizar cálculos con números reales.

5. Realizo conversiones en los diferentes sistemas de medición de ángulos

6. Resuelvo problemas de semejanza de triángulos.

7. En el círculo trigonométrico encuentra las razones de los ángulos cuadrantales y especiales.

8. Dibujo ángulos en posición normal. *Dado un ángulo dibujo varios ángulos coterminales a él.

9. Resuelvo problemas sobre triángulos rectángulos.

10. Calculo las razones trigonométricas de un ángulo θ en posición normal, cuyo lado final se encuentra en un cuadrante

dado.

11. Hallo las razones trigonométricas del ángulo θ en posición normal cuyo lado final pasa por un punto cuyas

coordenadas se indican.

LOS NÚMEROS REALES Como surgió? Una vez descubiertos los números irracionales (descubrimiento que se atribuye al griego Hippaso de Metaponte, en el siglo V a.c) como razones no conmensurables entre magnitudes en Grecia y en otros pueblos (indios, árabes y egipcios), se trabaja con aproximaciones sin plantear su fundamentación teórica. Más tarde en el renacimiento y en el siglo XVII, algunos matemáticos y físicos (entre ellos Newton) los asumen como símbolos y como números dependientes de las magnitudes geométricas; otros como Stevin y Wallis, los reconocen como números abstractos. En el siglo XVIII, D`Alembert y Evler demuestran que π y e

son números irracionales, asumiendo que la representación decimal de los irracionales es no periódica, pero sin dar una definición de numero irracional. En el siglo XIX dentro del movimiento de aritmetización del análisis orientado por Weierstrass, Dirichlet, Cauchy, Dedekind y Cantor entre otros, se da un estatus de número a los irracionales y se reconoce que los números reales son o racionales o irracionales.


4

Cauchy define número real como “el límite de las diversas fracciones que tiene valores más y más cercanos”. Weirstrass los forma a partir de sucesiones infinitas de números racionales. Cantor los construye a partir de sucesiones infinitas de racionales (la sucesiones de Cauchy) y postula: “A cada número real le corresponde un punto definido en la recta, cuya coordenada es igual al número “. Dedekind, en su obra continuidad y números irracionales en la cual intenta disipar dudas y explicar el comportamiento de los irracionales en la aritmética, parte también de los racionales, sus operaciones y su orden, y construye ciertos conjuntos de racionales que “ de alguna manera” producen “cortaduras” sobre el conjunto de los números racionales; esas cortaduras pueden ser producidas por números racionales o no. A esas cortaduras no producidas por racionales las llama números irracionales y define, en general, una cortadura es un número real.

5. √

6. √ √ √

PROPIEDADES DE LA RADICACION


5

ME PREPARO. 1. Efectúa

a). —

b).

c). (

) (

)

d). -2 { }

e).

f). √ √ √

g). 32+

h).

i). √

2. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas si

,

, c=0, d=

a). 2 { }

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION


6

b). {

}

c).

3. En los siguientes triángulos rectángulos encontrar el lado que falte:

En cada caso verifique el teorema de Pitágoras.

¿EN QUE SE APLICA?

Los números reales, como antes abstractos, son usados en matemáticas para relacionar magnitudes inconmensurables como el lado y la diagonal de un cuadrado. Son además el fundamento para la construcción de conjuntos y conceptos abstractos de un cierto nivel superior de razonamiento, como el concepto de límite y algunas otras nociones del cálculo infinitesimal. Cuando hacemos cálculos o realizamos mediciones y en general, cuando empleamos los números para usos prácticos es suficiente el conjunto de los números racionales; sin embargo, cuando comparamos segmentos inconmensurables es necesario usar los números irracionales. El conjunto de los números reales enriqueció el campo de las aplicaciones de las matemáticas. En la actualidad son fundamento de varias teorías y han contribuido al avance y desarrollo de las ciencias físicas. Sobre este conjunto se trabaja el cálculo integral y diferencial, y son un instrumento poderoso para solucionar problemas que surgen en física, astronomía, ingeniería, química y en otros campos incluyendo algunas de las ciencias sociales. CONJUNTOS NUMERICOS N= { } Z= { }


7

Q= {

}

= = = { } REALES= R= Q U

¡OBSERVA QUE!

a) El cero no es ni positivo ni negativo

b)

c)

d)

𝑄 √ √ 7 7 𝜋 𝜖 7 ….

CONJUNTOS NUMERICOS DIAGRAMA DE VENN-

EULER


8

e)

f)

g)

RECUERDA……..

ACTIVIDAD No. 1

1. Cuáles son los elementos de los siguientes conjuntos: N, Z, Q, I, R

2. En un solo diagrama de Venn- Euler, graficar: N, Z, Q, I, R

3. Evalúa cada expresión cuando a= 1/3 b= -4 c=-1/5 d= 6

a) { }

b) [ ]

c) { }

d) { }

4. Cada operación ) de las escritas a continuación, tienen la respuesta exacta en

una


9

5. clasifica en Q e

6. Escribe los siguientes racionales en forma decimal e indica cual es el periodo de cada uno:

7

7

7

7. Cuáles de los números son racionales y cuáles irracionales?.

a) -53, 251251251251…

b) -0,32179431…

c) 9, 3454566788910…


10

d) 3, 14159265

e) 321, 1010101010…

f) -2, 718281…

8. El polvo volcánico está formado por partículas de 0, 01 pulgadas de diámetro. Expresa este decimal en forma de fracción.

9. Efectúe (sin calculadora)

(√ )(√ )

(

)

=

(

)

[

] =

10. Dado el siguiente conjunto de números clasificados en un cuadro, según el

conjunto numérico a que pertenezca, (ver ejemplo)

NUMERO

0, 016151413…. NO NO NO SI SI

√ √ √ √

[ 7 ] ]

11. Cuando el valor de √

√ es:

√

12. Cuál es la mayor potencia de 2 que divide a 1`000000 exactamente?


11

13. El valor de √ √

√ es:

√ √ √

14. Si los siguientes números se arreglan en orden de magnitud, ¿Cuál sería el número del medio?

15. Escribe un cuento, poesía, canción, con los visto sobre conjuntos numéricos. 16. Escribe la Visión de la institución 17. Efectué:

19. Despejar:

20. Graficar: 21. Resolver:

SUMA Y RESTA DE RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES


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Para sumar y restar radicales procederemos así: Solo sumamos o restamos radicales semejantes, dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical. EJEMPLO:

MULTIPLICACION Y DIVISION DE RADICALES A). DE IGUAL INDICE

Para multiplicar radicales con igual índice se coloca por INDICE el mismo y por SUB-RADICAL el producto de los subradicales. Ejemplo 1

√

√

√

√

√

√

√ √

√

Ejemplo 2 Ejemplo 3

√

√

√ √

√

B. DE DIFERENTE INDICE

Para hallar el producto o cociente de radicales de diferente índice procedemos así:

𝑎

𝑏

4 √

𝑏

𝑐

4

𝑐

𝑎

4 √𝑎𝑏

4 √

𝑎

𝑏 𝑏

𝑐 𝑐

𝑎 𝑎𝑏

4

√𝑎𝑏4

√ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏


13

a) Hallamos el mínimo común múltiple de los radicales que será el índice común del nuevo radical.

b) El exponente de cada subradical será el cociente entre el nuevo índice

común y su anterior índice radical. EJEMPLO 1

a.√

√ √ 4 sacamos el m.c.m (3,2,4) =12

√

√ √

√

EJEMPLO 2

√

√ √

√

√

√

√

ACTIVIDAD No. 2

A.√

4 √

4 √

4 √

4

B. √7

√ √ √

C. √

√

√

√

D.

E.

4

F. (√ )(√ )(√ ) √

G). (√ 4

) (√ ) √7

H). √

I).

√

RACIONALIZACION

Al proceso de eliminar los radicales en una fracción (denominador) se le conoce como racionalización, para racionalizar debemos tener en cuenta si el denominador es:

a). UN MONOMIO:

𝑚 𝑐 𝑚

𝑎 𝑎

√𝑏

𝑎

√𝑏

√𝑏

√𝑏

𝑎√𝑏

𝑏 𝑏

√

√

√ √


14

b). UN BINOMIO:

DE LA FORMA: √ √

DE LA FORMA: √ √

ACTIVIDAD No 3

I. Racionaliza el denominador y simplifica:

1.

√

√

√ 4

√

√

2.

√ √ 7

√

√

√ √

√ √

3.

√

√

√

√

√ √ √

𝑎

√ √

√ √ √ √

√ √

(√ √ )

(√ √ )

√ √

𝑎

√𝑥 √

𝑎

√𝑥 √

√𝑥

√𝑥𝑦 √𝑦

√𝑥

√𝑥𝑦 √𝑦

𝑎 √𝑥

√𝑥𝑦 √𝑦

𝑥 𝑦

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

𝑎 𝑏 √𝑎 √𝑏 √𝑎 √𝑏

a. 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎𝑏 𝑏

b. 𝑎 𝑏 √𝑎

√𝑏

√𝑎

√𝑎 𝑏 √𝑏

c. 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎𝑏 𝑏

d. 𝑎 𝑏 √𝑎

√𝑏

√𝑎

√𝑎𝑏

√𝑏


15

4.

√ √

√ √

II. Realiza las siguientes operaciones

a). √ √ √ √

b). √ √ √

c). √ √ √ √

d). √ √ √ √

e). √ √

III. Encuentro el valor de “X”:

a).

b).

c).

d).

I. Factorizo las expresiones:

a).

b).

c). 7

II. Soluciona las siguientes ecuaciones:

a). 5x=16 b). 12x-20=0 c). 7

d). 3y-2=7-y

e). -8z+4=-5+10z f). 3(4x-2)=2x+3 g).

h).

FUNCIONES TRIGONOMÉTICAS

A. Dadas los siguientes ángulos nómbrelos, mídalos y clasifíquelos


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B. Encuentra los complementos de los siguientes ángulos

M ABC = 40° 2. M ABC = 30°15‟ 3. M DEF = 50°15‟35”

C. Encuentra el suplemento de los siguientes ángulos

1. M OPQ = 60° 2. M LOM = 101°59‟ 3. M α= 6°14‟94”

D. En cada uno de los ángulos del literal A, señala el lado inicial , el lado final y el

vértice.

E. Construye los siguientes ángulos

1. M β = 90° 2. M AOL = -120° 3. M OPQ = 46°

F. Encuentra el valor de la incógnita

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS

EQUILATERO

SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ANGULOS


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SEMEJANZA DE TRIANGULOS

Dos triángulos son semejantes cuando tiene sus ángulos respectivamente congruentes y

sus lados proporcionales

𝑨𝑩 𝑩𝑪 𝑪𝑨

𝑴𝑵 𝑵𝑷

ΔMNP ISÓSCELES

DOS LADOS DE IGUAL MEDIDA

Δ RST ESCALENO

SUS LADOS SON DE DIFERENTE

MEDIDA

EQUIANGULO Sus tres ángulos de igual medida (EQUILATERO)

Tiene un ángulo recto ( 90°)

los lados que forman el

ángulo de 90° se llaman

catetos (c y b), el lado que se

opone al ángulo de 90° se

llama hipotenusa (a) ( es el

lado de mayor medida

“ESTUDIA NO PARA SABER ALGO MÁS ,

SINO PARA SABER ALGO MEJOR”


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CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para saber si dos triángulos son semejantes existen 3 criterios:

1) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente igales

Δ ABC ~ Δ ADE

=

=

2. Dos triángulos son semejantes cuando tienen 2 lados proporcionales e

igual el ángulo comprendido entre ellos.

~

Δ ABC ~ Δ DEF

3. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.

~

Δ ABC ~ ΔDEF

G. SISTEMA DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Existen tres métodos para medir ángulos:

Sistema cíclico de radianes, sistema sexagesimal y sistema centesimal, pero los

más usados son:

A ‚≡ A

B ≡ D

C ≡ E

𝐴𝐶

𝐷𝐸 =

𝐶𝐵

𝐸𝐹 y el C ≡ E

=

12 = 12

𝐴𝐵

𝐹𝐷

𝐵𝐶

𝐹𝐸

𝐴𝐶

𝐷𝐸 ;

36 = 36 144=144

72 =72


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1. SISTEMA CÍCLICO DE RADIANES O CIRCULAR: se toma una

unidad de medida directamente relacionada con la circunferencia llamada

RADIAN.

un radian es un ángulo central de la circunferencia tal que la longitud del arco

sea igual a la longitud del radio de la circunferencia.

m = m del arco ̂ = 1 radian

= r ̂= S

Si S = r AOB = 1 radian

¿Cuántos radianes tiene la circunferencia?

2. SISTEMA SEXAGESIMAL: su unidad es el grado sexagesimal que se define

así: un grado (°C) =

, 1°=

de la circunferencia, entonces 360° = 1

circunferencia.

Si dividimos un grado sexagesimal en 60 partes iguales, cada uno de

ellos se denomina 1 minuto de grado sexagesimal.

Si dividimos un minuto de grado sexagesimal en 60 partes iguales,

cada uno de ellos se denomina 1 segundo de grado sexagesimal. De lo

anterior 1° = 60‟ 1‟ = 60‟‟ 1° = 3600‟‟

α = 90° β = 180°

α = 89° 60‟ β =

α = 89° 59‟ 60” β =

H. FACTORES DE CONVERSIÓN: 1. expresar θ = 105,328° en grados, minutos y segundos.

θ = 105,328° Notación decimal factor de conversión

= 105 + ⏟

(

) = 19,68‟

Resto 19 + ⏟

Resto

(

) = 40,8”

θ=105,328° = 105°19´40,8”

2. Expresar α = 503°77‟86” en grados


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Conversión

77‟ (

)= 1,2°

86” (

) = 0,02 °

ACTIVIDAD No. 4

A.

1. Expresar β= 232,462° en grados, minutos y segundo

2. Expresar α= 28°43´92” en grados

B. Relación entre grados y radianes

1. ¿Cuántos radianes tiene una circunferencia?

2. ¿Cuántos grados sexagesimales tiene una circunferencia?

3. Con estos dos valores establece una igualdad

4. ¿Cuántos grados sexagesimales vale π radianes?

5. ¿Cuántos grados sexagesimales vale

radianes?


radianes?


radianes?

8. ¿Cuántos radianes son 180°?




C.

5 0 3 , 00° 1 , 20° + 0 , 02° 5 0 4 , 22°

Para convertir en grados una medida dada en radianes,

multiplicamos dicha medida por 180° y luego la dividimos entre π.

Para convertir en radianes una medida dada en grados

multiplicamos dicha medida por π y luego la dividimos entre 180°.

En este caso el valor π puede dejarse indicado como factor, sin

necesidad de expresarlo como 3,1415…


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1. Expresa en grados los siguientes ángulos medidos en radianes:

a.

b.

c.

d.

e.

f. -2,5 π

2. expresa en radianes los siguientes ángulos:

a. -180° b. 45° c. 12°15´18” d. 6,297° e. - 90°

POSICION NORMAL DE UN ÁNGULO: un ángulo está en posición normal o

canónica, cuando su vértice coincide con el punto de origen de un sistema de

coordenadas cartesianas y su lado inicial con el semieje positivo de las x positivas.

Un ángulo pertenece al cuadrante en el que esté ubicado su lado terminal, no

importa que sea negativo o positivo, para estar en posición normal.

1. Dibujar los siguientes ángulos en posición normal

a. m α=

c. m θ= 105°

b. m β= - 360° d. m δ =

ÁNGULOS COTERMINALES: ángulos coterminales son diferentes ángulos en

posición normal que tienen el mismo lado final.

Si se quiere encontrar un ángulo coterminal positivo se le suma al ángulo dado

360°, pero si se quiere negativo se le resta al ángulo 360°, en general θ±360°

45° - 360° = -315°

45°

-135°

Cuando se usa la medida en

radianes se puede obviar la unidad

de medida, por ejemplo θ = 2 rad, se

puede escribir θ = 2


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1. Halla dos ángulos positivos y 2 negativos que sean coterminales

con un ángulo de 90°

2. Dibuja el ángulo dado en posición normal y determina dos ángulos

coterminales positivos y dos negativos.

a. 120° b.135° c. -30° d.

e.

f.

g.

RECUERDA LOS SIGUIENTES CONCEPTOS

1. Longitud de la circunferencia : 2πr

2. Área de la circulo: πr2

3. Longitud de arco : S = rθ; θ medido en radianes

4. Área del sector circular: Ar=

r2θ, θ medido en radianes

5. Velocidad angular: ῳ =

, θ es el ángulo de rotación, θ medido en radianes

6. Velocidad lineal: de un punto a una distancia r de centro de rotación está dada

por V = rῳ

ACTIVIDAD No. 5

1. Halla la medida del arco subentendido por un ángulo de 2 rad; si el radio del

círculo es de 5 cm

2. Halla la medida de un círculo , si se sabe que un ángulo central de 30°

subentiende un arco de 1,57 cm

3. Si ΔABC es equilátero y D, E, F son puntos medios de cada lado, ¿cuál es el

área sombreada?

4. ¿Cuál es la medida de un ángulo cuya medida es

de la medida de su

complemento?

El ángulo que está comprendido en el intervalo 0 ≤ θ

≤ 2 π es considerado el ángulo base fundamental

del conjunto de ángulos coterminales


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5. ¿cuál es la medida de un ángulo cuya medida es 5 veces la medida de su suplemento?

6. Copia la misión y explica lo que entiendes de ella

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

ACTIVIDAD No. 6

Para construir los conceptos sobre las relaciones trigonométricas es necesario

que recuerdes algunos conceptos vistos en años anteriores como: teorema de

Pitágoras, semejanza de triángulos y clases de triángulos.

A. 1. Investiga los criterios de semejanza de triángulos, el teorema de Pitágoras y

clases de triángulos

2. Construye 4 triángulos isósceles, toma la medida de sus lados y de sus

ángulos.

3. ¿Qué observas respecto a las medidas de sus lados y de sus ángulos en cada

uno?

4. Respecto a lo observado, ¿qué puedes concluir?

Un triángulo rectángulo es isósceles si y solo si la longitud de su hipotenusa es igual a √

veces, la de uno de los lados iguales K, de esta manera los pitagóricos encontraron el

irracional “√ ”

5. Dale a K el valor de 1,2,10 y comprueba el

enunciado anterior

6. Construye 4 triángulos rectángulos en donde

uno de sus ángulos sea de 30°

7. Mide en cada triángulo construido el valor de

otro ángulo agudo que puedes generalizar.

8. Mide en cada triángulo sus 3 lados, encuentra

la relación que existe entre el lado más corto

y la hipotenusa. Generaliza esta relación.

9. Con la generalización anterior, aplicando el

teorema de Pitágoras, encuentra la medida

del tercer lado.

10. Generaliza lo anterior

Un ángulo de un triángulo rectángulo es de 30° si y

solo si la hipotenusa de dicho triangulo es dos veces

mayor que el lado más corto P

𝐾 √

√

Es mejor haber batallado y perdido que no haber batallado nunca A. Hugh Clough


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11. Dale a p el valor de 1, 2, 10 y comprueba lo anterior.

12. Determina el valor de las incógnitas en cada caso

13. Halla el valor de h en la siguiente figura

14.Halla los valores de las incógnitas

en la siguiente figura


25

15.Determina el valor de la diagonal de los siguientes cuadriláteros

16.Calcular el valor de x en las siguientes figuras

B. ¿Qué son ángulos complementarios y suplementarios?

C. Realiza las siguientes operaciones

1. 3°15‟16” + 18°49‟52”

2. 25° - (12°5´25”)

D. ¿Cuáles de las siguientes parejas de razones forman una proporción?

1.

2.

3.

4


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E. Investiga los criterios de semejanza de triángulos

F. Si un triángulo tiene lados de 3, 3.5 y 5 cm respectivamente, construye otro

triángulo que sea semejante con este

G. A las 3 pm un edificio proyecta ya sombre de 12 m; al frente del edificio un

semáforo de 2 m de altura, proyecta una sombra de 3 m a la misma hora.

¿cuántos metros mide el edificio?

H. Copia la visión de la institución y explica lo que entiendes de ella

FUNCIONES PERIODICAS Y CIRCULARES

Observemos las siguientes gráficas

a. b.

c. d.

1. ¿Qué podemos observar en el grafico a y d?

2. Encuentra dominio y rango de cada función.

3. La grafica b que clase de función es?

4. La grafica c que clase de función es?

Las funciones periódicas más frecuentes son las funciones circulares y las

funciones trigonométricas. Las funciones periódicas se usan ampliamente en el

estudio de fenómenos como el sonido, corrientes eléctricas alternas, ondas

electromagnéticas, etc.


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FUNCION PERIODICA: sea f una función con dominio un subconjunto de lR, si

existe un número real a ≠ 0, tal que x + a pertenezca al dominio de f y, además: f

(x+a) = f (x) => f es una función periódica, de periodo a.

Si f tiene periodo a, tendrá también períodos 2 a, 3 a, -2 a, -3 a y en general, Ka,

donde K ϵ Ƶ y K ≠ 0.

El menor a positivo para el cual la función es periódica se denomina periodo

fundamental o simplemente periodo.

5. Grafica la siguiente relación: x2 + Y2 =1

a) Es R una función, ¿Por qué?

b) Qué clase de ecuación representa R?

c) Como encuentras la longitud de una circunferencia?

FUNCION CIRCULAR: esta función nos servirá de soporte para definir las funciones

trigonométricas.

La base para construir esta función, como su nombre lo dice, es una circunferencia con

centro (0,0) y radio igual a 1.

Definamos en ésta función:

Conjunto de partida

Conjunto de llegada

La regla que define la función.

El conjunto de partida está formado por todos los ángulos centrales en posición normal de

la circunferencia unitaria o por los arcos de la misma circunferencia que parten del punto

(1,0).

Θ1, θ2, θ3 Son ángulos centrales ¿Por qué?

Θ1 y θ2 Son ángulos positivos ¿Por qué?

Θ3 es un ángulo negativo ¿Por qué?


28

El conjunto de llegada está formado por todos los puntos de la circunferencia

unitaria, es decir, por todas aquellas parejas ordenadas (x, y) que satisfacen la ecuación:

X2 + Y2 = 1

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO EN GENERAL.

1) ¿Cómo surgió?

Los historiadores han dado crédito a los griegos acerca de los primeros desarrollos

formales de las funciones trigonométricas. Sin embargo, no fueron ellos los primeros

en usarlas. Uno de los usos más remotos de la trigonometría es una tabla egipcia,

que muestra la relación entre la hora del día y la longitud de la sombra que proyecta

una escala vertical. Los egipcios conocían que la sombra era la más larga en la

mañana, decrecía al mínimo a medio día y volvía a crecer al atardecer. La regla que

da la hora del día en función de la longitud de la sombra, es un precursor de las

funciones tangentes y cotangente que estudiamos hoy. Estas ideas fueron conocidas

por egipcios y babilonios en el oriente medio, hace por lo menos 3500 años.

Los griegos usaron las funciones trigonométricas en una variedad de problemas

importantes, incluyendo contadores de tiempo, prediciendo la trayectoria de cuerpos

En adelante, los puntos que pertenecen a la

Circunferencia x2

+ y2 = 1 se llamaran

PUNTOS TRIGONOMÉTRICOS.

La regla que define la función es: a cada ángulo

Central o arco, con las condiciones ya

Establecidas le asignamos o asociamos el punto

Trigonométrico correspondiente al extremo del lado del

ángulo del arco

(√

)2 + (

)2 =

+

=

= 1

(√

)2 + (

√

)2 =

+

=

= 1

(

)2 + (

√

)2 =

+

=

= 1

(-1)2 + 02 = 1 + 0=1


29

celestes (sol, luna, planetas, estrellas), definiendo rumbos en la navegación y

diseñando calendarios. La trigonometría inicialmente fue esférica, es decir fue

desarrollada sobre la superficie de una esfera (semejante a la tierra).

Hiparco de Rodas realizo en su observatorio, el cálculo del tiempo promedio de

duración de un mes lunar, con una diferencia, de un segundo de valor aceptado hoy.

2) Ideas previas…

a) Identificar los elementos de un triángulo rectángulo

b) Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras.

c) Identificar la relación de semejanza entre triángulos.

3) Me preparo…

a) Halla el perímetro y el área de los siguientes triángulos:

b) sea el triángulo equilátero ABC,. Si la longitud de cada lado es 36 m. calcula el

área del triángulo.

c) Dibuja un triángulo equilátero uno isósceles, uno obtusángulo y rectángulo. Traza en

cada uno sus líneas notables. (mediana, altura, bisectriz y mediatriz)

d) Construye un triángulo de lados 2, 5 y 5, 5 (cm) cada uno y luego haz otro que sea

semejante a este.

e) Los lados de un terreno triangular de 50m2 de área miden 15,19 y 22m.

Respectivamente. Calcula el perímetro y el área de los lotes que se forman al dividir

el terreno por una recta paralela como lo indica la figura:


30

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO EN GENERAL

A. A continuación definiremos funciones cuyos dominios son medidas de angulos

en posición normal. Observemos el grafico donde P= ( x,y ) y P „ = (x‟, y‟) son

dos puntos del lado final del ángulo θ, OP= r y OP‟=r‟.

6. Determinar la funciones trigonométricas para el ángulo θ en el triangulo OP’Q’, tomando

como base la siguiente grafica.

7. ¿Porqué θ es un ángulo central?

8. ¿Porqué θ está en posición normal?

9. ¿Cómo r ≠ 1, entonces en el triangulo OP’Q’

r = √

10. El lado opuesto a θ se llama ordenada y el lado

adyacente a θ se llama abscisa y hipotenusa h es el radio r

distancia porque estamos trabajando en un circulo

trigonométrico

11. Con la información anterior, completa la siguiente tabla:

Nombre de la función. Abreviatura. Definición

Seno θ

Coseno θ

Tangente θ

Cosecante θ

Secante θ

Cotangente θ

1. Observamos que el ángulo θ tiene la misma

abertura para el punto P y para el punto P’.

2. En el punto P el radio es 1, para el punto P’ el

radio es mayor que 1.

3. Proyectamos P y P’ en los ejes de coordenadas.

4. Los triángulos O Ø y O Ø’ P’ son semejantes

porque tienen sus 3 ángulos congruentes por el

criterio A. A.A.

5. Determinar las funciones trigonométricas para el

ángulo θ en el triangulo OPQ.


31

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

A. Dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el lado terminal de θ, una o

ambas coordenadas de P(x, y) pueden ser negativas. Como r =√ , siempre es

positivo, cada una de las seis funciones trigonométricas de θ, tienen valores tanto

negativos como positivos.

3. De acuerdo al ejercicios anterior, completa el siguiente cuadro para las 6

funciones trigonométricas del ángulo θ

FUNCIONES I II III IV

SENO θ -

COSENO θ -

TANGENTE θ +

COSECANTE θ

SECANTE θ +

COTANGENTE θ

1. Sea el ángulo θ: escribir las 6 funciones trigonométricas

con su signo correspondiente.

2. Haz lo mismo para cada uno de los siguientes ángulos,

según las graficas a, b y c


32

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

1. ¿Qué es un ángulo cuadrantal?

2. Ubícate en el círculo trigonométrico de radio 1

a. Para determinar las funciones trigonométricas de los ángulos que separan los

cuadrantes

(Ángulo cuadrantal), se puede utilizar cualquier punto P ubicado sobre el lado final del ángulo.

Como observas, los ángulos cuadrantales son 0°,

90°, 180°, 270°, 360°

1. Vamos a averiguar las 6 funciones trigonométricas de cada uno de los ángulos

cuadrantales; para ello utiliza las siguientes gráficas.

270° = 𝜋


33

Si θ es un ángulo en posición normal no cuadrantal, entonces el

ángulo de referencia de θ es el ángulo agudo θR que forma el lado

terminal de θ con el eje x

2. Con el ejercicio anterior completa la siguiente tabla:

3. Evalúa cada una de las siguientes expresiones sin utilizar calculadora

a. tan 180°- 2cos 180° c.

b. 4cos

- 5sen

d.

ÁNGULOS DE REFERENCIA

Las funciones trigonométricas de cualquier ángulo θ en grados o en radianes pueden ser

reducidos a las funciones trigonométricas de un ángulo del I cuadrante, para esto

utilizaremos el concepto de ángulo de referencia.

ANGULO SEN θ COS θ TAN θ COT θ SEC θ CSC θ

0 rad = 0°

rad = 90°

π rad= 180°

rad = 270°

2 π rad = 360°

Si θ ϵ I Cuadrante

Si θ ϵ II Cuadrante

Si θ ϵ III Cuadrante

Si θ ϵ IV Cuadrante

Las funciones trigonométricas de un ángulo dado y su ángulo referencial son

iguales en valor absoluto


34

ACTIVIDAD No. 6

1. Realiza un cuadro para cada cuadrante, su ángulo θ y el ángulo referencial θR

con la información del ejercicio anterior.

2. Encuentra el ángulo de referencia de cada uno de los siguientes ángulos:

a. – 30° b. 300 c. 420° d.

e.

3. Halla las funciones trigonométricas de:

a. 225° b. 298° c. 320°

4. Determina el valor de cada una de las 6 funciones trigonométricas del ángulo θ, si

θ está en posición normal y su lado terminal contiene el punto dado. Dibuja cada

uno de ellos:

a. (6,8) b. (-8,-15) c. (-2,3) d. (√ √

e . (√ f. (0,2) g. (5 ,1) h. (-1,2)

5. En cada caso, encuentra el cuadrante en el que se halla el lado terminal de θ, si θ

satisface las siguientes condiciones:

a. senθ <θ y tanθ >0

b. tanθ<0 y cscθ>0

c. cscθ>0 y ctgθ<0

d. senθ>0 y cosθ<0

e. cosθ>0 y senθ<0

6. Dibuja el escudo del colegio

7. Resolver un triángulo es: encontrar la medida de sus ángulos y de sus lados.

Resolver los siguientes triángulos.

8. En la figura hallar x, y, C


35

9. Hallar el perímetro del rectángulo ABCD

10. Hallar al altura del árbol

ACTIVIDAD VIRTUAL

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES 30°, 45° y 60°

Las funciones trigonométricas de 30° y60° se hallan en un triángulo

equilátero

El triángulo ABC es equilátero; m = m = m = L

Todo triángulo equilátero tiene 3 alturas y el punto donde se cortan se

llama ORTOCENTRO

En un triángulo equilátero sus alturas, medianas mediatrices y bisectrices coinciden.

Dibuja un triángulo equilátero de 6 cm de lado y traza las líneas notables.

¿cómo se llama el punto donde se cortan: las medianas, las mediatrices y las bisectrices?

1. Encuentra el valor de h en el siguiente triángulo

2. Encuentra las 6 funciones trigonométricas de 30°

sen 30°= cos 30°= tan 30°=

csc 30°= sec 30°= cot 30°=

INGRESA A LA PAGINA http://matematicamentehablando.jimdo.com en grado DECIMO – PRIMER PERIODO e ingresa al ENLACE http://www.thatquiz.org/es-q/?-jg040-l2-p0 en el cuaderno denominado PROBLEMAS MATEMÁTICOS, COPIA Y DESARROLLA LA ACTIVIDAD “ PRACTICA DE RAZONES TRIGONOMETRICAS”, DIBUJANDO LOS TRIANGULOS QUE ALLI APARECEN. Una vez ingreses y realices la actividad propuesta, deja tu comentario. Indicando nombre completo y grado FECHA DE ENTREGA: SEMANA 10

http://matematicamentehablando.jimdo.com/

http://www.thatquiz.org/es-q/?-jg040-l2-p0


36


sen 60°= cos 60°= tan 60°=

csc 60°= sec 60°= cot 60°=

4. Copia el himno del colegio y dibuja la bandera

Las funciones trigonométricas para el ángulo de 45° se encuentran en un triángulo rectángulo

isósceles

1. Encuentra el valor del (hipotenusa del triángulo ABC)


sen 45°= cos 45°= tan 45°=

csc 45°= sec 45°= cot 45°=

3. Llena la siguiente tabla con la información obtenida

MANEJO DE LA CALCULADORA EN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

1. Hallar…

sen 40° cos 120° csc 75° sen 35°

sen 55° tan 36° sec 30° tan 45°

cos 35° cos 55° csc 65° cot 55°

2. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:

a.

b. [ ]

c. csc

+ cos

– 2 tan

d. .

4

e.

función ángulo

Sen cos Tan Cot Sec csc

30°

45°

60°


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TALLER INSTITUCIONAL DE NIVELACIÓN No. 1

1. Si f(x) = x2 + x – 3; f(-3) es:

a. -5 b. -3 c. 3 d. 0

2. Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a la recta x – y = 5 y pase por el punto (−2, 1).

3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por cualquier método

4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por suma y resta:

5. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones por factorización:

a. 9m2 – 12 m + 4 = 0 c. 3x

2 = 27x

b. P4 + 2p

2 + 1 = 0 d. 10P

2 – 7p – 12 =0

6. Encuentra el punto máximo o mínimo :

a. y = x2 – 3x + 1 c. f (h)= 5h

2 – 15h + 6

b. f (u) = - 5u2 – 10u + 3 d. f(t) = - 2t

2 + 6t + 5

7. En un triángulo rectángulo, la diferencia de los catetos es de 1,8 m y el área del triángulo es 24,26 m2 .

Hallar el valor de cada uno de los catetos.

8. Una bolsa contiene 3 monedas de $50 menos que monedas de $100 si en la bolsa hay $ 2850,

¿cuántas monedas de cada una hay?

9. Calcula la diferencia de una progresión si el primer término es 21 y el quinceavo termino es -35

10. Un niño colecciona 185 estampillas, en tres días si cada día consiguió los tres cuartos de lo conseguido

el día anterior ¿cuántas estampillas consiguió cada día?


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TALLER INSTITUCIONAL DE PROFUNDIZACIÓN No. 1

1. Resolver los siguientes problemas:

a. El producto de dos enteros pares consecutivos es 120 hallas los números

b. La diagonal de un rombo mide 12 cm se sabe que la otra diagonal es igual al lado ¿cuánto

mide el lado del rombo y la otra diagonal?

2. Dados los números complejos: z1 = – 3 + 2i y z2 = 2 + i

Encontrar:

a. El conjugado de z2

b. El conjugado de z1

c. z1 + z2

d. z1 – z2

e. (z1)(z2)

f.

3. Simplifica

a. – c. √ e. √

b. √ √ + √ + √7 -

√ d. √

4. Graficar las siguientes funciones:

a. y = 5x2 – 15 + 6 b. y = - 2x + 5 c. y =

d. y = log2X

5. despejar la variable K; q1


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EDUCACIÓN ECONÓMICA Y FINANCIERA


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TALLER PLAN DE MEJORAMIENTO INSTITUCIONAL No. 1 TIPO ICFES

ESTANDAR identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no

matemáticas.

DBA No. 1 Utiliza los números reales (sus operaciones, relaciones y propiedades) para resolver problemas con expresiones

polinómicas. COMPETENCIA: Resolución

APRENDIZAJE A MEJORAR: No resuelve problemas que involucran potencia ion, radicación y logaritmación

REALIZAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES QUE JUSTIFIQUEN LA RESPUESTA DE CADA PREGUNTA

A. 12 Meses

B. 24 Meses

C. 36 Meses

D. 81 Meses

2. Un microchip rectangular tiene las siguientes dimensiones como se muestra en la siguiente figura ¿Cuál es el

área del microchip?

A. 5 mm2

B. √7 mm2

C. 25 mm2

D. √ mm2

A. 5

5 = 3125 Fotos

B. 5(3) = 15 Fotos

C. 5(5+5) = 50 Fotos

D. 53 = 125 Fotos

4. Antes de determinar la dosis de una droga para un paciente, los doctores a veces calculan su Área de

Superficie Corporal o (BSA por sus siglas en Inglés). Una manera de determinar el BSA de un paciente es usando

la siguiente fórmula:

, donde w = peso (en libras), h = altura (en centímetros), y el BSA es medido en

metros cuadrados.

A. 140 cm

B. 160 cm

C. 170cm

D. 180cm


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A. La primera parcela si es el doble la segunda

B. La primera parcela es el cuádruple que la segunda

C. La primera parcela es ocho veces la segunda

D. La primera parcela es 81 veces la segunda


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TALLER DE MEJORAMIENTO ICFES No. 2


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TALLER MEJORAMIENTO ICFES No. 3

La prueba es de selección múltiple, selecciona la respuesta correcta. Consta de 10 puntos, cada punto tiene el

mismo valor.


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INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

PALMIRA

51

TALLER DE RECUPERACION INSTITUCIONAL No. 1

}

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

PALMIRA

52

AHORRO PROGRAMADO

Cada cuadro representa lo que echaras a la alcancía diariamente, empezando con $50 y así

sucesivamente. Iras tachando el cuadro cada día para realizar mejor el control de tu ahorro

Este cuadro será el ahorro programado para el primer y segundo periodo

50

450 850 1250 1650 2050 2450 2850 3250 3650

100

500 900 1300 1700 2100 2500 2900 3300 3700

150

550 950 1500 1750 2150 2550 3950 3350 3750

200

600 1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400 3800

250

650 1050 1450 1850 2250 2650 3050 3450 3850

300

700 1100 1500 1900 2300 2700 3100 4500 3900

350

750 1150 1550 1950 2350 2750 3150 3550 3950

400

800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL … · 3 TEOREMA DE PITÁGORAS, ... En el siglo XIX...

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